C — 上流社会

Alexandre Grothendieck

C — 上流社会

概要

VII. 研讨会——或梅布胡特的层（faisceaux）与反常性

不义——或回归的意义

注释75

研讨会

! 注释 75’

魔术师

! 注释 75”

反常性

* 注释 76

停！

注释 77

中国皇帝的龙袍

* 注释 77’

墓畔相遇

注释78

注释 781

受害者——或两种沉默

* 注释 78’

注释 78’1

注释 78’2

老板

! 注释 78”

我的朋友们

* 注释 79

铺路石与上流社会（或：鱼目混珠……）

注释80

VIII. 学生——又名老板

赊账论文与全险

注释 81

注释 811

注释 812

注释 813

良好的推荐信

注释 82

玩笑——或”权复形”

* 注释 83

IX. 我的学生们

沉默

注释84

注释 841

团结

* 注释 85

注释 851

注释 852

蒙骗

! 注释 85’

逝者

* 注释 86

屠杀

注释 87

注释 871

注释 872

注释 873

注释 874

遗骸……

注释 88

……与躯体

* 注释 89

继承人

注释 90

共同继承人……

注释 91

注释 911

注释 912

注释 913

注释 914

……与电锯

* 注释 92

VII 研讨会——或层 德梅布胡特与反常性

不义——或回归的意义

Note 75 [◊ 285]Note 75[◊ 285] (5月2日) 显然我还没有学够！我刚刚读到两篇文章，它们为已经提及的（对Mebkhout著作的）「遮掩」（escamotage）投下了一道（至少对我来说）始料未及的光（参见《当班的无名氏与上帝定理》，注48’）。这两篇文章涉及两位著名的同事兼前弟子所扮演的角色，我曾注意到他们对Zoghman Mebkhout表现出轻蔑的漠不关心，但并未怀疑他们的职业诚信。这两篇文章收录于Luminy研讨会（1981年7月6日至11日）的文集中，该研讨会题为：奇异空间上的分析与拓扑（Analyse et topologie sur les espaces singuliers），发表于Astérisque第100号（1982年）。, paru dans no 100 (1982).

B. ****J.-L. Riemann- *i.e.*ℂ[◊ 286]1D\mathcal{D}-Module.

2A. A. Beilinson, J. Riemann-

3).

45这两篇文章中的第一篇是研讨会导言，由B. Teissier和J.-L. Verdier（即担任Z. Mebkhout官方论文导师的那位）署名。这篇一页半的文章从关于某个所谓的「黎曼-希尔伯特对应」（correspondance dite de Riemann-Hilbert）的解释开始——这一对应显然被赋予了在研讨会中扮演首要角色的使命（而它正是「上帝定理」，亦即Mebkhout定理）。在这一对应中（而正是这一点构成了其魅力与深度，并需要引入导出范畴（catégories dérivées）），一个正则全纯模（module holonome régulier）（即约化为零次的正则全纯复形）关联着一个由ℂ-向量空间构成的层（faisceaux）的可构复形（complexe constructible），据称可以通过纯拓扑性质（propriétés purement topologiques）来刻画它，这些性质对于定义在任意域上的非必然光滑流形（variété）上的平展层（faisceaux étales）的可构复形仍有意义。据解释，这便是研讨会「主题」——「反常性（perversité）、交截复形（complexe d’intersection）、纯粹性（pureté）」——的出发点；所谓「反常」层（faisceaux pervers）1的（复形[◊ 286]）不过是那些「道义上」对应于（「按照Mebkhout方式」）最简单的正则全纯微分算子（opérateurs différentiels holonomes réguliers）复形的东西，借助单个-模（-Module）来表达。第二篇文章是A. A. Beilinson、J. Bernstein和P. Deligne关于反常层的长文的一部分2，导言将其引用为研讨会的核心工作。正如我手上的目录（table des matières）及其他页面所证实的，这篇文章致力于将导出范畴和三角范畴（catégories triangulées）突然强力地推上公共舞台，紧随Mebkhout的默默无闻的工作和那个著名的「所谓的黎曼-希尔伯特定理」之后。令人难以置信但千真万确：在这两篇文章中，Z. Mebkhout的名字均未出现，在参考文献中也同样缺席。我要明确指出的是，不仅J.-L. Verdier完全了解Mebkhout的工作（理所当然！），Deligne也同样了解（对于一个如此了解数学动态的人而言，尤其是当涉及与他关系最密切的课题时3，甚至很难想象情况会是别样）。我不知道B. Teissier4和Luminy研讨会的其他参与者，特别是所引文章5中与Deligne共同署名的两位，情况如何。似乎没有一个参与者曾那么好奇地去了解那些思想和关键定理——它们竟有力量动员了他们——的归属。我猜想这被视为理所当然，多少有点像Lecture Notes LN 900卷在次年将动机（motifs）推上同一「公共舞台」6那样。6[◊ 287]Verdier.

7

8. Il [◊ 288]；即其归属属于发起并主持了研讨会的最杰出的数学家中最杰出的那位。无论如何，所有人都确定的一点是：这不可能是Riemann也不是Hilbert，否则这个杰出的研讨会[◊ 287]就会发生在1900年而不是1981年——即Jean-Louis Verdier的「无名学生」（Élève Inconnu）论文答辩两年之后。我在此所目睹的这种操作在今日或许已是常态7且完全被接受，只要它是由那些占据高位的数学家所实施，而受害方不过是个模糊的无名小卒（尽管还是被好意邀请来让他高兴一下）。实施这种操作的人中若有谁——以其手段（moyens）和作品而言——堪称伟大的数学家（这使他立刻超越一切怀疑），也不会改变事情的性质。我无疑是老派了——在我那个时代，这种操作叫做欺诈，而在我看来，这是容忍它的那一代数学家的一种耻辱。天才的光辉丝毫不能减轻这样的耻辱。它反而为之增添了一重前所未有的维度，也许在我们的科学史上是独一无二的8。它[◊ 288]可能让人窥见，在这看似荒谬而无偿的行为背后（行为者被命运眷顾到了无以复加的程度，却仍以剥夺他人为乐……），起作用的也许不只是出风头的欲望，或者无偿地羞辱、使一个自觉无助且无言的人绝望的欲望，还有别的力量。

既然我确已完全置身于一幅「风俗画卷」之中，我不妨指出（几乎是理所当然地），我的名字同样完全未出现在所引用的文本中。然而我欣然注意到，在所引文章（就我所持有的部分而言）中，没有一页9不是深深植根于我的著作并带有其印记，甚至延伸到我所引入的记法，以及每一步所涉及的概念所使用的名称——这些名称都是我在它们被命名之前、初次结识它们时所赋予的。当然也有出于严谨（rigueur）所做的调整——比如我在1950年代提出的对偶性定理10在此情形下被重新命名为「Verdier 对偶性」Verdier」，还是同一个人Verdier，没错11……然而，我的名字不可能完全不出现，至少是隐含地，通过偶尔引用仍不可替代的文献（尽管有 SGA 412\frac{1}{2}，这并未完全实现其使命），即 EGA 和 SGA。（在解释缩略词 SGA = Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 时，我的名字自然没有出现，但在 EGA 中，要么诚实要么不诚实，完整的署名给出了，作者名单中包括我的名字……）另一个让我印象深刻的细节，见证了埋葬（enterrement）综合征的强迫性力量（在一个绝非强迫症「典型」的人身上）：我所看到的两次对 SGA 的引用，每次都刻意着重说明「M.Artin 在 SGA 4 中的定理……」」，生怕缺乏灵感的读者会以为该定理可能出自那个被精心隐去姓名的人，而明明这份阐述，谢天谢地，确实是由一位可具名的作者完成的！（⇒ 77）

[◊ 289]这一切，恐怕是当今「上流社会」中司空见惯的争斗吧。虽不令我愉悦（它也不是为此而设的……），这场小争斗并未真正损害这位被提前宣告死亡的人，其象征性的遗骸就这样被抛入这场混战的偶然之中——我不过两周前才惊诧地发现这一切。它并未因不公无力抗争的感受而侵蚀我的生命。它没有摧毁那份引领我奔赴数学事物与周遭世界万物的喜悦与活力，它没有在我心中烧毁这些事物的精致之美。我可以自认为幸福，而我确实如此……

我也为这次意外的「回归」感到幸福，尽管其意义曾令我困惑。即便它只让我学到了这些天来所领悟到的东西，这次回归也已不是徒劳，它已使我心满意足（⇒ 76）

学术研讨会

注意！75’（6月3日）我了解到一些关于研讨会其他参与者的细节，这打消了所有疑虑。尽管Mebkhout 并未被列入研讨会正式议程，Verdier 不得不在现场临时请他in extremis做一个报告，以弥补某个官方报告的不足（该报告原委托给了Brylinski，他对D\mathcal{D}-模（D-Module）理论并不熟悉）。Mebkhout 因而得以阐述他的想法和成果，特别是「好上帝定理」（théorème du bon Dieu），从而对这一定理及其伴随哲学的首创归属不留下任何疑点——正是这些成果使得代数流形（variété algébrique）的上同调（cohomologie）研究得以惊人地重启，而本次研讨会正是其具体体现。因此，**所有参会者都知晓了这一首创归属，**通过这个报告。我还推测，所有人无一例外都从研讨会论文集，特别是引言和所引用的Beilinson、Bernstein 和Deligne 的文章中获知了这一点。显然，没有一个人觉得有任何异常——即便有人觉得，也丝毫未予表露。ZoghmanMebkhout 未曾收到任何这方面的反馈。因此，所有参会者都可以被合理地视为本次研讨会所发生欺骗行为的同谋。

这种集体欺骗在研讨会当时就已显而易见，因为没有人对以下事实感到任何异常：Deligne 在关于所谓的「反常层（faisceau pervers）」的口头报告中，Mebkhout 的名字未被提及。这位报告人仅仅陈述了好上帝定理，说道[◊ 290]他并不打算在自己的报告中证明该定理。此外（以他一贯的谦逊），他还着重强调，猜出那些被他称为「反常层」的层的非凡且a priori不可预见的性质——这些层明显由他刚刚谈到的「Riemann-Hilbert 对应（correspondance de Riemann-Hilbert）」所提示——「毫无功劳可言」。12。所有人都认为，他绝口不提那位有「功劳」发现这一神奇对应的人，并造成一种印象仿佛作者正是他本人，是很正常的，尽管他们刚刚得知或随后几日将要得知事实并非如此。人们一定认为，一个在研讨会上无足轻重的角色竟能成为如此卓越定理的发现者，这简直是一种不可接受的误会，于是每个人都竭力纠正偏差，建立共识，将首创权归属于那个显然天生适合拥有它的人——那个本该成为发现者13的人。

具有特征意义的细节：的报告Mebkhout 并未出现在研讨会论文集中。Verdier 曾要求Mebkhout 不要撰写报告稿，称研讨会旨在展示新成果，而Mebkhout 的成果早在两年多前就已发表。

当人们不被技术性论述所束缚，而是审视这场辉煌研讨会中实际发生的一切——审视那些驱动各方参与者的力量与欲望时——就仿佛在观看一部关于黑手党统治某遥远[◊ 291]大都市底层社会的影片。然而这却是我们身边的情景，演员们正是法国及国际科学界最杰出的精英。那位以精准手势操控一切的大首领（Grand Chef），不是别人，正是昔日在我面前表现得谦逊微笑的精神之子，或至少是合法继承人（同样谦逊微笑）。至于那位任人役使盘剥的在毫不留情的「强硬者」世界中的「软弱者」，出于某种我尚未完全领悟其含义的奇怪「巧合」，他也与我本人密切相关。他是我的「学生」，正如大首领一样（和他一样，是带引号的「学生」……）——那个在我已被宣告死亡埋葬多年之后才拜入我门下的人……

戏法师

笔记！75”(6月7日) 我们将在那篇”值得纪念的文章”（前两篇笔记中提到的）中欣赏到轻巧遮蔽的高超技艺。作为整个工作核心动机的范畴（catégorie）等价，在引言第四页（第10页第9至15行）的一个句子中首次被引入，没有赋予名称，紧接着就引出所谓”反常”的层（faisceau dit « pervers »）概念的一系列后果（第10页和第11页）。此后直到第16页末尾才再次提及，我们在那里读到14：

“需要指出的是，在以下几点上，本应放在这些笔记中，我们未能尽职。

——反常层与完整模（modules holonomes）之间的关系。如本引言所述，它扮演了重要的启发性角色。本质陈述是4.1.9（此处不予证明）……”

（接着列举其他”本应放在……”的要点。）

我赶紧去看，这个”本质陈述”到底是什么，作者们未能抽出时间将其纳入工作，或至少未能给出证明。我们来查一下编号no4.1.9……我碰巧看到一条”注记4.1.9”，应该不是这个，我在找一个”本质陈述”，一个像样的定理或附释（scholie），带有引用出处在该处作者们已经证明或将要证明它，既然他们没有证明此处……但我再怎么找，也找不到一个”定理4.1.9”——只有一个段落对应编号4.1.9。于是我开始读那条”注记”，姑且一试（不抱什么信心[◊ 292]——一定是编号搞错了……），我读到”4.1.1在复上同调（cohomologie complexe）中的类比成立……”，糟糕，难道我得回溯到4.1.1去看看是怎么回事？我跳过不读，浏览后面的文字——结果，我本来已经不抱希望了，又往下十一行，有一句话以”众所周知……”开头，以”诱导了范畴……与反常层范畴之间的等价”结尾。

呼——原来就是它，终究是它！但我再怎么往后找，也没有丝毫线索来阐明这个谜一般的”众所周知……”。那个本来不”知道”的读者一定觉得自己很蠢，完全跟不上局面。无论如何，对他而言清楚的是（除了他跟不上之外），这个”本应放在这些笔记中”的结果，在这里被一条技术性注记”提起”，仿佛读者本应知道——它显然归功于这些”笔记”的作者们，或其中某一位；或许是那位最有声望的、执笔撰写文章的作者（有一种”家传风格”错不了……），也是那位做了口头报告的人，他众所周知的谦逊自然使他不会说”是我做的！“——但人人都心领神会，不必言说……

这立刻让我想起这几周反思中的一些往事。最早的一个，是Deligne在1968年的第一篇工作，我终于（十六年后）费心去更仔细地看了看，记在笔记《驱逐》（no63）4月22日（发现LN 900秘密三天后）。我在这里看到同样的风格，带有因中间十三年”磨合”而来的变体。在1968年的文章中，其主要灵感来自我，他在文章末尾一带而过地、谜一般地提到我的名字，算是”合规”。在这里，他不再费这样的心思——经验早已告诉他这完全没必要了！相反，在他年轻时的文章中，既然他觉得必须提到我的名字，他就通过完全抹去其工作的初始动机来补偿（连同权的瑜伽（yoga des poids）一起，以便六年后以另一重作者身份将其推出，再等八年后挖掘出动机（motifs）……）。无论如何，即使隐藏了（并留作自己独享……）文章的核心算术动机，这篇文章本身也”站得住”，它完全可理解，无愧于作者以完美方式行事的声誉[◊ 293]完美。在这里，他发展的理论如果没有启发性动机将是不可理解的。所以他指出了这一动机，用”本质陈述”这个说法来指代它，却随意敷衍——既不赐予它一个名字，也不给它一个像样的陈述冠以”定理”或”命题”之名，甚至连”对应”（所谓的Riemann-Hilbert）都没有——他把这个任务留给了他的朋友们Verdier和Teissier。他不必给它取名（鉴于这区区15——他当然五分钟就能证明它！）也不必提及任何人——别人自会替他做好，让他完全满意。显然有一种瑜伽（yoga）、一种哲学（philosophie），作者将其运用得游刃有余、权威十足，无须命名任何事物——他假装不屑的这个”区区小事”（“本应放在这些笔记中”），他很清楚自己终将额外得到它，只要他懂得适时沉默和等待。他第一次成功玩这个游戏时，这个”区区小事”是”权的考量”，在一句谜一般的注记中被隐约提及（等着六年后大张旗鼓地重新推出权的哲学）。第二次，据我所知，是在我1970年离开之时——这个”区区小事”是”动机之梦”，十二年间不值一提（想想看——一个梦，还是一个逝者的梦，而且尚未发表，更过分的是！），等着这一次发现真正的动机（motifs）（以及我们能用它做什么），并一如既往谦逊地拥有其无可争议的创始者身份16。

颠倒

注释 76（5月4日）我清楚地记得，第一次听到”反常层（faisceaux pervers）“这个名字，大概两三年前，它曾给过我一种不快的感觉，在我心中唤起了一种不适感。这种不适在我后来又两三次听到这个古怪名字时再次浮现。有一种内在的”退缩”，停留在意识表层，无疑会（若我当时停下来审视它）表达为类似这样的想法：怎么会给一个数学对象起这样一个名字！甚至给[◊ 294]任何其他事物或生灵，除非严格来说可以用于一个人——因为显然，在宇宙中所有的”事物”中，唯有人类才有时配得上这个词……

我似乎觉得（虽不能完全确定）正是德利涅本人第一次向我提起所谓的”反常”层，那是他在卢米尼研讨会后顺道来我家时17。那甚至该是我们之间最后一次数学交谈——他来过我家之后，就再也没有过了。正是在这次来访时，那个”征兆”显现了，它在几周或几个月后（当这个征兆在随后的书信往来中再次得到确认时）促使我在那次会面之后的数学通信中终止了数学层面的交流18。（关于这段插曲，参见注释《两个转折点》，no66。）

回到那些所谓（错误地！）的”反常”层，显然，“按理说”，这些层本该叫做「Mebkhout 层（faisceaux de Mebkhout）」，这只不过是公平之举。（我不止一次把自己发掘并研究过的数学概念冠以前辈或同事的名字，而他们与这些概念的关联远不如Mebkhout 与这个美妙概念来得紧密——况且在我看来，它更像”崇高”而非”颠倒”的色调！）当时德利涅在发现并命名这个源自Mebkhout 的概念时，正准备掠夺他，而他自己早已”受惠过度”——这些心境完全有理由被称为”颠倒的”。无疑我的朋友本人在内心深处，在某个不会被自己刻意展示的表象所迷惑的层面上，一定也感受到了这一点。在这个名称（乍看之下显得怪异）的赋予中，我感受到一种虚张声势，一种对全能权力的陶醉，以至于他甚至敢于展示（象征性地，通过炫耀一个挑衅性的名称，而没有人会敢于读出其昭然若揭的真实含义！）他”颠倒地”掠夺他人的真实本质。

[◊ 295]我认为完全有可能的是，在某个深层层面上，我感知到了朋友身上的这些心境的色调，而这促成了我所谈到的那种不适19。这种不适尤其表现在对他必然给予的解释未予关注，而我相信在此次会面之前，每次听他说话——尤其是谈到数学时——我都给予了持续的关注。我内心对这种（天晓得为什么）叫做”反常”的概念产生了一种阻滞——我并不真的想听它，尽管它与那些我曾（并在某种程度上仍然）非常亲近的问题紧密相关。

甚至说白了，这篇文章整个就是德利涅等人的，全是典型的、grothendieckeries的典型货色，完全可能出自我手（只除了主要概念的名字）！这便是我在前一篇注释（no75）第二部分已经表达过的，也是我从浏览那篇引文时起就已感受到的——但那种模糊的感觉尚未凝聚成我刚才猛然意识到的这个惊人发现。这个发现以一种震撼的方式让我再次感受到那种深刻的矛盾：一个人（在某种意义上）无法不复制并同化于那个他本要否定、本要投以鄙夷的人——那个他本要埋葬的人，而这个人同时也是[◊ 296]那个人，自己想要成为并且（在某种意义上）自己就是。

就在前天，在写前一篇注释（《不义——或回归的意义》）时，这个巧合就已触动了我：我和朋友之间的关系——突然丧失了那种共同热忱的交流，而那曾是它存在的理由和最强劲的源泉——其转折恰好发生在我朋友从那场难忘的研讨会归来之时，而那场研讨会的意义刚刚才向我昭示。那件在 1981 年 7 月我们会面时令我愕然的事——那次会面在某个层面上与其他几次见面一样友好亲切——就是那个”征兆”，在语气和气氛上隐晦，却又带着残酷的明显，透露出刻意为之的轻蔑。那就像是一种预支，我的朋友这次在个人关系层面提取的预支，来自那种含蓄而同样”隐晦”（也同样带着”残酷的明显”）的轻蔑——正是他在卢米尼研讨会上当着当日明星炫示精湛技艺时，对我作为公众人物所公开表达的。同样的”轻蔑”也刚刚表达给了那个敢于（哪怕稍微）自称与我有关的人——但这次带着更加不同的”颠倒”的粗暴——他因此被判处在我的朋友皮埃尔眼中（至少在某个层面上）不过是”另一个格罗滕迪克”20，一个从此要不惜一切代价碾碎的人……

好一个！

注77(5月5日) 翻阅这篇令人难忘的文章时，另一个细节让我感到震惊21——据说该文章主导了同样令人难忘的1981年6月吕米尼研讨会。最后一章以暗示性的标题« 从Fq\mathbb{F}_q到ℂ»，长篇大论地描述了我在代数几何中引入的一个值得注意的原理，那大约是在二十年前——应该是在动机概念诞生之前（它为这一原理提供了[◊ 297]最深刻的例证，经由前猜想Weil)。这一原理保证，对于某些关于域上有限型概形的陈述，只需在有限基域上证明它们（因此处于一种「算术性质」的情形）就能推出其在任何域上的有效性，特别是在复数域上——此时所考虑的代数几何结果有时可以通过超越方式重新表述（例如用整数或有理上同调，或用Hodge结构等）22。我的朋友是从我、且只从我这里、亲口听说的，多年来通过无数例子23这一原理的原创权（其基本形式甚至在EGA IV中也有阐述——别问我哪一节哪一条……）其实是众所周知的24以至于在我才华横溢的朋友于1978年赫尔辛基大会上获得菲尔兹奖时，N.Katz在为P.Deligne致贺词时，忍不住顺带提及了它，从而（不动声色地）纠正了其著名获奖者一个有点尴尬的系统性「遗忘」。我直到几天前才看到这篇贺词，同时也看到了那篇「令人难忘的文章」本身。

无论如何，在这篇文章中，从「算术」到「几何」过渡的哲学以这样的措辞呈现，以至于任何不知情的读者都不会怀疑那位才华横溢的主要作者（请原谅[◊ 298]这个失礼的说法……）刚刚发现了这个影响深远的奇妙原理。

诚然，我没有为这个方法申请专利，而我才华横溢的朋友也从未在任何地方说自己是那位天才发明者；他也没有明确声称自己是那个著名的「对应」（请欣赏这个散发着浓郁的十九世纪气息的术语！）之父，该对应被谦逊地归于Riemann和Hilbert（这些配得上做如此杰出的后继者的后代之教父的人）——他也没有在那「令人难忘的卷册」(LH 900)中说明正是他发明了动机、动机Galois群以及整套与之相伴的哲学（而他还只发表了其中一部分）。对于著名的SGA 4也无可多说12\frac{1}{2}，在那卷中他们甚至仍赏光将我列为该卷的「合作者」，该书如此出色地ab ovo发展了平展上同调，屈尊参考（尽管它们带有令人遗憾的多余细节之赘疣等）了两卷卫星著作SGA 4和SGA 5——它们注定被遗忘，但人们慷慨地认可其功绩在于提供了若干技术补充和枝节探讨（其中一些甚至「非常有趣」）25。

在所有这些情形中，以及在最近五六年里我注意到的许多其他微小情形中，我从未有过界定我的不安并给我所目睹或参与的事情命名的念头26 ——在所有这些情形中，我认出了同一种风格。我的朋友始终且完全是「大拇指」——他可以自如地取用，怀着由同辈和异辈的钦佩（完全合情合理）所赋予的彻底心安理得，这保证了完全的不受追究。

中国皇帝的长袍

注释 77’ [◊ 299](5月7日) 当然，那些看到我的朋友Deligne工作的人并且对那些来龙去脉多少有些「了解」的人，我指的是那些并非初来乍到、并非刚刚才从当事人本人的出版物或其他同代耀眼（虽不总是真金）明星的著作中学习「前沿」数学的人——这些同事（毕竟他们还不算那么罕见！）很清楚地意识到，在某种层面上，所发生的事。在那些「有点过分」的案例中，他们一定感觉到了那种特殊的不安——我自己在面对比那些案例轻百倍的「微案例」时也曾不止一次感受到。但他们所感受到的是如此巨大，如此难以置信以至于它从未浮出水面——就像它最终在我身上开始浮出水面一样，在某个工作的过程中，通过关于前一个页底注释中提到的那个微案例的两篇文本表达了出来。我确实没有听说过这件事在我们科学或其他任何领域的历史上有过先例。并非「浮出水面」，在有些人那里，「它」恐怕更像是成为典范，或者至少被视为正常——既然一个天才卓著、受所有人钦佩的人，以世上最自然的方式践行着它，在众目睽睽之下，而此事（就我所知）从未引起过任何评论。

在过去的几天里，我忍不住一次次地想到「中国皇帝的长袍」这个童话，故事中那位皇帝，被无耻的骗子和自己的虚荣所蒙蔽，宣布他将身着世间最华美的袍服出现在庄严的游行中——那是所谓的裁缝艺术家们刚刚花重金为他准备的。当他出现在游行中，被盛装华服的宫廷、鞠躬献媚的「艺术家」和皇室全家隆重簇拥时，无论是游行队伍中的人，还是聚集来瞻仰这第七大奇迹的百姓，没有一个人敢相信自己双眼的见证，所有人都尽职尽责地赞叹着、极力夸耀着他身上那件无可超越的华服。直到一个走失在人群中的小孩喊道：「可是皇帝什么都没穿呀！」——于是突然间所有人仿佛异口同声地，跟着那个小孩喊道：「可是皇帝是光着的！」

我感觉自己就像那个相信自己双眼见证的小孩，尽管他所看到的是如此前所未闻、前所未见，被所有人忽视和否认。

[◊ 300]至于这个孩子的声音是否足以让某些人回归他们健全官能的谦卑见证，那就是另一个故事了。童话终归是童话，它告诉了我们一些关于现实的东西——但它不是现实27。

幽冥相遇

注释 78(5月6日) 仅仅五天前，我终于有幸收到了我的朋友 Zoghman 慷慨寄来的这一大包资料Mebkhout，其中尤其是那场「难忘的研讨会」的两份已经看过的文本——这场围绕着一场骗局宏伟的骗局而构建的研讨会！笔记《不义——或回归的意义》，我努力在其中消化这一新「事件」那相当难以置信的含义，写于当天（5月1日的次日5月）收到这些文件时，仍沉浸在发现的激动之中28.

自4月19日我终于了解到那卷「难忘的」《讲稿笔记》（LN 900——见注释51和52）以来，这已经是关于那场伟大埋葬（Enterrement）盛典的第三个重大发现了，这也是在我看来意义最为深远的一个，无论就其为与我关系密切之人的行为所提供的光照而言，还是就其所蕴含的时代「风俗画卷」（tableau de mœurs）意义而言，这时代似乎是独一无二的（不过老实说我对历史知之甚少……）。

第二个发现紧随第一个之后——即关于[◊ 301]被埋葬了十二年的「动机」（motifs）的发掘。在那「难忘的卷册」之后，我又领教了「难忘的研讨班」——这个从未举行过的「研讨班」，被冠以一个虚假的名称（无论是SGA还是编号412\frac{1}{2}），并添加了一篇幽灵论文的「第0状态」，更不用说从（真正的）SGA 5研讨班中拿来的一篇核心报告（它显得是后来之作，实则早了十二年）；这篇报告被「借用」来为这场操作服务，未经任何正当程序。这场精彩的操作，以及它在打击这个可怜的SGA 5研讨班（头、尾、中部均被肢解！）的离奇变迁中所扮演的角色，在4月24日至30日期间的持续思考中逐渐显露出来。（参见于此的五篇笔记《同谋》、《彻底清理》、《异类》、《绿灯》、《颠倒》，编号63’“,67,67’,68,68’。）

这个发现尚未消化完毕，与此同时我正进行着回顾性的思考《我的朋友Pierre》已近尾声，而正当我于4月30日自豪地为这场没完没了的埋葬打上最终且不可更改的句号时（这次是确定无疑的——我终于做到了！），附上那篇名为双重欣快的《尾声（Épilogue）——或一致同意》的「最终笔记」——就在这时我收到了这个带来麻烦的包裹，它让我的句号、尾声、排版和编号全都作废了……快速浏览了一下文件和随附的注释与信件，显然我的句号已经完蛋了，还有我正准备精雕细琢最后细节的那场头等埋葬的漂亮安排——我只好重新套上典礼主持人的挽具……

然而天知道他有足够的时间来告知我情况，我的朋友 Zoghman！这事以潜伏形式持续了大概十年，至少三年处于「急性形式」（forme aiguë）（这还是委婉说法）——自从那个研讨会以来，他一定已经嗅到了风向，无需等到次年在其显赫的前任老板（patron）和保护人的赞助下正式出版「会议文集」。

在他论文答辩（1979年2月）几个月后，他曾到我住了六年的那个村子来给我送一份副本。不巧的是，我就在几天前刚刚离开那里（再也没回去过，除非是路过……），去隐居了。他只见到了我的女儿，她后来把论文转交给了我。我想是在第二年[◊ 302]我们才终于相识，在蒙彼利埃大学，我们聊了一两个小时。那时我对数学不太关注，应该已经不怎么能记起一篇我只是随手翻了几分钟的论文，也记不起它的作者。但这并不妨碍我们的接触是热忱的。我清楚地记得有一种即时的相互好感。我们没怎么谈数学（至少我不记得了），而主要是谈一些或多或少私人化的事情。Zoghman后来告诉我（这事我已经忘了），他还是多少向我解释了一下D\mathcal{D}-模（-Modules）的「哲学」，并且他对这次会面感到满意，为感觉到我通过他了解到新事物时多少「兴奋」了起来，而这些事物却又是（在某种意义上）「意料之中」的。我尤其记得的是他这个人给我的印象——一种顽强而沉稳的力量的印象，一种「闯将」的印象。那一刻，比起我们去年的会面或随后的通信，我更多地感受到一种强烈的气质上的契合——尤其是通过这种「闯将」的一面。但两次会面之间相隔的两三年似乎对他的消耗不小……

我不记得在我们第一次短暂的会面中，Zoghman向我提起过他工作时的孤立，以及那些曾是我学生的「权威人士」缺乏任何鼓励。如果他暗示过，他一定没有坚持说下去。那时候这件事已经丝毫不让我感到惊讶了29。我说不清那是在1981年6月Luminy研讨会之前还是之后30。如果是在之后，他肚子里应该装满了火辣辣的事情——但他真的没有流露出这种迹象。反而更像是一个知道自己想做什么、想要什么的人，平静地走自己的路，不找麻烦，也没人找他麻烦。

[◊ 303]我们那时没有再通信。但我一直记得他，去年年初我写了一封信给他，碰碰运气，问他是否有空闲投身于一项关于”温和拓扑（topologie modérée）“的宏伟基础工作——它（在我看来）只待他这般才干的人来着手。虽然没有一开始就明说，但显然他对此前景并不真正感兴趣——不过他似乎很高兴抓住这次重新见面的机会。我当时太跟不上形势了，没能真正看清状况，我误以为D\mathcal{D}-模（Module）理论已成完成并终结之事，好比凝聚对偶（dualité cohérente）理论（781），而且Mebkhout可能已没有”重大课题”了。直到去年夏天我们见面，我才意识到，在他开创的理论本身之中，“重大课题”并不缺少——而有些甚至从未被着手，仅仅是因为没有被看到！

无论如何，这都是一次现成的第二次会面机会，而这一次不像第一次那样来去匆匆。Zoghman去年夏天在我那里住了大概一周，我想是六月。在数学层面，我们的会面主要是让我尽可能跟上D\mathcal{D}-模的体系（yoga）。我”解冻”得很慢，与昔日的上同调之爱有些疏远，尤其是正埋头写作*《场的追寻》（Poursuite des champs）*，它属于相当不同的领域。Zoghman见我听时有些心不在焉，却并未气馁，他不厌其烦地再次发起攻势，带着感人的耐心。我想我终于豁然开朗了，当我明白了这些著名的D\mathcal{D}-模无非就是我很久以前所称的模的晶体（cristaux de modules），而且正因如此它在奇异空间（espace）上仍然有意义。于是，我看见从遗忘的深处浮现出我晶体-微分（cristallino-différentiel）过去的整个直觉网络，并且我”六种运算（six opérations）“过去中那些有些生锈的反应机制又重新接合上了……

结果Zoghman反而有点跟不上了，或者不如说是事后他决定不把自己的手指伸进这个齿轮之中（正如我的朋友Pierre也不愿伸出他的手指——尽管我在附近时他曾是那么热情如火……）（⇒ 78’）。

注781 [◊ 304]然而，有不少凝聚对偶的”精细”结果，特别是关于”对偶微分模”（modules de différentielles dualisantes）的结构（structure）、它们与”朴素”微分模的关系，以及在平坦非光滑情形下的迹（trace）与留数（résidu）映射——这些是我在1950年代末发展的，据我所知从未发表过。但这并不妨碍，就本质而言，凝聚对偶理论（至少在概形（schéma）框架内），正如平展（étale）对偶理论（及其由Verdier在平展模型上发展的局部紧空间离散上同调（cohomologie）变体），或者线性代数或一般拓扑学（topologie），都表现为本质上完成31的理论，因此其性质属于工具（outil）——完善成熟、随时可用，而非一种**实体（substance）**尚待深入和消化的未知之物。

受害者——或两种沉默

注78’我们的相遇是在友好信任和情谊的氛围中进行的。然而这种氛围并未兑现其承诺。我现在意识到，从那一刻起，我的朋友心中的信任就远非完全。那是在著名的研讨会两年之后，以及「会议文集」在Astérisque32也就是在他正遭受一场可耻的剥夺之时。但他直到四天前才肯告诉我这件事！去年他来的时候，刚从另一个Luminy研讨会回来33（这次干脆以D\mathcal{D}-模（-Modules）为主题），[◊ 305]在那里他又被慷慨邀请，而他也赶紧赶来了。他谈及此事时言语既苦涩又含糊，暗示现在他已经火中取栗，「都是别人做的」。我确实可以想象那情景——尤其是Verdier突然想起他搁置了十到十五年的三角化范畴（catégories triangulées）（以及导出范畴也一样！）的创始者身份，勉强容忍他的「学生」Mebkhout在他的工作中使用它们（81）……

尽管他当时不愿明确解释，Zoghman对Verdier似乎积怨颇深，考虑到他前老板那令人沮丧的态度，这完全可以理解。然而，我其他的上同调（cohomologie）弟子们，Deligne，Berthelot，Illusie，也没有屈尊对他所做的工作表示兴趣或给予任何支持。但几乎可以说，对于Zoghman来说这似乎是理所当然的，他（可以说）从未在前辈那里体验过其他态度。如果说他那时对我从前的弟子中某个人心怀怨恨，那唯一且排他地就是Verdier。

根据Zoghman（他显然不愿细说）的暗示，我明白了「他们」在系统性地贬低他工作的意义——仅此而已。这终究是世上最平常的事。对事物重要性的评价在很大程度上是主观的，人们总是——几乎是普遍地——给自己的、朋友的和盟友的工作赋予更多的功劳和重要性，而贬低他人的，尤其是那些出于某种原因他们想要贬低的人。（而在这件事上的「原因」对我来说并不神秘！）没有什么能让我怀疑到，远远超出这些常见态度之上，这里存在着一场纯粹的欺诈行动，其中根本无关「贬低」，而是彻彻底底地抹去干脆将Mebkhout对于在停滞之处注入活力的那些想法和成果的创始者身份……

然而，如果说世上真有一个人，我的朋友自然会向他倾诉，那就是我——我的著作在他多年坚持不懈的工作中激励着他，尽管时有苦涩，逆着时下的潮流——我亲切地在家中接待他，多少[◊ 306]成了他的学生，尽我所能学习他乐于教我的东西34。

在朋友带着温暖的情谊来访之后，确实立即出现了「反作用力」。我有这种感觉：他决定将过去八、十年间，因我某些前弟子的冷漠与轻蔑的刺激而在他心中积累的不信任和苦涩，转移到我的身上。在接下来的几个月里，我们之间的通信从未离开过苦涩微甜的基调——最终停在一张新年贺卡上，那张贺卡再也没有收到回复。

直到三月底我才重新联系Zoghman，把「过去的重量」和我那时给该节添加的注释（nos45、46、47、50号）。这是为了问他是否同意我像已做的那样，在对我的作品的简短反思（在注「我的孤儿们」中，no46号），尽管所有人都清楚我使用了他给我的信息——而他可能认为这些是保密的。我完全不确定我的朋友是否宁愿（像他之前的其他人一样）「忍气吞声也不愿得罪人」。如果真是这样，我会感到难过。

我觉得等待回信的时间很长，十天后才收到。我原本有几分预料回信仍是半心半意——但[◊ 307]这一次却完全是热情的。他毫无保留地表示同意，甚至很感动，对我用来描述他的措辞。

是在他那封长信（共八页）的第6页，他像是顺带提及，谈到他的定理那”令人印象深刻的”应用数量（“无论在平展（étale）拓扑学框架内还是在超越框架内”）时指出，该定理在文献中仍以”对应（correspondance）deRiemann-Hilbert”35。他讲述的方式几乎如此随意，加之那仿佛故意写得难以辨认的字迹，这件事险些完全被遗漏！但我终究还是想起来了，这确实是件奇怪的事。奇怪到几乎令人难以置信，而且也许我的朋友夸大其词了，显然他对所有人都有怨气，包括对他并无恶意的我在内——这还是比较清楚的。于是我添加了一条注释（该死的Zoghman，我还以为已经完结了呢！），题为”值班的陌生人与上帝的定理”，外加另外两条：“本能与时尚——或弱肉强食法则”（写这条时我也想到了他，还有其他一些人）和”罐装权重与十二年的秘密”。这条关于”值班的陌生人”的注释，我起初写得并不完全确信；Zoghman 在我看来如此纠结、充满矛盾，我怀疑自己仅仅做他的传声筒（对事实本身并不十分了解）是陷入了怎样的境地。我从未想过可能存在什么骗局，更不曾想到Verdier 或Deligne 本人也牵涉其中。从Zoghman 告诉我的那些话中，丝毫看不出这一点……

然而，无论前者还是后者都与这个上帝的定理关系如此密切，其创立者身份若无他们至少的默许，是难以被抹去的。在接下来的日子里，这件事一定在我内心发酵。我记起Deligne 曾对那个被（十年后）由Zoghman 解决的问题做过大量思考——而Verdier 毕竟，他担任了研究导师；虽说他并未为自己的学生费多少心力，反倒对他态度冷淡、令他灰心丧气，他至少应当知道这项工作中的两个主要定理是什么——Zoghman 肯定在那些著名的”约谈”中向Verdier[◊ 308]解释过了，承蒙他”恩准”！于是我在注释中补充了一段评论，关于Mebkhout 的工作与Deligne 此前一次尝试之间的关系，还加了一条脚注关于Verdier 的作用。这同时也是在试探我的朋友Zoghman……

人们或许会以为，这下Zoghman 会抓住机会终于、终于亮出他隐藏了三年的底牌，让清晰的真相大白于天下，让被压迫者的事业取得胜利！但根本没有！十五天的沉默，随后是一封信，其中谈及一切（数学方面的）唯独不谈上帝的定理——或者说，关于该定理他只限于给我他在论文中的确切出处，这是我向他索要的。（我终究还是想知道这个我如此坚定地为之辩护的著名定理究竟是在哪里得到证明的！）

必须在我给那封信的回信中，就我刚刚发现的”对我著作的大规模欺诈”（连同”令人难忘的”卷”LN 900，并”期待着”接下来几天在学院图书馆拜读 SGA 4 时”获得极大的乐趣”）12\frac{1}{2}——才能让在又沉默了十天之后，我的朋友终于爆发了！

这一次他终于”下了重注”——一大包精心挑选的文件，让我这个（几乎不光顾图书馆、甚至连学院办公室里堆积如山的抽印本都不怎么翻的人……）能够对一种”氛围”形成均衡的认识——在这种氛围中，仍有不少人未参与我那漫长而隆重的”葬礼”36。除了主要的”物证”（那次著名讨论会的两篇文章，揭露了令人难以置信的骗局），以及另一篇”难忘的文章”（这次出自Verdier37的手笔），还有 N.Katz 关于”菲尔兹奖得主”Deligne 的讲话，外加Langlands 的一篇报告和Manin 在 1978 年赫尔辛基同届大会上的另一篇报告；然后是”Théorie deHodge I” deDeligne 在 1970 年尼斯大会上的报告（其中第 3 行仍提及”Grothendieck 的猜想性动机（motifs）理论”（78’1），[◊ 309]以及同一位Deligne 在 1974 年温哥华大会上的”代数流形（variété）上同调（cohomologie）中的权重”（其中未提及我的名字（78’2））；再加上与 A.Borel（又一位老朋友，我同时得知他已返回苏黎世……）的通信，以及在《法国科学院报告》（CRAS）上的两篇出自Mebkhout 的短文，其中 1980 年的一篇是其博士论文第V章（前一年答辩通过）的摘要，稍稍更突出了上帝的定理38。此外还有一份文件，嘘！是在保密承诺下传达的，对此我在这里半个字也不会再多说……

两封信伴随着这批内容丰富的寄送件（4月27日和29日的信），一封很长，两封都内容充实。如今他既然终于说出了秘密（这次是真的秘密！），Zoghman 却仍在力劝我极度谨慎，自从我重新联系上他以来他一直如此。若听他的，我绝不会公开我的思考笔记，它们将仅限于他和我之间的绝对秘密——至少是指责任何人的那一部分不能公开，因为”他们”拥有”一切权力”，而且”所有人都站在他们那边”39！然而，我早就提醒过Zoghman，我寄给他的那些涉及他的笔记摘录是要公开的，而且是在最短的时间内。

所有因素似乎终于汇聚在一起，使被压迫者的正义事业取得胜利，但这位”受害者”似乎仍在尽其所能，继续肆意搅乱局面——仿佛出于一种秘密的遗憾（人们可能会这么说），后悔泄露了那根著名的”引线”，而它Zoghman 想必一直是（直到那命中注定的5月2日）唯一的持有者。这种含糊其辞几乎在字里行间都显露无遗（我几乎没有夸张），甚至在我刚刚收到的最后几封信中也是如此——包括最近的那一封，他在其中带着阴郁的胜利神情给我寄来了完整的”可纪念的文章”全文（而当初在寄出”大包裹”时，他也只不过才舍得交出这份主要证据第四十号的前二十页40）

[◊ 310]至于朋友Pierre，我是指Deligne（他既不是Pierre，也并非人人都称他«朋友»……），他几乎快要不为之动情地唱赞歌了——仿佛这一来，他不再是那个Zoghman才是«受害者»，不，而是Deligne，可怜的人，被他身边的人如此恶劣地影响——唯一的坏人，把他包围得如此糟糕的，是Verdier（而且……请看我的眼色……）：我一定是«对Verdier做了什么»让他如此刻薄，仿佛只为了一己害人之乐，更何况我也是他的老板，也是我授予他博士头衔、荣耀及其他——总之是«绝对权力»的手段41 !

显然，如果我的朋友怨恨什么人，那并非真正针对他那位显赫的前老板——他在整整十年里总共只有幸与他进行过三次«面谈»（如果我最近收到他的来信理解得没错的话）——一个令人眩晕地遥远、完全无法触及的人——而是那个他可以随时来见、与之分享食宿的人42…

每当Zoghman每迈出一步来透露某个新要素，让我多了解一点他被剥夺的处境（并可能有助于多少解开它），我感觉那就如同撕裂，一场耗尽精力的内心斗争的结果。有一个他似乎已全身心认同的角色，像抓住最珍贵的财产一样紧握不放——这个受害者[◊ 311]的角色，他只有通过围绕这个角色及其正当化处境维持最绝对的秘密，才能维持它43。而他此刻确实可能被撕裂，比以往任何时候都更怨恨我——就在这个时刻，通过他勉强的配合（可以说是被一种非我莫属的处境逻辑所强行索取，连同这些关于一场无风波的«埋葬»的不合时宜的《反思》……），这个秘密行将终结，与之终结的可能还有他乐于一直维持的那个角色，不知从何时起。

我朋友的这场«埋葬»Zoghman是由两种沉默合力完成的，每一个都对另一个做出回应，又依次引发另一个，在一场无懈可击的循环中，一些人的角色与另一些人的角色紧密贴合——剥夺者与被剥夺者。如果不止一次我惊异地看到«埋葬者»同时更深刻地是其自身的«被埋葬者»，我也同样惊异地看到在另一位朋友身上，一个«被埋葬者»同时又更深刻地是其自身的«埋葬者»——与那些他乐于充当其心甘情愿的受害者的人有着紧密的默契。

而我很清楚，对自身被剥夺负首要责任的，正是我的朋友Zoghman本人，三年来他以沉默默许了那些随意对待他的人对他的羞辱。他本有一切可以抗争的筹码——却选择在三年里甚至忘记了自己有手，未经斗争就做了败者44.

1Note 78’ 我从未亲手拿到过这份简短的初步报告，而只见过刊载在《Publications mathématiques》上的更为详细的《霍奇理论II、III》。因此我一直以为[◊ 312]Deligne不曾认为有必要提及动机（motif）理论在他的霍奇理论思想起源中所起的作用。我心想，如果他曾有心提及我可能在他身边所起的作用45，他大概会通过«霍奇理论II»，这构成了他的博士论文，这本是提及这类事情的最佳时机46。我刚看到他通过一行简短的致谢，一次性完成了提及我的形式义务47提到«Grothendieck的猜想性动机理论», 甚至还附带一个关键参考文献（指向Demazure在讨论班上的exposéBourbaki).

无话可说，再一次！他从未想到要说明他是从别的来源——而非Demazure那篇单薄的文本——学到这一理论（全属猜想性的，别忘了！）的Demazure，这无法呈现一个极为丰富的理论（全属猜想性的！）的任何面貌，这一理论以隐线的方式贯穿Deligne关于权重瑜伽的全部著作——直到那«盗版卷»LN 900的升级，其中最终（十五年后）被发掘出动机伽罗瓦群（这一次甚至没有一行简短的参考文献包含已故者的名字……）。

细想之下，在这简短的引文中，我认出了同样的«停！»风格——一种纯形式的引用，为了了结，附带一个绝非旨在启发读者的参考文献（在此是关涉到一些[◊ 313]与那些恰恰需要被隐藏的思想之间显然而深刻的关系——它们在随后的十二年里一直未被揭示），却意在误导读者48.

249Note 78’ 我无需亲手拿到这个文本（我几周前才得知其存在）就知道我的名字不在其中。Serre的名字也同样不在其中，他是第一个隐约看到一种«权重哲学»的人，而我随后将其详尽展开。

老板

注意！78”(6月3日)Zoghman向我解释说，他是逐渐地——起初还很模糊地——才意识到围绕我的著作所发生的「骗局」的。那份手稿是Verdier在1975年给他的（参见「恰当参考文献」，注o82）对他而言如同天赐，特别是引导他进入了可构造性（constructibilité）概念及其基本性质，以及双对偶定理（théorème de bidualité），他从中汲取灵感，在D\mathcal{D}-模的背景下提出了双对偶定理（或「局部对偶」）。直到多年以后，在阅读SGA 5时（固然是屠杀版，但尚未被屠戮到足以蒙蔽像他这样细心的读者），他才开始意识到某些问题。长期以来，他对他那位遥远的前辈充满钦佩和感激，深信自己大量借鉴的思想都出自后者。甚至有几年，他似乎确实相信所谓的「Verdier对偶理论」确实归功于Verdier，或者至少归功于「Serre-Verdier」，同样地，他称之为「Poincaré-Verdier对偶」的思想也确实归功于Verdier。直到1979年左右（他答辩的那一年），他才开始意识到有什么地方不对劲——但我猜想，他在他那声名显赫的「老板」面前必定没有流露出任何痕迹，在我面前也丝毫不露声色，在我们1980年2月和1983年6月的几次会面中也是如此。直到1981年6月的反常专题讨论会（Colloque Pervers），[◊ 314]当他开始察觉到自己的著作正在被暗中侵吞时，他也开始更清楚地意识到自己迷失在了怎样的一个世界里50！毫无疑问，在他眼中我必定也是这个世界的一部分——在这个世界里，我昔日的学生们（至少其中某些人）高高在上，掠夺身后的学生时，与对付已故的导师一样轻车熟路。唯一的区别，或许就是我已经故去，而他们则比任何人都更加鲜活，并以无可辩驳的方式证明了这一点……

我可以想象，即使在反常专题讨论会之后，Zoghman仍然难以相信他自己健全心智所提供的见证——尽管这见证已相当清楚地告诉他发生了什么。他拿到那篇著名的讨论会文集引言，署名是B.Teissier和他的「老板」（sic）Verdier，直到1984年1月才拿到。在将近三年的时间里拒绝接受这一事实后，冲击因而更为猛烈，据我所知是如此。两个月后我重新联系了他，三月底给他寄去了「我的孤儿们」和「拒绝一份遗产——或矛盾之代价」两份笔记，又过了一个月，他终于决定向我「揭穿真相」，让我了解了「反常专题讨论会的骗局」。

我的朋友们

注释79而今我正准备完成并公开这篇《反思》，它将终结那个Zoghman本人就其所遭受的剥夺——他也从中收取了隐晦的收益——一直保守的秘密。51或许它会不受他欢迎，正如它或许会不受我的朋友Pierre的欢迎——待它完成、文本誊清并打印出来后，我将亲自交到他手中。52我所能[◊ 315]奉献给我的朋友的Zoghman以及我的朋友Pierre的最好之物，也许他们二人都会将其视为最坏之物：视为一场灾难，或一种侮辱。尤其因为我的见证是公开的——正如他们二人的沉默曾是公开的行为，并且牵涉他们二人，正如它们牵涉他们二人。

他们拒绝或接纳我的见证，是他们的选择，对于Jean-Louis亦是如此——我曾将他视为朋友，正如如今Zoghman和Pierre一样。这些选择与我密切相关，但它们不属于我。我毫无意愿去预测它们将会如何。我不久就会知道，我怀着强烈的兴趣、一种悬念——且没有丝毫焦虑——等待着未来数周数月将带来的一切。我唯一的关切和唯一的责任，在于我所奉献的确实是我所能奉献的最好之物——也就是说，在于它是真实的。

或许有人会惊讶，我竟毫不留情地谈论那些我称之为朋友的人，并将这个称呼视为一种修辞手法，甚至一种并不存在的嘲讽语气。当我称Zoghman Mebkhout或PierreDeligne为「朋友」时，是出于我写作此刻内心所怀的同情、情谊和敬重之情。敬重告诉我，我不必「照顾」一位朋友，正如我不必「照顾」自己——和我一样，他值得面对谦卑的真理，和我一样，他不需要被照顾。

如果我不称Jean-LouisVerdier为「朋友」，绝不是因为我认为他不如我的朋友们「好」或「值得」，Zoghman和Pierre，甚至不如我自己，而是因为生活恰好使我们彼此疏远。十五年前曾联结我和他的同情与情谊，随着时间或多或少已经消逝，未能通过任何稍微私人的接触而重获生机。我为重建这种接触所做的几次尝试都没有得到回应，我不知道这些《反思》的阅读是否会让一段已然凝固的关系重获生机。但即便此刻他对我来说不是一位「朋友」，我认为不比他、比我自己或比我的朋友们更留情面，并非对他缺乏尊重，而且我很清楚，若反其道而行之，我既帮不了他，也帮不了任何人。更何况，他和我的朋友Pierre，如果他们当真想要「辩护」（或攻击）而非冒险审视自身，都不乏手段和支持。更何况，在他们有能力[◊ 316]打击或碾压，不止一次，一人与另一人都这样做过，毫不留情，毫无怜悯。

砖头书与上流社会——或指鹿为马……

注80（5月9日）况且我该最终给出这个著名的Riemann-Hilbert-(Deligne（无名定理）——亚当与夏娃——我的天哪——（尤其不是Mebkhout），人人都在大量引用（包括我自己），却似乎还没有人想过要问它究竟是在哪里被证明的。我听我朋友Zoghman 说那「令人难忘的定理」在他的博士论文里，我确实在那篇论文的目录中找到了它，用了（确实平淡无奇且粗鄙不堪）「范畴等价（Une équivalence de catégories）」这一名称，第III，§ 3，第75页。更不幸的是，它甚至无权冠以「定理」之名，而是叫做「命题3.3」（更糟的是，我的名字出现在同一页上，而且还加了着重号）。我甚至承认，由于没有阅读前七十五页来确认，我并不能完全确定是否就是它——Zoghman 向我确认说是的，我相信他53。证明（似乎）是同一篇论文的第V章的内容——该论文于1979年2月15日在巴黎第七大学答辩，评审委员会由以下成员组成：D.Bertrand, R.Godement, G.Houzel, Lê DungTrang, J.-L. Verdier。有兴趣者若尚未收到作者寄送的副本（他把论文寄给了他猜测——不论对错——可能会感兴趣的所有人），只需向他索取，他会很乐意……他当然给我每一位前学生中的上同调学者都寄了一份，却没有一个人有回音。他们想必在此期间换了方向，真不巧……

平心而论，Zoghman 确实没有那种推销自己货色的本事，以清晰且诱人的方式呈现它——这是可以学的东西，而他没有我的前学生们那样的运气，能跟一位精通此道且不吝惜时间的行家学到诀窍。但他也不能抱怨，他有他的「三次面谈」，也许有朝一日某位「权威人士」会想起哪怕确认收到了他那部难以消化的砖头书。况且他自己想必也意识到那部砖头书不好消化（即使对Riemann 也不是对 Hilbert……）：他在《法国科学院报告》（CRAS）上写了一则短讯，毕竟短得多，以引起对其著名定理的关注，我让你猜一千次标题：「论Hilbert-Riemann」！我早知道我朋友 PierreDeligne 在历史方面并不比我强，他只消恢复一下时间顺序，[◊ 317]并促成了那个漂亮的民俗学名称「对应」，事情就成了，Zoghman 真是自找的……这则短讯发表于1980年3月3日，A辑，第415-417页。

Verdier 想必是在他给予其学生（sic）（或是在答辩时）了解到这个定理的，但他想必什么也没有察觉。Deligne 呢，他最终还是有所察觉，我说不清是什么时候，但可以肯定的是他早在1980年10月就知道了，而且Bernstein 和Beilinson 也是，据他自己所说。Mebkhout 还亲自去了莫斯科，向Beilinson 和Bernstein 详细解释他的成果（以防他们读起来有困难）。我不知道是他们还是Deligne 读了那篇论文或随后发表于CRAS的短讯，但必须相信他们最终明白了其中的内容，因为次年 Luminy 的「难忘研讨会」恰好就是关于这个的，真是天大的巧合。

总而言之，根据我的情报部门提供的最新信息，至少有五个人完全了解情况，参与了所谓的「反常研讨会（Colloque Pervers）」的骗局，即（按参与者姓氏字母顺序）A. A.Beilinson, J.Bernstein, P.Deligne,J.-L. Verdier和 Z.Mebkhout——再加上一整群成年人，而且肯定还是才华横溢的数学家，他们显然求之不得地被愚弄，指鹿为马54。这再一次证明，我们这些数学家，从著名的奖章得主到默默无闻的不知名学生，并不比普通人聪明或明智一丝一毫。

VIII 学生——又名老板

信用论文与全险保险

注81 [◊ 319]（5月8日）我觉得是时候更详尽地谈谈”幽灵论文”一事了，我在之前的两个注（注48和注63”’）。一个不够细心或心存偏见的读者可能会说，我同时指责我从前的高足J.-L.Verdier两件矛盾的事——既”埋葬”了导出范畴，又”发表”了它们（在SGA 412\frac{1}{2}）并以此自称其父；正如这同一位读者也会说，我同时指责P.Deligne既”埋葬”了动机，又将其发掘出来（在LN 900中）。因此回顾一下从1960年至今的情况或许并非多余。

大约在1960或1961年，我向Verdier提议了一个可能的博士论文课题：发展同调代数的新基础，其基础是我在前几年为概型语境中一致性对偶形式论的需要而提出并使用的导出范畴形式论。我们当时已经明确，在我向他提议的这个计划中，预期不会有严重的技术困难，而主要是一项概念性的工作——其起点已经具备，但可能需要相当可观的展开，其规模堪比Cartan-Eilenberg的基础著作。Verdier接受了这个提议。他的基础工作进展顺利，于1963年形成了一份关于导出范畴和三角范畴的”零号状态”，由IHES负责油印。这是一份五十页的文本，重印于SGA 4的附录中12\frac{1}{2}（如注63’中所说）55。

[◊ 320]答辩没有在1963年而是在1967年举行，是因为这份五十页的文本——一项尚待完成的基础工作的雏形——不可能构成一篇国家博士论文——这个问题当然根本不曾被提出过。出于同样的原因，在1967年6月14日的博士论文答辩上（面对一个由C.Chevalley、R.Godement和我本人（任主席）组成的评审团），当时根本不可能将这项工作作为一篇论文来呈现。提交给评审团的文本共十七页（+参考文献），其形式是一篇引言，为一部正在撰写中的大型著作。它勾勒了这项工作的基本思想，并将其置于众多应用的背景之中。第10、11页详细描述了这项基础工作所规划的章节和段落。

如果说理学博士学位被授予了J.-L.Verdier，凭借的是一份十七页的文本——勾勒的思想连他本人也说并非出自他手56，那么这显然是一份善意的契约[◊ 321]，在评审团与他之间：他承诺完成并将这份他提交了精彩引言的工作公之于众。候选方并未履行这份契约57：他宣布的文本——一部同调代数基础的文本，依据一个已经证明自身价值的新观点——从未发表。

显然，如果Verdier在1961年至1967年间的工作仅限于撰写1963年那骨架般的”零号状态”，评审团是不会考虑接受这份”信用论文”的。他的工作文稿当时必定已经进展到足以预期在一两年内完成，而且出于实际原因，似乎宜于让Verdier先获得头衔，而不必等待那本该奠定这一头衔的工作完成。

还须补充的是，在1964年至1967年间，Verdier为对偶形式论做出了一些有趣的贡献（811），这些贡献，连同他理应继续推进的基础工作，足以证明给予他的信任是正当的。严格来说，他关于对偶性的全部贡献本身就可以构成一篇合理的博士论文。然而，这样一篇论文完全不符合我通常提议的工作风格——我提议的工作一贯是对我感到必要和紧迫的理论进行系统的、彻底的展开（822）。我不记得Verdier曾想过提出这样一份”以已有成果为基础的论文”的问题，而且我怀疑当时的我会接受，因为这样一篇论文与当初我交给他导出范畴这个漂亮课题时我们之间达成的”契约”完全不符——他的职责是发展一套宏大的基础。

我承认我的全部责任，作为J.-L.Verdier的论文导师兼评审团主席，我轻率地（与C.Chevalley和R.Godement信任我所提供的担保一起）授予了他博士学位，而这项工作尚未完成58。

[◊ 322]若我今日因自身轻率而尝到某些果实，我并无权利抱怨。但这并不妨碍我公开做出此陈述，也并不妨碍我昔日学生J.-L.Verdier的行为仅由其一人负责，与他人无关。

未能履行与我和曾信任他的评审团所订立的契约，这是一种埋葬我引入的导出范畴（catégories dérivées）观点的方式，而他本应负责通过一项重要工作来奠定其基础。这项工作或许已经完成，但从未向使用者提供过。这便是一种在他曾帮助发展的一系列想法上« 打叉 »的方式。

Mebkhout的工作对导出范畴概念的重新接续未能获得来自Verdier（也未获得我其他任何充当上同调（cohomologique）« 权威 »的学生的任何鼓励）。在我看来，对导出范畴事实上的抵制直到1981年左右都是完全的59，当这些概念在吕米尼（Luminy）« 难忘的研讨会 »中强势回归时（参见注75），在需求的突然推动之下。

然而Verdier« 论文 »的第0状态早在四年前，即1977年，就已作为SGA 4卷的附录出现12\frac{1}{2}（参见注释no63”’）——即在其论文答辩十年之后，且（据我所知）Mebkhout是唯一在其工作中使用导出范畴的人，逆此前七年潮流而行。如无谬误，他仍然是唯一的一个，直到热潮围绕著名的«Riemann-Hilbert对应 »于前述研讨会，其中Deligne又名 Riemann-Hilbert成为这一« 对应 »之父（原文如此），而Verdier（其天赐的第0状态被其慷慨友人大量引用）成为导出范畴和2000风格同调代数（algèbre homologique）之父，却未提我微不足道之人，更不用说Mebkhout60。

[◊ 323]鉴于这些事件，我相信我理解了这份第0状态出人意料发表的原因——它（正如SGA 4引言中同一友人12\frac{1}{2}所言）« 已变得无处可寻 »，且当时无人关心去« 寻找 »它，除了至多（或许）Zoghman Mebkhout61。于是便只有这个不幸之人，在他的角落里，不顾一切地，固执地使用着这些早已过时的概念，谁也说不准他究竟想达到什么目的——最终固执到如此地步，以至于一个疑问开始浮现：这个家伙会不会有朝一日拿出一些有分量的东西来，谁知道呢……毕竟，他所不慎引为灵感来源之一的那个人（除了大师的作品之外），他当年确实用那些东西证明或发现过一些东西，一些即使人们忘记了它们的作者也无法假装完全遗忘的东西——而大师本人，Jean-LouisVerdier本人，不也正是凭借那个«Lefschetz-Verdier »公式踏上成名的道路的吗？没有所有这些本应被扔进垃圾堆的概念，他恐怕连写出这个公式都困难重重，更遑论证明了……

而我有影响力的昔日学生（自从他摆脱了某个恼人的形式手续以来已近十年……）曾押注反对导出范畴，并继续押注反对直到X时刻（即那次著名的研讨会），他一定认为谨慎起见（谁知道呢……）要抢先应对可能发生的事件，总而言之，一种« 全险保障 »，通过发表（当然不是那个本应有朝一日构成论文的重要工作，而是）一份« 见证文本 »，一种« 以防万一…… »的证据；一份能证明他对一个弃儿的父权资格的文件——这个他曾执意厌恶并在等待事态发展的同时继续否认的弃儿62。

注记 811 [◊ 324]所讨论的贡献是：1) 局部紧空间（espaces localement compacts）语境中对偶（dualité）形式体系的基础，以及 2) 伽罗瓦模（modules galoisiens）的对偶形式体系（与 J.Tate)；3)不动点公式所谓的Lefschetz–Verdier；4) 局部紧空间中的对偶

贡献 2) 和 3) 相对于已知内容构成了一种「意外」。对我来说最重要的贡献是 3)。其证明易于从对偶形式体系得出（无论对于「离散（discrets）」系数还是「连续（continus）」系数），但这并不妨碍它成为我们在上同调（cohomologie）中所拥有的「万能」公式库中的一个重要成分。这一公式的存在是由Verdier 发现的，对我来说是一个（令人愉快的！）惊喜63。

局部紧空间语境下的对偶形式体系本质上是对我在概型（schémas）的平展上同调（cohomologie étale）语境下所做工作的「势在必行的」改编（并且没有那种一切尚待完成的情境所固有的困难）。然而它带来一个有趣的新想法，即函子（foncteur）的直接构造f!（无需事先光滑化（lissification）f）作为 R 的右伴随（adjoint à droite）f!，并附带一个存在性定理（théorème d’existence）。这一方法后被Deligne 在平展上同调中采用，使他得以定义f!在此框架内，无需光滑化假设。

我认为这些评论清楚地表明，1967 年Verdier 已经展现了他从事原创性数学工作的能力，这当然是他获得认可的决定性因素。

注记 812作为另一个例子，我指出局部紧空间语境下对偶形式体系的详细发展——秉承六算子（six opérations）与导出范畴（catégories dérivées）的「万能」形式主义精神——其阐述由Verdier 在Bourbaki 研讨班上的报告构成了雏形。即便仅仅在**流形（variétés）**拓扑（topologiques）流形语境下，据我所知，仍然不存在令人满意的参考文献来处理 Poincaré 对偶形式体系。

[◊ 325](6月5日) 还有另外两个方向，我遗憾地注意到Verdier 认为不值得把他已经以足够强有力的方式开启、足以赢得荣誉的工作进行到底（我指的是，在离散系数和局部紧拓扑空间的情境下启动对偶形式主义），尽管那些基本思想并非源自于他，而他也无心（正如对导出范畴一样）充当一项任务的仆人并为使用者提供一个完整的形式主义（正如我在 SGA 4、SGA 5、SGA 7 三个讨论班中所努力做的那样）。

我所预见的、并建议他发展的对偶纲领，是在一般拓扑空间（不一定是局部紧的）的框架内，以及这些空间之间那些”分离的”且局部”可光滑化”的映射——即局部上，源空间嵌入到一个Y×ℝn，其中Y是目标空间）。这是与任意概形的平展上同调框架的类比所显然表明的任意。Verdier 在局部紧空间的框架中看到了映射的局部可光滑化假设是不必要的（这是一个惊喜）。但这并不改变局部紧空间的情境（因此排除了非局部紧的”参数空间”）显然捉襟见肘的事实。一个更令人满意的情境应该同时涵盖Verdier 所选择的和我所预见的，即拓扑空间（乃至拓扑斯？）是（或多或少？）任意的，而映射f : X→ Y受到以下限制：1) 分离的，2) “局部可紧化”的，即 X局部嵌入到一个Y×K，K紧。

在此情境中，“被允许的”映射的纤维将是任意局部紧空间。更进一步的一步是承认X和Y，不再是拓扑空间，而是”拓扑多重性”（即”局部如同拓扑空间”的拓扑斯），甚至是任意拓扑斯，通过适当（有待明确）的方式限制映射，使得纤维成为局部紧多重性，必要时满足附加条件（也许接近于G-流形的Satake），例如（并且本着最严格的严谨精神！）局部具有形式 (X, G)，其中X是一个带有算子群的紧空间有限G。据我所知，即使是[◊ 326] “普通的”庞加莱对偶在紧光滑拓扑多重性的情形下也没有得到发展（光滑的：即局部如同拓扑流形）。一个有限群的分类空间的情形似乎表明，我们只能期望对偶定理（全局绝对对偶）在模挠的意义下成立，更精确地说，通过使用一个系数环，它必须是ℚ-代数。有了这个限制，即使庞加莱对偶（“六种运算”风格）在此情境下直接成立，我也不会感到惊讶。从未有人研究过它（除了那些执迷不悟的微分几何学家，假装在研究叶状结构的”叶空间”的上同调），这并不奇怪，鉴于对多重性这个概念本身的全面抵制，它是由我的学生上同调学家Deligne 和Verdier 为首所发起的。

总而言之，缺乏一种如下类型的基础性反思：在任意拓扑斯及其上的”离散”系数层的情境中，描述拓扑斯态射的”真性”、“光滑性”、“局部真性”、“分离性”等概念，从而提炼出一个拓扑斯的”容许态射”概念f : X→Y，使得两个运算Rf!和Lf!有意义（互为伴随），从而获得六种运算形式主义的通常性质。这里拓扑斯被视为非赋环的，或者也许视为带环的（必要时假定这些环是常值的或局部常值的），并假定（至少在一开始）赋环拓扑斯态射f :(X,A\mathcal{A})→(Y,ℬ) 满足f−1(ℬ)→ A\mathcal{A} 是一个同构（813）。前述反思表明，当将系数环限制在零特征时（即那些是ℚ-代数的环），我们可以对”容许态射”的概念采取远为宽泛的态度，从而包含例如多重性（拓扑的或概形的）这样的”纤维”，而不仅仅是普通的”空间”（拓扑的或概形的）。

在这方面的一个初步开端（除我本人、随后Verdier 以相同模式处理的情况外）归功于Tate 和Verdier，在离散群或有限群的情境中。对这个开端的记忆鼓励我去年在作为同伦模型的小范畴（推广了离散群）的情境中继续这一方向的思考。虽然没有走得很远，但这番思考已足以使我确信，在小范畴的范畴 (Cat) 的情境中，应该存在一个完整的六种运算形式主义。（参见[◊ 327] 《追寻之域》，第VII章，§136, 137。）在 (Cat) 中，乃至在 Pro(Cat) 中发展这样一套理论，正如在拓扑或概形空间及多重性情境中的同类理论一样，对我而言其主要意义在于迈向更好地理解一般拓扑斯情境中的”离散对偶”。

Illusie去年让我得知，他一直在与半单纯空间（或概型）情形下的对偶困惑作斗争。这在我看来似乎总是同一回事——要设法在某个具体情形中揭示出六运算形式体系的存在，并理解它。但似乎仅仅是进行基础反思的前景，就足以让我过去的所有学生——至少是我的同调论学者学生。如果说我曾为他们费尽心力，那是因为我深信他们不会（从概念工作角度）恰恰止步于曾与我同行之处，并且每当新的情况表明他们和同伴们与我共同完成的工作不够用时，就只会束手无策。人们所做的概念工作始终长久来看是不够的，而数学的进步恰恰在于重新审视并加以超越，别无他途。在1955年至1970年间，每一年我都再次发现自己在过去几年所做的工作不足以满足需求，于是便立刻重新投入工作——至少当没有其他人（例如MikeArtin以其意义上的”代数簇”观点已经着手时。但似乎我的学生们也埋葬了我为他们树立的榜样，连同我本人和我的著作。

Note 813我回想起来，在（比方说）平展上同调的六函子形式体系中，用作系数的环层为局部常值这一假设是不必要的——本质的假设在于它们是与剩余特征互素的挠层（faisceaux de torsion），并且 f−1 (ℬ) → A\mathcal{A}是一个同构。当放弃后一个假设时，就必须进入一种理论（据我所知，从未被明确阐述过），它”混合”了”离散空间”对偶和”凝聚”对偶（涉及系数环及其同态）。因此，人们考虑在概型（或更一般的拓扑斯）上X, *Y,*环系数A\mathcal{A}, ℬ用 X’Y’ 上的相对概型（未必是仿射的）, X, *Y,*以及赋环拓扑斯的态射[◊ 328] (X, A\mathcal{A}) → (Y, ℬ）用如下类型的交换图

X′⟶Xn↓↓nY′⟶Y\begin{array}{ccc} X' & \longrightarrow & X \\n\downarrow & & \downarrow \\nY' & \longrightarrow & Y \end{array}

在此类背景下采用”六运算”形式体系。当X, *Y,*等是点拓扑斯（topos ponctuel）时，应当能够重新得到通常的凝聚对偶。

好的参考文献

注82(5月8日) 这是J.-L.的文章Verdier的《与闭链相关联的同调类》（Classe d’homologie associée à un cycle），发表于*《Astérisque》第号36卷(SMF)，1976年，第101-151页。从某种意义上说，这篇相当令人难以置信的文章（尽管按理说再没什么能让我惊讶了……）与Deligne等人的「反常论文」堪称一对。Deligne等人*除了一点保留外，它几乎就是照抄用五十页篇幅，在一个略微不同的语境中，照搬了我十年前或十五年前详尽阐述过的概念、构造和推理——术语、记号，一切完全相同！我简直以为自己回到了1965/66年举行的SGA 5讨论班的一次会议上，当时这些东西被详细讲解过（显然让参与者感到厌倦64）一整年。至少在那次讨论班之后，所有这些东西都已成为对于稍有涉猎的人来说属于「众所周知」的领域65。Verdier当然也参加了，就像Deligne（那个唯一从未掉队的人，尽管那是他头一回踏进我的[◊ 329]讨论班66——可真不容易……）。诚然，啧啧，到1976年，这个著名讨论班的「整理」（原文如此）由「志愿者」（原文如此）负责的工作拖延已久，而那些志愿者早已厌烦至极——我现在看到，其中一位「志愿者」还是在1977年SGA 5出版之前，就以自己的方式承担了「整理」工作！看来这个不幸讨论班的坎坷遭遇，并非只对Deligne一个人有利，他以自己的方式从溃败局面中渔利。但在那个时候，Deligne仍然小心翼翼，一边将SGA 5中的一个关键报告拆解出来并入他的SGA 4，12\frac{1}{2}当作理所当然之事，却还是在他的整理稿中（关于与闭链相关联的上同调类）提到「根据Grothendieck的一个报告」。（诚然，他从中获得了补偿，可以借此将我描述为他的「合作者」！——参见注「颠倒」，第号68’。）

回到与闭链相关联的同调（homologie）（别混淆！）类（根据标题，这是Verdier文章的主题），我曾以极其详尽的方式，在多个报告中，在口头讨论班上，面对一群求饶的听众（除了始终只有Deligne总是精神抖擞……）。那是那一年我在平展（étale）框架下发展对偶形式体系的无数「长篇练习」之一，我感到需要完全掌握所有在我看来必须透彻理解的点。其意义在于得到一个在环境概形（schéma）不必正则的情况下仍然有效的形式体系——过渡到**上同调（cohomologie）**类在正则情形下的情形，以及与使用带支集上同调的旧构造之间的联系并立即得到与杯积的兼容性，这些都是直接的。我还注意到[◊ 330]讨论班的这一部分属于未被纳入出版版本的内容之一——很可能Illusie（整理出一个可出版版本（哼）的全部准备工作最终落到了他头上）一定很高兴由Verdier来承担这项工作，在加以必要的变通后（在这里就是：什么也没改！）。

套用如今已成惯例的说法，「无需赘言」，我的名字既未出现在正文中，也未出现在参考文献里（除了通过那永无尽头的SGA 4引用而间接提及，总得想办法替换掉吧……）。对于缩略语SGA 5所对应的「代数几何讨论班」，作者理应有所耳闻，却只字未提——尽管我分明记得曾见过他，忙着老老实实地做笔记（和所有人一样，除了Deligne当然除外……）。

不过我刚才说我的名字在正文中缺席，其实是稍微夸张了一点——它出现了一次，神秘而简洁，在第38页第3.5节「基本上同调类，交集」（终于说到问题的关键了！）。这一引用是一句晦涩难懂的话，我承认我无法理解其含义：「系统使用权重复形（???又是这些该死的权重！）的想法归功于Grothendieck，并由Deligne整理成形」——除此之外，对这些神秘的「权重复形」没有任何进一步说明，据说这是我的想法，而我却是头一回在此听说。整篇文章的后续部分再也没有提到它（在前三十七页中也从未提及）。能懂的就懂吧！至于该节的内容，它无非是照搬了十年前举行的SGA 5讨论班（而那时这一构造已经存在了五六年，参见注第号68’），他却不肯引用该讨论班。对Deligne（据说他「完善」了一个在我的朋友还在上中学时就已经完善的想法！）是一朵「奇葩」，作者之所以有此想法，大概是因为那位年轻的新人Deligne确实承担了我的关于这个主题的报告的整理工作（并且拖延了十一年没有做，为了众所周知的好处，见已引用之注）。这朵「奇葩」是这对形影不离的朋友之间互相投桃报李的一部分。

然而，在那篇关于解析且固有的态射（morphisme）的高阶直像（images directes supérieures）下解析可构的离散层（faisceau）的稳定性的文章中，有一个（无疑）既新又有趣的结果（定理3.3.1，第9页）。Verdier 在大约十五年前从我口中听说了全方位可构性的概念，以及[◊ 331]稳定性猜想，是我在1950年代末向自己提出（并向任何愿意听的人谈起）的，那时我还没有荣幸结识他。读这篇文章时，不知情的读者（但这样的读者已开始变得罕见了……恐怕我又在重复自己了）不会想到，作者并非在把自己刚刚发现的概念和陈述趁热端出来。他不必声明那是他自己的——因为这显而易见。这就是那著名的”大拇指”风格，显然已成流派。

除了这个细节（在我看来，它符合这行的新准则），围绕这个有趣的结果，大概还是有十来页（全书五十页）展示了作者的个人工作。平心而论，最让我感到震惊的是Verdier 以及Deligne，那就是他完全有能力做出优美的数学。即使在这篇令人沮丧的文章中，所引用的定理也透露出一点迹象。但通过保持（像他的朋友一样）一种掘墓人的心态，他运作着，和他那位声名显赫的朋友一样，仅依靠他能力中微不足道的一部分。一个（让我震惊的）迹象，一种表面上的平庸，出现在一位数学家身上，他曾多次证明过自己的机智和敏锐，而那迹象就是完全缺乏察觉其”学生”工作重要性的本能（sic）Mebkhout，他喜欢居高临下地对待他，而自己却从未能创作出具有可比深度和原创性的作品67。这并非说他或许没有Mebkhout 或我那样的能力。但他从未给自己留下成就伟业的机会，也就是说，让激情放开缰绳——而不是把数学和天赋当作工具来炫耀、统治或碾压。直到现在，他一直满足于照搬那些已经成熟现成的丰硕概念和观点。他似乎确实已经完全丧失了何为数学创造的意识。

然而我似乎记得，当他与我一起工作时，这种意识仍然存在。没有任何外在因素能阻止这种意识[◊ 332]重新浮现。就像他的朋友一样，在他身上我常感到同样一种微妙而鲜活之事的黯然失色，被同一种自负所遮蔽。

这篇令人难以置信的五十页文章，发表在一家高档期刊上，为我重新审视”注释——或新伦理”事件（第33节）投下了新的光芒，在那起事件中，一篇提交给法国科学院报告（CRAS）的数页注释，总结了一项扎实且原创的工作，涉及一个重要主题（以我愚见），是两年工作的成果，来自一位极具天赋的年轻数学家，却被两位权威视为”毫无价值”68。这两位权威之一正是 PierreDeligne——正是同一位Deligne，他并未不屑于抄写in toto并亲手抄写了我一位学生卑微的博士论文（他还不忘引用了它）。（这份复制品，因加上了一个声名显赫的签名而身价倍增，构成了同样声名显赫的丛书系列”难忘的”LN 900卷中篇幅最大的文章！参见注释52、67末尾。）

显然，这幅”风俗画卷”日复一日地充实起来，而我却无需走出隐居去街头奔波、混迹于”上流社会”。只需断断续续花上几个小时翻阅几篇精心挑选的”大作”，就足以让我醒悟了……

玩笑或「权复合形」

注 83（5月8-9日）我又想起了那篇难忘的文章中「拇指引文」里提到的这个「权复合形」，文章作者是Verdier69——一个看起来滑稽荒唐、纯粹无意义的引文。就在我眼前看到这个古怪引文的那一刻，一个联想浮现了，一直在我脑海里徘徊不去。这绝非第一次，远非第一次，我面对某种表面荒唐、似乎挑战一切合理解释的东西——而意义却明明是清晰明确的，并且被清楚地感知到，只是在一个不同于常规逻辑的层面上。常规逻辑几乎是我一生在意识层面运作的唯一依据——结果我不断被那些「古怪」的、不可理解的、因其不可化约的荒诞而令人焦虑的事件所压倒！从我开始以更宽广的能力范围生活的那一刻起（不到十年前），我的生活发生了很大变化。我清楚地明白了，任何荒诞不经之事，任何所谓的「无意义」，都有其意义——而仅仅知道[◊ 333]这一点，并因此对无意义背后的意义感到好奇，常常就为我开启了它那显而易见的意义。

在这个「权复合形」的无意义中，我感到一种虚张声势与使用「反常层」70——其乐趣在于向自己证明自己可以容许自己，在一份高水准期刊上，在一篇自诩为标准参考文献的文章中71，公然说出一句荒诞不经之言，而没有人会想到哪怕只提出一个疑问！而且我坚信，这篇论文发表八年来，这虚张声势中所包含的赌注一直赌赢了直到今天：我今天成了第一个向作者提出这个天真问题的人。

当然，出现荒诞不经之言的时刻（或地点）——恰巧是唯一一次提及我本人的那个确切时刻——绝非偶然；其形式也绝非偶然：这里借用一个与整篇文章主题完全无关的概念类型「权」，即兴创造出一个从未存在过的复合概念「权复合形」！我当时立即产生的联想，或许能为此荒诞不经之言——在虚张声势和炫耀权力之外——提供更精确含义的钥匙。这是与一个同样晦涩、同样纯粹是形式上的暗示（但尚未带上荒诞不经这额外的一层！）的联想，出现在Deligne 在注 49 开头所引用的文章72中。那正是一个隐晦的暗示，在一篇严格来说没有出现「权」这个词、除了Serre 或我之外没有人能看出来的文章中，暗示那些曾引导我猜想（文中明确说明是以一种不那么一般的形式）该工作主要结果的「权方面的考虑」。正如我在更详细的注「排斥」（no63）中所解释的，在这纯粹形式上的暗示背后，透露出一种意图，即隐藏我的角色以及那些（关于「权」及其与一般上同调（cohomologie）的关系，特别是与Hodge 的关系）的思想，他打算独占其全部好处。这种意图想必更容易被Verdier 本人所察觉，因为他自己[◊ 334]也「运作」在同一个音域上（至少在他与我的关系上是如此，在我看来这恰恰是这两位形影不离的朋友之间的主要粘合剂）。在这两种情况下，诚实的做法本应是在文章开头明确指出主要思想的来源，或促使文章写作的那个或那些问题的来源。

说到这里，以下便是我在这表面无意义的象征性语言背后感受到的含义：我可以丝毫不觉得难为情地，在所有人面前展示一个无意义的陈述，同时通过这无意义来表达我的真实意图，通过这个对「权复合形」的荒谬暗示-引文：那就是我同样不打算透露任何关于 Gr. 在这项工作中的角色的信息，就像Deligne 无意透露一样，他用他对「权方面的考虑」的虚假暗示——那个暗示对当时的读者而言，并不比我现在为了行文需要和自娱自乐而刚刚凭空捏造的「权复合形」的暗示更有意义！

我刚把昨天写的这篇注誊清——不久前被打断，是接到了Verdier 的电话，我白天曾试图联系他，正是为了问他这个问题。我向他解释说，我在晚年尝试学一点上同调，这东西我从来就没弄懂过，他很清楚这一点，而且Mebkhout 为了教我而把他的一篇旧文章给了我，Verdier 的，这篇工作曾长期是他的案头文本。我现在正勉为其难地读它，但里面有一处晦涩的引文——他引用我当然是好意——但我完全不理解他想说的是什么。

他非常高兴，甚至有点受宠若惊，是的，带着一种宽厚的和蔼神情下藏不住的大大笑容，因为我到了这把年纪竟然还在用他这份旧稿纸学上同调（cohomologie）。我没料到他会有一丝反驳的念头，当我说他很清楚我对上同调从来一窍不通时——显然这是早就说定了的事……至于那些著名的”权重复形（complexes poids）“，我在电话那头再次感到他大大的笑容（别人会说我在胡编！），很高兴终于有人（而且收信人本人还）注意到了某个被忽视这么久的东西。但同时也有那么一丝尴尬——不再是（我认为）没能在[◊ 335]某种快感面前掩饰自己（就像人们听到有点色情的故事时的那种快感……），而是不知道该怎么回答。像我这样早就跟不上的人，他实在没必要在这方面感到难为情！他毫不犹豫地转到了Deligne（我没有提过这个名字）在他的一篇文章中做过一个证明，而且还在其中引用了我，他记不太清在哪里了——反正那里涉及权重，是的，他有点忘了，当然——但确实不是算术权重，我在那点上完全正确，那不一样……

语气愉快而容不得辩解，他让人感觉到他已经给了我不少时间——带着一点匆忙的神情，却又不失那种温和、略带保护性的口吻。我向他道歉这样打扰他，问了一个有点愚蠢的问题，并感谢他的解释。我的歉意是真诚的，我的感谢也是真诚的——他确实教会了我想知道的一切73.

IX 我的学生们

沉默

Note 84 [◊ 337](5月9日) 昨天我可能有点尖锐，在写到《好参考》（La bonne référence）中（见注释82）所作者兼前学生毫无羞愧地抄袭的内容「属于那些多少算是内行的人所”熟知”的范畴」。我试图为自己厘清，这些所谓的「多少算是内行的人」究竟是谁——得出的结论是不多不少，正是这个研讨班的亲爱的听众们1965/66年的SGA 5——顺便说，正如我此前有机会提到的，这些听众往往或多或少跟不上——而从该研讨班稿件在那些我不愿去察觉其缺乏信念的志愿者手中经历的波折来判断，往往是「多」于「少」（当然始终排除同一位Deligne，当然）。事实上，只要SGA 5尚未编写和出版，就不可能还有别的「内行」——因为出版正是为了让人们通过阅读来「成为内行」！实际上（机缘巧合），这个研讨班是在我最亲爱的两位学生兼战友的两篇「值得纪念的出版物」之后才出版的，即Verdier 1976年的文章（他在其中隻字未提他所阐述的思想的来源，这些思想由他首次发表），另一方面Deligne 与 SGA 412\frac{1}{2}对此已大量讨论过74。此后，热忱地邀请Illusie 来处理剩余部分的出版！

我不太记得这个研讨班的具体参与者了——比如Artin 是否在场。我相信无论如何，我第一时期的学生们或多或少应该都在——不过仍然要排除Sinh 和Saavedra（那时我尚未遇到他们），以及可能还有Hakim。此外还有Bucur（已故）Houzel，Ferrand——我不把Serre 算在内——他从未喜欢过繁琐的上同调（cohomologique）大阵仗，只是偶尔小心翼翼地露个面。然而，除了Deligne 之外，恐怕没有人很清楚这一切会通向何方，但我觉得总还是有十到十二名听众（不太积极参与）至少跟得足够紧，可以被视为「内行」。

[◊ 338]从昨天起一直在我脑中萦绕的想法是，在所有这些”圈内人”当中，那些因而显得具备上同调能力的人（即便不全是像Illusie 和Berthelot 这样的人物，凭他们那确实分量十足的”上同调”博士论文），即便撇开Verdier 和Deligne 不谈——无论如何，应该还有不少人手里有过Verdier 的这篇文章！某种语气让Verdier 让我确信，从未有人向他暗示过可能有什么地方不对劲。我也很清楚，从未有人引起过我对这件事的关注——我是在 5 月 2 日，距今恰好一周前，才得知这篇文章的存在，多亏了Mebkhout，他自然早就知道这桩骗局好几年了。

这给十天前那句兴高采烈的”一致同意”（旨在埋葬区区在下）赋予了一个非常具体的含义（note 74）！这份”一致同意”囊括了我的”1970 年前”学生中的大多数（若非全部），也就是说大多是今天在数学界定调子的人；而且它也包括（或曾包括）我的朋友 Zoghman本人，被上流社会当作灰姑娘对待，不顾一切地固守着某种”对我事业的忠诚”（用他自己的表达75），他竟有胆量和固执有时以之为标榜，后果众所周知。真没法理解！

总之，我错了，不该暗示某家高档期刊发表了一篇某种空洞文章，仅止于抄录”众所周知”的东西。作者在众多目击者眼皮底下（即便不是所有人，但）抄录的东西既未发表，也非”众所周知”（除了一个循环在 coherent 框架中的上同调（cohomologie）类，我早在多年前就发表过了）；而且这些还是额外的想法，我若予以低估未免有失风度，毕竟我曾花了一年时间在一个研讨班上，在众多听众面前展开这些想法及其他想法，并不觉得是在浪费时间。或许Verdier 的文章是一篇*digest*有用且编写良好的摘要，涵盖我所发展的一小部分思想和技术，目的正是让它们进入”众所周知”的领域，成为那些使用上同调（或同调（homologie））来研究或多或少可称为”流形（variété）“的对象的人的日常工具。[◊ 339]因此从这个角度看，Verdier 做了该做的有用之事76，我最终也没理由不满意。然而，从我对我的前学生和至今仍是朋友的那位在电话中所感受到的，以及通过我从他身上感受到的许多其他事情（其中最”重大”，或至少最”引人注目”的，是 Pervers 专题讨论会的那场骗局）——我强烈感到有些地方不对劲。那个令人难忘的专题讨论会在数学上无疑是很出色的，在很多方面都是。那种”不对劲”处于完全不同的层面。我可以用语言去尝试界定，但我强烈感到那没有太大意义。那些感觉不到这个专题讨论会以及许多其他无疑同样没有骗局或其他花招的专题讨论会中有什么不对劲的人——无论我怎样尝试去”界定”，即使我完全满意地做到了，他们也不会多感觉到一丝一毫……

对我来说悬而未决的问题是，这个在今天无疑相对寻常的事件所代表的这个”征象”（一个作者将他人的未发表思想据为己有）——这个征象是否是普遍道德堕落的征象，因此是否只是一个典型的今日数学界”时代精神”的征象，还是它更应该给我带来关于我个人——关于我曾经是而现在又回望我的那个人——的启示，通过那些曾是我的学生的人对我的态度。

这两种可能的含义绝不互相排斥。我的前学生们与我的关系本不可能找到这样一条表达的途径，若非某种道德风气怂恿他们这样做。而且在这个”征象”之前，我还见过许多其他征象，在”风俗画卷”的层面上在我看来还要更有说服力。这个征象之所以打动我，是它有别于所有其他征象的那个特点：它似乎同时牵连了我过去的大多数学生。

这样的情况不可能是偶然的。仅仅将其归咎于”道德堕落”（尽管确实存在）将是一种回避其更个人含义的方式，它牵涉到我，正如它牵涉到我的每一位前学生。如果我说”每一位”，这似乎超出了[◊ 340]这个征象的实际范围，我是经过斟酌才这样说的。因为这个征象适时地提醒我，很难想象我的哪一位过去的学生从未至少遭遇过这类情况。多年来我感受到一阵关于我本人的某种”风”，在我已经离开的数学界中吹拂（我现在清楚地看到了这风的来源和原因，至少我是这么觉得）。他们中的任何一个人不可能从未感受到那阵风的吹拂，无论是在”事件”如那篇掘墓文章发表之际，还是通过其他任何场合。无论当事人愿意与否，这样的遭遇必然向他提出（或重新提出）他与我的关系问题，而我曾经教给他他的手艺。而我所注意到的征象，超出刚刚引向我的那个征象之外，是我从未从任何曾是我学生的人那里得到关于此事的回响77。这是一个”巧合”，其含义我仍未领悟——但它不可能没有含义（841）。

天开始破晓——我感觉该停下来了。我不确定在*《收获与播种》*中继续深究这一惊人巧合的意义是否是合适的时机和场合。这份收获或许要留待他日，只要我今夜的思考能在某位曾是我学生的人那里激起回响（⇒ 85）。

注841（5月16日）我从前学生们之间那种完美的默契，那种对我完全的沉默，与其他迹象如出一辙。其一是同样以完全沉默迎接的《异乡人》（Les étrangers）一章（见第24节）——对此我已在注 n°23V中有所探讨。另一方面，除了Berthelot 给我寄来了大量抽印本，以及Deligne 给我寄来了四份（在约五十种出版物中），还有Illusie 的一份之外，我没有收到任何一位从前学生寄来的抽印本。这充分说明他们与我的关系中那种矛盾心理。寄送抽印本——即便我是否会[◊ 341]在自己的研究中用到它们78——本应是让那个教会他们手艺的人知道，这门手艺在他们手中并未停滞，依然鲜活而活跃，最显而易见的方式。但同样真实的是，对其中至少某些人而言，他们的出版物同样见证了他们对一场默契的埋葬（enterrement）的参与——而这件事最好别让那位提前的逝者知晓，手艺不手艺的……相反，我收到了好几位从事晶体上同调（cohomologie cristalline）研究79的作者寄来的大量抽印本，甚至还有不少我几乎仅知其名的分析学同行寄来的抽印本，当他们的工作重拾（有时甚至解决）了我在三十多年前提出的问题时——尽管显然我不会再回到我已离开的课题，从”功利”的角度看，这些抽印本纯属浪费。但这些同行一定感受到了某些我的学生们不愿去感受的东西。——当然，在1960年代，我的学生是我所有出版物——无论是我的文章还是 EGA 和 SGA 这些大型系列——的首批受惠者，他们每个人（除了Sinh 女士和可能Saavedra）都应该拥有我在1955年至1970年间发表的全部著作（我猜约有一万页）。

确实，我的前学生们并不孤单：我从前在数学”大世界”中的密友——包括那些其工作与我的工作紧密相连的人，或那些在1960年代为我工作计划的发展发挥了作用的人——在我离开共同圈子后，没有一个人认为有必要继续给我寄送抽印本80。最近还有这样的事：在十五或二十位旧友中[◊ 342]（包括几位学生）我给他们寄去了*《一个计划的纲要》(Esquisse d’un programme)*（这封信除了其他内容外，向他们宣告我将恢复高强度的研究活动——在中断十四年之后，且研究主题与昔日我们共同从事的课题紧密相连），只有两位（Malgrange 和Demazure）费心给我回了几行表示感谢。我收到的为数不多稍加详细（而且更为热情）的回应，来自几位我认识不久的年轻数学家，以及我的老朋友 NicoKuiper——他对我所做的那类事情毫无兴趣。他是通过中间人得知这份文本的，对我意外的”回归”显得十分高兴81。

团结

注释 85(5月11日) 关于不幸的 SGA 5 研讨班的这个故事一直在我脑中萦绕。那篇「好参考文献」82无疑以新的眼光照亮了这个故事，同时也赋予那出色的「SGA 4 行动」以新的意义12\frac{1}{2}」。

我越想，SGA 5 的故事就越显得重大。我的第一印象，就在我几周前刚刚「抵达」时（参见注释第号68，68’），是这位可怜的 65/66 学年研讨班前听众们中的溃散局面，被我的朋友以他自己的方式加以利用Pierre，用于他那著名的行动，而在这件事中其他任何人都与此无关。至于 SGA 5 的不幸，既不是他也不是别人，而恰恰是我自己，未能，可叹，鼓起我的志愿撰稿听众们的热情，也未能替他们完成那[◊ 343]他们执意不去做、却总说马上就会动手的工作。然而最近几天发现，终究还是有那么一个人，十年后重新燃起了热情，出版了他乐意从中摘取的内容（未提及该研讨班），从而为自己创造了一篇好参考文献，而此时其他「志愿者」仍然尚未决定行动起来。

从昨天起越来越清楚的是，不只是两个「恶人」，而是我的每一个「上同调（cohomologie）学者」学生都直接参与了这场针对该研讨班的窃取。如果我没弄错的话，他们每个人都参加了这个研讨班——即（按我的「上同调」学生出现的先后顺序）：Verdier，Berthelot，Illusie，Deligne，Jouanolou。（我不把 JeanGiraud 算在内，他在相当不同的层面上开展工作，与 SGA 5 或其前身 SGA 4 中主要讨论的内容颇为不同。）

这个研讨班，我做它是为了我的学生们的利益首先，即使有时他们求饶——我认为那绝非垃圾。在那一年里，他们每个人都学到了大量关于「使用上同调的数学家」这门手艺！我让他们做的那些事——在平展（étale）框架下、以更为详尽的方式重新处理我最初在凝聚（cohérent）框架下发展的那些想法——这些事，他们除了这个为他们利益而设的研讨班之外，在任何其他地方都找不到，因为在我之前从未有人费心做过这些事——而除我之外甚至没有人感觉到有什么需要去做，以及为什么。（当然总是Deligne 除外，他就在这个研讨班中数月间便学会了，理解力比别人都快。）正是由于参加了这个研讨班（以及前一个）并在自己那里勉力钻研，没有别的，才使他们从此「跟上」了对偶（dualité）形式主义——而他们是仅有的跟上的人。这个特权，在我看来，为他们创造了一种义务：那就是确保这一特权不留在他们自己手中，确保他们从我这里学到的东西——这些已成为他们直至今日所有后续工作中不可或缺的装备——能为所有人所用，并在合理且惯常的期限内——至多一年，乃至必要时两年。

[◊ 344]人们会说，不无道理，这首先是我而不是别人应该操心的事。但我当初诚心接受学生和其他听众主动协助撰写（对于那些认真投入此事的人而言，撰写本身只能带给他们最大的益处）——并非为了能袖手旁观，让他们去做本应由我承担的工作。我继续在Dieudonné 和其他人（还包括与Berthelot 和Illusie 在 1966/67 年）编写在我看来同样紧迫的基础文本，而当时除我之外没有别人能代替我或在没有我协助的情况下完成这些工作83。这些文本本身已成为不可或缺的参考文献，包括对我的« 上同调弟子（élèves cohomologistes） »而言，他们和所有人一样，很高兴在需要时能随时找到这些现成的资料。

凭借他们在与我共事的工作以及参加或旁听我的研讨班中所掌握的上同调思想与技巧，通过他们的共同努力来撰写这份研讨班记录，其工作量与为那个著名的« 数学界 »所做的贡献相比微不足道，或者也许，后来还有他们可能感受到的对我的忠诚义务。我已说过，对我而言（我对此驾轻就熟），撰写整个研讨班记录的工作量大约就是几个月的事。五人分工，加上他们各自那些年积累的撰写经验，并拥有我详细的手稿笔记，每人所需投入最多不过一两个月时间。他们比其他撰稿人更有条件完成此事，例如Bucur，他求之不得能将一项显然超出其能力的任务交给更年轻、更有直接动力的人来做。

只要我还在附近（即接下来的三年里），我理解他们可能会产生依赖我的反射——我本该协调一切并设法与« 志愿者 »周旋。很可能，如果我要求他们每人尽快做两三个报告，我自己也做同样多，以便最终了结此事，他们不会推辞。从[◊ 345]我退出数学界的那一刻起，情况发生了彻底改变。他们当时成了某个遗产的唯一保管人，消失——我确实是« 亡者 »了，因为除他们之外，没有其他人知晓这份遗产、能够利用它，并关心（无论好与坏……）它的命运。

如果说在我离开后的七年里，这份遗产一直秘而不宣（除了1976年的« 好参考 »！），那是因为我的学生们在这整个期间都不希望它公之于众。平心而论，在我看来，这与« 动机（motifs）之瑜伽 »的情况并无太大不同，那种瑜伽只有Deligne（除我之外）深入了解，而他认定最好将其据为己有，仅供自己受益。如果乍看之下有区别的话，那就是在这个案例中只有一个« 受益者 »而非五人，并且被一人所藏匿的东西与五人共同藏匿的东西在深度上不可同日而语。

我当然不了解每个人的深层动机——即使对于Deligne，我的把握（appréhension）仍然是模糊的，很可能会一直如此。但在« 实际 »层面，Deligne（连同 SGA 4 的操作12\frac{1}{2}——以及其余一切）是很清楚的。同样清楚的是，这些操作不可能进行没有所有人的团结。在我看来，Jouanolou 却并不太在局中——他在我看来并不像是« 权威人物 »，我的印象是他早已离开了上同调的泥沼（851）。但我难以想象Illusie 和Berthelot 没有同时拥有 SGA 412\frac{1}{2}和« 好参考 »，他们会读，跟我一样，也不比我笨。

如果Illusie 突然着手 SGA 5 的出版，恰在Verdier 利用的时候，Deligne 利用的时候，并且Deligne 需要为其著名的 SGA 4 提供后勤基础12\frac{1}{2}（在其中恰如其分地贬低了作为此文本及其全部著作之来源的两个研讨班），那么而 Illusie 本有十年时间来做这件事，这绝非偶然。如果我所做的关于开放问题和猜想的闭幕报告[◊ 346]于 1966 年所做« 不幸未能成文，同样[sic]他那非常精彩的导引报告也未能成文，该报告回顾了Euler-Poincaré 和Lefschetz 在不同语境（拓扑的（topologique）、解析复的、代数的）中的公式 »，这肯定也不是巧合——而是埋葬（enterrement），否则就是我不懂行了。同样不是巧合的是，在Illusie 还是对Deligne（只值得在« 细节变更 »中顺带一提）将研讨班的一个关键报告删去，该报告并入 SGA 412\frac{1}{2}未经过任何其他形式的审判程序84。

我不知道吕克（Luc）Illusie 的意图（有意识的和无意识的）是什么，我对 Luc Illusie 怀有感情，如同对 PierreDeligne 一样，他（和 Deligne 一样）始终对我表现出极大的友善。85但我发现他在 Deligne 身边充当了一场毫无廉耻的蒙骗（mystification）的同谋：——这场蒙骗将 1965/66 年的母研讨班 SGA 5（正是在这个研讨班上Deligne 第一次听说概形（schéma）、平展上同调（cohomologie étale）、对偶以及其他“离题话”）当作某种不成形的、隐约可笑的附录，附在一部题为 SGA 412\frac{1}{2}的文集上——该文集写于八年之后，却假装自己出现更早（既凭借其标题中的编号，也凭借其在 Lecture Notes 中的出版编号，最后还凭借作者那非同寻常的注释：“SGA 412\frac{1}{2}的存在将很快允许 SGA 5原样出版”——着重号为我所加）——并且它还摆出一副毫不掩饰的鄙夷态度，对待这些单薄文集所完全源出的那些工作。

没有这些被如此轻率对待的工作，任何为 Deligne 奠定其当之无愧声望的那些重大成果，如今都不会写成，恐怕再过一百年也不会（很可能对于Illusie 和我的其他那些上同调学者（cohomologiste）弟子也是如此）。在这项“SGA 4[◊ 347]行动”的精神中，存在着一种12\frac{1}{2}厚颜无耻**（impudence），**而 Illusie 对此充当了（甚至可能自己并未意识到）担保人，这种厚颜无耻只有在一种共识（consensus）的默许下才能如此张扬。除了Deligne 本人之外，这一共识的首要参与者，正是那些曾是我的弟子、也是某种遗产的主要受益人——而这份遗产就在他们眼皮底下被抛入争夺的混战与鄙夷之中。而那些不容置疑的倨傲神气，那些我在电话中与我的

前弟子就在前天交谈时8686庇护的口吻，以及我在我的朋友 Pierre 那里自那场辉煌的双重行动“SGA 4- SGA 5”（我当时远未觉察此事，并在之后七年仍毫无察觉）结束之后不久就领教到的更为含蓄的居高临下——这些神气并12\frac{1}{2}非孤独的产物，而正是一种从未被质疑过的共识（consensus）**的标志。**这些神气告诉我的，不仅仅是关于Verdier 和Deligne，也是关于所有那些曾是我的弟子的人，而首先是关于那些（就其研究主题和日常使用的工具（outil）而言）最直接相关的人。

“蒙骗（mystification）”这个词——我无意中想到的——适时地让我想起了另一场蒙骗，其中展现着同样的犬儒主义——即所谓的“反常（pervers）”研讨会。这两者在我看来现在是密切相连、不可分割的——正是同一种精神使两者成为可能。也许除了Jouanolou 之外——他已不再怎么涉足“大圈子”——我认为这些同样身为上同调学者（cohomologiste）的前弟子们在这场耻辱中是共同负责、彼此关联的。对于Berthelot 和Illusie，没有任何东西让我能预先断定他们有恶意或坏心（这在Verdier 和Deligne 的情况下是毫无疑问的）。但我至少观察到一种盲目，一种健康理智运用上的障碍，其深层原因我当然无从知晓。如果他们内心没有一种蓄意的冷漠与鄙夷，那么 ZoghmanMebkhout——作为1970 年代唯一公开宣称继承我工作的人，并且是在直接关系到他们两人和另一人的课题上（尽管他们不屑注意到这一点）——本应至少享有最起码的“有利推定”，使他们至少稍稍[◊ 348]了解他所做的工作，从而认识到他自 1974 年起所投身的方向的价值——这种价值是显而易见的！然而他们两人中没有一人屑于注意到任何东西，只因为这一切来自一个隐约的无名之辈，此人似乎还属于 Grothendieck 一脉。他们收到了这位无名之辈亲自送来的论文，我不知道他们是否打开过，或者是否浏览过那些更简短、更易读的说明其中内容的文本——无论如何，他们甚至连确认收到都不屑一顾（Deligne 也是如此，他显然定下了这种调子）。

这当然并不妨碍他们与其他参与者一起参加了那场难忘的研讨会87，饶有兴致地了解了卓越的“Riemann-Hilbert对应”，却未曾想过就其起源或作者归属提出任何疑问，或者至少（作为扎实的数学家）就其证明所在之处提出疑问（85’）。但在这一点上，我相信 Deligne会很乐意优雅地向他们解释这个证明——这种证明对于他们这样的人来说当然是显而易见的——正是那种借助Hironaka 奇点解消的证明，他们早就学会了这种证明，而且正是从我个人这里学到的（852）。Riemann-Hilbert，Hironaka 的急急如律令——把戏就玩成了！

显然，就像Verdier 和Deligne 一样，他们已经完全忘记了什么是数学创造（création mathématique）：一种洞见（vision），它在数月数年间逐渐澄明，揭示出那个无人曾看见的“显而易见”之物，凝聚成一个无人曾想到的“显而易见”的陈述（而在此例中，Deligne 本人曾徒劳地尝试了整整一年……）——然后任何路人都可以在五分钟内证明它，只需使用那些现成的技术，而这些技术是他有幸坐在某个早已被忘却的研讨班长椅上学会的——对于这个研讨班，他不屑于（或避而不）回忆……

如果我毫不客气地谈到Berthelot 和Illusie，这并非我特别想让他们蒙受耻辱（在与他们的两位朋友进行第一次清算之后）。我知道他们并不比他们大多数亲爱的同事或我更”坏”或更愚蠢，而缺乏洞察力和健全判断力——我在这种情况下在他们身上看到的（有时还有对他人必要的尊重……）——绝非根深蒂固，而是一种选择的结果。毫无疑问这个选择为他们带来了[◊ 349] 回报令他们满意的回报——而也许随着我的反思而来的这种”回报”会不受某一位或另一位欢迎。如果真是如此，那只是因为它再次复制了同样的选择，这也是仅凭其极小部分能力运作的选择，即便把膀胱当灯笼或反之，且无可救药地将空核桃（小情人的）与实核桃（某个陌生人的）混为一谈。每个人都知道自己想要什么（⇒ 86,87）！

注 851 Jouanolou 是我的学生中唯一，连同Verdier，没有用心去发表他的论文。在我看来，这似乎是对他所发展的基础工作——即 ℓ 进上同调ℓ-adic（从导出范畴视角）——失去兴趣的标志。由于他关于这一主题的工作大部分置于之后我离开之后，因此是在我的学生们，Deligne 和Verdier 为首，发出了对我引入同调代数（algèbre homologique）的思想——特别是导出范畴思想——普遍冷淡的信号，这种氛围很难鼓励Jouanolou 认同自己的工作并给予其（当之无愧的）发表荣誉。由于同样的这些Deligne 和Verdier，在Zoghman Mebkhout（又名 神秘学生（Verdier 的）又名 Grothendieck 的遗腹学生），终于发现（在大量喧嚣和相互宣传之下）了导出范畴的重要性（见注nos75,77,81），Jouanolou 曾被轻视的论文自从 Colloque Pervers（反常研讨会）以来重新获得了全部现实意义——这种现实意义本就不应失去，如果概形的上同调理论在我 1970 年离开后继续正常发展的话。一个引人注目的细节说明了Deligne 在我离开后的选择中某种严厉的”转向”：正是Deligne 本人（他非常清楚发展ℓ-adic（在三角范畴（catégories triangulées）框架内）形式体系的重要性）为Jouanolou提供了一个关键技术思路，用于给出所要研究的ℓ-adic（ℓ 进）三角范畴的形式化定义，这个思路在论文中得到了展开。（关于这一点，请参见我 1969 年关于Deligne 工作的”报告”§ 8。）

（5 月 30 日）另见关于Jouanolou 工作的注”Les cohéritiers……”，no91。

注 852意味深长的”巧合”：正是在这同一个 SGA 5 研讨班上，所有人学会了这一证明原理，它既被用于证明平展上同调中的双向对偶定理（bidualité）（在可处理奇点消解（résolution des singularités）的情形下），也被用于[◊ 350]的有限性定理Rif∗在没有紧合假设于f，同样地对于RHom,Lf !。（这些有限性定理也同样从 SGA 5 的出版版本中被偷偷移除，被并入 SGA 412\frac{1}{2}而Illusie 认为只需在其引言中提及——我是在写这些文字时才意识到的！）Zoghman 本人没有机会参加这个研讨班（他得到的是”好参考文献”作为替代），他在另一个我使用过该方法的地方学到了它（用于 DeRham，对于 ℂ 上光滑概形ℂ）。

他本也可以从”好参考文献”中学到它，在那里我的证明被照搬到解析框架中，用以建立我的学生和 SGA 5 的听众从此以后乐于称之为”Verdier 对偶”的东西（这在我有幸认识他之前就已为我所知）。显然一切都有联系！同样的证明（连同陈述一起从我这里抄袭而来）被Verdier 用作一项对偶性的父权声明，而他除了在这个被拆散并遭轻视的 SGA 5 研讨班之外从未从其他地方学到过它——并且它被用于**针对**Mebkhout，成为（因其”自明性”本身）一种（默示的）借口和手段，用以无耻地剥夺他一项重要发现的功绩。

（5 月 30 日）据我所知，我第一次使用Hironaka 奇点消解，并理解了消解作为证明工具的非凡威力，是在为一个”三勺搞定”的证明Grauert-Remmert，描述复解析空间某些有限覆盖上的复解析结构，以及在ℂ上有限型概形情形下的类似结论。（并非不可能，在那一场合，该原理是由 Serre暗示给我的。）后一个结论是证明平展上同调与通常上同调的比较定理（théorème de comparaison）的主要成分（其余部分归结为拆解，借助Rf!，再加上一点消解来从Rf!过渡到Rf∗……）。

神秘化

注释 !85’(6月3日) 事实上，我得知他们本不必追问这项归属权问题，因为Berthelot 和 Illusie是从……口中得知好上帝定理的Mebkhout，前者在1982年2月，后者早在1979年（Mebkhout 论文答辩的年份Mebkhout）。而他们两人都没有参加任何一方所涉的那次研讨会，但他们却对该研讨会上发生的神秘化做法表示支持，因为[◊ 351]他们不可能不知道对……的归属权所做的遮掩Mebkhout 对好上帝定理的归属权，尤其是这一点。我还可以想见，他们和所有与会者一样，都争先恐后地成为这场由他们的朋友们精心组织的集体神秘化的头号受骗者，Verdier 和Deligne（这场神秘化中，我的五位上同调弟子中有四位似乎参与其中）。至于Illusie，至少是他——在去年夏天 Mebkhout 来我那儿之后，与他的电话交谈中，我惊讶于他对 Mebkhout 显然不以为然——他十分惊讶（几乎为他的老导师感到难过，他本以为导师肯定会有更好的判断力……）看到我给予……首要地位Mebkhout 在代数流形（variétés algébriques）的上同调（cohomologique）理论复兴中的首要地位。一些极为强大的共识已经决定将Mebkhout 归入籍籍无名之辈，而我的朋友Illusie 却心安理得地生活在这三重矛盾之中，丝毫不提出任何疑问：好上帝定理及其伴随哲学的首要地位；围绕这些东西的归属权所做的遮掩（他本人也参与其中，与众多人为伍）；以及他对……的格局和角色的轻视Mebkhout（他明明知道 Mebkhout 是这些东西从未被提及的作者，这些东西更新了一个数学领域，而在该领域中他本人，Illusie，被视为泰斗）。

我在此再次看到常识与健全判断的完全阻塞，即便是在像对科学问题的判断这样表面上如此非个人的事情上，这种阻塞我已不止一次有机会提及，而每一次都再次让我困惑。而我在此处于Illusie（肯定还有许多其他人）与Mebkhout 的关系中观察到的这一矛盾，我这个「身后弟子」，无疑不过是某个更关键的矛盾的众多效应之一，这个矛盾存在于他与我的关系中。正是这个矛盾——在他身上尤为突出，也在我其他弟子身上——在眼下这支由我昔日弟子组成的送葬行列（cortège à l’Enterrement）的笔记所延续的反思中越来越清晰地显现出来……

逝者

注释 86(5月11日) 正如常有之事，我带着几分迟疑开始了这段新的思考，主题是「SGA 5 — SGA 412\frac{1}{2}——反常性（Perversité）」，这个主题似乎已被反复审视到令人厌倦的程度：「这会给读者留下糟糕的印象，他们听人谈起这些已经听腻了；再进入细节实在很不体面，SGA 5 啊 SGA 4 啊12\frac{1}{2}这些，都是过去的事了，不值得再大书特书了……」

[◊ 352]幸好我没有被这类耳熟能详的陈词滥调吓倒，它们想阻止我把一件事探究到底（至少到当时我所能达到的深度），借口说「这不值得」，只需随它去……如果说我确实曾发现过一些我认为有用且重要的东西，那总是在那些时候：我懂得不去听那貌似「理性」、甚至「体面」的声音，而是追随内心那股不得体的冲动，去查看那些被认为「毫无趣味」或外表寒碜、甚至糟糕或不体面的东西。在我一生中，我不记得有哪一次，曾因违背那些根深蒂固的、想要阻止我的反射而更仔细地看了某样东西后感到后悔。这些抑制性的反射在*《收获与播种》比其他场合更甚，因为这番思考注定要公之于众，这立即施加了某些审慎的约束（当涉及第三方时）和简洁的要求（出于对读者的考虑）。然而我最终并不觉得这些约束在任何时候阻止过我触及我想触及的东西，或阻止我将其深化到我所渴望的程度。在那些一度可能被视为边界情况的事例中，我满怀信心地向前推进，因为我知道，如有必要，我还有最后的手段：不将其纳入《收获与播种》从我那「不知分寸」的思考中「产出」的东西。这些「边界情况」只在我犹豫是否涉及他人时出现，从未在涉及我自身时出现。但即使在第一种情况下，结果（这让我颇感意外）是我从未需要动用这一「手段」：《收获与播种》*代表着我思考的完整版本——至少是那些找到书写途径来表达的部分。

我感到，借助前一条注记中的简短思考88，情况已大为澄清。我的意思是，某种被刻意搅浑的局面的一个本质面向——我刚刚用一个「主题」的三重名称（SGA 5 — SGA 412\frac{1}{2}— Perversité），已全然呈现在我眼前：那是一种「团结」，一种此前只被模糊感知到的「默契」。这绝不意味着我自以为已经探查并理解了某一复杂局面的所有动因、来龙去脉——这一局面直接且尤其明显地涉及至少七个人：ZoghmanMebkhout（在某种意义上作为[◊ 353]某种状况的「显影剂」），我的五名前学生（同调论学者（cohomologistes）），以及我自己。我甚至不敢夸口，关于「SGA 5 等」的局面——自那个「不幸的研讨班」发生以来已近二十年——我已经洞察了所有作用于我自身的动因和动机！但我感到自己的状态比昨天（甚至仅仅是今早）要好得多，更能理解和定位那些我希望至少能从主要当事人之一那里收到的反馈。

摆在我面前的主要问题（我感到它在思考的另一个阶段已经出现过，现在又带着新的活力重新浮现）是（我觉得）这样的：我的学生们（几乎）全体参与的这场埋葬，是否是一件全然非典型的与我的个人特质和独特命运中的某些特殊性有关（比如我近十五年前离开数学舞台，以及围绕它的种种情况等）？还是恰恰相反，这是一件「十分自然」的事，仅仅源于某种巧合——正如「机会造小偷」的原则？我难以相信这一点，尽管此刻我无法辨别，甚至只是隐约看到，我身上的哪个特定方面竟有这种魔力，能创造出一种一致如此完美、如此一致的共识，来埋葬这位「大师」，以及那些自称追随他或作品明显带有他印记的人（尽管并非「他们中的一员」）。是我身上环绕的那种「父亲」光环——我曾有机会谈到的那种？还是我的离去这一事实本身对每个人构成了一种质疑？此刻我完全无法判断，缺乏能看见的眼睛……也许未来几个月会让我对此有所了解89。

在过去三周里，我不止一次想到另一个奇怪的「巧合」：那就是发现这场「全盛」的埋葬（包括四个阶段：LN 900 — SGA 412\frac{1}{2}— SGA 5 — Colloque Pervers（反常研讨会），然后回到 SGA 5 和 SGA 412\frac{1}{2}）——而这个发现，恰恰发生在我刚刚完成对自身数学家过往及与学生关系的深入反思之际。那就是说，我刚刚尽己所能、在彼时已知事实——经由往往模糊的记忆所复原——所允许的范围内，就那段过往「与自己达成了澄明」的时刻。[◊ 354]由往往模糊的记忆所复原。或者换种说法：那正是我准备好了终于准备好去了解这件事，并从中受益。

“偶然”将一切安排得如此巧妙，以至于沉思中甚至没有出现中断。始于对（在我看来）我所引入的最重要概念之命运的简短回顾的反思90（一种仍有些模糊的反思，其中只有某种基本基调执拗地凸显出来……）——这种反思在4月19日星期四非常自然地持续了下去。诚然，这仍是出于阅读”值得纪念的卷册”LN 900时所引发的”无礼”印象所激起的情绪（借用方才的措辞，它也很确切地描述了我当时感受到的一种东西）。

在这”同一”反思的新起点上，主要驱动力是”老板”——我的自尊心、我的体面感受到了触动，在书写情绪时，我在某种程度上从中得到了释放。正是”自我”、“老板”明显主导了随后十天的舞步——那些日子里没有微笑也没有笑声，只有无可挑剔的严肃。大概我必须要经历这一遭，走过这十天的弯路，反思才能回到它曾离开的中心——回到我的自身。我仍然记得这次回归带来的如释重负——就像走出隧道时重见天日！正是在那时我重新找回了笑声和微笑，仿佛我们从未分离过。那是4月29日。第二天30日，是这个月的最后一天，我无比高兴地为这次反思的最终阶段画上了句号。

那一刻也无疑是我已完全准备好接收下一个”包裹”的时候，这一次是由我的朋友Zoghman寄来的——“研讨会”包裹，在隔天收到。今天是我致力于消化那个包裹内容的第十天。但在这一阶段，尽管我急于结束这个没完没了反复反弹的转折，微笑却一天也没有离我而去。而今天，我真的相信（尽管这已是无数次了！），终于到了画上句号的一天。

五天前我就已经有过这种已到终点的感觉，剩下的只是些后勤工作：在这里那里加几条脚注，重新誊写那些涂改过多的页面[◊ 355]涂改（每次都是思想仍有些混乱的迹象，需要通过这种看似机械的工作来理顺，但文本总是以新的面貌呈现出来）……那是在我刚写完现在名为”我的朋友们”的注释时（no79）不是脚注）而是篇幅可观的正式注释，需要用行距重新打字，然后尽力设法塞到这里或那里。又过了好几天我才认清事实：在名为”研讨会”的队伍之后，另一支队伍正在形成并加入行列——而最后一支队伍将不是（如我心中所决定的那样）那个研讨会，而是由学生。就在今天，当第一支队伍（已缩减为一篇注释）刚刚增添了第二篇（“一种不公与无力之感”），我也知道了将由谁来引领它：是”遗作学生”。因此，这支由一名学生（遗作的，小写，以示其卑微身份）开启、又由一名学生（这次可一点也不卑微）收尾的行列，似乎终于完整了！

在我看来，在第一次”假抵达”之后，也是时候回到一首De Profundis终章的乐章，今天比五天前更为适宜。以下是我当时记下的那些音符，它们同样表达了我此刻的情感。

(5月31日) 最终，这又是一次”假抵达”——“终曲”再一次为时过早！二十天过去了，其间”后勤工作”不断爆发为对曾被忽视的种种方面的重新反思。又有六篇注释加入了本应结束游行的”学生”队伍。灵车出现在学生的尾迹中，载着四口棺材，由掘墓人陪同。确实，对于一个似乎没有运送任何人的送葬行列来说，缺少了赋予其血肉和意义的东西。

经验使我变得谨慎，我静观其变，暂时不敢预言行列是否终于完整，或者是否还会有一支被遗忘的队伍在最后一刻挤进来[◊ 356]，以免错过最终的仪式91.

屠杀

Note 87 (12 mai)92 为多少有些同调论学识的读者——尤其为我自己——我想逐一回顾这场对一个精彩研讨班的有条理的掠夺的细节 研讨班，它落入我的两位 前同调论学者，并在其余同调论者的善意注视之下 93 ——正是同一个研讨班，他们在此比全世界早十二年，从工匠本人手中学到了这门让他们成名的技艺的基础与精妙。

我的两场口头报告（exposé）从未以任何形式公之于众。其一是关于开放问题与猜想（conjecture）的闭幕报告，它「遗憾地未予撰写」，鉴于其之少——而屠杀版导言的作者确实认为无需提及哪些 开放问题与猜想。他又何必费这个心呢，这不过是一些问题（谁都可以随意提出！）和猜想（甚至尚未证明！）（871）。另一场是开启研讨班的报告，将其直接置于更广阔的语境（拓扑的、复解析的、代数的）中，并回顾了Euler-Poincaré, Lefschetz, Nielsen-Wecken类型的公式，其中一些构成了研讨班的主要应用之一。导言作者用「……也不比……多……」一笔带过这篇报告的消失，这充分说明了轻慢 在那一刻显然是理所当然的，尽管研讨班的作者已从世间消失七年之久。

有一整个系列的报告是我关于与闭链（cycle）相关联的同调（homologie）与上同调（cohomologie）类的形式体系所做的（在上同调情形下，环境概形（schéma）是正则的） 94 。它们被公平地分配了：上同调归Deligne，同调归Verdier——他多少还是越界染指了一点上同调，作为交换则用著名的「权重（poids）复形」向Deligne略表敬意。（更不用说他抢走了[◊ 357]95R Hom和对偶性定理（théorème de bidualité），从研讨班逐字 抄来的——无论如何，最大的一份将归Deligne，这很正常……）导言的作者认为没有必要提及关于同调的报告。确实没有必要，因为前一年他的朋友Verdier已负责提供了缺少的「恰当参考文献」（未提及任何研讨班，也未提及我）。

曾有关于运算 if 的有限性定理的口头报告R* (f非真（non propre）），以及作为推论，对于运算Hom和R*Lf !。关键定理是通过奇点消解（résolution des singularités）技术证明的，以Hironaka方式（因此仅在具备奇点消解的情形下有效）。我当年使用的这些论证自研讨班以来已成为常规用法（见注852). Deligne成功证明了这些有限性定理以及对偶性定理，基于其他更适用的假设，这些假设目前在大多数应用中已被验证。人们本可以期待他会要求将这些改进纳入他曾有幸学习平展上同调（cohomologie étale）以及奠定其全部后续工作的思想与技术的那个研讨班。但这一情形却被当作「理由」来删去研讨班的那一部分。至于对偶性定理，在Illusie笔下（且在概型（schémas）的框架中）成了「Deligne的对偶性定理Deligne」（报告I导言）。这不过是公道，因为在解析情形下Verdier早在一年前就已将其据为己有（甚至无需费心去找另一套证明（démonstration））。

有一篇阐述「一般Künneth公式」的报告，由Illusie执笔。此前从未有人想到要提炼这类陈述（énoncé），其灵感来自这样的直觉：「一般地」，*i.e.*在基的一般点附近，一个相对概形表现得像拓扑语境中的「局部平凡纤维丛」。通过一个与他前述证明相近的优雅证明， Deligne成功消除了我所做的奇点消解假设。这是定论了——报告被删除，「替代」以对同一 Illusie的一篇报告的引用在所谓的「前期」研讨班SGA 4中12\frac{1}{2}.

[◊ 358]有一系列关于非交换迹（trace）形式主义的exposé（研讨班报告/讲稿），作为阐明Lefschetz-Verdier公式在一些从未被处理过的情形中的局部项。这些exposé据说最终由Bucur写成，其手稿「在天意的安排下于搬家时丢失了」——这简直成了闹剧96！而在由Illusie撰写的SGA 5引言中，这些exposé竟又变成了「Grothendieck的交换迹理论，[出色地]推广了Stallings的理论」（而Stallings的理论是非交换的！）。这个口误97只能归咎于一位灵感不佳（或过于充沛…）的秘书，她准是和我的朋友IonelBucur的搬家工串通一气。（「出色地」一词是我笔下插入的，为的是更好地还原这个同样天意的口误所无误暗示的想法。）

我没什么好抱怨的，因为Illusie承担了重做这项工作的苦差（他甚至告诉我们，还做了一个「更精巧」的版本，因为是按层（faisceau）论的方式来处理——但我似乎记得，Illusie，你在我的时代所做的创新比这还要「精巧」吧……）。他一定花了相当长的时间，如果我没记错的话，我曾花了数周来调试这个机制；说不定我的手稿也在同一场天意的搬家中丢失了，天知道那些被我的口若悬河所淹没的亲爱的听众们，是否至少记下了可理解的笔记……

值得注意的是——我以前未曾留意到——他并没有把这篇exposé放到原本计划的exposé XI的位置（那大概也对应着它在口头研讨班中的位置），而是宁愿在那个位置留下一个巨大的空洞，把自己的exposé变成一篇托名的exposé，题为「局部项的计算」。然而这个标题似乎与我记忆中在口头研讨班上所做的内容颇为吻合——奇怪。但在这篇exposé的引言第一行，作者就急于[◊ 359]纠正我们：「这篇exposé写于1977年1月，与研讨班中的任何一篇口头exposé都不对应」。接着便谈及Lefschetz-Verdier公式（然而这个名字对我来说似曾相识，我原以为我确确实实详尽地发展了一套非交换迹理论，正是为了计算某些情形下的「局部项」……），然后又谈到Langlands公式和一个Artin-Verdier在1967年的证明（然而那是在口头研讨班结束之后一年，这不可能没有影响这些作者，他们中至少一人——如果不是两人的话——曾参加了研讨班）。在页面末尾，我们终于仿佛顺便得知，与开头所宣称的相反，还有「这篇exposé的第二部分，性质上更为技术性」（我似乎在什么地方读到过这种措辞……），它（请欣赏其中微妙的差别）是「受Grothendieck方法的启发，用于建立Lefschetz公式，适用于曲线上某些上同调（cohomologique）对应（correspondance）」，并引用了同一研讨班的exposé XII，尤其是不可或缺的SGA 412\frac{1}{2}。显然，为了这么点内容，根本没有理由将这篇exposé塞进那个巨大的空洞——先前的「更精巧的版本」把事情办得可真漂亮。而Illusie和Deligne还肯将我引为「灵感」来源，这甚至已经算客气了，而他们的朋友Verdier前一年的例子已经清楚地表明，完全没有必要再有这样的顾虑了。

我回到由Illusie撰写的SGA 5卷的引言。我们再次从中得知，正如Deligne在SGA 4引言中已经宣告过的12\frac{1}{2}，研讨班之所以终于得以出版，正是多亏了他的朋友：

「我感谢P.Deligne，他说服我在exposé III的新版本中撰写Lefschetz-Verdier公式的一个证明，从而扫除了该研讨班出版的一个障碍。」

我们再次置身于一场闹剧之中——温顺的Illusie在SGA 4的引言中原封不动地照搬了这套说辞12\frac{1}{2}！如果说研讨班十多年来未能出版，那是因为（关键在于想到这一点）因为还没有人（在Deligne于1977年挽救局面之前）曾想到，为那条被（合理地）称为「Lefschetz-Verdier」的公式写一个证明或许是个好主意，然而除了[◊ 360]他那形影不离的朋友、我曾经的弟子Verdier本人至少自1964年（872）起就自豪地拥有其创始者身份，也就是说在我的研讨班结束时至少已有两年，只等有心人来将其公之于众！

最后，作为研讨班另一处也是最后（？）一处伤残，是Serre所做的关于「（Serre-Swan）模（module）」的精彩exposé——该exposé题为「Brauer理论导论」。所幸Serre看到事态的发展，明智地将他的exposé收入了他的著作*《有限群的线性表示》（Représentations linéaires des groupes finis）*（Hermann, 1971），供数学界使用（873）。

我想，这次我已经把这幅图景看全了。一幅关于一个我倾注了心血（88）的研讨班之命运的图景98，二十年后我再见它时已面目全非，被那些曾是它独占受益者的人——或者至少是其中的三人——在其余所有参与者的默许下，摧残殆尽。

我不后悔再次费心，一直走到那逐渐引起我关注的事物的尽头。这种「事物的回归」99我所察觉到的，在对与我一位昔日学生的关系进行漫长回顾之后，当时就已隐约预感到他并非唯一一个「起劲地埋葬我」的人——我现在才刚刚察觉到它的气息、它的「气味」（借用当时出现在我梦中的一个表达）——一种暴力的气息。这气息既被话语所隐藏，又被其所揭示100（表面上超然平静）呈现着高度技术性的内容。这种暴力所针对的，通过一具任人处置的「遗骸」，正是那位曾为「大师」、为「父亲」之人的本身——然而此刻「学生们」早已占据了他那令人艳羡的位置，未遇任何抵抗；而且[◊ 361]也早已在他们中间选出了新的「父亲」，被召来取代旧者并统治他们。

我感受到这气息，然而它对我来说仍是一件陌生的、未被理解的事。要「理解」它，恐怕得让那气息活在我之中，或曾活在我之中。但四年前，我平生第一次感受到并估量了生命中一件我从未想过、一直以为理所当然的事的分量：那就是童年时我对父亲的认同，并未被冲突所标记——在我童年的任何时候，我既未惧怕也未妒羡过我的父亲，同时对他怀着毫无保留的爱。这段关系——或许是我生命中最深的印记（甚至在四年前那次沉思之前我都不曾意识到），在童年时它就像与另一个既强大又善意的自己的关系——这段关系并未被打上分裂与冲突的烙印。如果说，在我那往往支离破碎的一生中，对自身内在力量的认知始终鲜活；如果说，在我绝非免于恐惧的一生中，我既未惧怕过任何人，也未惧怕过任何事——那都要归功于这个卑微的境况，它一直不为人知，直到我过了五十岁。这个境况曾是一份无价的恩赐，因为对自身创造性力量的深切认知即也是这力量本身，它让这力量得以按其本性自由表达，通过创造——通过一种创造性的生命。

而这恩赐，虽使我免于冲突最深刻的印记之一，此刻却也如同一道障碍，如同一个「空洞」在我的人生经验中。一个难以填补的空洞，而在许多其他人那里，他们拥有丰富的情感、意象和联想的织体，为他们提供了（只要他们有心去走）一条深入理解他人同时也理解自身的路径——那些情境，我凭借反复的咀嚼和交叉印证，好歹能够把握，但在它们面前我仍像一个陌生人——心中求知的欲望仍得不到满足。

注871（5月31日）这篇闭幕报告，与开幕报告一样无疑是最有趣且最充实的报告之一，显然并未被所有人错过，正如我在读到 MacPherson 的《Chern classes[◊ 362]for singular algebraic varieties》（Annals of Math（2）100, 1974, p. 423-432, 1973年4月收到）。我在其中看到，以「Deligne-Grothendieck 猜想」之名，一个我在该报告中于概形框架下引入的主要猜想。它被 MacPherson 在复数域上代数流形（variété）的超越框架中重拾，其中Chow 环被同调（homologie）群所取代。Deligne 是在101我1966年的报告中得知这一猜想的，那也正是他初现于该讨论班的同一年，在那里他开始熟悉概型（schémas）的语言和上同调技术（参见注「孤独的存在」（L’être à part）no67’）。还算客气，让我有幸被列入猜想的名称之中——再晚几年就不会再这样做了……

（6月6日）我借此机会在此阐明我在讨论班中于概形框架下所陈述的猜想究竟为何，我肯定在其中指出了复解析（甚至刚解析）框架下的明显变体。我将其构想为一种「Riemann-Roch」型定理，但系数是离散的而非凝聚的。（ZoghmanMebkhout 还告诉我，他的D\mathcal{D}-模（Module）观点应当能够将两个Riemann-Roch 定理视为包含于同一个Riemann-Roch 晶体定理之中，因而在零特征下将代表我引入数学中的两个Riemann-Roch 定理的自然综合，一个于1957年，另一个于1966年。）固定一个系数环Λ（不一定是交换的，为简化起见是诺特的，而且其挠元与所考虑概型的特征互素，以满足平展上同调的需要……）。对于一个概形X我们用

K∙（*X*，Λ）

表示由可构造的平展Λ-模层（faisceau）构成的 Grothendieck 群。使用函子Rf!，该群函子性地依赖于X，对于X为诺特的，且概形的态射是分离且有限型的。对于X正则的，我假定存在一个典范的群同态，起着「陈特征（caractère de Chern）[◊ 363]在凝聚 RR 定理中，

（1）ch*X*：*K*∙（*X，*Λ）→ *A*（*X*）⊗Z*K*∙（Λ）

A(XX**K.(Λ其中 A(X) 是 X 的 Chow 环，K.(Λ) 是由有限型 Λ-模构成的 Grothendieck 群。这一同态应唯一地由「离散 Riemann-Roch 公式」的有效性所确定，对于正则概型间的紧合态射 f: X→Y，该公式写作与凝聚 Riemann-Roch 公式相同的形式，只是将 Todd「乘子」替换为相对全 Chern 类：Riemann-: X → YRiemann-

(RR)(RR)chY(f!(x)) = f*(chX(x)c(f)*Y*(!()) = *(ch*X*()()

其中 c(f) ∈ A(X)()  *A*(*X*)

*f.*是 f 的全 Chern 类。不难看出，在拥有 Hironaka 强形式的奇点消解的语境下，RR 公式确实唯一确定了 chX。X

K (X**A(XℓH2i(*X,*ℤ ℓ (ℓ

XXArtin-Serre-当然，我们假定我们处于 Chow 环已被定义的语境中。（我未曾听说有人尝试为那些不在域上有限型的正则概型建立 Chow 环理论。）否则，我们也可以在凝聚语境中通常的「Grothendieck」环 K ∙ (X) 所关联的分次环中工作，并按通常方式赋予滤过（见 SGA 6）。我们也可将 A(X) 替换为偶 ℓ-进上同调环，即 H2i(X, ℤℓ(i)) 的直和。这样做的缺点在于引入了一个人为参数 ℓ，并给出较粗糙的「纯数值」公式，而 Chow 环的魅力在于它具有连续结构，这一结构在过渡到上同调时被破坏了。在 X 是代数闭域上的光滑代数曲线的情形中，chX 的计算就已涉及 Artin-Serre-Swan 型的精细局部不变量。由此可见，一般猜想是一个深刻猜想，对其的追求与对这些不变量的高维类似物的理解密切相关。注记。同样地，若以 K ∙ (X, Λ) 表示由有限 tor-维数的平展 Λ-层可构复形构成的「Grothendieck 环」（当 Λ 交换时，该环作用于 K∙(X, Λ)…），则同样应有一个同态

*Remarque.*K (X,ΛΛK(*X,*Λ) quand Λ

(1')chX : K∙ (X,Λ) → A(X) ⊗ℤ K∙ (Λ)*X* : *K*  (*X,* Λ) →*A*(*X*) ℤ*K*  (Λ)

这（在适当变通后）同样导出相同的 Riemann-Roch 公式 (RR)。Riemann-Roch (RR).

[◊ 364]X**X现令 Cons() 为 上的可构整函数环。我们以或多或少同义反复的方式定义一些典则同态

(2)*K*∙(*X*, Λ) → Cons(*X*) ⊗ℤ*K*∙(Λ)

(2')*K* ∙ (*X,* Λ) → Cons(*X*) ⊗ℤ*K* ∙ (Λ)

若现在限于概形（schéma）特征零（caractéristique nulle），那么（通过使用具紧支柱的欧拉-庞加莱示性数）可见 Cons() 群是一个函子（foncteur）X协变关于诺特概形（schéma noethérien）的有限型（type fini）态射（除了作为环函子是反变的，这与特征无关），且前述同义反复态射是函子性的。（这对应于一个「众所周知」但据我所知在口头讨论班 SGA 5 中尚未被证明的事实，即当特征零，对于一个代数概形上的 Λ-modules F 局部常层（faisceau localement constant）X, son image par

*f*! : *K* ∙ (*X,* Λ) → *K* ∙ (*e,* Λ) ≃ *K* ∙ (Λ)

等于 dX(X), où d 是 k 的秩F, e= Spec(), k 为假设代数闭的基域（corps de base）…）这立即表明 ∙∙ 的同态Chern (1) et (1）应能通过复合一个 的同态从同义反复同态 (2∙∙) 推导出来), (2「普适」Chern（独立于任何系数环（anneau de coefficients））Λ)

(3)ch*X* : Cons(*X*) → *A*(*X*)

Λ从而 RR 公式的两个「带系数」版本形式上包含在一个可构函数层面的 RR 公式中，且该公式总以同一形式写出

当处理固定基域上的概形（任意特征，再次）时，或者更一般地，在固定正则基概形上S(par exemple S= Spec(ℤ)))，最符合惯常写法（自 1957 年以来熟悉的凝聚（cohérent）框架中）的 Riemann-Roch 公式的形式可通过引入产物得到

(4)ch*X* (*x*) *c*(*X* */S*) = *cX* */S* (*x*)

(où x 属于一个 ∙K(X,Λ) ou K∙ (X, Λ）不加区分），可称之为 的 Chern 类[◊ 365] **x 关于基 的 x 是 的单位元S**. Lorsque K∙ (X, Λ), *i.e.*取值 的常层的类，我们得到 相对于 的相对全 Chern 类的像ΛX**S，通过「 的典则同态」A(X) dans A(X) ⊗ K (Λ∙)。由此，RR 公式等价于这些相对 Chern 类的形成

(5)*cX /S* : *K*∙(*X,*Λ) → *A*(*X*) ⊗ *K*∙(Λ)

X对于 上的可变正则概形（在 上有限型）S**S), avec S固定，关于真态射（morphismes propres）是函子性的，变体 (5’) 亦然。在特征零时，这归结为对应映射的（关于真态射的）函子性

(6)*cX /S* : Cons(*X*) → *A*(*X*)

正是在一个映射「 的类的存在唯一性的这种形式下Chern 」绝对 (6)，在 S= Spec(ℂ 的情况下，猜想（conjecture）出现在 MacPherson，相关条件（此处与一般特征零情形一样）是 a) (6) 对于真态射的函子性，以及 b) 有 cc*X /S* (1) = (X /S)（即所谓「绝对」全 Chern 类）。与我最初的猜想相比，MacPherson 提出并证明的形式却在两个方面有所不同。其一是「减」，因为他并非在Chow 环中，而是在整个上同调（cohomologie）环中，或更确切地说，在由超越方式定义的整体同调（homologie）群中。其二是「加」——也许正是在此Deligne 对我最初的猜想做出了贡献（除非这一贡献归功于102MacPherson 本人）。这是因为对于映射 (6) 的存在唯一性，我们无需限于正则概形，只需将X**A(X）替换为整体同调群。因此很可能在一般情形中也是如此，只需将A(X) (ou mieux par A∙(X)) le **X诺特概形的 Chow 群（一般而言不再是一个环）。或换而言之：尽管不变量chX () (pour xx 在K∙(X, Λ) ou K∙ (X, Λ)) 本质上利用了环境概形正则的假设，一旦将其乘以「乘子」(*X /SX*c)（当概形在固定正则概形上有限型时）S)，所得产物 (4) 似乎在不假设 [◊ 366] X 正则性的情况下仍有意义，作为张量积

*A*∙(*X*) ⊗ *K*∙(Λ) ou *A*∙(*X*) ⊗ *K* ∙ (Λ),

A(X其中 ∙) 表示XChow 群 。MacPherson 的证明（démonstration）的精神（esprit）（未使用奇点消解（résolution des singularités））暗示了同态 (5) 的一种显式「可计算」构造的可能性，即「处理」X的奇点本身，以及系数层（faisceau de coefficients）的奇点（其类为 x），从而在 上「收集」一个闭链FXK(Λ以 ∙) 为系数的闭链。这也符合我 1957 年在Riemann-凝聚 Roch 定理中引入的思想的精神，当时我特别做了自交计算，小心避免「移动」所考虑的闭链。一个明显的初步化简（通过嵌入一个 -概形得到）是XSX为 的正则概形的闭子概形的情况S…

应当能够发展出一套Riemann-Roch（凝聚（cohérent））**奇异（singulier）**对我而言早已熟悉，我已说不清从何时起，只是从未认真验证过。正是这个想法（撇开与「上同调（cohomologie）、同调（homologie）、cap 积（cap-produit）」形式体系的类比不谈）促使我在 SGA 6（1966/67 年）中系统地引入了K∙(X) 和K∙(X)，以及A∙(X)、A∙(X)，而不满足于只使用K∙(X)。我不记得在 1966 年的 SGA 5 研讨班上我是否也曾想到过类似的东西，是否曾在口头报告中暗示过。由于我的手写笔记已经丢失（也许是在某次搬家时？），我恐怕永远无从知晓了……

（6 月 7 日）翻阅 MacPherson 的文章时，一个事实令我震惊：「Riemann-Roch」竟未被提及——这正是一开始我没有认出自己在 1966 年 SGA 5 研讨班上提出的猜想的原因，那个猜想当时（至今依然）在我看来是一个Riemann-Roch」型的定理。看来在撰写文章时，MacPherson 甚至并未意识到这一明显的亲缘关系。我推测其原因在于Deligne——在我离开后，他以自己偏爱的形式传播了这一猜想——尽可能地「抹去」了它与Riemann-Roch-Grothendieck 定理之间明显的亲缘关系。我能感受到他这样做的动机。一方面，这削弱了这一猜想与我个人之间的联系，使得[◊ 367]「猜想Deligne-Grothendieck」目前以此名流传。（注：我不知道它在概形（schéma）情形下是否也在流传，如果是的话，我很好奇它以什么名目流传。）但更深层的原因，在我看来，在于他那执念：要尽可能否定并摧毁我的数学工作与我的数学洞见（vision）的根本统一性103。这是一个令人深刻的例子，说明在一个能力出众的数学家身上，一个完全与数学动机无关的执念如何能够遮蔽（甚至完全封闭）我所称之为数学「健全直觉」的东西。这种直觉不可能不察觉到「同一个」Riemann-Roch 定理的「连续（continu）」与「离散（discret）」两个表述之间的类比Riemann-Roch，我当然在口头报告中强调过这一点。如我昨天所指出的，这种亲缘关系大概很快会由一个正式的表述（由 ZoghmanMebkhout 猜想）所证实，至少在复解析情形下如此，该表述可以从一个共同陈述推导出此二者。显然，在Deligne 对Riemann-Roch104定理所持的「埋葬」态度下，他不可能发现联系二者的统一分析表述，更不会去考虑一般概形框架下的类似表述。正如在这样的心态下，他也未能阐发出D\mathcal{D}-模（-Modules）在代数流形（variété）的上同调理论中的丰饶视角，它过于自然地源于那些有待埋葬的思想——甚至多年来也未能认识到Mebkhout 的丰硕工作，后者在他自己失败的地方取得了成功。

注 872（5 月 31 日）那一年我做了Bourbaki 报告，关于L函数的理性，我在其中启发性地使用了Verdier 的（？？？）结果（特别是该情形下局部项的预期形式（forme）），而未等Illusie 愿意在应Deligne 邀请之后、十三年后终于证明它。此外，当Verdier 向我展示他那极其一般的公式[◊ 368]——那时我颇感意外——他用「六项运算」形式体系寥寥几行就证明了它。这是那种几乎可说是写下来就等于证明了的公式！即便有什么「困难」，充其量不过是在验证一两个相容性方面105。此外，Illusie 和Deligne 都心知肚明，我在研讨班上对各种显式迹公式给出的证明是完整的，它们丝毫不依赖于Verdier 的一般公式，该公式不过是充当了一个「触发器」，激励人们尽可能一般地明确表述并证明迹公式。两人的恶意在此显而易见。对于Deligne，在我写《清扫干净》笔记（n°67）时，这一点对我来说已很清楚——但对于不知情的读者，当然更对于那些放弃运用健全理智的知情读者而言，恐怕并非如此。

（6 月 6 日）至于Illusie，他完全配合他的朋友，试图混淆视听，制造一种假象：仿佛那是一个高度技术性的口头研讨班，甚至未能对所有结果——尤其是迹公式——给出完整的证明。然而这些公式确实（并且是首次）在 1965/66 年得到了证明，正是在那里，他和Deligne 有幸学到了这些公式以及整套精妙技巧106。

[◊ 369]这让我想起，我当然曾费心在研讨班上证明过Lefschetz-Verdier公式——这实在是最起码的事，也是我打算发展的局部与整体对偶形式主义的一个尤为引人注目的应用。这些天来我不禁纳闷，究竟为什么，明明有十来篇演讲的文稿在我亲爱的学生们手上陷入困境，以至于Deligne和Illusie在选择命名他们的”障碍”时真是应有尽有（原文如此）技术障碍以阻挠SGA 5的出版，他们却偏偏选中了他们好哥们的定理，Verdier，此人当时正以这项定理的创始者自居，恰如其作为导出范畴（catégories dérivées）和三角范畴（catégories triangulées）的创始者一样——他也从未费心将其撰写出来（或至少公之于众）。这里面有一种挑战存在于荒诞之中（或可说，在我那群前学生上同调学家们中间存在着一种集体犬儒主义，我认为他们在这场屠杀行动中都串通一气），这让我想起了Verdier在前一年精彩发明的”权复形（complexes poids）“（参见同名注释，no83），或者（在不公的层面）还有那个由Deligne赋予那些本应被称为”Mebkhout层（faisceau）“的层的名字”反常”（pervers）Mebkhout」（参见注释”反常性”，no76）。我在这样的发明中感受到许许多多对整个数学共同体的支配和蔑视之举——同时也是一个赌注，而这个赌注显然一直赢着，直到逝者意外出现的那一刻——他几乎是面对一群沉睡者中唯一醒着的人……

note 873（6月5日）在一场屠杀的总结之后，我们应当正确评价Illusie在其名为SGA 5的卷册引言第二行中的声明：

与原始版本相比，唯一重要的变化涉及演讲II[一般Künneth公式]，该篇未被收录；以及演讲III[Lefschetz-Verdier公式]，该篇已被完全重写并增补了一个编号为III B的附录107。除了一些[◊ 370]细节上的修改和脚注的增补外，其他演讲均保持原样。（着重号由我所加。）

在此再一次，Illusie又充当了其难以言喻的朋友的另一个妙语玩笑的附和者，即SGA 4的存在12\frac{1}{2}”将很快使SGA 5得以出版，原样”（参见注释”清空桌面”，no67）——而Illusie在他的演讲和引言中竭尽全力为这一骗局背书（即SGA 5——他和他的朋友正是在其中学会了他们的手艺——竟依赖于那本SGA 4的盗版卷册，12\frac{1}{2}这本卷册由随后十二年里搜集或掠夺来的零碎拼凑而成），以大量对SGA 4的引用12\frac{1}{2}在每一页的转角处……

最后一句话（理所当然）留给Deligne，他一个月前（5月3日）写信给我，回复我一条简短的信息请求（关于此事参见注释”葬礼”的开头，no70）：

总之，如果说当SGA 4这个文本出版时，你已经有七年没做数学了[？！]12\frac{1}{2}那这仅仅对应于[？]SGA 5编辑工作的漫长延迟，该卷过于不完整，无法原样有用出版。。

希望这些解释能令你满意。

如果说它们并未让我”满意”，至少它们让我长了见识……

Note 874（6月6日）也许是时候指出在口头研讨班上得到发展的主要主题了，而已出版的文本只能通过交叉比对才能让人对其有所了解。

I) 对偶理论的局部方面，其关键技术要素（正如在凝聚情形中）是双对偶定理（辅以一个”上同调纯性（pureté cohomologique）“定理）。我的印象是，这一定理——作为局部Poincaré对偶定理——的几何含义，尽管我在口头研讨班上解释得很清楚，却从此被那些曾是我的学生们完全遗忘了。108。

II) 迹公式，包括比通常的迹公式更为微妙的”非交换”迹公式（其中两边都是整数，或更一般地，是系数环的元素，如ℤ /nℤ或一个ℓ-进（ℓ-adique）环ℤℓ*，*乃至ℚℓ），处于一个[◊ 371]有限群作用于所考虑的概形（schéma）上，系数取于一个合适的环（如前一括号中所考虑的那些）。这一推广非常自然地来自于这样一个事实：即使在通常类型的Lefschetz公式的情况下，但对于”扭曲的”系数层，我们不得不将初始概形替换为一个伽罗瓦覆盖（通常有分歧），用以”解扭”系数，而Galois群作用于其上。正是这样，Nielsen-Wecken”类型的公式自然地被引入到概形语境中。

III) Euler--Poincaré公式。一方面，有一个关于代数曲线的”绝对”公式的详细研究，借助Serre-Swan模（推广了适度分歧系数的情形，由此产生了更朴素的Ogg-Shafarevich-Grothendieck公式）。另一方面，有一些未发表的深刻的Riemann-Roch”离散（discret）“型猜想，其中一条在七年后重新出现，以一个混合版本的形式，被称为”Deligne-Grothendieck猜想”，由MacPherson用超越方法证明（参见note no871）。

我不得不就以下问题发表的评论这两个主题之间的深刻联系（Lefschetz公式、Lefschetz、Euler公式-Poincaré）也同样消失得无影无踪。（按照我的习惯，我将所有手写笔记留给了志愿编辑者（原文如此），而口头研讨班的内容我再也没有任何书面记录，尽管我当时当然有一套完整的手写笔记，即使有些部分很简略。）

IV) 与闭链相关联的同调（homologie）类和上同调（cohomologie）类的详细形式体系，它自然地从对偶的一般形式体系和关键思想导出，即在使用上同调纯度定理的同时，在所考虑的闭链中处理”带支集”的上同调。

V) 有限性定理（包括一般有限性定理）和适用于任意支集的上同调的一般Künneth定理。

研讨班还发展了一套从挠系数过渡到ℓ-进系数的技术（exposés V和VI）。这是研讨班中技术性最强的部分，通常它处理的是挠系数，然后再”取极限”以推导出相应的ℓ-进结果。这种观点是一种临时的权宜之计[◊ 372]，等待Jouanolou（至今仍未发表）直接在ℓ-进框架中给出所需的形式体系。

我不把若干经典概型的计算和Chern类的上同调理论计入主要”主题”之列，Illusie在其引言中把它吹捧为研讨班”最有趣的主题之一”。由于日程已满，我认为没有必要在口头研讨班中详细讨论这些计算和这一构造，因为只需基本照搬我十年前在Chow环语境中、在Riemann-Roch定理时给出的推理即可。另一方面，显然必须将其纳入书面研讨班，以便为平展上同调的使用者提供有用的参考。Jouanolou承担了这项工作（exposé VIII），他本应将其视为一项他为数学界所做的贡献，同时在其中学习对其自身工作至关重要的基本技术，但他却视之为苦差，因为其撰写拖延了109年。可以想见，他的论文也不例外，至今仍像Verdier的论文一样是一个幽灵般的参考文献……”取极限”部分也不应被算作研讨班的”主要主题”之一，因为它并不与某个特定的几何思想相关联。相反，它反映了平展上同调语境中特有的一种技术复杂性（使其区别于超越语境），即平展上同调的主要定理首先涉及的是挠系数（与剩余特征互素），而为了得到一个对应于零特征系数环的理论（正如Weil猜想所需要的那样），必须在系数环上取极限ℤ/ℓnℤ以获得”ℓ-进”结果。

明确了所有这些之后，口头研讨班的五个主要主题中唯一以完整形式出现在已出版文本中的是主题I。主题IV和V完全消失了，被吸收进了SGA 412\frac{1}{2}，其好处是可以大量引用它，并让人以为SGA 5依赖于Deligne的一份看似更早的文本。主题II和III以残缺的形式出现在已出版的卷中，并且始终维持着对SGA 4文本的依赖这一同样的虚假表象12\frac{1}{2}（而SGA 4实际上完全出自产生了SGA 4和SGA 5的母研讨班）。

遗体…

注 88 [◊ 373]（5月16日）连续两期研讨班 SGA 4 与 SGA 5 的整体（对我而言它们如同一个「研讨班」）从虚无中同时发展出两者：综合与发现的强大工具，即语言拓扑斯（topos），以及工具（outil）完美成熟、效能卓著，即平展上同调（cohomologie étale）——从那一刻起，它在本质形式性质上的理解甚至超越了普通空间的上同调理论本身110。这一整体代表了我对数学最为深邃、最具创新性的贡献，是一项完全完成的工作。同时，尽管无意如此，尽管每一刻一切都以不言自明之事的自然方式展开，这项工作仍代表了我作为数学家的全部著作中最为宏大的技术「绝技」111。这两个研讨班在我心中密不可分。它们在其统一性中，同时代表了洞见（vision），以及工具——拓扑斯，以及平展上同调的完整形式体系。

尽管洞见至今仍遭拒绝，工具却在近二十年来深刻革新了代数几何中在我看来最为迷人的方面——「算术」方面，由一种「几何」性质的直觉以及概念与技术装备所把握

这肯定不仅仅是暗示一种在先他的摘要上同调摘要先于 SGA 5 部分的意图，促使了德利涅（Deligne）给它安上一个名不副实的名称 SGA 412\frac{1}{2}——毕竟，既然要做，叫他 SGA 3 也并无不可12\frac{1}{2}！在「SGA 4 行动」中12\frac{1}{2}我感觉到一种意图，要将他的全部工作所源自的那部作品（那部他始终无法割舍的作品！）呈现出来——这部作品具有明显而深刻的统一性，这在两个研讨班 SGA 4 与（真正的）SGA 5 的整体中是显而易见的，如同被分割（如同他自己也是分裂的……），被一分为二被强行插入一部陌生的、倨傲的文本；一部试图将自己呈现为鲜活的核心、精髓的文本[◊ 374]属于一种他从未参与其中的思想与洞见112，而环绕它的两个「部分」则像是某种有些怪异的附录，一堆「题外话」和「技术补充」，附于那部自居为核心与本质的著作之上，出自德利涅之手，而卑微的我则被慷慨地（在彻底埋葬之前）列入「合作者」之列113。

「巧合」把事情安排得恰到好处。这副「任人处置的遗体」——这个总是被「编者」们弃之不顾的「不幸的研讨班」，在我离开时留在我的手中，任我的上同调弟子们处置——那可不是随便什么大师作品中的一部分！既不是 SGA 1 与 SGA 2（我在自己的角落里独自发展、尚不自知地锻造着那些将要成为未来主要著作「起飞」所不可或缺的两项技术辅助工具），也不是 SGA 3（我的贡献主要在于无休止的音阶与琶音——有时颇为艰深——以磨炼概型（schémas）的「全方位」技术），也不是 SGA 6（系统发展我十年前围绕Riemann-Roch 定理与相交形式体系），甚至不是 SGA 7（它由思考的内在逻辑，从掌握核心工具即上同调的驾驭中衍生而来）。那恰恰是核心部分我著作中写作仍未完成（正是由于他们的照料……）的核心部分，我将其——至少是一部分——留在了我的上同调弟子们手中。正是这部著作的核心部分，他们选择了加以摧残，将碎片据为己有，忘却了赋予它们意义、美与创造力的统一性（90）。

同样不是巧合，当他们配备着杂凑的工具、否弃了使这些工具从虚无中诞生的精神与洞见时，竟无一人能在创新之作重生的地方辨认出它，不顾他们的冷漠与鄙夷。也不是巧合，六年后，当最终那个新工具终于被德利涅所掌握时，他们一致同意埋葬了那个在孤独中创造它的人——ZoghmanMebkhout，[◊ 375] 被背弃的大师的遗腹弟子！同样不是巧合，在德利涅最初的锐气消退之后（他在几年间凭此锐气一举开创了Hodge 的新理论，并证明了韦伊猜想（conjectures de Weil）），尽管他拥有惊人的才能，而我的上同调弟子们也才华横溢，我今天却在这个无比丰富、一切似乎仍有待开拓的领域观察到这种「沉闷的停滞」。这并不足为奇，因为近十五年来，主要的灵感源泉和某些「重大问题」114，尽管它们就在眼前、处处可见，却一直被小心绕开和遮掩，如同那个十五年来人们不断试图埋葬的人的使者。

… 以及身体

注 89(5月17日) 那曾活在我心中、我自以为已经传达出去的思考与对事物的洞见，我看见它如同一个鲜活、健康而和谐的身体，被赋予生命之物更新的力量，以及构思与孕育的力量。而今这鲜活的身体已变为残骸，被众人瓜分——这一肢或那一块被妥当填充，在某人家中充当战利品；那一块被肢解，在另一人那里用作狼牙棒或回旋镖；还有一块，谁知道呢，原封不动落入家常炖锅（我们倒也不讲究这些了！）——其余的全部扔进垃圾堆腐烂……

这便是我最终看清的图景——诚然是用形象化的说法，但在我看来恰当地表达了事物的某种真实。这狼牙棒，充其量，也不过是到处砸开几颗脑袋罢了115——但这些零散的碎片，无论是战利品、狼牙棒还是家常汤羹，都永远不可能拥有鲜活身体那如此简单而显然的力量：那创造新生命的爱的拥抱……

(5月18日) 这幅鲜活身体与「残骸」四散的图景，想必在过去的一周里逐渐在我心中形成。[◊ 376]它在我打字机的笔下以滑稽的形式呈现，绝不意味着这幅图像有丝毫虚构，一丝阴森，或是在话语推进中即兴发挥的怪诞产物。这幅图像表达了一种实在，在它以书面表达获得物质形式的那一刻被深切感受到。这一实在，想必我早已在此处彼处零星地获知，贯穿自我「离开」以来的十四年，甚至可能更早。信息的碎片——最初由涣散的关注在浅层记录下来，心思被别处占据——但它们全都指向同一方向，并在更深层面渐渐汇聚成一幅图像——一幅未曾言明的图像，我本无意去认清它，当时我另有更要紧的事要做。这幅图像在三月末以来——也就是这六七周——持续的思考中大大丰富和清晰起来。更准确地说，零散的信息碎片，终于被一种全然在场的意识性关注悉心审视，逐渐聚合成一幅另一幅图像，位于检视与探查的思考的较浅层面——这一工作看似独立于更深层面中第一幅图像的存在。六天前，这项有意识的工作在一幅关于所发生之「屠杀」的骤然洞见中达到顶峰——当我感受到一种「气息」、「气味」暴力的，我相信这是在整个思考中第一次116。也正是在那一刻，在已接近表层的层面，必定浮现了这种一个鲜活、和谐的身体确确实实被「屠杀」的感觉——同时，那更深层弥散的图像必定也开始浮出表面，或许是为正在形成的图像赋予一种血肉的维度、一种仅凭思考无法给予的「气味」。

这种「血肉」的面向在今夜的梦中再次显现——正是在这梦的冲动下，我此刻重新审视昨日写下的文字。在梦中，我身体多处被相当深地割伤。首先是嘴唇和口腔内的伤口，大量出血，我对着镜子用大量水漱口（水被血染得通红）。然后是腹部的伤口，同样大量出血，尤其其中一处，鲜血[◊ 377]一阵阵涌出，仿佛那是动脉（做梦者并未在意解剖学的真实性）。我甚至想到，如果继续这样流血，我可能会当场送命，我用手压住伤口，蜷缩身体以止血——血流确实止住了，不再大量涌出，最终形成了一个血块和一层很厚的痂。之后，我小心翼翼地掀起这层痂，一道精细的愈合已经开始形成。我的一个手指也被割伤，裹着一个令人印象深刻的绷带娃娃……

我并不打算对这个梦做更细致详尽的描述，也不打算在此（或别处）彻底探究它。这个梦「如是」已然以惊人的力量向我揭示的是：我昨日所谈论的那个「身体」——写作时我视它为脱离我而存在的东西，如同我可能孕育并诞下的一个孩子，已前往世间走自己的路——这个身体至今仍是我自身亲密的一部分：它是我的身体，由血肉和生命之力构成，这力量使它能在深重的伤口中存活并自我再生。而我的身体，大概也是这世上与我联系最深刻、最不可分割的东西……

做梦者没有跟随我进入「屠杀」和分尸的意象。这幅意象本应还原一种关于意图和他人**身上的 disposition 的现实——**这是我强烈感知到的，而非我本人如何经历这种攻击、这种残害——我通过一件与我密切相连的事物而成为其对象的残害。做梦者刚刚让我隐约看到了我与它有多么紧密的联系。这与我在笔记《物的回归——或直言不讳》（no73）中的思考所感知到的（当然力度较弱）不谋而合。在那篇笔记中，我试图多少把握住「构思某物者与该物之间的深刻联系」之感，它是在那天思考过程中浮现的。在这次4月30日（不到三周前）的思考之前，以及在我整个一生中，我一直装作无视这种联系，或至少是将其最小化，顺应着当下陈词滥调所铺设的现成道路。关心某件已从我们手中离开的作品的命运，尤其是当然关心我们的名字是否还与它有任何关联，会被视为一种渺小、一种狭隘——然而，当一个由血肉养大的孩子（而且我们自以为爱过他）选择抛弃他出生时所得的名字时，所有人却都认为深受触动是自然的。

继承者

Note 90 [◊ 378](5月18日) 我不知道在1960年代，是否有任何学生（除了Deligne）能够感受到这种本质的统一性，超越了他与我共同进行的有限工作。也许有些人曾模糊地感受到它，而这种感知在我离开后的岁月里便一去不返地消失了。但可以肯定的是，自1965年我们第一次接触起，Deligne就已预感到这种活生生的统一性。正是这种对宏大计划中意图统一的精细感知，肯定是他对我所必须传达和传授的一切产生强烈兴趣的主要激励。这种兴趣从未减弱，在1965年至1969年持续不断的数学接触的整整四年中一直显现117。它赋予了我们之间的数学交流那种我提到过的非凡品质，这种品质我与其他的数学家朋友只在罕见的时刻体验过。正是这种对本质的感知，以及它在他身上激发的那种热情的兴趣，使他能够像玩耍一样学会我能教给他的一切：无论是技术手段（疯狂的概型技术、瑜伽（yoga）Riemann-Roch与相交、上同调形式体系、平展上同调、拓扑斯语言），还是洞见（vision）赋予它们统一性的整体洞见，以及最终的动机之瑜伽（yoga des motifs）——当时正是这一洞见的主要成果，也是我迄今为止所发现的最强大的灵感源泉。

清楚的是，Deligne是迄今为止我唯一的学生，在某个时刻（似乎是1968年起）完全吸收并内化了我所要传授的全部内容，无论是其本质的统一性还是其手段的多样性118。正是这种情形，我想所有人都感觉到了，使他被视为我著作当之无愧的「合法继承人」。显然这份遗产既没有妨碍他也没有限制他——它不是负担，而是给了他翅膀；我的意思是：它以自身的活力滋养了这些「翅膀」[◊ 379]——他与生俱来的「翅膀」，正如其他洞见和其他遗产（当然不那么个人化……）也将滋养它们……

这份他在成长与腾飞的关键岁月中汲取的遗产，以及赋予它美丽与创造德性的统一性——他曾如此善于感受它，它已成为他自身的一部分——我的朋友后来119否定了它们，不遗余力地隐藏这份遗产，否认并摧毁作为其灵魂的创造性统一。他是第一个在我的学生中树立榜样，将工具和「碎片」据为己有，同时执意瓦解它们所源出的统一性、那活生生的整体。他自己的创造冲动被这种内在的深刻分裂所阻碍、吞噬并最终瓦解，驱使他否定和摧毁那正是他力量所在、滋养他冲动的同一事物。

我看到这种分裂表现为三种密切相关、不可分割的效应。其一是能量分散的效应，精力消耗在否定、瓦解、排挤、隐藏的努力中。其二存在于拒绝某些观念和某些手段上，而这些对于他所选择作为其主题的领域的「自然」发展却是至关重要的核心120。其三是执着于这样一个主题——在其中要排挤、驱逐一位无时不在的[◊ 380]每一步都出现、必须不断抹去的导师——恰恰是这个主题被支配其数学家生涯的根本矛盾所最强烈地投注。

我所掌握的第一手资料，以及一种从未欺骗过我的基本直觉或嗅觉，使我很清楚，如果Deligne没有被这种深刻矛盾所撕裂——就在他工作本身之中——今天的数学就不会是现在这个样子121——它本会在若干基本部分经历广泛的更新，正如我曾亲身充当其主要工具的更新——正是那同一个Deligne曾执意对抗和扭转的122！

毫无疑问，他也是被指定成为强大几何学派之灵魂的不二人选，延续那个曾围绕我形成的学派——一个由其所出身的学派的活力、以及接替我者的创造力所滋养的学派。但这个曾围绕我形成的学派，这个曾环绕着多年密集培养的滋养母体——它在我离开的翌日就瓦解了。之所以如此，正是因为在那位显然接替我的人身上，没能找到123，也没能找到成为团体灵魂的人[◊ 381]——一个被共同事业凝聚的团体，去承担一项规模超越个人能力的任务。

我觉得我离开之后，我的每个学生都各自回到了自己的角落，工作堆积如山——数学中当然从不缺少工作——但那个「角落」并不融入一个整体，那份「工作」也不曾被一股潮流、一个更宏大的旨趣所承载。可以肯定，从我离开那一刻起，甚至在那之前，我的大多数学生或前学生的目光就已经转向了那个理所当然的「继任者」——他们中最出色、也离我最近的一位。在这个敏感的时刻，我的朋友一定感受到了，或许是他生平第一次，那种突然落在手中的对他人的权力——那种生杀大权，关乎他所属的某个学派的命运，而与他朝夕相处四年的朋友们无疑期待着他能为这个学派带来延续。整个局面完全在他手中，由他来定调……他确实定了调，以摧毁遗产的方式。而首当其冲的，便是这份信任与期待124那些和他同出一师门的人不可能不带给他的……

被 Deligne 的成就所折服的人一定很多，Deligne，这并非没有道理。但我也清楚，这份成就，除了那令人惊叹的最初势头（以证明 Weil 猜想为终点）之外，Weil）远未展现出他的「真正水准」。它固然展现出一种非同寻常的技术掌控与自如，将他置于「最优秀者」之列。但它缺少我早年在他身上所感知到的那种谦卑的德行——更新（renouvellement）的德行。他曾经拥有的这种德行，那种孩童的新鲜与纯真，早已被深埋、被否认了。我差点要写下，凭借这种「德行」和他不凡的[◊ 382]天赋，以及他所受益于的那些让他的才华得以施展的非凡环境，Deligne 本该「主宰」我们这个时代的数学，如同Riemann，或Hilbert 各自「主宰」了他们时代的数学。根深蒂固的思维习惯，扎根于日常语言之中，向我暗示了「主宰」这一意象，然而它却给出了一种对现实的歪曲的把握（appréhension）。这些伟人无疑完全「掌握」、「吸收」、「化为己有」了他们时代已知的数学，这无疑也赋予了他们非同寻常的技术手段掌控力。但如果说他们有充分理由在我们看来「伟大」，那并非因为他们的技术壮举，并非因为他们从顽劣的基质中「硬生生扯出」艰难的证明。而是因为每个人在数学的几个重要领域所带来的更新（renouvellement），因为那些简单而丰饶的「观念」——也就是说：因为他们将目光投向了一些简单而本质的事物，那些在他们之前没有人愿意注意的事物。这种孩童般的、看见简单而本质的事物的能力，无论它们多么卑微、多么为众人所不屑——正是在这种能力之中，蕴含着更新（renouvellement）的力量，每个人身上的创造力量。这种力量，以罕见的程度存在于我所认识的那个年轻人身上——默默无闻、谦逊而热忱地热爱着数学。随着岁月流逝，这种谦卑的「力量」似乎从那个令人敬仰又畏惧的数学家身上消失了，他无拘无束地享受着自身的声望，以及声望所赋予他的（有时是任意的）对他人的权力。

这窒息在我的朋友身上，那种被所有人忽视却具有创造力的、极其精微而生动的东西的窒息，自我离开以来我已多次感受到，近些年来更是日益强烈。但直到最近几周的发现，以及我自三月底以来（在《收获与播种》（Récoltes et semailles）的推动下）持续进行的反思，《收获与播种》（Récoltes et semailles）），我才开始充分感受到这种窒息对我的朋友生命的毁灭性影响，以及对我熟识的许多其他人的影响。不仅是对某些我「后来的」学生（以及类似者），他们遭受了他的恶意（在某些情况下或许是无意识的），这种恶意针对每个人，并沉重地压在其中的三人身上；而且，我现在似乎隐约看到，在我「从前的」学生中也是如此，通过摧毁一种**连续性（continuité）**在旨趣上的连续性，以及摧毁了对一个整体、一种统一性的感受——这种感受赋予他们工作以比[◊ 383]一堆印着他们名字的单行本累积更为深远而广阔的意义125（91）。

在过去七年里不止一次，在最近几周和几天里又不止一次，我在某个层面上感受到一种悲伤，面对着某种被视为巨大浪费（gâchis）的东西——当自身和他人身上最宝贵的东西被肆意挥霍或窒息之时。然而，我也终于明白，这样的「浪费」是人类境况的一个基调，以这样或那样的形式随处可见，在每个人的生命中，从最卑微者到最显赫者，如同在民族与国家的命运中一样。这个「浪费」本身，无非是冲突、分裂在每个人生命中作用的结果，是一种我几乎尚未开始探测其丰富与深度的物质，是一种属于我、需要我去「食用」和消化的养料。正因如此，这种浪费，以及我每一步所遇到的其他一切浪费，还有所有在路上转角处降临于我、又往往是如此不受欢迎的事物——这种浪费和其他不受欢迎的事物，都承载着一种恩惠。如果说沉思（méditation）有意义，如果说它有更新的力量，那就在于它让我能够从那些（由于我根深蒂固的反射而）呈现出「有害」面貌的事物中领受恩惠，在于它让我得以滋养于那些似乎生来就是为了毁灭的东西。

以自己的经历为食粮，让自己被它更新而非不断地回避它——这才是全然承担自己的人生。我心中有这个力量，每个瞬间我都可以自由选择运用它，或是将它弃置一旁。我的朋友也是如此皮埃尔，以及每一位曾是我的学生的人——和我一样自由地以这个「烂摊子」（gâchis）为养分，我在这段漫长沉思的最后几日里刚刚把它巡视了一遍。对于读到这些为他而写的文字的读者而言，也是如此。

共同继承人们……

Note 91 [◊ 384](5月19日) 关于我昔日学生们的消息，零零星星传到我这里的，实在是少之又少。自我离开后，几乎没有人愿意给我一点音讯，哪怕只是寄来抽印本（tirage à part）也没有。126。不过，把传到我这里的零星信息汇集起来，我还是能形成一个印象——虽然确实非常粗略。如果在接下来的几个月里，这份反思促使他们中的某些人现身，这个印象或许会变得更清晰一些。

我已经有机会观察到，在我离开之后，Deligne 作品中的深刻断裂，尽管在某种程度上，他身不由己地显现为一个后继者，因此也处于某种连续性之中。我曾感觉到，这种断裂必定也深刻地影响了我所有其他学生的工作。这正是我想要更仔细地把握的那种印象。

这些学生中，唯一一个其工作显然（至少乍看之下）延续了他与我一同所做工作的，似乎是Berthelot127。他也是唯一一个在很长一段时间里给我寄来许多抽印本的人——甚至可能是他全部的抽印本。它们都属于晶体上同调（cohomologie cristalline）这个艰深的课题，其系统性的起步正是他博士论文的主题。然而在我看来，就像我的其他那些「上同调学者」（交换的）学生一样，他的作品也带有一种对我所引入的某些主要思想的冷落：导出范畴（以及由 Verdier 提炼出来的三角化范畴（catégories triangulées））、Verdier）、六种运算的形式体系（formalisme des sixopérations）、拓扑斯（topos）(911)。正如Zoghman Mebkhout 本人所说，他自己的工作，在主题上与 Berthelot 的工作如此接近(912)，正处在这些思想与Sato 学派的思想的直接脉络之中。如果它们没有被我的那些上同调学者学生们——首先是 Deligne和Verdier——所背弃，那么很有可能早在 1970 年代初，Mebkhout 的晶体理论（他直到 1975 年才开始发展，而且是在这些学生的漠不关心之下）就已经达到六种[◊ 385]运算的形式体系的完全成熟，而至今它仍未达到这一高度128。

我还记得曾和Verdier 谈过这个让我感到好奇的问题，即离散可构造系数（coefficients discrets constructibles）与连续系数（coefficients continus）之间的联系，不过他似乎并未对此产生兴趣。后来这想必引起了Deligne 的注意，因为他花了一整个研讨班（1969 年）来建立一个词典，但这个词典想必并不能让他满意，因为他后来把它当作得失损益弃置不顾了。（参见注释《值班的未知者与好天主定理》，no48’。）而且此后他被自己的埋葬综合征（syndrome d’enterrement）「堵住」到了如此程度，以至于直到 1980 年 10 月他才察觉到Mebkhout 工作的重要性——而当他终于意识到这一点时，却带着众所周知的埋葬性心态（dispositions fossoyantes）（参见注释 nos75到76）。

就我所知，Verdier 自其博士答辩以来的工作，基本上仅限于在解析语境中（有时会带来额外的技术困难）重复我在凝聚概形（schéma）框架下所做的工作，没有引入任何新思想。以他所应当已经培养出的那些反应能力，以及他所掌握的丰富信息而言，他自己居然没有发现 Mebkhout 的理论——这甚至相当令人惊讶——而且他至少没能认出，他的这位「学生」正在做的事情确实颇为有趣，而这些事情连他自己都未能把握住（正如它们也未能被Deligne 所把握一样）。

说实话，尽管我一直对离散系数与连续系数之间的关系问题感到好奇，但我当时确实完全没有察觉到Mebkhout 的晶体理论，它即将在我离开后的十年里绽放。另一方面，有一个宏大的主题，源自我在[◊ 386]1950 年代（1955-1960）关于交换与非交换上同调（cohomologie）的反思，它才刚刚起步（在「交换」语境下，i.e.即以加法范畴（catégorie）的术语），出现在Verdier 的工作中，始于 1960 年代初，在他的答辩之后就被弃置不顾了（参见注释 no81）。非交换方面后来在Giraud 的论文中得到初步展开，他发展了一种几何语言，用拓扑斯（topos）上的 1-层（1-champs）来表述维数 ≤ 2 的非交换上同调。早在 1960 年代下半叶，这两个起步的不足之处就已经很明显了：一方面，「三角化范畴」（由Verdier 提炼出来）这一概念不足以反映与导出范畴相关联的丰富的结构（这一概念注定要被远为丰富的**导子（dérivateur）**概念所取代）；另一方面，也有必要为任意维数的非交换上同调发展一种几何语言，用n-层（n-champs）和∞-**层（∞-champs）**在拓扑斯上。人们感觉到（或者说我感觉到）需要对这两种进路进行综合，这将为同调代数（algèbre homologique）和同伦代数（algèbre homotopique）提供共同的概念基础。这样的工作也直接延续了Illusie 的博士论文工作，该论文中这两个方面都有体现。

通过导子（dérivateur）的概念（在非交换与交换框架中均适用），Bousfield-Kan关于同伦极限（limites homotopiques）的基础性工作（Lecture Notes no304），于1972年出版，也同样属于这一松散纲领的脉络，这一纲领自至少1967年以来就只待有人手来发展。去年一月，我尚未料到一个月后我将投身于*《追寻场》（Poursuite des champs）*，便向Illusie提交了一些关于同伦型（types d’homotopie）的”积分（intégration）“的反思（同伦学家们更熟悉的名称为”（归纳）同伦极限”），当时我尚完全不知道Bousfield和Kan的工作的存在，也不知道这类操作已被除我之外的其他人考察过。看来Illusie也同样对此一无所知，尽管按理说自1970年我”去世”以来，他本该一直待在同调-同伦的水域中！可见他似乎已与某些自然属于基础反思范畴的现实失去了联系——这种反思与他本人在1960年代所追寻的方向一脉相承129。他大概给自己挖了个小洞，就几乎不再出来了……

[◊ 387]伴随着降临到拓扑斯（topos）这一概念本身以及所有「范畴胡话」之上的鄙夷，毫不奇怪Giraud 现在对他曾经最早的重大工作主题完全丧失了兴趣。诚然Deligne 两年前随着动机（motifs）的重新发掘，装出突然发现了非交换上同调（cohomologie non commutative）、层丛（gerbes）、链接（liens）等等这一整套工具的兴趣的样子，仿佛是他自己刚刚引入这些概念似的，连同动机和动机伽罗瓦群130。这类闹剧能否重新点燃他自己曾竭力扑灭的火焰，令人怀疑……我曾在去年二月寄给Giraud 一封约二十页信的副本，这封信后来成了*《追逐栈》（Poursuite des champs）的开篇第一章。这是一番毫无技术性的思考，在其中我成功地「双脚并拢跳过」了那个曾一度阻止了Giraud（以及许多其他人）去把握n*-范畴「非严格」（我现在称之为「n-栈」）的「炼狱」，这一概念始终是启发式的，然而显然具有根本性。这就是*《追逐栈》*的起点。去年十二月，我们在彼此极其友好的气氛中，为Contou-Carrère的博士答辩相遇时，我从 Giraud 那里得知他甚至没有好奇心去读那封信！我的印象是，他已对这类东西画上了一条巨大的横线。在他早已放弃的方向上还可能存在丰富的内涵——这个想法似乎甚至不曾掠过他的脑海。我尝试过，恐怕没有成功，想让他明白那里有一项丰厚而广大的工作已等待了将近二十年等着人去做，而我在垂暮之年终于着手做了，至少在事物自身的驱使下勾画一个大致的轮廓，勾勒出我这个「已故之人」依然强烈感受到的丰富内涵，而我的弟子们早已将它遗忘。

Jouanolou 也放弃了一个他刚刚凭博士论文开创的研究方向。这个方向已成为一种时尚所鄙夷的对象，而树立这一时尚的恰恰是那个曾为他所选主题提供关键技术思想的人。随着rush三年前《反常研讨会》上对三角化范畴的热潮，同一个Deligne 突然装出（可不是开玩笑）发现了眼前这项重大基础工作的样子——这项工作的缺失从四面八方同时显露出来——而他曾[◊ 388]是第一个十年来阻挠其发展的人。对这样一项工作的需求，从 1963/64 年平展上同调诞生之初，对我来说就已是显而易见的；而对于Deligne 同样如此，从他开始听说上同调ℓ-进和三角化范畴的那一刻起，也就是他来我讨论班的第二年。问题在于，除了在环ℤℓ（比方说，在基概形（schéma）之上）以及在这一框架下发展「六算子」形式体系（这件事据我看来已在Jouanolou 的论文中完成）之外，还要做一个类似的工作，通过替换基环ℤℓ为一个ℤℓ-诺特代数（或多或少？）任意的，例如ℚℓ或ℚℓ的一个（代数？）扩张。这属于那些二十年来时机已经成熟、却始终等待着被完成的事情——待到吹向它们的鄙夷之风平息之时……

自然延续Raynaud 夫人的工作（平展上同调中的弱 Lefschetz 定理，用 1-栈的语言表述）本该被置于∞-栈严格禁忌的语境之中，不提也罢！同样地，Sinh 夫人的工作，始于 1968 年而直至 1975 年才完成——一个自然的延续本应是∞-范畴的Picard 包络，包络一个所谓「单项」范畴，或是这类范畴的三角化变体131——想都别想！另一条路是将她的工作翻译为拓扑斯上的栈的语言——多么可怕！至于 MoniqueHakim，她也不幸做了一个在她不合时宜的离开后的风气中显得有点可笑的论文题目——局部环化拓扑斯上的相对概型，您说说看！她关于这个主题的小书，收入 Grundlehren 丛书（Springer 出版），大概每年卖出三四本——难怪我在那家出版社名声不佳，他们也不再那么热心接受我可能推荐的文稿了。对我而言，这是将流形（variété）（代数、解析等等）的一切「绝对」概念在一般「基」上进行「相对化」的第一步测试性探索，这样一种相对化的必要性在我看来是不言而喻的（913）。人们会说，至今没有它我们过得也很好。但同样真实的是，人类在这里存在的两百万年里不搞数学也过得很好。不管怎样，MoniqueHakim 做论文的动机与我提议她做时的动机并不相同，她当然没有任何意愿要[◊ 389]与一个主题保持任何联系，这个主题（脱离了共识的语境，或是一种不顾一切、执着追寻一个坚定可靠洞见（vision）的顽强思想）对她来说已不再有任何意义。

致 Neantro SaavedraRivano，他似乎已完全销声匿迹——我甚至在全球数学家名录（以及所有官方信息）中都找不到他的名字。可以肯定的是，他那颇为范畴化的论文选题，在那些决定什么严肃、什么不严肃的先生们那里，很难获得好评。依我之见，这篇论文最自然的延续，恰恰就是那幅「广阔的动机图景」，这个主题对于这位学生较为谦逊的志向来说，确实有些过于宏大了。然而他最终还是获得了意想不到的荣幸——看到自己的论文被重写从头开始和完整地由这些大人物中的一位亲自操刀，就在不到两年前。（参见相关笔记「埋葬——或新父」和「白板」，nos52和67。）

最终在我十二名「1970年前」的学生中，唯一不太清楚他们的工作是否曾存在一种断裂或多或少剧烈的或深刻的，与他们在我指导下所从事的工作相比，便是 MichelDemazure 和 MichelRaynaud（914）。我所知道的是，他们继续从事数学研究，并且（以他们出色的才华，这不足为奇）属于我有时所称的数学「大世界」。

以上简短反思，基于有时非常单薄的材料，当然在很大程度上是推测性的，且非常粗略。我希望文中提及的人能原谅我可能十分粗疏的判断错误——如果他们愿意就此向我示意，我将乐于修正。在此我再次意识到，每个人的情况肯定都与其他所有人不同，其所代表的现实远比像我这样疏远的人所能合理把握的更为复杂，更不用说用寥寥数行来表达。尽管有所有这些保留，我仍然觉得这番反思并非无用——对我而言至少如此——对于通过一些具体事实来稍稍把握一种昨日浮现的尚显模糊的印象（且无疑在多年来一直以未言明的层面[◊ 390]）：即一种断裂这种断裂发生在我许多学生中，就在我离开之后，并且可能在个人层面上反映了一种「学派」的突然消失——一夜之间——他们在成为数学家的关键训练岁月中，想必一直感到自己属于这个学派。

注 911（5月22日）我刚了解到研讨会上的一篇综述文章「分析p进分析及其应用」来自CIRM，吕米尼（1982年9月6—10日），由P.Berthelot撰写，题为「刚性几何与特征p的代数流形的上同调」（24页），该文勾勒了综合Dwork-Monsky-Washnitzer和晶体上同调的主要思路。晶体上同调的最初想法（以及这个名称本身）（受Monsky-Washnitzer启发），以及通过引入由刚解析空间构成的景来完善这些理论的构想——这些想法都是我在1960年代提出的——如今已成为所有从事这一领域研究者的日常工具，首当其冲的便是Berthelot，其论文正是发展和充实了这些初始想法中的一部分。尽管如此，我的名字在正文和参考文献中都完全未被提及。这已是明确确认的第四位送葬学生。下一个轮到谁？

（6月7日）引人注目的是，在我引入晶体上同调的启动理念超过十五年之后，在Berthelot的论文确认该理论对于本且光滑的概型确实是「正确的」理论超过十年之后，我们仍然未能达到我所谓的对晶体上同调的「掌握」状态——与SGA 4和5研讨班中为平展上同调所发展的那种掌握相媲美。所谓对包含对偶现象的上同调形式体系的「掌握」（第一层级），我指的无非是六个运算形式体系的完全拥有。虽然我并未足够「深入其中」以评估晶体语境中的具体困难，但我不会感到惊讶如果这种相对停滞的主要原因在于Berthelot和其他人对这一形式体系理念本身的疏离，这使他们忽视了（正如Deligne对他的Hodge理论所做的——该理论仍处于幼稚阶段）为拥有完全「成熟」的上同调形式体系所必需的首要「台阶」。正是[◊ 391]同样的心态无疑也使他忽视了Mebkhout的观点对其自身研究的价值。

注：当我在放弃本性质假设（正如「完全成熟」的形式体系所要求的）的语境中谈论「晶体上同调」时，不言而喻我们使用的是这样的晶体景：其对象是并非纯粹无穷小的「加厚」（带除幂），而是「适当的」拓扑代数（带除幂）。对于原始晶体景（对我来说它只是「正确的」晶体理论的初步近似）进行这种扩展的必要性，从一开始对我就很清楚，而Berthelot正是从我这里学到这一点（以及那些初始想法）。关于这一联系的书面提及见于主题纲要，第5版。

Note 912这是一件相当非凡的事：除了我之外，似乎没有人注意到未命名的Mebkhout理论是晶体理论的一个新的重要组成部分。而我，虽然已完全「脱离」上同调（cohomologie）将近十五年，却还是在去年Mebkhout不辞辛劳尽其所能向我解释他的工作时，意识到了这一点。然而，当我把此事（当作理所当然）向Illusie提起时，他似乎认为这是将（D\mathcal{D}-模与晶体）相提并论，显得有些「不伦不类」，两者根本毫无关联。然而我深知他有着数学家的敏锐直觉，而我其他的学生（此处指上同调学家，首先是Deligne）也一样——但我发现，在某些情形下，这种直觉对他们不再有任何帮助……我越想越觉得不可思议，在这样一种氛围中Mebkhout竟然还是成功地完成了他的工作，没有让自己数学上的敏锐直觉被那些远高于他的前辈们的全然不解所消解……

Note 913尤其是在我于Cartan研讨班上做了关于复解析空间（espace）理论基础的讲座，以及关于Teichmüller式的「带水平的模流形（variété）」的精确几何解释之后，在1950年代末，我才明白了对迄今为止人们所使用的通常「流形」概念（代数、实解析或复解析、可微——或[◊ 392]之后的「温和拓扑（topologie modérée）」变体）进行双重推广的重要性。其一是扩展定义，以容许任意的「奇点」，以及在「标量函数」的结构层（faisceau）中包含幂零元（éléments nilpotents）——这是以我关于概形（schéma）概念的基础工作为模式的。其二是向适当的局部赋环拓扑斯（topos）上的「相对化」扩展（「绝对」概念可通过取一个点状拓扑斯作为基底而得到）。这一概念性工作已酝酿超过二十五年，在MoniqueHakim的博士论文中已开始探索，至今仍待重新拾起。一个特别有趣的例子是相对刚解析空间（espace rigide-analytique）的概念，它允许将通常的复解析空间和具有不同剩余特征（caractéristique）的局部域上的刚解析空间，视为同一个相对刚解析空间的「纤维」；正如相对概形的概念（最终已进入普遍实践）允许将不同特征域上定义的代数流形相互联系起来一样。

Note 914尽管Demazure的博士论文，如同Raynaud的博士论文一样，本质性地运用了他们从我这里学到的精湛的概型技术，但他们各自研究工作的核心思想并不属于「Grothendieck式」的武库，这使他们的工作区别于我第一时期其他学生的作品。这种情形或许导致了他们作品的连续性，免于因「埋葬（enterrement）导师综合征」的影响而产生断裂。但这并不一定意味着这个综合征没有以其他方式触动他们中的某一位。三年前，Raynaud对待面对Contou-Carrère关于相对局部雅可比（jacobienne）的工作的态度令我震惊。他所宣布的成果深刻、艰深、美不胜收，远非对「众所周知」之物的简单推广。其中与Cartier的典型曲线理论有着出人意料的联系，还有优美的显式公式——这完全在Raynaud的能力范围之内（以及我本人的）。他接待时的冷淡态度一定对Contou-Carrère的战略性撤退起了决定性作用，使其放弃了一个他曾全身心投入的课题，将其视为亏损，而这一课题，在他看来，似乎只会给他带来麻烦132……我写给他的信中表达了我对这种对这些成果之美缺乏感受力的（痛心的）惊讶，此信至今未获回复。

……与链锯

注 92 [◊ 393]大约四年前我来到这片地区定居时，离我家不远处有一座美丽的樱桃园。散步时我常去那里转转。我喜欢看那些茁壮的樱桃树，正值盛年，树干粗壮，仿佛向来就与这片野草恣生的土地浑然一体。它们想必从未接触过化肥或农药，每到樱桃成熟的季节，我便去那里采摘有滋味的果实。大概有二三十棵树吧。

有一天我再去时，看到所有树干都被齐腰截断，树冠倒落在树干旁的地上，断茬朝天——一派屠戮的景象。用一把好链锯，想必很快就干完了，顶多一小时。我从未见过这样的情景——当人砍树时，通常会弯腰齐根锯断。樱桃卖不出去，我明白，这座樱桃园也产不了多少斤，这都说得通——但这些树桩所道出的，远不止滞销和产量……

昨天我再次有了这种感觉，一棵茁壮的树干，根系强劲，树液丰沛，枝繁叶茂延续着它的生机——被齐腰截断，干净利落，仿佛为了取乐。是当我逐一审视那些主枝，看到每一枝都被截断时，才终于看清了所发生的事。那些本应舒展延展、延续一种生机、一种扎根于深处的内在必然之物——被一刀斩断，切口利落，被众人视为笑柄。

这让我想起Zoghman所说的「误会」，那场在我的学生（除Deligne之外）与我之间的。的确很清楚的是，无论是生机还是洞见（vision），都未曾从我传达到我的任何一位学生（除Deligne外，他确实「除外」！）。每个人都掌握了一套技术工具，这对于在他们选定的课题上做好工作是必要的（甚至是不可或缺的），甚至可能在日后继续发挥作用。我说不清是否有过什么超越性的萌芽。即便有萌芽，在链锯面前它也绝无机会，被一下铲除干净……

我很清楚，只要还有人在做数学——[◊ 394]除非完全放弃两千多年来我们一直在做的那种数学——否则他们总有一天会忍不住让我看到的这些死气沉沉的枝条重新焕发生机。其中有一些已经被我的电锯朋友据为己有，而且很有可能，如果上帝赐他长寿，他还会对另外几根甚至全部如法炮制。不过大部分已经根本不符合他的风格了。但也许他最终也会厌倦不断地取代别人——这肯定是很累人的，而且绝无可能有利可图——从而满足于做他自己（这已经不错了）。

Footnotes

  1. (4 mai) Voir 注no 76「La Perversité」（《反常性》），关于这一奇特的运用。 ↩

  2. （5月4日）此后我收到了文章全文，证实了我手头已有的部分所展示的内容。 ↩

  3. 我特别指出，Mebkhout的著作及其「上帝定理」相对于Deligne早期（1969年）未予发表的工作构成了决定性的进步。关于此事参见注no48’ déjà citée. ↩

  4. (12 juin) B. Teissier长期以来一直关注Mebkhout的工作，并因此成为极少数对他持鼓励态度的人之一。因此他完全知晓这场骗局，并在充分知情的情况下提供了协助。他向Mebkhout辩解道，无论如何他都「无法改变任何事情」。 ↩

  5. （5月28日）此后我得知A. A.Beilinson和J.Bernstein已获悉Mebkhout的研究结果，分别通过P.Deligne（1980年10月）以及Mebkhout本人（1980年11月在莫斯科的一次会议上，以极为详尽的方式）。这两位作者早在1981年6月Luminy研讨会之前就已经在他们对所谓Kazhdan-Lusztig著名猜想的证明中本质性地使用了上帝定理。比较以下信件引文：Zoghman Mebkhout在注「Un sentiment d’injustice et d’impuissance」（《一种不公与无助之感》）（注 n 44”o). （6月3日）关于研讨会全体参与者之团结的更多细节，参见下一篇注「Le Colloque」（《研讨会》），no 75’. ↩

  6. 关于此事参见注nos 51, 52, 59. ↩

  7. 我还想到另外两起方向相同的「操作」，它们分别通过LN 900的出版（参见前一条脚注）和五年前SGA 4的出版（关于此事参见注n12\frac{1}{2}os 67, 67’, 68, 68’). （5月9日）关于与前两次紧密关联的第三次此类操作，参见注「Les bonnes références」（《良好的推荐信》）（no 82），关于另一篇「值得铭记的文章」，这次出自J.-L.之手Verdier. ↩

  8. 我在数学之外的任何其他科学或艺术的历史中也从未听说过类似的事情。 ↩

  9. （5月4日）其他的也是如此，我此后才得知。 ↩

  10. 同样的情况也发生在平展对偶（dualité étale）理论上，在慷慨朋友的笔下变成了「dualité de Verdier」Deligne ! ↩

  11. （5月5日）与注nos 48’，63”相比较。在这持续近十五年之久的漫长埋葬（Enterrement）过程中，以及同样在过去一个月里，主要的「预期中的逝者」J.-L.刚刚对此作出的发现过程中，Verdier显然与他的声名显赫的朋友密不可分，后者在这场葬礼场合毫不吝啬地赠送了必要的花束。 ↩

  12. 与所引文章的第10和11页相比较。 （6月7日）关于遮掩（escamotage）艺术的细节，参见下一篇注「Le prestidigitateur」（《魔术师》），no 75”. ↩

  13. （6月5日）况且一切都是一致的！在「L’Élève」（《学生》）序列（接续「Le Colloque」（《研讨会》）序列）中继续进行的反思，以及某种语调（尤其是在最近与Deligne的简短通信中，见注「Les obsèques」（《葬礼》）的第一条脚注），向我表明，对于Deligne和我的其他no 70同调论学者学生来说，早已显而易见的是，同样应该是Deligne平展上同调（cohomologie étale）的发现及其掌握的创始人；并且在某种层面（即支配行为和态度的层面），他们深信实际上确实就是他，在他面前我不过是个粗心笨拙的辅助者，非但无益反而有碍于一门理论（最终通向Deligne的Weil猜想定理）的和谐展开以及对所有相关方都令人满意的角色分配…… ↩

  14. 以下引文中的着重号为我所加。 ↩

  15. （6月14日）为了说明这个「一点」，我指出Deligne曾在IHES专门开设了一个研讨班，试图发展一种将离散可构造系数（coefficients discrets constructibles）用连续系数（coefficients continus）表达的方法，但未能取得令人满意的结果。关于此事参见注「L’inconnu de service et le théorème du bon Dieu」（《当班的无名氏与上帝定理》），no48’. ↩

  16. 关于这种「通过蔑视据为己有（appropriation par le mépris）」技术的更多评论，参见次日注，no 59’. ↩

  17. 如果果真如此（正如我现在所确信的那样），那就应当赞扬我朋友的谦逊，因为我（至少在意识层面）丝毫没有想到，正是他本人引入并命名了它们。我直到读了那篇「值得铭记的文章」才意识到这一点。 （5月28日）说实话，在该文中并没有明确说明这一点，正如文中也没有说明Deligne是Riemann-Hilbert对应的创立者。然而，我从未怀疑过他在「反常层（faisceaux pervers）」这一名称上的创立者身份，而且这一点后来也确实得到了确认。 ↩

  18. 在纯粹个人层面，这种关系仍以与过去相同的温情友谊基调延续，未见明显改变。我的朋友习惯大约每两年来探望我一次，多数时候是在某次徒步旅行途中。去年夏天他确实又来看了我，这也成了一个可喜的机会，让我得以结识他的妻子Lena，以及他们的女儿Natacha，那时还很小。我想那是在又一次 Luminy 研讨会归来之后，关于那次会议我几乎没有听到什么反响（除了一些阴郁而含糊的暗示，来自Mebkhout，他再次获得了受邀的荣幸，却想不出比再次加入这场游戏更好的做法……）。他们在我家住了两三天，各方面的接触都非常融洽。 ↩

  19. 我甚至倾向于认为情况确实如此。我不止一次在自己身上察觉到，对事物的深层感知其精妙与敏锐程度，远非意识层面或意识表层所触及者可比。完全「觉醒」的人，无疑是那些将这些感知持续融入意识洞见（vision）和意识体验之中的人——因此也是完全依照自身真实能力生活的人，而非仅仅依靠这些能力中微不足道的一部分。 ↩

  20. 在我们的个人关系中，我的朋友用我名字 Alexandre 的（源自俄语的）爱称称呼我，也就是自童年以来我的亲人和最亲近的朋友们所用的称呼。 ↩

  21. 参见注 n°75关于那篇「难忘的文章」。 ↩

  22. （5月6日）在我看来，这一原则的首次应用见于Lazard 关于仿射空间（espace affine）上代数群律的幂零性（nilpotence）的定理ε（在任意域上）。他的证明曾给我留下极深印象，我从中获得启发，用于许多其他命题，并将其提炼为一种「哲学」，主导了我对动机（motifs）理论的思考。 ↩

  23. 参见注「驱逐」（n°63），此为其中一例。 ↩

  24. （6月5日）我自称一个原则的「父亲」或许有失妥当，因为据我所知其首次应用当归功于 Lazard（参见注 22）。我的角色，一如在其他场合，在于感受到他人思想的普遍性，并将其系统化至成为一种「反射」或「第二天性」。在重量（poids）与动机的瑜伽中，很可能最先运用这一原则的是Serre（而非我），他关于虚Betti 数（nombres de Betti virtuels）的思想，恰好引导我走上了普遍的重量与动机之瑜伽的道路。（参见注 n°469关于 Serre 的上述思想。）诚然，常见做法是将一个已成为惯常的推理「原则」的创始归于并非最早可追溯的作者，而是那个首次认识到其普遍意义、将其系统化并推广的人。在这个意义上，可以说 N.Katz（下一句中会谈到）将这一原则的创始归于我，他的纠正是合理的。 ↩

  25. 关于「SGA 4 行动」的细节12\frac{1}{2}」，参见四则注：「白纸」（La table rase）、「异类」（L’être à part）、「绿灯」（Le feu vert）、「颠覆」（Le renversement）（注 n°67,67’,68,68’）。 ↩

  26. 在某个具体案例中，「界定我的不适感」的第一步是在*《收获与播种》（Récoltes et semailles）*不到三个月前完成的反思（事实证明相当费力——且不无原因）「注解——或曰新伦理」（第33节）。这一反思在其一则注中被重新探讨，题为「年轻人的”势利”——或曰纯洁的捍卫者」（注n°27），而后在不到两周前再次（在前一天发现「难忘的卷册」（LN 900）的冲击下）写下了注 n°59：「新伦理（2）——或曰抢夺之战」。在写这则注时，我心中仍存有一丝犹豫，是否该使用「抢夺之战」这个颇为粗粝的措辞。但此后接踵而来的发现向我表明，任何犹豫其实都是不必要的。 ↩

  27. （6月14日）写完这则注之后，「中国皇帝的新装」这个名称自然而然地浮现在我脑海中，作为埋葬（Enterrement）的一个副标题，表达了其中尤为触目惊心的一面。此后，随着反思转向我的所有学生，乃至「整个教会」的*建制派（establishment）*数学的，这个副标题似乎不再那么必需。然而，我最终意识到，最初想到我的朋友时浮现在我脑海中的那个譬喻Deligne，同样适用于埋葬的方方面面与种种变故——每一步都荒诞不经到令人难以置信（而每个人都故作得体地视而不见），然而这一切却真实不虚。关于这方面的反思，尤请参见注「进步无法阻挡！」、「研讨会」、「受害者——或曰两种沉默」、「玩笑——或曰重量复合体」、「神秘化」、「掘墓人——或曰整个教会」（n°50,75’,78’,83,85’,97），其中没有一则特别涉及我的朋友Pierre。 ↩

  28. 连同「注解——或曰新伦理（1）」，这则注是唯一一则我不得不重写数次的注或章节，因为初版（甚至下一版）中「写出来的」东西，仍然负载着我习以为常的看待事物的洞见的全部惯性，远未达到需要审视的那个现实本身。 ↩

  29. （5月30日）这并不完全真实——我将最近更为清醒的心态投射到了过去。我记得，在与Zoghman 上个夏天的会面中，仍惊讶于我的学生中竟无一人上同调学者（cohomologistes）（尤其是Deligne、Verdier、Berthelot、Illusie）曾协助过Zoghman 的工作。这种惊讶在Deligne 约十天后到访我家时再度出现（我大概向他提过一句Zoghman，未获回应），随后，在与Illusie 的电话中也是如此。（关于此事，见笔记《神秘化》（La mystification），no85’。） ↩

  30. （6月3日）那是更早的事，在1980年2月，他论文答辩一年之后。 ↩

  31. （6月12日）对于平展对偶（dualité étale）而言，这并不完全正确，只要纯性猜想（conjectures de pureté）和「双对偶定理」（théorème de bidualité）尚未在完全一般性上得到证明。 ↩

  32. （10月9日）Zoghman 向我指出，这些「纪要」实际上直到1984年初才出版。 ↩

  33. （5月7日）此处记忆略有混淆——我更认为他当时正准备去参加会议。从那一刻起，他当然不乏理由使用我所记得的那些「苦涩的（且含糊的）措辞」。但这种苦涩因他在我家小住之后又去了 Luminy 而进一步加剧。我通过他从 Luminy 回来后打给我的一通电话得知了此事。从那一刻起，我就有一种非常清晰的感觉：他赶去 Luminy 是为了享受被「那些人」（我不太确定是哪些人）刁难的乐趣——那些人慷慨地邀请了他，而他们自己则享受将他当作无足轻重之辈对待的乐趣。我应该对他说过或暗示过这一点，而这恐怕无助于改善我的朋友对我的态度。 ↩

  34. 正如他从未向我提及他自己的葬礼一样，Zoghman 也未曾向我提起过我的葬礼，尽管将近十年来他一直真正处于最有利的位置来见证其进展！说实话，他的「保护者们」（多少有些勉强）甚至愿意让他亲手抬一下承载我遗体的棺材的一角——但他们不能原谅他成为宾客中唯一敢于偶尔提及那个所有其他人都避而不谈的名字的人！ 因此，我的朋友一定感到自己与我的关系处于进退两难的境地，他未能从自己内心找到足够的坦然去面对一段充满暧昧的过往（正如我所经历的那样），并直截了当、清清楚楚地与我交谈。谈论他的葬礼，也就是在谈论我的葬礼以及他本人在其中扮演的角色……无论如何，如果我最终得以发现那场著名的葬礼（Enterrement）的全貌，那是在违背某种「沉默的共谋」的情况下实现的，而这种共谋不仅包含我的朋友Zoghman，也包含我的朋友Pierre——而且无疑也包括我在数学「大世界」中的大多数朋友。 （6月3日）欲知更多细节，见笔记no78”。 ↩

  35. 见其来信在笔记《一种不公与无力之感》（Un sentiments d’injustice et d’impuissance）中的引文，no44”。 ↩

  36. （6月12日）无论如何，Katz、Manin、Langlands 似乎并不在其中…… （1985年3月）关于Katz 的另一种说法，参见笔记《把点点在i上》（Les points sur les i），no164 (II5)，以及《四种策略》（Les quatre manœuvres）（no169），《第二幕》（Épisode 2）。 （1985年4月）同样对于Langlands，见笔记《预发掘》（La pré-exhumation），no1761。 ↩

  37. 关于此文，见笔记《好的参考文献》（Les bonnes références），no82。 ↩

  38. 关于此笔记的准确参考文献，Mebkhout 的论文以及上帝的定理（théorème du bon Dieu），见笔记《铺路石与上流社会——或指鹿为马》（Le pavé et le beau monde — ou vessies et lanternes），no80。 ↩

  39. （5月30日）一时兴起，我在此有些夸张。Zoghman 从未建议我放弃出版笔记的某一部分。最近，他甚至坚持这些笔记应当以书籍形式正式出版，以惠及「后人」，而在他看来，预印本（preprint）式的限量发行似乎有点像「徒劳之举」。 ↩

  40. （10月9日）Zoghman 向我说明，事实上他起初并未拥有那篇完整文章的复印件（Xerox），他是后来才去复印的。 ↩

  41. 这已不是我第一次听到这种关于「绝对权力」的论调了，人们借此想要说服自己相信自身的无力并为之辩护。如果说有谁曾将对自己个人的「绝对权力」赋予了任何人，那么对于Zoghman 而言，那个人不是别人，正是Zoghman 自己！ ↩

  42. （5月8日）况且，在我与我的朋友的关系中，冲突的明确迹象恰恰出现在他「与我同甘共苦」的那次小住之后——那次小住充满了毫无保留的情谊，消除了我们第一次短暂会面未能完全抹去的「距离」感。我在此遇到了一种我早已熟悉的情形，在《敌人般的父亲（一）》（Le Père ennemi (1)）、《敌人般的父亲（二）》（Le Père ennemi (2)）》（第 nos29、30节）。我在写下这些作为对之前反思的评论时，并未意识到我所描述的原型情境将在未来不断处于一场漫长反思的中心，而当时我曾以为自己已接近这段旅程的终点！ ↩

  43. （5月30日）自从这些文字被写下（5月6日）以来，我的朋友的态度发生了剧烈变化，最近我未再感受到他执着于受害者角色的迹象。需要说明的是，以下文字（如同之前的一样）涉及我朋友生活中的某些片段，绝不试图勾勒一种性情或描述一种持久的倾向。 ↩

  44. （5月30日）这当然是一个具有好斗气质的人的主观洞见（vision），是一个看似可能缺乏这根弦的人的主观看法。自这些文字写就以来，好斗的弦似乎已在我的朋友身上苏醒，他决心与一种让他深受其害的不公作斗争。 （1985年4月18日）若要对我朋友的心境有一个不同且不那么”强硬”的解读，亦可参见「根与孤独」（Racines et solitude）注（no1713）。 ↩

  45. （5月30日）此外，直到几周前，我还在系统性地低估这个角色。就此可参见「与众不同者」（L’être à part）注（no67’），写于5月27日，我在该注中首次意识到自己身上的这种态度并领悟其含义。 ↩

  46. （5月30日）我也不记得有人联系过我加入论文答辩委员会。埋葬已然如火如荼…… ↩

  47. Serre也以注释标记[3]隐含地出现在同一行——好奇的读者会在参考文献中找到他的名字，见Hodge I。这条仓促的标注行很可能是在1968年至今唯一一处一口气提及那些”源头”的暗示（无论多么隐晦）：Serre（又名[3]）、动机（motifs）、Grothendieck…… （5月28日）然而我后来又发现了另一处这样的暗示，鉴于其场合非常特殊，颇为有趣。就此可参见「悼词（一）——或称赞美」（L’Éloge Funèbre (1) — ou les compliments）注（no104），以及其前一条注（「掘墓人——或称整个会众」（Le Fossoyeur — ou la Congrégation tout entière），no97）的末尾，其中界定了这一”特殊场合”。 ↩

  48. 在写这些文字时，我不禁联想到两年前发生的一桩关于”权”（poids）的首次揭示性事件，该事件在「罐头里的权与十二年的秘密」（Poids en conserve et douze ans de secret）注（no49）的开头提到过，在「驱逐」（L’éviction）注（no63）的开头有更详细的叙述。关于”竖拇指！风格”的一般性讨论，可参见「竖拇指！」（Pouce !）注（no76）的思考。这种风格已经开始让我相当熟悉了！ ↩

  49. 《代数流形（variété）上同调（cohomologie）中的权》，P.Deligne著，1974年温哥华大会，会议论文集，第78—85页。 ↩

  50. Zoghman最终对他曾经的老板（patron）评价如此之低，以至于他当时深信Verdier在1960年代所做的一切（我在一条脚注中回顾了这些，见注no81），「赊账论文与全险保障」（Thèse à crédit et assurance tous risques）或多或少是由我口授或至少是我暗示给他的。 ↩

  51. （5月30日）我在此提醒，这一想法源于我朋友身上那些如今看来已然过时的心境。（比较5月30日写在注no78’）的两条脚注。 ↩

  52. 我原本并不相信在余下的岁月里，我还有机会回到首都小住几日。但我的朋友Pierre十多年来频频奔波，来到偏远的乡间与我相聚，正因如此，在这个特殊的场合，我才动身前往，同时也是回应一个屡次发出却从未践行的邀请。 ↩

  53. （1985年4月17日）最终发现，「天定理」（théorème du bon Dieu）通常使用的形式并非此处引用的定理形式，而是用同样方法可证的一个邻近形式。参见「洞见的萌发——或称闯入者」（Éclosion d’une vision — ou l’intrus）注（no1711），尤其参见其中标有今天日期的脚注。 ↩

  54. （6月3日）事实上，研讨会的所有参与者无一例外都当场了解了情况。就此可参见「研讨会」（Le colloque）注，no75’，写于今天。 ↩

  55. 仅此一篇论文对于一个有天分的年轻研究者来说，两三年的工作成果似乎有些单薄。但Verdier当时的大部分精力都用于掌握同调代数（algèbre homologique）和代数几何学必不可少的基础知识，尤其是通过参加我的讨论班以及与我面对面地工作。他对对偶性（dualité）形式体系的贡献（见下文）出现得更晚，是在我与Artin在SGA（1963/64）中详细发展了平展（étale）对偶性形式体系之后，我建议他（在他建立导出范畴（catégories dérivées）基础的工作之余）在同一形式体系下发展”普通”拓扑空间（espace topologique）及此类空间的可光滑化态射的框架。 大约在我以SGA 1开始我的”代数几何讨论班”系列（1960年）的时候，Verdier, 以及JeanGiraud和Michel Demazure联系了我，问我是否有工作给他们——他们可算是找对人了！巧合的是，从我在写「我的孤儿们」（Mes orphelins）注（no46）的时候我就注意到了：当他们三人联系我时，他们刚刚组成了一个名为”孤儿讨论班”的小型研讨组（主题是自守函数，疯狂计算式的方法），因为他们的老板（或是CNRS的担保人？）刚刚不告而别地离开了一年，让他们求知若渴、有些茫然。这种空虚很快就被填补了…… ↩

  56. 我们在论文的开头读到： 「本论文是在A. Grothendieck的指导下完成的。其中包含的基本思想归功于他。没有他最初的启发、持续的帮助和富有成果的批评，我不可能完成本论文。在此谨向他表达我深切的感激之情。」 我感谢ClaudeChevalley愿意担任我的论文答辩委员会主席，并有耐心阅读本文。 我感谢R.Godement和N.Bourbaki引领我进入数学殿堂。 「本论文」一词几乎只能指所进行的全部奠基工作，提交的文本构成了其导论——因此，严格说来，这项工作在答辩时并未「完成」。 （5月30日）这种不一致很好地反映了一种局面的模糊性，我作为论文导师和（根据我手中这份论文副本的封面所示）答辩委员会主席，对此负首要责任。面对一位才华横溢的学生，我缺乏「严谨」（rigueur），表现出一种纵容，这与我对Deligne（参见笔记《另类存在》（L’être à part），no67’），也同样贡献了一份力量，结出了同样的果实。 ↩

  57. 更值得注意的是，J.-L.Verdier拒绝了我的提议，不愿担任Contou-Carrère在1983年12月的答辩委员会成员，与J.Giraud一起，由我担任研究导师，他认为该论文（尽管已全部写完并经J.Giraud仔细审阅）和答辩委员会无法提供足够的严肃性保障，而不提交大学论文委员会巴黎（原文如此（sic））。 ↩

  58. 除了这一责任，我还应加上一点：在随后的两年里（在我离开数学舞台之前），我未能确保Verdier切实履行了他所签订的合作约定。必须说，我的精力完全投入在了自己所承担的奠基工作中，更不用说还有动机反思（réflexions motiviques）等其他工作，因此我不大可能去想提醒他人履行其义务这一令人不快的差事。我一定是到了Verdier决定放弃出版原定于1970年代初的工作时，才得知这一消息——当时我已经完全不接触数学了，也绝不会想到要「做出反应」。 ↩

  59. （5月30日）这些略显怀疑的表述方式其实并不恰当。正如ZoghmanMebkhout（他付出了代价才知道这一点）向我证实的那样，我以怀疑口吻所提出的关于「Grothendieck风格」同调代数（algèbre homologique）之地位的说法，恰恰符合现实。 ↩

  60. 与笔记《同谋》（Le compère）和《不义——或回归的意义》（L’Iniquité — ou le sens d’un retour）中的评论进行比较（nos63'''和75）。 ↩

  61. 然而事实是，我在翻阅Z.Mebkhout一份我刚刚在四月底收到的作品的参考文献时，才得知这个「状态0」已经出版，而我甚至早已忘了这个来自另一时代的文本的存在…… ↩

  62. 如果J.-L.Verdier真的希望让人们了解已被埋葬七年的导出范畴（catégories dérivées）的瑜伽（yoga），他本该选择发表构成其论文的那个导论文本，而不是一篇无人关心的技术文本——后者只有在瑜伽及其众多应用的背景下才获得意义。但我们可以理解，他毫无意愿在那五十页的见证文本之外附上他那十七页的论文，其中包含着如今令人尴尬的、关于那个尤其不应指名道姓者的角色的断言…… ↩

  63. （1985年4月19日）我在三篇笔记《真正的数学……》（Les vraies maths…）、《……与无意义》（… et le non-sense）、第三篇《遗产——或曰阴谋与创造》（Le patrimoine — ou magouilles et création）（no1695，1696，1696bis），在*《收获与播种》（Récoltes et semailles）*的第四部分中重新讨论了这一美妙的表述、它的作用以及它在埋葬（Enterrement）过程中的奇异变迁。 ↩

  64. 参见就此方向的评论，笔记nos68，68’、《绿灯》（Le feu vert）和《翻转》（Le renversement），其中我考察了这个研讨班报告编写过程的奇异变迁，以及这些变迁与「操作SGA 412\frac{1}{2}」Deligne之间的关系。接下来的思考向我揭示了这些变迁以及母研讨班在Verdier和Deligne的联手操弄下被肢解的另一个未曾预料的方面。双方的出版物一人和另一人确认了这一肢解，分别是1976年和1977年——它们构成了给Illusie的「绿灯」，以准备（十一年后……）SGA 5的出版（它，Deligne*语（dixit）*在SGA 4中12\frac{1}{2}，「可以被视为一系列离题之论，其中某些非常有趣」）。 ↩

  65. 关于我重新讨论这种「仓促」印象的反思，参见笔记《沉默》（Le silence）（no84）。 ↩

  66. 这场研讨会的这一年，我相信，正是我结识Deligne 的一年，他当时应该是十九岁。他很快就”投入其中”，甚至还承担了整理我前一年关于平展对偶（dualité étale）的讲稿的工作（他应该是通过我的讲解和笔记了解到这些内容的），以及关于与闭链（cycle）相关联的上同调（cohomologie）类的讲稿，这在被引用的注释中已经提及。no 68’（“颠倒”），在这篇注释中还会略微提及。事实上，以他拥有的条件和对该主题的完全掌握，他却等了十一年才整理完稿，然后将其收入他的 SGA 412\frac{1}{2} 却未告知我，如今回顾起来，这向我表明，早在 1966 年（而不仅仅是像我曾猜测的从 1968 年开始——参见 注释o 63，“驱逐”）——也就是说，从我们相识的第一年起——在我的朋友的关系中就存在着一种深刻的暧昧，对我，从那一刻起就以完全清晰的方式表达出来，而我直到今天都一直回避去认识它！ ↩

  67. 同样令人惊愕的缺乏洞察力在同一场合也出现在 Deligne 身上，他直到 1980 年才”嗅到风向”（即Mebkhout 思想的重要性），而 Mebkhout 自 1974 年起就一直在这个方向上工作。我不止一次有机会在我的朋友身上观察到，自负堵塞了他与生俱来的洞察力，尤其是从 1977 年（或 1978 年）开始，这似乎构成了第一个”转折点”（关于这一点，参见注释”两个转折点”和”葬礼”）nos 66, 70). ↩

  68. 关于此事的细节，参见注释”棺材 4——或没有鲜花与花圈的拓扑斯（topos）“no 96. ↩

  69. 参见前一条注释”良好的推荐信（Les bonnes références）” ↩

  70. 参见注释”反常性（La perversité）“no 76. ↩

  71. 而且这篇文本如今似乎确实已成为一项标准参考文献——至少多年来它一直是Zoghman 的枕边书之一（他最近寄给了我）。正是在那里他学到了可构造性（constructibilité）的概念（这在他的定理中扮演着关键角色），并且长期以来他一直深信Verdier 是这一对他至关重要的概念的天才发明者。 ↩

  72. 这就是注释”罐头重量——与十二年的秘密”。要从我们这里关注的视角对 Deligne 的那篇文章进行更详细的考察，参见”驱逐”，注释o 63，下文将引用。 ↩

  73. 即使我一副跟不上的样子，我也从未真正感到自己在演戏（我没有这方面的天赋），这完全是自然而然的——事实上，对于这些我已将近十五年没有碰过的玩意儿，我确实有点跟不上！但我相信，即使老糊涂了、该进棺材了，我仍然能分辨出空核桃和饱满核桃的区别…… ↩

  74. 特别参见 注释os 67, 67’, 68, 68’. ↩

  75. （6 月 7 日）在最近一次造访中阅读了关于埋葬（L’Enterrement）的全部注释后，Zoghman 向我指出，他之前使用的”忠于我的著作”这个表达并未真正传达他的想法。他心目中更多的是对自己判断能力和数学直觉的信任，这种信任告诉他，我的著作为他提供了他所需要的某些思想。因此，这是一种对soi-même的忠诚，而这确实是做出真正创新性工作的关键所在。 ↩

  76. 诚然，他这样做是以”拆解”原有的 SGA 5 研讨班为代价的，他与 Deligne 一同是这次拆解的主要执行者和”受益者”。 （6 月 7 日）三天后对 5 月 12 日的反思（参见注释”屠杀（Le massacre）“）揭示出，Illusie 与这与其说是拆解不如说是”屠杀”的事件的关联甚至比no 87Verdier 更为直接——尽管他并非其中的”受益者”，并且他是为他人行事的。 ↩

  77. （5 月 31 日）有趣的是，唯一一个曾向我暗示存在一场埋葬的人是一位非洲朋友，他曾与我一起完成一篇三阶段博士论文，大约十年前（因此是”1970 年后的学生”，身份普通），我与他一直保持着友好的关系。他暗示此事的那封信应该是两三年前的事，那时这丝毫不会让我感到惊讶。我当时没有就其印象追问细节，他直到最近才再次提起这些。 ↩

  78. （5 月 31 日）甚至在 1976 年之前，这似乎都是不可能的，尽管在 1970 年代初期我曾相当明确地说过我不打算重新从事数学活动。1976 年在 IHES 所作的关于带分裂幂（puissances divisées）的 De Rham 复形的讲座，当时相当清楚地表明我仍然对数学感兴趣。 ↩

  79. （5 月 31 日）这是些我本人不认识的年轻作者，我猜想他们是效仿了Berthelot 的榜样，对他们来说 Berthelot 想必是前辈。这里有点奇怪的是，至少从两年前（自 1982 年 9 月 6-10 日的 Luminy 研讨会（colloque）以来）Berthelot 一直在积极出力埋葬我（关于此事，参见 5 月 22 日脚注中对注释”共同继承人（Les cohéritiers）……”的注释）no 91——这会不会是他与我的关系中的一个新近的转折点？我不记得收到过那篇关于晶体上同调（cohomologie cristalline）及相关内容的综述文章的抽印本（tirage à part），其中他对我的名字只字未提——他肯定刻意没有寄给我！ ↩

  80. (5月31日) 当然，促使他们寄给我的心理原因远没有我的学生们那么强烈——但可以天真地认为，比我的分析学家同事们要强烈得多，甚至比我收到抽印本的众多代数几何学家（其中许多我素不相识或仅有一面之缘）也要强烈。显然，在我离开共同圈子后，曾经的友谊在我往日的数学界朋友中制造或强化了我已有机会目睹的排斥本能。（关于这些态度——在《收获与播种》中各处有所提及——请参见5月24日的注「掘墓人或整个修会」，第97注。）81. (5月31日) 这几乎是从我的一位老朋友（或一位老学生）那里传来的唯一回响，是对我「回归」的赞同。这当然毫不令人意外，因为死者的出现不合时宜地打破了一场葬礼的正常进程……（6月17日）然而就在最近，我有幸收到了Mumford的一封热情洋溢的信，他说对《纲要》中勾勒的想法感到 thrilled 和 very excited，并向我确认，我对Teichmüller塔（tour de Teichmüller）的组合描述所需的关键技术结果确实已被证明。这是自1978年以来，第一次有昔日朋友接受我的anabelian思想（idées anabéliennes）——其非凡意义（堪比动机之瑜伽，yoga des motifs）对我来说从一开始就显而易见……（1985年3月28日）自这些文字写下以来，我也收到了I. M. Gelfand的一封非常热情的信（日期为1984年9月3日），作为对《纲要》的回应。82. 见第82注。83. 在1960至1970年间，我以年均约一千页的速度写作各类文本（EGA、SGA、论文），其中全部或几乎全部后来都成为常用参考文献（这一点在我写作时，或在我鼓励某合作者在我的协助下这样做时，我就十分清楚）。84. (5月16日) 事实上，正如我在第二天才发现的那样（见第87注），母（或父！）研讨班SGA 5遭到了Verdier、Deligne和Illusie的真正的「屠杀」。85. 即使在我1970年离开之后，Illusie对我仍保持着细腻的关怀——很长一段时间里，他仍在年终节日时寄来非常精美的贺卡。我恐怕没能经常回复他以示感谢和报平安——这些忠实友谊的标记如同来自一个似乎无限遥远的过去的信使，而我已经与那个过去失去了联系。（5月16日）相反，Illusie没有任何no 97.) ↩

  81. ↩

  82. Voir o 82. ↩

  83. ↩

  84. o 87Verdier, Illusie. ↩

  85. 在数学层面上继续或恢复接触的意愿，就在去年（当我因数学问题联系他时）我仍感到他的犹豫。自我离开以来的十四年间，我只收到过他的一份抽印本，日期为1979年。86. 关于这次对话，见注「玩笑——或”权复合形”」（第83注）。87. (6月12日) 我此后得知，两人均未参加此研讨会（Luminy，1981年6月）。但请参见注「蒙骗」，第85’注。88. 这是指同一天的注「团结」，第85注。89. (5月30日) 关于这方面的思考，见注「掘墓人——或整个修会」，第97注。90. 见3月31日的注「我的孤儿们」和「拒绝遗产——或矛盾的代价」（第46、47注）。91. (6月12日) 谨慎是必要的，因为新的序列「我的学生们」已从最初称为「学生」、后变为「学生——别名老板」的序列中分离出来。92. 本注接续昨天的思考「团结」（第85注）。93. 思考的后续还表明，这些「其他人」中有一人为此操作替他人出了力。94. 详情见第82注「良好的推荐信」。95. 见第83注「玩笑——或权复合形」。96. 正是这一情况想必启发了Deligne即兴对SGA 5做出了精彩的批评，称Lefschetz-Verdier公式的局部项（该公式「仍是猜测性的」，请记住！！！）甚至未被计算出来！（见注「白板」，第67注，关于这一批评的荒谬性——对于了解情况的读者来说，其荒谬程度堪比前一年Verdier著名的「权复形」（见第83注）。于是，Verdier成了学派！）97. 这是一个口误，将「交换」迹理论（对此人们并没有等待我）的创立归功于我，而非「非交换」迹理论。这一错误竟保留到了出版的版本中，这尤其引人注目，因为Illusie或许是我的学生中工作最细致入微、不放过任何一个细节的人。98. 关于「最好的自我」这一表达的含义，见以下注「遗骸……」、「……与躯体」，第88、89注。其中第一注将SGA 5研讨班（与不可分割的SGA 4一起）定位为我的著作中「完全完成」的部分的主要部分。99. 见4月30日的同名注（第73注）。100. 这主要是指伴随SGA 5（由Illusie撰写）和SGA 4（由Deligne撰写）的介绍性文本中的论述。101. (6月6日) 形式略有不同，见注的后续，同日所写。（1985年3月）关于Deligne本人提供的细节，见注「给i加点（Les points sur les i）」，第164注（II 1）。102 ↩

  86. no 83). ↩

  87. no. ↩

  88. no 85, du même jour. ↩

  89. no 97. ↩

  90. nos 46, 47). ↩

  91. ↩

  92. no 85). ↩

  93. ↩

  94. o 82 ↩

  95. Voir la o 83 ↩

  96. Lefschetz-no 67o 83 ↩

  97. ↩

  98. nos 88, 89 ↩

  99. no 73) du 30 avril. ↩

  100. 12\frac{1}{2} (écrits par Deligne). ↩

  101. o 164 (II 1). ↩

  102. （1985年3月）确实如此，参看上一脚注中引用的第164注。o ↩

  103. 比较注释« La dépouille »中的评注（no88）关于SGA 4操作之深层含义12\frac{1}{2}，同样旨在通过«暴力插入»外来文本SGA 4，将我围绕平展上同调（cohomologie étale）的作品之深层统一性炸碎成一堆无定形的«技术枝节»12\frac{1}{2}置于展开该作品的两个不可分割部分SGA 4与SGA 5之间。 ↩

  104. 这些安排，恰恰是针对Riemann-Roch-Grothendieck定理Riemann-Roch-Grothendieck，在«悼词»中表现得尤为清楚；参见注释«悼词（1）——或称颂词»，no104. ↩

  105. （6月6日）此外似乎，通过对偶定理（其间已被提升为«Deligne定理»）Deligne»），Lefschetz-Verdier公式之原始证明Lefschetz-Verdier依赖于奇点消解假设，而Deligne在域上有限型概型的情形中可以绕过该假设。这是浑水摸鱼以造成SGA 5隶属于«讨论班»（原文如此）SGA 412\frac{1}{2}之印象的良机，而该讨论班«在先»（而且确实是在它之前出版的！）。 ↩

  106. 在以SGA 5之名出版的卷册引言第二段中，Illusie将围绕平展上同调中Lefschetz公式的三个讲座III、III B、XII呈现为«讨论班的核心»，，然而我们已经看到，在讲座III B的引言中，他十分小心地说明（与事实相反）«本讲座与讨论班任何口头讲座均不对应»，并且在讲座III和III B的引言中，他尽其所能造成这些讲座从属于SGA 4的印象12\frac{1}{2}，且讲座III被呈现为«猜测性的»！！事实上，整个SGA 5讨论班在技术上独立于讲座III（Lefschetz-Verdier公式），Lefschetz-Verdier），它扮演着启发性动机的角色，而讲座III B正是由Bucur搬家所造成的«空缺»（讲座XI），Bucur成为了这一额外肢解的趁手借口。 为了坐实«技术枝节»讨论班的说法（由其友人Deligne所授意），Illusie煞费苦心地删掉了导引讲座，在该讲座中我曾勾勒了一个将在本讨论班中展开的主要大主题的初步图景，其中迹公式仅构成一小部分（因其算术推论——朝向Weil猜想——而获得特殊重要性）。Weil）。欲了解这些«大主题»概览，参见子注释no875下文。 ↩

  107. 而该讲座被呈现为«讨论班核心»的一部分！（参见前一条脚注。） ↩

  108. 经核实，这一几何解释至少被保留在了Illusie的文稿中。 ↩

  109. （6月12日）在翻阅该讲座时，我进而确信了Jouanolou与我其他上同调弟子之间的完美默契。 ↩

  110. 即便仅限于最接近«流形»的空间，如可三角剖分空间。 ↩

  111. 某些困难或未预见的结果是由他人取得的（Artin，Verdier，Giraud，Deligne），部分工作是与他人合作完成的。这（至少在我看来）丝毫未减弱我对该工作在我全部作品中地位的评价之力度。我还不妨以更详尽的方式回到这一点，在*«主题纲要»（Esquisse thématique）的附录中*，并在显然已变得必要之处把话说明白。 ↩

  112. 这一思想——无论就主导理念还是本质结果而言——在年轻人Deligne登场之前就已完全成熟，他于1965年至1969年间通过与我的接触学习代数几何与上同调技术。 （5月30日）参见关于此事的注释«L’être à part»，no67’。 ↩

  113. 参见注释«绿灯»、«逆转»，nos68，68’。 ↩

  114. 这一«主要灵感来源»当然就是«动机之瑜伽»。它只在Deligne一人身上产生作用，他将其秘藏于心仅供自己«获益»，且以一种被剥夺了大部分力量的贫瘠形式，否弃了这一瑜伽的某些本质面向。在由此激发却遭到忽视或暗中贬低的«重大问题»中，我此刻（尽管已然局外）看到标准猜想，以及为所有通常类型的系数（或多或少接近«动机»本身——后者相对于它们扮演着«普适»系数的角色——即产生所有其他系数的那些系数）发展«六种运算»的形式体系。比照注释«我的遗孤»中对此的评述，no46。 ↩

  115. （5月31日）而且它还将恰好用于证明某个«难度家喻户晓»的定理！ ↩

  116. （6月12日）近些年我有时会感到某些前弟子对我某些«同葬者»怀有暴力意图，但从未感到一种来自集体意志（此处聚集五人）并针对我本人、贯穿我作品的暴力。 ↩

  117. 这期间包含五年，其中一年（1966年）我朋友在比利时服兵役。 ↩

  118. 我说«全部»时，应理解为：一切本质性的东西，无论是洞见还是手段。当然，这并不意味着没有任何未发表的观念和结果我从未想过要告诉他。相反，我不认为1965-1969年间有任何数学思考我没有«趁热»与我朋友谈过，总是愉快且受益。 ↩

  119. 奇怪的是，这种分裂必定在我们相识的第一年就已存在（已通过对SGA 5研讨班的暧昧态度表现出来——那是他首次接触概型（schéma）、Grothendieck风格的上同调技术（techniques cohomologiques）以及平展上同调（cohomologie étale）），最迟在1968年已以毫不含糊的形式出现（见注「驱逐」，no63)——因此在一个数学交流完美的时刻，此时他数学思想的发展在我看来尚未被冲突所标记。他当时「顺带」做出了许多有趣的贡献（我十分乐于在SGA 4引言中加以强调），涉及的主题却在他一离开后就被他竭力埋葬。 ↩

  120. 这种拒绝尤其体现为对导出范畴（catégories dérivées）和三角范畴（catégories triangulées）的埋葬（直至1981年）、对六函子形式体系（formalisme des six variances）的埋葬（直至今日）、对拓扑斯语言（langage des topos）的埋葬（同上），以及一种「以蔑视封杀」的态度对待同调代数（algèbre homologique）与同伦代数（algèbre homotopique）基础这一宏大计划——我现在（二十年后）正试图以*《追猎场》（Poursuite des champs）*，他当然也感受到了这种需要。最后，即使在他从动机（motifs）理论（被埋葬至1982年）中获得启发时，这一理论也因脱离了六函子形式体系而丧失了部分力量——六函子形式体系构成了其形式本质的一个方面。在我看来，这一方面也被严格排除在Hodge-Deligne。 ↩

  121. 写下这些关于「今日数学」的文字时，我想到的并不仅仅是我们今日对数学事物或多或少深刻的认识。在背景之中，还有一种精神在数学家的世界中，尤其是所谓（不带讽刺或嘲弄语气）的数学「上流社会」：那个「定调」以决定什么「重要」甚至「合法」、什么不重要的圈子，那个也控制着信息传播手段并在很大程度上掌控着职业生涯的圈子。也许我夸大了单个处于领军地位的人物对特定时代特定领域中的「时代精神」可能产生的影响。Deligne的影响在我看来堪比（无论好坏）Weil在二十年前接纳我、我与之认同了二十年的那个圈子中所拥有的影响。 （5月31日）与注「掘墓人——或整个教众」的（补充）反思进行比较，no97。 ↩

  122. （6月16日）我深信，仅凭我所引入数学的那些主导思想在1960年代获得的势头下正常发展（被接下来两条注释中将要讨论的「电锯效应」拦腰截断）这一事实，今日的数学，在我离开十五年后，在其某些本质部分本会与现在不同…… ↩

  123. 这种既成事实的继承以毫不含糊的具体迹象表现出来：他在IHES接替了我的职位（我在他进入后一年离开——见注「驱逐」，no63），并且借由我为此目的在约十五年间（1955年至1970年）所发展的工具，重新拾起了代数簇（variétés algébriques）上同调这一核心主题。 ↩

  124. （5月26日）在反思的后续过程中，我还察觉到了对我的另一种完全不同的「期望」隐形的继承人，这一次并非仅来自我的学生，而是来自「整个教众」——关于此参见注「掘墓人——或整个教众」的末尾（no97）。我毫不怀疑这两种方向相反的期望——一种与某个非常特殊的时刻相关，另一种贯穿了埋葬的十四年——都是真实存在的。更进一步，我愿意相信在我往昔不止一个学生那里，两种期望必定同时存在：既希望在最杰出的同侪中找到那个也能延续一个学派和一项事业的人——他们在这事业中有自己的位置和贡献——又希望看到（如果可能的话）那个人的一切痕迹被抹去——他的离去在既定道路的宁静中以如此力量突然叩问着他们…… ↩

  125. （6月16日）这第二个方面我是在「埋葬」（L’Enterrement）反思过程中才意识到的。如果说我得以看到一位著名数学家运用「令人气馁的权力」，那正是出现在那个不久前在我看来还是我的当之无愧的继承人。在撰写「令人气馁的权力」一节时，我想了很多关于他的事（在反思回到我自身之前），但尚未有丝毫怀疑（至少在意识层面）这一权力在他必定曾被视为完美数学家典范的那些人中间——正如不久前对我一样——得到了多少施展的机会…… ↩

  126. （5月31日）关于此参见注no84¹，紧随注「沉默」（no84）。 ↩

  127. 根据Verdier的对偶性（dualité）主题，在我离开后的几年里继续推进，在与我曾发展的解析空间（espaces analytiques）语境相近的语境中，有一种连续性的印象，如同Berthelot的情况。但在我看来这有点像是「惯性的延续」，而我主要寻求其迹象（或缺乏迹象）的是一种创造性的延续，是在未知中继续最初的动力…… ↩

  128. （6月7日）我曾犹豫是否要冒昧做出这一评价，因为这可能被解读为贬低了Mebkhout 理论的原创性。这完全不符合我的想法，尤其是我对我每位上同调（cohomologie）学生（当他们不被数学常识之外的偏见所阻碍时）的能力评价甚高。我的朋友Zoghman 本人打消了我的顾虑，他本人也相信「正常情况下」，本应由我的学生们早在1970年代初就发展出他的理论。在某种程度上，他们自己无疑也是首先深信不疑的：是他们，或者Deligne，本应成为其创立者——而在世风日下的助长下，这足以使他们表现得仿佛他们（或仿佛Deligne 确实就是）！参见关于此事的笔记「研讨会」和「欺骗」，nos75’和85’。 ↩

  129. 这种对同伦（homotopie）类型的「整合」概念再次浮现在我脑海中，背景是我在1981年底重新拾起的分层结构（structure stratifiée）的拆解（dévissage）工作。 ↩

  130. 参见「梦的记忆——或称动机的诞生」，注 no51。 ↩

  131. 参见「梦的记忆——或称动机的诞生」，注 no51。 ↩

  132. 有关详情，参见附注no951，该附注属于笔记「Cercueil 3 — 或称有点过于相对化的雅可比簇（jacobienne）」，no95。 ↩