《收获与播种》第一部分注释：II — 穿行于作品之中的漫步——或孩子与母亲

Alexandre Grothendieck

注释 003

1945年至1948年间，我和母亲住在蒙彼利埃约十公里处一个小村庄里，Mairargues（经Vendargues），隐没在葡萄园之中。（我的父亲于1942年消失在奥斯维辛。）我们靠我微薄的学生助学金艰难度日。为了补贴家用，我每年都去采摘葡萄，收成过后再酿些捡拾的葡萄渣酒，想方设法地卖出去（据说还违反了当时的规定……）。此外还有一座花园，从不需要打理，却源源不断地为我们提供无花果、菠菜，甚至（临近结束时）还有西红柿，是一位好心的邻居种在一片灿烂罂粟花海中央的。那是美好的生活——但有时也捉襟见肘，比如要换一副眼镜架，或一双磨得底穿的鞋子的时候。幸好我母亲在集中营长期关押后身体虚弱多病，我们可以享受免费医疗。否则我们根本付不起医生的费用……

注释 004

在*《收获与播种》*（ReS I）第一部的「受欢迎的陌生人」一节（第o9节）中，我对这个略显艰难的过渡时期做了简短记述。

注释 005

这种表述有些不当。我从未需要「学会孤独」，原因很简单，我从未在童年时期忘却过这种与生俱来的天赋能力，它在我出生时就存在于我身上，如同存在于每个人身上一样。但这三年的孤独工作，让我得以按照自己内心自发的严格标准来检验自己的能力，它们确认并在我心中重新奠定了——这次是面对数学工作——一种自信与平静笃定的根基，这种根基不依赖于任何主宰性的共识和风尚。我曾在《根与孤独》（ReS IV，第o1713号注，尤其是第1080页）中再次提及此事。

注释 006

因此，对错误（事实性的，或视角上的，等等）的任何订正，都不会成为修改初稿的由头，而是通过脚注，或在之后对考察情境的「回访」中进行。

注释 007

关于这次「激烈的质问」的细节，参见《一封信》，尤其是第3至8节。

注释 008

原本计划撰写的一条注释，最终扩展成了*《收获与播种》*的第四部（同名为「四种运算」），包含约七十条注释，横跨足足四百多页。

注释 009

除了对我过去工作的数学性回顾之外，书中也间或有一些包含新数学发展的段落。最长的一篇是ReS IV中第no171IX号注的「五张照片（晶体与$\mathcal{D}$-模）」。

注释 010

  1. 我认为其主要原因在于我五岁之前所处的某种有利氛围。关于这一点，可参见「纯真」（Innocence）注（ReS III，第o107号注）。

注释 011

这种有待建造的「房子」的原型意象，首次浮现并被表述在「尹——仆人（1）——或新主人」注中（ReS III，第o135号注）。

注释 012

我在「受欢迎的陌生人」一节（ReS I，第o9节）中谈到了这些开端。

注释 013

但这并不妨碍我（继H.Cartan和J.-P.Serre之后）成为Leray引入的伟大创新概念之一——层（faisceau）——的主要使用者和推广者之一，这一概念贯穿我作为几何学家的整个工作，是最重要的工具之一。也是它为我提供了将（拓扑）空间概念扩展为拓扑斯（topos）的关键，下文将谈及这一点。 Leray与我描绘的「建造者」形象有所不同，我觉得，在于他似乎并不倾向于「从地基到屋脊地建造房屋」。相反，他总是不由自主地在无人想到的地方启动宏大的地基工程，而把完工和在上面建造的事留给别人，等房屋建好后，再由别人入住（哪怕只是暂住）……

注释 014

我刚刚悄悄、「顺带地」将两个带有雄性气质的修饰语（「建造者」和「开拓者」）并置在一起，然而它们所表达的是发现冲动中截然不同的面向，其性质远比这些名称所能唤起的要精微。这一点将在本次漫步反思的后续章节「发现母亲——或两个侧面」（第o17节）中展现出来。

注释 015

更何况，在不经意间，他同时为这个古老的宇宙（即使不是对他自己，至少对于他那群不如他灵动的同类）划定了新的界限——这些新圈子固然更为广阔，却与它们所取代的那些一样不可见，一样不可抗拒。

注释 016

在数学界尤其是这样，尤其是在我作为亲历者、本身也是这个世界一员的时期（1948–1969）。1970年我离开之后，似乎出现了一场大规模的反动，某种对「思想」的普遍「鄙视共识」，特别是针对我所引入的那些伟大的创新思想。

注释 017

我的大多数「前辈」（例如在《一桩受欢迎的债务·导言》第5节中提到的那些）都属于这种中间气质。我特别想到了HenriCartan，ClaudeChevalley，AndréWeil，Jean-PierreSerre，LaurentSchwartz。也许除了Weil之外，他们全都以「同情的目光」，不带「忧虑或暗中的非议」，关注着他们所看到的我投身其中的那些孤独冒险。

注释 018

当然，不仅是在「我们的艺术」中如此，而且（在我看来）在一切发现工作中都是如此，至少当这种发现处于智性认识的层面时。

注释 019

每一种视角都会催生出一种表达它、专属于它自身的语言。拥有多只「眼睛」或多个「观点」来把握一个境况，也（至少在数学中）意味着拥有多种不同的语言来围捕它。

注释 020

「梦游者」的形象，是受到一部卓越著作的书名启发——Koestler*《梦游者》（Les Somnambules）*（Calmann-Lévy出版社），副标题为「关于宇宙观念史的论文」，从科学思想的起源一直到牛顿（Newton）。这部历史中令Koestler深感震撼并着力揭示的是：在我们的世界认知中，从一个点到另一个在逻辑上和事后看来近在咫尺的点之间的进程，其路径往往要经过有时最离奇费解的迂回，仿佛在嘲弄健全的理性；然而，历经这千百种似乎注定要将人永远引入歧途的迂回，那些出发寻找宇宙「钥匙」的人们，却以「梦游者的笃定」，仿佛身不由己、甚至常常浑然不觉地，撞上了其他一些他们远未预料到的「钥匙」，而这些钥匙却恰恰被证明是「正确的那一把」。 从我周围所能观察到的——在数学发现的层面上——这些发现过程中惊人的迂回曲折，是某些杰出研究者的特征，但绝非所有人皆如此。这或许是因为，近两三个世纪以来，自然科学的研究，尤其是数学研究，已摆脱了特定文化和时代所附加的强制性宗教或形而上学预设，而这些预设曾是阻碍对宇宙进行「科学」理解（无论好坏）的尤为强大的桎梏。然而，确实有一些在数学中最基本、最显然的观念和概念（比如位移、群、数字零、文字运算、空间中点的坐标、集合概念、拓扑「形」的概念，更不必说负数和复数了）都经历了数千年才得以出现。这些都是雄辩的迹象，表明那种根深蒂固、深植于心灵中的「阻滞」，抗拒着全新观念的构想，即使这些观念简单如童年、仿佛以明证的力量不证自明，数代人乃至数千年间依然如此…… 回到我自己的工作，我感到其中那些「搞砸了」（foirages）（也许比我的大多数同事都要多）完全局限于细节之处，通常很快就被我自己发现。它们只是些单纯的「路途波折」，本质上是「局部」的，对所考察境况的那些本质直觉的有效性并无严重影响。相反，在观念层面和那些伟大的指导性直觉层面上，我觉得我的作品没有任何「失误」（raté），不管这看起来多么难以置信。正是这种从未失误的笃定性——在每一个时刻去把握的，即使不是一项探索的最终成果（它们大多时候仍隐匿于视野之外），但至少是最丰饶的那些将我径直引向本质之物的方向——正是这种笃定性，让我心中重新浮现出Koestler笔下「梦游者」的形象。

注释 021

自1960年代起，这些出版物中有相当一部分是与同事（尤其是J.Dieudonné）和学生们合作写成的。

注释 022

这些概念中最为重要的那些，在*《主题纲要》（Esquisse thématique）以及《历史评注》（Commentaires historiques）中得到了回顾，这些都将收录于《沉思录》（Réflexions）*的第四卷。其中有些名称是由朋友或学生们建议的，比如「光滑态射」（morphisme lisse）（J.Dieudonné），以及「位点、域、束、联络」（site, champ, gerbe, lien）这一整套术语，是在JeanGiraud的论文中发展起来的。

注释 023

1970年离开数学舞台时，我关于概型这一核心主题的全部出版物（其中不少是合作成果）总计约达一万页。然而，这只不过是我所展望的那个关于概型的宏大计划中微不足道的一部分。这个计划被放弃了——无限期搁置（sine die）——从我离开的那一刻起——尽管几乎已有的全部开发和出版成果都已公之于众，并立时进入了那些被普遍视为「众所周知」的概念和结果的共同遗产之中。 我在离开之际已经完成的那部分关于概型主题及其延伸和分支的计划，其本身便是数学史上最宏大的基础性工作，也肯定是科学史上最为宏大的工作之一。

注释 024

以下，是为此好奇的数学读者列出的十二个核心思想，或者说我作品中的「主导主题」（按出现时间顺序）。 拓扑张量积（produits tensoriels topologiques）和核空间（espaces nucléaires）。 「连续」与「离散」对偶性（导出范畴（catégories dérivées），「六种运算」）。 瑜伽（Yoga）Riemann-Roch-Grothendieck（K-理论（K-théorie），与相交理论的关系）。 概型。 拓扑斯（topos）。 平展上同调（cohomologie étale）和ℓ-进（-adique）。 动机（motifs）和motivic Galois群（$\infty$Grothendieck -范畴（-catégories de Grothendieck））。 晶体（cristaux）和晶体上同调（cohomologie cristalline），瑜伽「DeRham系数（coefficients de De Rham）」、「Hodge系数（coefficient de Hodge）」…… 「拓扑代数（Algèbre topologique）」：∞-叠（-champs）、导子（dérivateurs）；拓扑斯的同调形式论，作为一种新的同伦代数的灵感。 温和拓扑（Topologie modérée）。 阿纳贝利亚代数几何（géométrie algébrique anabélienne）瑜伽，Galois-Teichmüller理论。 关于正多面体及各类正配置的「概型」或「算术」观点。 除去其中第一个主题（其重要部分属于我的博士论文（1953年），并在1950年至1955年间的泛函分析时期得到发展）之外，其余十一个主题是在我1955年开始的几何学家时期中逐渐浮现的。

注释 025

在这些主题中，就其广度而言最为深远的，在我看来是拓扑斯，它提供了代数几何、拓扑学和算术三者综合的思想。就所引发的展开的范围而言最为宏大的，则是概型主题。（参见第21页脚注。）正是它为所考察的主题中的其他八个（即除主题1、5和10之外的所有主题）提供了「卓越」的框架，同时为代数几何以及代数-几何语言的彻底更新提供了核心概念。 在另一端，十二个主题中的第一个和最后一个，在我看来比其他主题规模要小一些。然而，就最后一个主题而言——它为非常古老的正多面体和正配置主题引入了一种新的视角——我怀疑一位全身心投入其中的数学家的毕生精力是否足以将其穷尽。至于所有这些主题中的第一个，即拓扑张量积，它所扮演的角色更多是一个随时可用的新工具，而非后续发展的灵感源泉。但这并不妨碍我直到最近几年，仍能零星听到一些较新研究工作的回响，它们（在二十或三十年后）解决了我曾搁置的某些问题。 在这十二个主题中，最深刻的（在我看来）是动机，以及与之密切相关的阿纳贝利亚代数几何和Galois-Teichmüller的瑜伽。 从工具威力的角度看，那些由我亲手完善和打磨、在过去二十年中广泛应用于研究各个「前沿领域」的工具，当属**「概型**」和「平展上同调和ℓ-进」最为显著。对于一位了解情况的数学家而言，我认为从今以后几乎已无可怀疑：概型工具，以及由此产生的ℓ-进上同调，都属于本世纪少数几项伟大成就之列，它们在过去几代人中滋养并更新了我们的科学。

注释 026

唯一一份对这些主题稍有勾勒的「半官方」文本，是*《一个计划纲要》（Esquisse d'un programme），写于1984年1月，为申请借调到法国国家科学研究中心（CNRS）而作。这份文本（在导言3「指南针与行囊」中也曾提及）原则上将收录于《沉思录》（Réflexions）*的第四卷。

注释 027

这三个孤儿在我离开之后旋即被无声无息地埋葬了，然而其中两个却在随后被大张旗鼓地发掘出来，且对那位工匠只字不提，一个在1981年，另一个（鉴于这次操作毫无纰漏的成功）在次年便紧随其后。

注释 028

这里的「几乎」主要指Grothendieck式的对偶性瑜伽（导出范畴和六种运算），以及拓扑斯的瑜伽。在*《收获与播种》*的第二和第四部分（《埋葬（一）》和《埋葬（三）》）中，将对这些问题（以及许多其他内容）进行详尽的讨论。

注释 029

1957年，我得以提炼出「黎曼-罗赫（Riemann-Roch）」（Grothendieck版本）——一夜之间将我推上了「大明星」的地位。同年，母亲去世，也由此成为我生命中一道重要的分水岭。这是我一生中创造力最为蓬勃的年份之一，而且不仅在数学领域。整整十二年来，我的全部精力都投入在数学工作中。这一年，我开始感到自己差不多已经「遍历」了数学工作的方方面面，也许是时候投身于别的事情了。显然，这是一种内心更新的需要，在我生命中第一次浮现出来。那时我曾想过成为一名作家，有几个月完全停止了数学活动。最后，我决定至少还是把我已经着手进行的数学工作付诸笔墨，大概也就几个月的事，或者顶多一年…… 时机大概尚未成熟，还不足以做出重大的跳跃。然而，一旦重新开始数学工作，反倒是它重新占据了我。它再也没有放开我，又持续了整整十二年！ 在这段插曲之后的年份（1958年），可能是我数学生涯中最丰产的一年。正是在这一年，新几何学的两大核心主题破土而出，伴随着概型论（théorie des schémas）（这是我同年夏天在爱丁堡国际数学家大会上的演讲主题），以及「景（site）」概念的出现——它是关键概念**拓扑斯（topos）**的一种临时技术版本。时隔近三十年，如今我可以这样说：这一年才是新几何学真正诞生的一年，伴随着这门几何学的两大核心工具：概型（它代表了旧有的「代数簇」概念的蜕变），以及拓扑斯（它代表了对空间概念的更为深刻的蜕变）。

注释 030

1984年12月4日的思考中，我首次想到为这一愿景命名，在副注第号136¹对注释「Yin le Serviteur (2) — ou la générosité」(ReS III，第637页）。

注释 031

一个形象即使是「模糊的」，也丝毫不妨碍它可以是忠实的，并且确实能够还原出所审视对象（在此即我的著作）的某种本质。反过来，一个形象即使清晰，也完全可能是扭曲的，而且可能只包含了次要的东西，完全错过了本质。因此，如果你「领悟」了我就我的著作所要说的东西（那么我心中关于它的形象就确实会「传递」给你），你便可以自诩比我的任何博学同僚都更好地把握了我著作中的本质！

注释 032

这里所说的「数」指的是所谓的「自然数」，即0，1，2，3等，或者（严格来说）借助这些数通过初等运算表达出来的数（如分数）。这些数不像「实数」那样适用于度量可以连续变化的量，例如直线、平面或空间中两个可变点之间的距离。

注释 033

我使用「accablant, au-delà de toute mesure」这个词语组合，勉为其难地表达德语中的überwältigend，及其英语中的对应词overwhelming。在前面的句子中，（不恰当的）表达「impression saisissante」也应在这个细微含义上理解：当面对一种超凡的光辉、宏伟或美时，内心涌现的印象与情感骤然将我们淹没，以至于任何想要表达我们所感的念头似乎都预先被摧毁了。

注释 034

我所谓的「Kronecker之梦」只是道听途说，当有人（很可能正是John Tate）告诉我我正在实现那个梦。在我从前辈们那里所接受的教育中，历史参考文献极为罕见，我所汲取的营养并非来自阅读那些多少有些古老的作者，甚至也不是同代人的著作，而主要是通过与其他数学家——首先是前辈们——的口头交流或书信往来。1958年概型论突然而强劲启动的主要——甚至可能是唯一——外部灵感，是Serre那篇以缩写FAC（《代数凝聚层（Faisceaux algébriques cohérents）》）闻名的文章，发表于前几年。除此以外，我在该理论后续发展中的主要灵感都是自生自发的，并年复一年地自我更新，仅凭内部简洁性与一致性的要求，努力在这一新语境中阐释代数几何中那些「众所周知」的内容（而我在它于手中不断转化的同时吸收着它），以及这些「已知」内容让我所预感到的东西。

注释 035

说实话，传统上，「连续」方面才是几何学家关注的中心，而「离散」性质——特别是数值和组合性质——则被忽略或草草带过。大约十年前，我惊奇地发现二十面体的组合理论如此丰富，而这一主题在Klein关于二十面体的经典著作中甚至未被触及（很可能甚至未被注意到）。我看到的另一个惊人迹象表明几何学家对几何中自发出现的离散结构的忽视（长达两千年之久）：群的概念（尤其对对称群来说）直到上个世纪才出现，而且最初是由Évariste Galois在一个当时不被认为属于「几何」的语境中引入的。确实，即使在今天，仍有许多代数学家尚未理解Galois理论本质上正是一种**「几何」视角**，它更新了我们对所谓「算术」现象的理解……

注释 036

Weil，法国数学家，后移民美国，是「创始成员」之一，属于「Bourbaki」集团，在《*收获与播种》*的第一部分中会多次提及（此外Weil本人偶尔也会被提及）。

注释 037

（面向数学读者的说明。）这里指的是与可微或复流形的上同调理论相关的「构造和论证」，特别是涉及Lefschetz不动点公式和Hodge理论。

注释 038

这里指的是四个「中间」主题（n°5至8号），即拓扑斯（topos）、平展上同调和ℓ-进上同调、动机，以及（在较小程度上）晶体。我在1958年至1966年间逐一阐明了这些主题。

注释 039

（面向数学读者的说明。）在我看来，Zariski在这方面最重要的贡献是引入了「Zariski拓扑」（后来成为Serre在FAC中的重要工具），以及他的「连通性原理」和他所称的「全纯函数理论」——在他手中演变为形式概型理论，以及形式与代数之间的「比较定理」（其第二个灵感来源是Serre的基础性文章GAGA）。至于Serre的贡献——我在文中暗示的——当然首先是在抽象代数几何中引入了层（faisceau）的观点（该概念由JeanLeray大约十二年前在完全不同的语境中引入），即那篇已被引述的基础性文章FAC（《代数凝聚层（Faisceaux algébriques cohérents）》）。 根据这些「回顾」，如果要列举新几何视角的直接「先驱」，那么Oscar Zariski、AndréWeil、JeanLeray和Jean-PierreSerre这些名字立即浮现在我脑海中。其中，Serre扮演了独特的角色，因为我主要是通过他不仅了解了他本人的思想，也了解了Zariski、Weil和Leray的思想——这些思想都在新几何的诞生和发展中发挥了作用。

注释 040

这一始于1958年的启动，在第27页注b中有所述及。景（site）或「Grothendieck拓扑」（拓扑斯的暂用版本）紧随着概型概念的出现而出现。它反过来又为「局部化」或「下降」提供了新的语言，在概型主题和工具的发展中每一步都在使用。更内在、更几何的拓扑斯概念，最初几年仍隐含未彰，到1963年左右随着平展上同调的发展才逐渐凸显，并日益成为我眼中最基本的概念。

注释 041

这一系列还应包括p= ∞的情形，对应于「特征零」的代数簇。

注释 042

关于概型论「强力启动」的记述，见我在1958年爱丁堡国际数学家大会上的报告。该报告文本在我看来是概型视角的最佳导论之一，（或许）能激励几何学背景的读者尽力熟悉那部宏伟的（后续）论著《代数几何原理》，它详尽无遗地（且不省略任何技术细节）阐述了代数几何的新基础和新技巧。

注释 043

说到「极限」这一概念，我在此想到的主要是「取极限」（passage à la limite），而非（非数学家更熟悉的）「边界」（frontière）概念。

注释 044

说实话，由Betti 引入的不变量是同调（homologie）。*上同调（cohomologie）*则构成了一个或多或少等价的「对偶」版本，引入时间要晚得多。这一方面后来压过了最初的「同调」方面，（无疑）主要是由于 JeanLeray 引入了层（faisceau）的视角，下文将谈及。从技术角度来看，可以说我作为几何学家的工作很大一部分在于揭示并或多或少地发展了那些尚缺的上同调理论，适用于各种空间和流形，尤其是「代数簇」和概型（schémas）。在此过程中，我也得以重新用上同调术语诠释传统的同调不变量，从而以全新的眼光看待它们。 拓扑学家引入了许多其他的「拓扑不变量」，用以刻画拓扑空间的这样或那样的性质。除了空间的「维数」和（上）同调不变量外，最早的其他不变量是同伦群（groupes d'homotopie）。我在 1957 年引入了另一个不变量——（所谓「Grothendieck」的）群K*(X)，它一经提出便大获成功，其重要性（无论在拓扑学还是在算术中）不断得到证实。 大量新的不变量——其性质比目前已知和运用的不变量更为微妙，但我感觉它们是基础性的——都包含在我的「温和拓扑」计划中（其极为粗略的纲要见于《一个计划纲要》（Esquisse d'un programme），将发表于《反思》（Réflexions）*第四卷）。这一计划基于「温和理论」或「温和空间」的概念，有点类似于拓扑斯（topos）的概念，构成了空间概念的（第二次）「蜕变」。它比后者更为直观（在我看来），也没那么深奥。但我预计它对「严格意义上的」拓扑学的直接影响将远为更加深刻，并将通过深刻改造拓扑学家工作的概念语境，彻底改变几何拓扑学家的「行当」。（正如代数几何中引入概型（schémas）视角时所发生的那样。）此外，我已将我的《纲要》寄给了几位老友和杰出的拓扑学家，但似乎没有引起其中任何一位的兴趣……

注释 045

矛盾的是，Weil 对上同调形式主义有一种顽固的、显然发自内心的「抵触」——尽管在很大程度上，正是他那著名的猜想激发了自 1955 年起代数几何中各大上同调理论的发展（随着Serre 以其基础性论文 FAC 开创了先河，这在前面的脚注中已提及）。 在我看来，这种「抵触」在Weil 身上，属于一种对所有「庞杂之物」、对一切类似于形式主义（当其无法浓缩于几页纸时）或稍有错综复杂的「构造」的普遍厌恶。他当然毫无「建造者」的气质，显然是在极不情愿的情况下，才在 1930 年代被迫发展了「抽象」代数几何的最初基础——鉴于他的这些秉性，这些基础对使用者来说无异于一张真正的「普洛克路斯忒斯之床」。 我不知道他是否怨恨我走得更远，并致力于建造那些宏大的殿堂，使得Kronecker 和他本人的梦想得以化身为精妙而有效的语言和工具。无论如何，他从未对我所投身的工作或已完成的工作有过只言片语的评论。我也未能从*《收获与播种》*中得到回音——三个多月前我寄给了他，并亲笔题写了热情的献辞。

注释 046

（面向数学家的说明。）确切地说，这里指的是集合层，而非阿贝尔层，由Leray 引入作为构成「上同调群」的最一般系数。此外，我相信自己是第一个系统性地研究集合层的人（从 1955 年起，在堪萨斯大学我的论文《A general theory of fibre spaces with structure sheaf》中）。

注释 047

（面向数学家的说明。）严格来说，这只对所谓的「sobres」空间成立。然而，这些空间包括了几乎所有常见空间，尤其是分析学家钟爱的所有「分离」空间。

注释 048

这里所说的「镜子」，正如在*《爱丽丝梦游仙境》*中一样，是将置于镜前的空间的「像」呈现为与之关联的「范畴」，被视为空间的某种「双重」，位于「镜子的另一侧」……

注释 049

（面向数学家的说明。）这里主要是指我在范畴论中以「正合性质」（propriétés d'exactitude）之名引入的性质（同时还有现代范畴意义上的归纳和投射一般「极限」概念）。参见《Sur quelques points d'algèbre homologique》，《Tohoku Math. Journal》，1957 年（第119–221页）。

注释 050

因此，人们可以构造非常「大」的拓扑斯，它们只有一个「点」，甚至根本没有「点」！

注释 051

「拓扑斯（topos）」这个名称被选中（与「拓扑学」或「拓扑的」相关联），是为了暗示它是拓扑直觉所适用的「典范对象」。由这个名称所唤起的丰富意象之云来看，应将其视为大致等同于「（拓扑）空间」一词，只是更加强调该概念的「拓扑」特性。（因此，有「向量空间」，但迄今还没有「向量拓扑斯」！）有必要将这两个表述并存，各自保有其独特的内涵。

注释 052

在这些「构造」中，特别包括所有熟悉的「拓扑不变量」，包括上同调不变量。对于后者，我在已引述的那篇文章（Tohoku，1955）中已做了所需的一切，以便为任何「拓扑斯」赋予意义。

注释 053

（为数学家读者而写。）当我说「实现这个朴素的想法」，指的是将平展上同调作为通往Weil 猜想的途径。正是受此启发，我在 1958 年发现了景（site）的概念，而这一概念（或其极为相近的拓扑斯概念）以及平展上同调的形式体系，在 1962 年至 1966 年间在我的推动下发展起来的（在几位合作者的协助下，他们将在适当的时候被提及）。 当我谈到「气息」和「信念」时，指的是「非技术」性质的品质，在我看来它们正是最根本的品质。在另一个层面上，我还可以加上我所称的「上同调嗅觉」，即我在构建上同调理论过程中所发展起来的那种嗅觉。我曾以为已将这种嗅觉传授给了我的上同调学生们。在离开数学世界十七年后的今天回首，我发现它并未在他们任何人身上得以保留。

注释 054

（为数学家而写。）的猜想Weil 猜想附属于「算术」性质的假设，特别是因为所考虑的簇必须在有限域上定义。从上同调形式体系的角度来看，这导致赋予Frobenius 自同态（endomorphisme de Frobenius）Frobenius以特殊地位。在我的方法中，关键性质（如「广义指标定理」）涉及代数对应（correspondances algébriques）任意，并且不对预先给定的基域作任何算术性质的假设。

注释 055

然而，在我 1970 年离开之后，出现了一股非常明显的反动趋势，具体表现为一种相对停滞的局面，我不止一次在*《收获与播种》*的篇章中提及这一点。

注释 056

「通常」在此意指「在复数域上定义」。理论Hodge（称为「调和积分」理论）是在复代数簇语境中所知的最强大的上同调理论。

注释 057

这是最深刻的主题，至少在我作为数学家的「公开」活动时期（1950 年至 1969 年，即我离开数学舞台之前）是如此。我认为阿纳贝利亚代数几何与Galois-Teichmüller 理论（自 1977 年起发展）具有可比的深度。

注释 058

（为代数几何读者而写。）有必要时，或许需要重新表述这些猜想。更详细的评论，见「工地巡视」（ReS IV，注第178，第1215-1216页）以及第 308 页脚注，第769页，见「信念与认知」（ReS III，注第162）。

注释 059

（为数学家读者而写。）这些理论分别对应于Betti 上同调（通过超越方法，借助基域到复数域的嵌入来定义）、Hodge 上同调（由Serre 定义）和 DeRham 上同调（由我定义），后两者已可追溯到 1950 年代（而Betti 上同调则可追溯到上个世纪）。

注释 060

（为数学家读者而写。）例如，若f是代数簇X的一个自同态，诱导了上同调空间Hi(X)，则后者的「特征多项式」应为整系数，且不依赖于所选的具体上同调理论（例如：ℓ-进，对于ℓ变化）。一般代数对应也是如此，当X假定为真且光滑时。可悲的事实（这也让人了解自 1970 年我离开以来，特征p >0 的代数簇上同调理论处于何等可悲的荒废状态）是，此事至今仍未得到证明，即使在X是一个光滑射影曲面且i= 2 的特殊情形下也是如此。事实上，据我所知，在我离开之后，还没有人屈尊关注过这个关键问题，这是那些被视为从属于标准猜想的典型问题。时尚的法令是，唯一值得关注的自同态是 Frobenius 自同态（该自同态已被Deligne 用「手头的手段」特殊处理……）。

注释 061

（致数学读者。）另一种看待域k上动机（motifs）范畴的方式，就是将其视为"k"上有限型分离概型（schémas）范畴的一种「包络阿贝尔范畴」k. 与这样一个概型相关联的动机X（或称"X"的动机上同调（cohomologie motivique）」，我用记号Hmot(X)) 因而表现为一种"X"的阿贝尔化「化身」X. 这里的关键在于，正如一个代数簇（variété algébrique）X可以「连续变化」（其同构类依赖于连续「参数」或「模」），与X*相关联的动机，或更一般地说，一个「可变」的动机，本身也同样可以连续变化。这就是动机上同调的一个方面，与所有经典上同调不变量形成鲜明对比，包括ℓ-进不变量，唯一的例外是复代数簇的Hodge上同调（cohomologie de Hodge） 这让人看到「动机上同调」是一个精细得多的不变量，它以远为紧密的方式勾画了"X"的「算术形式」（若容我冒昧使用这个表达）X，胜过传统的纯粹拓扑不变量。在我对动机的构想中，它们构成一种极为隐蔽且精妙的「纽带」，将代数簇的代数-几何性质与其动机所体现的「算术」性质联系起来。后者可以被视为一个本质上属「几何」的对象，其中从属于几何的「算术」性质可以说是被「赤裸地揭示」了 因此，动机在我看来是迄今为止人们能够与一个代数簇相关联的最深刻的「形式不变量」，除了其「动机基本群」之外。这两个不变量对我来说都像一个尚待描述的「动机同伦型」的「影子」（我在注释《工地巡览——或工具与视野》（《收获与播种》IV，n°°178，参见工地5（动机），尤其是第1214页））。正是这最后一个对象在我看来应当是一个任意代数簇那种难以捉摸的「算术形式」（或「动机形式」）直觉的最完美体现

注释 062

这些年来，我向任何愿意听的人解释了我对动机的看法，却未费心将这些白纸黑字地出版（并不缺少为大家服务的其他任务）。这后来使得我的一些学生得以更从容地剽窃，在我全体旧友的温存注视之下，而他们对情况心知肚明。（参见下一条脚注。）

注释 063

事实上，这个主题在1982年（比晶体主题晚一年）被重新发掘，这次用的是它最初的名字（且以一种狭隘的形式，仅针对特征零的基域），而工人的名字未被提及。这只是众多例子中的一个——一个概念或主题在我离开后被埋葬为格罗滕迪克式的幻影，然后在接下来的一二十年间被我的一些学生逐一挖掘出来，带着谦逊的自豪，且（还有必要指明吗）从不提及那位工人……

注释 064

我在此关于数学工作所说的也同样适用于「冥想」的工作（在*《收获与播种》中处处都会谈到这一点）。我毫不怀疑这出现在一切发现工作中，包括艺术家（比方说作家或诗人）的工作中。我在此描述的这两个「侧面」同样可以被视为，一方面是表达及其「技术」要求，另一方面是*接纳（各种知觉和印象的接纳），通过强烈注意力的作用而成为灵感。两者在工作的每一时刻都同时存在，且有持续的「往返」运动，时而一方主导，时而另一方主导

注释 065

这并不是说我的作品中缺乏所谓的「伟大定理」，包括一些解决了他人提出的、我之前无人能够解决的问题的定理。（我在脚注104第554页，注释《涨潮……》（《收获与播种》III，n°°122）中回顾了其中一些。）但是，正如我早已在这次「漫步」之初（在「观点与视野」这一节，n°°6）所强调的，这些定理对我而言只有在一个伟大主题的滋养语境中才具有全部意义，而这个主题是由某个「丰饶的理念」所开创的。它们的证明于是如同源自泉水般毫不费力地从承载它们的主题本身的本性及「深度」中流淌出来——如同河流的波浪似乎从河水自身的深处温柔地生发，没有断裂，没有费力。我在已经引用过的注释《涨潮……》中以完全类似的方式，用另外的意象表达了同样的意思

注释 066

我最初写《尾声》时的打算，是纳入某些「深刻变化」的极简概要，并让其中我所看到的「本质连续性」显现出来。我放弃了这一打算，以免过分拉长这次本就远超预期的《漫步》！我打算在*《历史评论》中回到这个问题，该部分计划收录于《反思》（Réflexions）*的第四卷，这次面向的是数学读者（这完全改变了阐述的任务）

注释 067

这个断言（在有些人看来会显得武断）需要带着"保留态度"来理解。它的有效性既不高于也不低于那个断言——即我在下文会采纳的那个：牛顿力学（地面或天体）的"牛顿模型"在本世纪初当爱因斯坦前来救援之时已经"奄奄一息"。事实上，即使在今天，在物理学的大多数"日常"情境中，牛顿模型仍然完全适用，去寻求相对论模型将是疯狂之举（考虑到测量中允许的误差范围）。同样，在数学的许多情境中，旧的熟悉概念如"空间"和"流形"（variété）仍然完全适用，无需去寻求幂零元（élément nilpotent）、拓扑斯（topos）或"温和结构"。但在这两种情况下，对于前沿研究中日益增多的语境而言，旧的概念框架已变得无法表达即使是最"常规"的情境。

注释 068

（致数学家。）在这群"后代"中，我特别列举形式概型（schémas formels）、各种"多重性"（multiplicités）（特别是概形多重性（multiplicités schématiques）或形式多重性），以及所谓的"刚解析空间"（espaces rigide-analytiques）（由Tate引入，遵循我提供的"总蓝图"，其灵感同时来自拓扑斯的新概念和形式概型的概念）。这份清单当然远非详尽……

注释 069

此外，在这两个孩子之外，还应当加上第三个更年幼的，诞生于不那么宽容的时期：那就是"温和空间"这个幼崽。正如我在别处指出的，它没有得到出生证明，我完全是在非法的情况下，仍将其纳入我有幸引入数学的十二个"主旋律"之中。

注释 070

当然，这样描述爱因斯坦的思想未免有些单薄。在技术层面上，需要阐明应当赋予新的时空以何种结构（尽管在Maxwell的理论以及Lorenz的思想中已经"呼之欲出"）。这里关键的一步不是技术性质的，而是哲学层面的：认识到对于遥远事件的同时性概念没有任何实验依据。正是这个"孩童般的发现"，这个"但皇帝没穿衣服！"，让人跨过了那个著名的"限制宇宙的不可见的专制之圈"……

注释 071

这主要涉及"黎曼流形"（variété riemanienne）的概念，以及此类流形上的张量计算。

注释 072

区分这一模型与欧几里得（或牛顿）的时空模型，以及爱因斯坦最早的模型（"狭义相对论"）的最显著特征之一，在于时空的整体拓扑形式仍然是不确定的，而非由模型本身的性质强制规定的。在我看来（作为一名数学家），探究这种整体形式是什么，是宇宙学中最迷人的问题之一。

注释 073

人们将这种假想理论称为「统一理论」，它得以「统一」并调和我们讨论过的众多局部理论。我感到，有待开展的基础性反思将在两个不同层面上展开。 1o) 一种「哲学」性质的反思，关于「数学模型」（modèle mathématique）概念本身如何应用于部分实在。自牛顿理论的成功以来，这已成为物理学家不言而喻的公理，即存在存在一个数学模型（甚至是一个唯一的模型，或「这个」模型）来完美表达物理实在，毫无「脱离」或偏差。这个两个多世纪以来一直主宰的共识，就像是一位Pythagore 那「万物皆数」的愿景。也许这就是新的「隐形圆圈」，它取代了旧的形而上学圆圈，用来限定物理学家的宇宙（而「自然哲学家」这个族群似乎已经彻底灭绝，被计算机族群轻松取代了…）。只要人们愿意稍作停留，哪怕只是一瞬间，也很清楚这个共识的有效性绝非显而易见。甚至有非常严肃的哲学理由导致人们对其产生怀疑先验地，或至少，预见其有效性有非常严格的界限。现在（或许唯有现在）正是对这个公理进行严密批判的时候，甚至可能「证明」，超越一切可能的怀疑，它并非不有根据：并不存在一个唯一的严谨数学模型，能够解释迄今为止记录在案的所有所谓「物理」现象。 一旦「数学模型」概念本身及其「有效性」概念（在测量所允许的「误差范围」内）得到令人满意的界定，「统一理论」的问题，或至少是「最优模型」（modèle optimum）（其含义有待明确）的问题，将最终得到清晰的阐明。同时，人们或许也会更清楚地认识到，选择这样一个模型所伴随的（也许是必然的）任意性程度。 2o是在……之后只有在这样的反思之后，在我看来，提炼出一个比前人更令人满意的显式模型这一「技术性」问题才具有全部意义。也许到那时，才是摆脱物理学家第二个不言而喻的公理的时候，这个公理本身就起源于古代，深深植根于我们感知空间的方式本身：这就是连续本性空间和时间的（或时空（espace-temps）的），也就是「物理现象」所发生的「场所」的。 大约十五或二十年前，当我翻阅构成Riemann 全集构成的那本薄册时，他一句「顺便」提及的评论让我印象深刻。他指出，空间的终极结构很可能是「离散的」，而我们所做的「连续」表象可能是一种简化（也许从长远来看是过分的简化…），是对更复杂实在的简化；对人类精神而言，「连续」比「不连续」更容易把握，因此它作为一种「近似」来帮助我们理解不连续。这番话出自一位数学家之口，其洞察力令人惊讶，而当时欧几里得（Euclid）物理空间模型从未受到过质疑；从严格的逻辑意义上说，传统上恰恰是「不连续」被用作通向连续的技术途径。 此外，近几十年来数学的发展已经表明，连续结构与不连续结构之间的共生关系远比本世纪上半叶人们所想象的更为密切。无论如何，找到一个「令人满意的」模型（或必要时，一组这样的模型，以尽可能令人满意的方式「衔接」起来…），无论它是「连续的」、「离散的」还是「混合的」性质——这样的工作必定需要巨大的概念想象力和用于捕捉并揭示新型数学结构的精湛嗅觉。这种想象力或「嗅觉」在我看来是罕见的，不仅在物理学家中（其中Einstein 和Schrödinger 似乎是少数例外），即使在数学家中也是如此（而这一点我是在充分了解情况的前提下说的）。 总而言之，我预见到人们期待的革新（如果它还会到来的话…）更可能来自一位灵魂深处是数学家、深谙物理学重大问题的人，而非来自一位物理学家。但最重要的是，这需要一位具有「哲学开放性」的人来抓住问题的症结。这个问题绝非技术性质，而是一个根本性的「自然哲学」问题。

注释 074

我绝不自称熟悉Einstein 的著作。事实上，我没有读过他的任何作品，只是通过道听途说和非常粗略的方式了解他的思想。然而，我感觉自己看到了「森林」，尽管我从未费力仔细审视过他的任何一棵树…

注释 075

关于「垂死」这个定语的评论，请参见前面的脚注（注 65）。

注释 076

我似乎了解到（从各方传来的反响），人们普遍认为本世纪物理学经历了三次「革命」或巨大变革：理论Einstein 的、放射性的发现由Curie 夫妇、以及量子力学（mécanique quantique）的引入由Schrödinger。

注释 077

从小我就对历史（地理也是）一直不太感兴趣。（在第五部分中*《收获与播种》*（仅写了部分），我「顺便」触及了在我看来这种对历史的局部「抵触」的深层原因——这种抵触正在消解，我相信，就在最近这些年。）此外，我从前辈们那里受到的数学教育，在「布尔巴基圈子」内，也并未改善这一状况——其中偶尔出现的历史参考资料极为罕见。

注释 078

写下这些文字数小时后，我惊讶地发现自己竟未想到M.Bourbaki的（集体）论著所着力呈现的当代数学的宏大综合。（关于Bourbaki，在*《收获与播种》*的第一部分中还将大量讨论。）这在我看来有两个原因。 一方面，这种综合仅限于对大量已知的思想和结果进行某种「整理排序」，并未加入自身独创的新见解。若有新意，那就是对「结构（structure）」概念给出了精确的数学定义，这一概念后来成为贯穿整部论著的宝贵线索。但这个想法在我看来更像是某个聪明而富有想象力的词典编纂者的杰作，而非一种语言的革新要素——后者能赋予对现实（在此指数学事物）以全新的把握。 另一方面，自20世纪50年代起，结构这一概念已被事态发展所超越，随着「范畴论（catégorique）」方法突然涌入数学中最具活力的某些领域，如拓扑学（topologie）或代数几何（géométrie algébrique）。（因此，「拓扑斯（topos）」这一概念拒绝进入布尔巴基式的结构「袋子」——这个袋子在肩膀处显然太窄了！）在明知事态的情况下决定不踏上这条「苦船」，Bourbaki由此放弃了其最初的抱负——即为整个当代数学提供基础（fondements）和基本语言（langage de base）。 相反，它确立了一套语言，同时也确立了一种特定的数学写作和探索风格。这种风格最初是（极为片面的）某种精神的反映——是Hilbert留下的鲜活而直接的遗产。在20世纪50年代和60年代，这种风格最终大行其道——既有好的一面，也（尤其是）有坏的一面。近二十年来，它已蜕变为一种僵硬的「准则」，一种纯粹表面上的「严谨」，而曾经赋予其生机的精神似乎已一去不返。

注释 079

ÉvaristeGalois（1811—1832）在一场决斗中去世，年仅二十一岁。我相信关于他有好几本传记。我年轻时曾读过物理学家Infeld撰写的一本小说体传记，当时给我留下了深刻印象。

注释 080

参见「Galois的遗产Galois」（ReS I，第7节）。

注释 081

此外我深信，一个Galois会走得比我远得多。一方面是因为他极为出众的天赋（就我而言，这并非我所分有的）。另一方面是因为他很可能不会像我一样，让大部分精力消耗在无休止的细致整理工作上——边前进边整理那些已基本掌握的东西……

注释 082

我在此处和彼处提到ClaudeChevalley，在*《收获与播种》*中，尤其是在「与Claude Chevalley相遇——或曰自由与善意」一节（ReS I，第11节），以及在「告别ClaudeChevalley」（ReS III，注释第no97）。