《收获与播种》第三部分注释：A — 遗产与继承人

Note 167

(10 mai) L’ami en question n’est autre que Zoghman Mebkhout ; qui a bien voulu m’autoriser à lever l’anonymat que j’avais cru devoir maintenir sur l’origine de la lettre (du 2 avril 1984) que je cite dans la présente note.

Note 168

(10 mai) La citation qui précède est très fortement tronquée, par un souci de respect de l’anonymat de mon correspondant. Voir la note suivante pour une citation complète du passage dont cette citation est extraite et pour des commentaires aussi sur son sens véritable, qui m’avait échappé d’abord faute d’information plus circonstanciée.

Note 169

Voir la note 27, « Le “snobisme des jeunes” — ou les défenseurs de la pureté », n^o 27.

Note 170

Voir deuxième note de b. de p. de la note précédente, « Échec d’un enseignement (2) — ou création et fatuité », n^o 44’.

Note 171

Le lecteur trouvera dans les notes n^os 46₁ à 46₉ certains commentaires plus techniques sur les notions passées en revue dans la présente note. D’autre part, indépendamment des notionsparticulières que j’ai introduites, le lecteur trouvera des réflexions sur ce que je considère comme « la partie maîtresse » de mon œuvre (à l’intérieur de la partie de mon œuvre « entièrement menée à son terme »), dans la note n^o 88, « La dépouille ».

Note 172

(7 juin) Mebkhout me signale qu’à ces deux théorèmes, il convient d’en ajouter un troisième, s’exprimant également en termes de catégories dérivées, savoir ce qu’il a appelé (un peu improprement peut-être) le « théorème de bidualité» pour les $\mathcal{D}$-Modules, et qui est le plus difficile des trois. Pour une esquisse d’ensemble des idées et résultats de Mebkhout et de leurs utilisations, voir Le Dung Trang et Zoghman Mebkhout, « Introduction to linear differential systems », Proc. of Symposia in Pure Mathematics, vol. 40 (1983), partie 2, p. 31-63.

Note 173

(30 mai) La démonstration du deuxième théorème se heurte aux difficultés techniques habituelles au contexte transcendant, nécessitant le recours à des techniques « évétesques » ; je devine qu’elle peut être rangée au rang des démonstrations « difficiles ». Celle du premier théorème est « évidente » — et profonde, utilisant toute la force de la résolution des singularités de Hironaka. Comme je le signale dans l’avant-dernier alinéa de la note « La solidarité » (n^o 85), une fois le théorème dégagé, « le premier venu » bien informé est capable de le prouver. Comparer aussi avec l’observation de J H. C. Whitehead citée dans la note « Le “snobisme des jeunes” — ou les défenseurs de la pureté » (n^o 27). Quand j’ai écrit cette dernière note, comme sous la silencieuse dictée d’une prescience secrète, je ne soupçonnais pas à quel point la réalité allait dépasser mes timides et tâtonnantes suggestions !

Note 174

Ils l’ont appris de première main dans les séminaires SGA 4 et SGA 5, et par textes interposés, dans « Residues and Duality » de R. Hartshorne.

Note 175

(30 mai) Mais j’ai eu temps de l’oublier — pour m’en resouvenir par la vertu de la deuxième rencontre avec Mebkhout, l’an dernier. (Voir la note « Rencontres d’outre-tombe », n^o 78.)

Note 176

(15 mai) Ces « idées essentielles et principaux moyens techniques » avaient été réunis dans la vaste fresque des séminaires SGA 4 et SGA 5, entre 1963 et 1965. Les étranges vicissitudes qui ont frappé la rédaction et la publication de la partie SGA 5 de cette fresque, parue (sous forme méconnaissable, dévastée) onze ans plus tard (en 1977), donnent une image saisissante du sort de cette vaste vision aux mains d’« une certaine mode » — ou plutôt, aux mains de certains de mes élèves qui ont été les premiers à l’instaurer (voir note de b. de p. suivante). Ces vicissitudes et leur sens se révèlent progressivement au cours de la réflexion des dernières quatre semaines, se poursuivant dans les notes « Le compère », « La table rase », « L’être à part », « Le feu vert », « Le renversement », « Le silence », « La solidarité », « La mystification », « Le défunt », « Le massacre », « La dépouille », notes n^os 63”’, 67, 67’, 68, 68’ et 84-88.

Note 177

(13 mai) La poursuite de la réflexion au cours des six semaines qui ont suivi le moment où ces lignes furent écrites (fin mars), a fait apparaître que cette « mode » a été instaurée en tout premier lieu par certains de mes élèves — par ceux-là mêmes qui étaient les mieux placés pour faire leur une certaine vision, et des idées et des moyens techniques, et qui ont choisi de s’approprier des instruments de travail, tout en désavouant et la vision qui les avait fait naître, et celui en qui cette vision avait pris naissance.

Note 178

(13 mai) Cette synthèse a été « récusée » en tout premier lieu, dans son esprit comme dans la notion-clef qui la rend possible, par nul autre que celui-là même qui a été le principal utilisateur et bénéficiaire, à travers toute son œuvre, des moyens techniques qu’elle m’avait permis de développer (avec le langage des schémas et la construction d’une théorie de cohomologie étale). C’est Pierre Deligne. Par son ascendant exceptionnel (dû à ses moyens exceptionnels), et par la position très particulière qu’il a occupée vis-à-vis de mon œuvre dont il a été comme un légataire implicite, le barrage discret et systématique qu’il a opposé aux idées principales que j’avais introduites (à l’exception de la notion de schéma et de la cohomologie étale) a été d’une grande efficacité, jouant sûrement un rôle de premier plan dans l’instauration de la « mode » qui a enterréces idées, réduites pendant déjà près de quinze ans à une vie végétative. Son œuvre a été marquée profondément par cette ambiguïté, que j’ai entrevue pour la première fois dans la réflexion qui continue celle de la présente note. (Voir « Refus d’un héritage — ou le prix d’une contradiction », note n^o 47.) Cette première perception, vive mais encore confuse, de cette entrave permanente dans l’œuvre de Deligne après mon départ, s’est précisée et confirmée de façon saisissante au cours de toute la réflexion sur cet Enterrement, où mon ami joue le rôle de principal officiant.

Note 179

(13 mai) Il est apparu au cours de la réflexion ultérieure que la situation a commencé à changer avec le colloque de Luminy de juin 1981 : on y a vu tels qui avaient « oublié » (ou plutôt, enterré…) ces notions, se pavaner avec, sans pour autant cesser de battre froid ce même « malheureux » sans lequel ce brillant colloque n’aurait jamais eu lieu. (Voir notes n^os 75 et 81 au sujet de ce mémorable colloque.)

Note 180

(13 mai) J’ai fini par comprendre que la seule personne (à part moi) qui jusqu’à aujourd’hui réponde au sens assez particulier de ce « tant soit peu dans le coup » est Pierre Deligne, qui a eu l’avantage pendant quatre ans, en même temps qu’il écoutait « le peu que je savais en géométrie algébrique », d’être le confident au jour le jour de mes réflexions motiviques. Il est vrai que j’ai parlé de ces choses à beaucoup d’autres collègues ici et là, mais aucun apparemment n’a été assez « branché » pour assimiler une vision d’ensemble qui s’était développée en moi au cours de plusieurs années, ou pour prendre mes indications comme un point de départ pour développer par lui-même une vision et un programme (comme moi-même l’avais fait à partir de deux ou trois « fortes impressions » produites par certaines idées de Serre). Peut-être je fais erreur, mais il me semble que les gens intéressés par la cohomologie des variétés algébriques n’étaient pas en disposition psychologiques à « prendre les motifs au sérieux » aussi longtemps que Deligne, qui faisait autorité en cohomologie et qui en même temps était le seul censé savoir à fond de quoi il retournait avec ces motifs, les passait lui-même sous silence. (8 juin) Vérification faite, il apparaît que mes premières réflexions motiviques remontent aux débuts des années 1960 — elles se sont donc poursuivies sur près d’une dizaine d’années.

Note 181

(13 mai) Comme je l’ai signalé dans une précédente note de b. de p., les catégories dérivées ont eu droit il y a trois ans à une exhumation en grande pompe (sans que mon nom y soit prononcé). Les topos et les six opérations attendent toujours leur heure, et les motifs aussi, sauf le petit morceau qui a été exhumé il y a deux ans, avec une paternité de rechange (voir notes n^os 51, 52, 59).

Note 182

(13 mai) Je crois comprendre maintenant que le « très peu d’initiés » s’est réduit jusqu’en 1982 au seul et unique Deligne. Il est vrai qu’il a révélé de cette « science secrète » ce qui transparaît à travers certains résultats importants inclus dans ce yoga, révélés au fur et à mesure qu’il a été en mesure de les prouver, pour en recueillir le crédit tout en cachant sa source d’inspiration, laquelle restait secrète. Si pourtant pendant quinze ans personne ne s’est déclenché encore pour embrancher enfin sur une théorie des motifs de vaste envergure, c’est que décidément notre époque est loin du dynamisme hardi de l’époque héroïque du calcul infinitésimal !

Note 183

(13 mai) Ayant fini par prendre connaissance de la bibliographie tant soit peu, je vois maintenant que l’œuvre entière de Deligne est enracinée dans ce yoga. Et mon échantillonage bibliographique (ainsi que d’autres recoupements) me font supposer que dans l’œuvre entière de Deligne, la seule référence à cette source se trouve dans une ligne lapidaire (me citant en une haleine avec Serre) dans « Théorie de Hodge I » en 1970. (Voir les notes n^os 78’₁ et 78’₂.)

Note 184

Ce que je tiens de Serre (début des années 1960 ?) est une idée ou intuition de départ, me faisant comprendre qu’il y avait quelque chose d’important à comprendre ! Cela a agi comme une impulsion initiale, déclenchant une réflexion qui s’est poursuivie dans les années suivantes, d’abord sur un « yoga » des poids et bientôt sur un yoga plus vaste des motifs.

Note 185

(10 avril) Il me semble que Deligne a été le seul à « entendre » — et il a pris soin de se réserver le privilège exclusif de ce qu’il entendait. Il est vrai d’autre part qu’en écrivant ces lignes finales, je « retardais » sur les événements : il y a deux ans, il y a eu exhumation partielle du yoga des motifs sans aucune allusion à un rôle que j’y aurais joué ! Voir à ce sujet les notes n^os 50, 51, 59, suscitées par une découverte imprévue qui a jeté une lumière inattendue (pour moi du moins) sur le sens de l’enterrement qui avait eu lieu pendant douze ans. Jusque-là je m’étais rendu compte assez confusément d’une sorte d’enterrement, sans prendre le loisir d’aller y regarder de plus près…

Note 186

(6 juin) Je l’ai retrouvée (sous une forme voisine, et sous le nom flatteur de « conjecture de Deligne-Grothendieck ») dans un article de MacPherson paru en 1974. Voir, pour des détails, la note n^o 87₁.

Note 187

Le lecteur intéressé trouvera une esquisse de ce formalisme en Appendice au présent volume.

Note 188

(25 mai) Elle a été établie par J.-L. Verdier, voir « Les bonnes références », note n^o 82.

Note 189

(12 mai) Par contre, je viens de constater que rien dans ladite brochure ne pourrait faire soupçonner au lecteur que mon œuvre ait quoi que ce soit à voir avec la cohomologie des variétés algébriques, ou celle de quoi que ce soit d’autre ! Voir à ce sujet la note « L’Éloge Funèbre (1) — ou les compliments » (n^o 104) écrite ce jour. La brochure dont il est question est celle mentionnée dans la note de bas de page à la note « L’arrachement salutaire », n^o 42, et examinée d’un peu plus près dans la note « L’Éloge Funèbre (1) » qu’on vient de mentionner.

Note 190

(25 mai) C’est pourtant ce qui était aimablement suggéré dans cette fameuse brochure jubilée, sous une plume anonyme que je crois reconnaître. Voir à ce sujet la note « L’Éloge Funèbre (2) », qui fait suite à « L’Éloge Funèbre (1) » cité dans la précédente note de b. de p.

Note 191

Dans Pub. Math. 36, 1969, p. 75-110. Voir commentaires dans la note n^o 63₁

Note 192

(8 juin) Voir la sous-note 95₁ à la note « Cercueil 3 — ou les jacobiennes un peu trop relatives », n^o 95.

Note 193

Il y manquait encore une opération Rf_! (cohomologie à support propre) pour un morphisme non propre, qui a été introduite six ou sept ans plus tard par Deligne, grâce à l’introduction par lui du contexte des promodules cohérents, qui m’apparaît comme une idée nouvelle importante (reprise avec succès dans sa théorie des promodules stratifiés).

Note 194

(25 mai) Après que ces lignes ont été écrites, j’ai découvert que le premier embryon de la thèse de Verdier, datant de 1963 (quatre ans avant la soutenance) a fini par être publié en 1967. Voir à ce sujet les notes « Le compère » et « Thèse à crédit et assurance tous risques », n^os 63”’et 81.

Note 195

Ces endroits sont : le séminaire bien connu de Hartshorne sur la dualité cohérente, contenant la seule partie publiée à ce jour de la théorie de dualité que j’avais développée dans la seconde moitié des années 1950 ; un ou deux exposés de Deligne dans SGA 4 ; un ou deux chapitres de la volumineuse thèse d’Illusie.

Note 196

(24 mai) Il y a lieu de nuancer ces « quinze années écoulées » — voir à ce sujet la note n^o 47₃, ainsi que la note plus circonstanciée « Thèse à crédit et assurance tous risques », n^o 81.

Note 197

(25 mai) Pour une réflexion sur les forces à l’œuvre dans l’apparition et la persistance de cette mode, voir la note « Le Fossoyeur — ou la Congrégation tout entière », n^o 97.

Note 198

Je n’ai pas eu dans ma vie de mathématicien ce plaisir d’inspirer, ou seulement de pouvoir encourager, chez un élève une thèse contenant un « théorème du bon Dieu » — tout au moins pas d’une profondeur et d’une portée comparables.

Note 199

Il semblerait que Verdier, comme directeur de thèse officiel pour la thèse de Zoghman Mebkhout (et qui à ce titre lui a même « accordé quelques discussions »), était le principal concerné (à part Mebkhout lui-même) dans l’escamotage qui s’est fait autour de la paternité de ce théorème fondamental, et du crédit qui revient à son « élève » dans le renouvellement qui s’amorce dans la théorie cohomologique des variétés algébriques par le point de vue des $\mathcal{D}$-Modules développé par Mebkhout. Je n’ai pas connaissance pourtant qu’il s’en soit ému plus que Deligne.

Note 200

(25 mai) En écrivant ces lignes, je me suis abstenu (avec quelques hésitations) d’inclure le nom de mon ami Luc Illusie dans cette liste de mes élèves qui auraient été « les mieux placés » pour prodiguer à Zoghman Mebkhout les encouragements qui auraient dû aller de soi. Je n’ai pas été attentif alors à un certain malaise en moi, qui aurait pu m’enseigner que j’étais en train de donner un petit coup de pouce en faveur de quelqu’un que j’ai en affection, pour faire mine de le décharger d’une responsabilité qui lui incombe tout comme à mes autres « élèves cohomologistes ».

Note 201

(25 mai) En fait, cet escamotage est l’œuvre en tout premier lieu de Deligne et de Verdier eux-mêmes. Voir à ce sujet la note « L’Iniquité — ou le sens d’un retour », n^o 75.

Note 202

(29 avril) Pour un examen plus attentif de cet article, instructif à plus d’un titre, voir la note « L’éviction » (n^o 63).

Note 203

(19 avril) Je constate sur une liste des publications de Deligne que je viens de recevoir et de lire avec intérêt, qu’il est question des « poids » dès 1974 dans une communication de Deligne au congrès de Vancouver — cela fait donc six ans de « secret autour des poids » au lieu de douze. Ce secret pourtant m’apparaît inséparable du secret similaire autour des motifs (pendant les douze ans 1970-1982). Le sens de ce secret vient de s’éclairer d’un jour nouveau au cours de la réflexion d’aujourd’hui, dans la longue double-note qui suit, n^os 51-52).

Note 204

(25 mai) Il semblerait bien, d’après tous les éléments d’information apparus au cours de la réflexion, que ces « deux ou trois initiés » se sont bornés au seul et unique Deligne, qui semble avoir pris grand soin à se réserver le bénéfice exclusif de la possession de ce yoga qu’il tenait de moi, jusqu’en 1974 (voir note de b. de p. précédente), où le moment était mûr pour pouvoir le présenter comme idée de son cru, sans référence ni à moi, ni à Serre (voir les notes n^os 78’₁,78’₂). (18 avril 1985) Depuis que ces lignes ont été écrites, j’ai eu occasion de prendre connaissance également de la communication de Deligne « Théorie de Hodge I » au Congrès int. math. de Nice (1970) (Actes, t. I, p. 425-430). Contrairement à ce que j’avais lieu de croire par les informations parcellaires en ma possession, cet article expose dès 1970 une partie substantielle du yoga des poids. Sur l’origine de ces idées, il se borne à une mention sibylline et de pure forme d’un article de Serre (d’ailleurs étranger à la question), et de « la théorie conjecturale des motifs de Grothendieck ». (Comparer avec les notes n^os 78’₁, 78’₂.) La question cruciale du comportement de la notion de poids par des opérations telles que Rⁱf_! et Rⁱf∗ n’est pas même mentionnée, et ne le sera pas avant l’article cité « La Conjecture de Weil II » de 1980, où mon nom n’est pas prononcé en relation avec le théorème principal de ce travail, pas plus que ne l’est celui de Serre ou le mien dans la communication « Poids dans la cohomologie des variétés algébriques » mentionnée dans la note de b. de p. précédente (d’il y a un an jour pour jour).

Note 205

Voir aussi à ce sujet les sections 32 et 33, « L’éthique du mathématicien » et « La note — ou la nouvelle éthique », ainsi que les deux notes qui s’y rapportent, « Consensus déontologique — et contrôle de l’information » et « Le “snobisme des jeunes” — ou les défenseurs de la pureté », n^os 25, 27.

Note 206

Voir à ce sujet la note « Cercueil 2 — ou les découpes tronçonnées », n^o 94.

Note 207

Voir aussi à ce sujet l’épisode « La note — ou la nouvelle éthique » (section 33). Cette fameuse « note » avait justement le tort d’expliciter des notions et des énoncés qui avaient été jusque-là laissés dans le vague, et qui pourtant ont été implicitement utilisés par moi pour établir des résultats qui portent mon nom et que tout le monde utilise sans vergogne depuis bientôt vingt-cinq ans (chose d’ailleurs que les deux illustres collègues savaient parfaitement). (8 juin) Voir, pour plus de détails, la note « Cercueil 4 — ou les topos sans fleurs ni couronnes » (n^o 96). Les « résultats qui portent mon nom » sont des résultats sur l’engendrement et la présentation finie de certains groupes fondamentaux profinis globaux et locaux, « démontrés » entre autres dans SGA 1 par des techniques de descente qui restent heuristiques faute d’une justification théorique, soigneuse, accomplie dans le travail (apparemment « impubliable ») d’Olivier Leroy, sur les théorèmes du type Van Kampen pour les groupes fondamentaux de topos.