II — 穿行于作品之中的漫步——或孩子与母亲

Alexandre Grothendieck

II — 穿行于作品之中的漫步——或孩子与母亲

概要

事物的魔力

独处的重要性

内心的历险——或神话与见证

风俗画卷

继承者与建造者

观点与视野

“大观念”——或树木与森林

视野——或十二主题归于和谐

形式与结构——或事物之道

新几何——或数与量的联姻

神奇的扇面——或纯真

拓扑学——或雾中丈量

拓扑斯（topos）——或双人床

空间概念的嬗变——或气息与信仰

国王的所有马匹

动机（motifs）——或核心中的核心

发现母亲——或两个坡面

孩子与母亲

尾声：不可见的圆环

死亡是我的摇篮（或三个顽童为一个垂死者）

瞥一眼对面的邻居

“独一者”——或孤独的馈赠

1986年1月

事物的魔力

[◊ P1]小时候，我很喜欢上学。同一位老师教我们阅读、写作、算术、唱歌（他会拉一把小提琴为我们伴奏），还有史前人类和火的发现。我不记得那时候我们在学校感到过无聊。他拥有数字的魔力，还有词语、符号和声音的魔力。还有押韵的魔力，在歌曲或小诗中。押韵之中似乎有一种超越词语的奥秘。就这样一直持续，直到有一天有人向我解释了一个很简单的「窍门」：所谓押韵，就是让连续两个话语以同一个音节结尾，于是它们就一下子像变魔术一样，变成了诗句。这真是一个启示！在家里，我周围有人应和，一连好几个星期、好几个月，我乐此不疲地作诗。有一阵子，我说话只押韵。幸好，这个劲儿过去了。但即使是今天，偶尔我还是会写写诗——不过不再刻意追求押韵，除非它自己出现。

还有一次，一个年纪稍大的朋友，那时他已经上中学了，教了我负数。这是另一种很好玩的游戏，但很快就玩腻了。还有填字游戏——我日复一日、周复一周地制作它们，越做越复杂交错。这个游戏结合了形式的魔力与符号和词语的魔力。但这份热情也离开了我，似乎没有留下任何痕迹。

中学时期，先在德国读了第一年，然后在法国，我是个成绩不错的学生，但算不上「优等生」。我在最感兴趣的事情上不遗余力，而对不太感兴趣的则倾向于敷衍，不太在意相关「老师」的评价。在法国读中学的第一年，也就是1940年，我和母亲一起被关押在芒德附近的里厄克罗集中营。那时正值战争，我们是外国人——用当时的话说，是「不受欢迎的人」。但集中营的管理部门对营里的孩子们睁一只眼闭一只眼，不管他们多么不受欢迎。我们进出还算自由。我是年纪最大的，也是唯一一个去四、五公里外的中学上学的人，无论下雪还是刮风，脚上穿着[◊ P2]凑合的鞋子，总是进水。

我还记得第一次「数学测验」，老师因为我对「三角形全等的三种情况」之一的证明而给了我很低的分数。我的证明和课本上的不一样，而他忠实地遵循课本。然而，我清楚地知道我的证明和书里的证明同样有说服力——我遵循的正是其思路，不过是沿用了那些老一套的「将某个图形以某种方式叠放到另一个上」的传统说法。显然，这位教我的老师没有能力凭自己的判断力来评判（在这里是指推理的有效性）。他必须依靠某个权威，在这件事上就是课本。这种心态一定给我留下了深刻印象，我才会记住这件小事。此后直到今天，我仍有大量机会看到，这种心态绝非例外，而是几乎普遍的规则。关于这个话题有很多可以说的——这是我时不时以这样或那样的形式触及的话题，在*《收获与播种》*。但即使到了今天，无论我愿不愿意，每当再次面对这种情况时，我仍然感到不知所措……

战争最后几年，母亲仍被关在集中营，我住在利尼翁河畔尚邦的「瑞士援助」儿童之家，那里收容难民儿童。我们大多是犹太人，每当（当地警察）通知我们盖世太保要来抓人时，我们就会三三两两地到树林里躲上一两夜，并没有太意识到这真的是性命攸关的事。塞文山区到处都藏着犹太人，很多人因为当地居民的团结而幸存下来。

在「塞文中学」（我就读的学校）里，最让我印象深刻的是，我的同学们对所学的东西是多么不感兴趣。至于我，则在学年伊始就狼吞虎咽地读完了课本，心想这次我们终于要学一些真正有趣的东西了；而剩下的学年时间里，我尽可能地利用时间，而预定的课程则在一整个学期又一整个学期中无情地推进。不过，我们的老师都相当友善。博物学老师，Friedel，为人和学识都极为出色。但他不懂得严格管教，被学生们闹得天翻地覆，到学年末时，根本没法再听他的课了，他无助的声音淹没在普遍的喧嚣之中。也许正因如此，我才没有成为生物学家！

[◊ P3]我花了不少时间，甚至在课堂上（嘘……），都在做数学题。很快，书本上的题目就不够我做了。也许是因为久而久之，它们总有些过于相似；但我觉得，更主要的原因在于它们有点像是从天上掉下来的，就这样一个接一个，不说它们从何而来，也不说去往何处。它们是书本的题目，不是我的题目。然而，真正自然的问题并不缺乏。比如，当三角形三边长度 a、b、c 已知时，这个三角形就确定了（位置不计），因此一定有一个显式的”公式”来表达，例如，三角形的面积作为 a、b、c 的函数。同样地，对于一个已知六条棱长的四面体（tétraèdre）——它的体积是多少？那一次我想我肯定费了不少力气，但我最终应该还是做到了，靠硬磨。无论如何，当一件事”抓住了”我，我就不会计较花在上面的时日，哪管把其他一切都忘了！（至今依然如此……）

在我们的数学书中，最让我不满意的是，对长度（曲线）、面积（曲面）、体积（立体）这些概念，没有任何严肃的定义。我暗自承诺，一有空闲就来填补这个空白。在 1945 年至 1948 年间，我把大部分精力都花在了这上面，那时我是蒙彼利埃大学的学生。大学的课程并不能让我满意。虽然从未明确对自己说过，但我大概觉得教授们只是在照本宣科，就像我在芒德中学的第一位数学老师一样。因此，我只是偶尔才去大学露个面，了解一下那永无止境的”教学大纲”。对于那个大纲，书本确实足够了，但同样明显的是，它们完全无法回答我心中的那些问题。说实话，它们甚至没有看到这些问题，就像我的中学课本一样不曾看到它们。只要它们向任何人提供计算长度、面积和体积的现成法则——动用单重积分、二重积分、三重积分（高于三维的维度则被审慎地回避了……）——似乎就没人提出要给出一个内在定义的问题，无论我的教授还是教材的作者们都是如此。

根据我当时有限的经验，我似乎很可能是世界上唯一一个对数学问题怀有好奇心的人。无论如何，这就是我未明言的信念，在那些完全处于智识孤寂中度过的岁月里，而这份孤寂并未让我感到沉重1。说实话，我想我从未想过，在这段时间里，去[◊ P4]深入探究我是否真的是世界上唯一可能对我所做的事情感兴趣的人。我的精力完全被我所立下的那个誓言所占据：发展一个能完全令我满意的理论。

我心中毫不怀疑，我必定能够做到，能够找到事物的最终答案，只要我肯下功夫去审视它们，把它们的诉说逐字记录在白纸上。关于体积，比如说，是无可辩驳的。它只能是一种现实的反映，暂时难以捉摸，却完全可靠。所要把握的，正是这个现实，如此简单——也许，有点像那个”韵”的奇妙现实有一天被把握、被”理解”了一样。

十七岁那年，刚从中学毕业开始动手时，我以为只需要几个星期。结果我在这上面花了三年。我甚至硬是设法在大学二年级结束时挂了一门考试——球面三角学（trigonométrie sphérique）（属于”深入天文学”选修方向），sic），因为一个愚蠢的数值计算错误。（得说一句，离开中学后，我的计算能力就一直不怎么样……）正因如此，我不得不在蒙彼利埃多待了第三年，以完成我的学士学位，而不是立刻去巴黎——人们向我保证，那是唯一能让我遇到那些了解数学界认为什么是重要问题的人的地方。我的消息提供者，MonsieurSoula，还向我保证，数学中最后尚未解决的问题，已在二三十年前被一个名叫Lebesgue 的人解决了。他恰好发展了一套测度与积分理论（théorie de la mesure et de l’intégration）（真是奇妙的巧合！），为数学画上了句号。

MonsieurSoula，我的”微分计算（calcul diff）“课教授，是一位待我亲切友善的人。我不认为他就此说服了我。他[◊ P5]心中或许早已预感到，数学在广度和深度上都是无止境的。大海有”终点”吗？无论如何，我从未有过一丝念头，想要去翻出那个Lebesgue 的书——MonsieurSoula 跟我提到过这个人，而 Soula 本人恐怕也从未将那本书拿在手里。在我的心目中，一本书里可能包含的内容，与我我以自己的方式所做的工作——为了满足我对那些令我着迷之事的好奇心——之间，没有任何共同之处。

独处的重要性

一两年后，当我终于在巴黎与数学界取得联系时，我了解到，除其他许多事情外，我在自己角落里因陋就简所做的工作，（几乎）正是人人皆知的所谓”Lebesgue 测度与积分理论（théorie de la mesure et de l’intégrale de”Lebesgue）“的那个东西。在那两三位我与之谈及这项工作（甚或展示过手稿）的前辈看来，这多少有点像我只是在重复”已知的东西”，白白浪费了时间。其实我并不记得自己因此感到过失望。那时节，为自己的工作谋求”功劳”、甚或只是他人的赞许或关注，这样的念头对我而言应该还是完全陌生的。更何况我的精力已被完全占用——既要熟悉一个全然不同的环境，尤其还要学习那些在巴黎被视为数学家入门知识的东西。2.

然而，现在回想那三年，我意识到它们丝毫没有白费。我在不知不觉中，于独处中学到了数学家这一行的精髓——那是任何导师都无法真正传授的。我从未需要对自己说什么，也从未需要遇到某个能与我分享求知渴望的人，我却打心眼里知道，我是一名数学家：一个在充分意义上”做”数学的人——就像人们”做”爱一样。数学已成了永远以我的欲望相迎的情人。那些孤独的年月奠定了一种从未动摇过的自信——无论是（二十岁初到巴黎时）发现自己无知之广、需学之多，还是（二十多年后）我决然离开数学界的动荡经历，还是（近年来）由我昔日最亲密的同伴们精心策划的、针对我个人与作品的某种”葬礼”（提前且毫无[◊ P6]差池）的种种疯狂事件。

换一种说法：在那关键的几年，我学会了独处3。我的意思是：凭自己的见识去探究我想了解的事物，而不是依赖那些来自某个我自认属于其中的群体、或因其他原因被我视为权威的、或明或暗的观念与共识。在中学和大学里，那些沉默的共识曾告诉我，对”体积”这个概念本身没有必要提出质疑——它被呈现为”众所周知的”、“显然的”、“没有问题的”。我那时不予理会，视其为理所当然——正如Lebesgue，几十年前，也曾不得不不予理会。正是在这种”不予理会”的行为中，成为归根结底的自身，而不仅仅是那些执政共识的表达，不囿于它们为我们划定的强制圈界之内——正是在这种孤独的行为中，才存在着”创造”。其余一切不过是随之而来的添头。

后来，在这个接纳我的数学世界里，我有机会结识了许多人，既有前辈，也有与我年龄相仿的年轻人，他们显然比我聪明得多、“有天赋”得多。我钦佩他们轻松自如地学习新概念——如同游戏一般——并能随手运用，仿佛与生俱来；而我却感觉自己笨重迟钝，像一只鼹鼠，艰难地穿行在一座混沌的山堆中——里面装满了我被告知必须学习的重要东西，而我却觉得无法把握它们的来龙去脉。事实上，我绝非那种轻松通过名牌竞赛、转瞬之间便能消化庞大课程的耀眼学生。

我那些更聪明的同窗大多后来都成了称职且有声望的数学家。然而，以三十或三十五年的 hindsight 来看，我看到他们并未在我们时代的数学上留下[◊ P7]真正深刻的印记。他们做了事情，有时是漂亮的事情，但都是在早已现成的框架内，他们从未想过要去触动这个框架。他们在不知不觉中成为那些无形而强制的圆圈中的囚徒——这些圆圈划定了一个特定环境与时代中的宇宙。若要跨越它们，他们本需要重新找回自己与生俱来的那种能力，就像我的一样：独处的能力。

小孩子呢，独处对他们毫无困难。他们天性孤独，尽管偶尔有人陪伴也不讨厌，而且他们知道在喝奶的时候要喊妈妈的”neinei”。他们无需对自己说什么就知道，那”neinei”是为他准备的，而且他会喝。然而，我们常常与自己内心的那个孩子失去了联系。我们不断地与最美好的东西擦肩而过，却不愿看它一眼……

如果说在*《收获与播种》*中我除了对自己还要对另一个人说话，那不是对”公众”。我在书中对你——我的读者——说话，把你当作一个人，一个孤独的人。我想与之交谈的，正是你内心那个懂得独处的存在，那个孩子，而不是其他任何人。那个孩子常常离得很远，我很清楚。他早已历尽沧桑。他躲在了天知道什么地方，往往很难到达他身边。人们会以为他早已死去，甚至从未存在过——然而，我确信他就在那里某个地方，而且活得好好的。

而我也知道什么是征兆我被理解的。那就是，当超越了一切文化和命运的差异，我关于自身和生命的话语在你那里找到回响与共鸣；当你在其中也找到你自己的生命，你自己对自身的体验，以一种或许你此前未曾留意过的面貌。这并不是对某个远离你的事物或人物的「认同」。但或许，在某种程度上，你重新发现了自己的生命，那最贴近你的东西，透过我在书页间对自己生命的重新发现，在*《收获与播种》*乃至此刻我正在书写的这些篇章之中。

内心的历险——或神话与见证

首先，《收获与播种》是一场反思对自我和我人生的反思。正因如此，它也是一份见证，而且是以两种方式。这是关于我的过去的见证，反思的主要分量落在此处。但与此同时，它也是关于最当下最直接的——关于我写作的这个时刻，以及在此刻诞生的[◊ P8]《收获与播种》的书页随着时光流逝，日夜更迭。这些书页是对我人生漫长沉思的忠实见证，如实呈现这场沉思真实展开的方式（并且在此刻仍在继续……）。

这些书页并无文学野心。它们构成一份文献关于我自己。我仅允许自己对它们进行修改（尤其是一些偶尔的文体润色），且仅限于非常有限的范围之内4。如果说它有什么抱负，那仅仅是如实。而这已是极大的抱负。

此外，这份文献绝非一部「自传」。你不会从中得知我的出生日期（它对绘制星象图或许还有些用处），也不会得知我父母的名字或他们的谋生方式，也不会得知曾是我妻子的人以及其他在我生命中重要的女性，或是从这些爱情中诞生的孩子们的名字，以及他们各自的人生轨迹。这并不是说这些事情在我生命中不重要，或是如今已不再重要。而是因为这场对自我的反思，在其展开和延续的方式中，我从未感到有任何动力去稍加描述这些我偶尔触及的事情，更遑论一丝不苟地罗列姓名和数字。我从未觉得这样做能为我在那一刻所追寻的意图增添任何东西。（而在前面寥寥数页中，我却不自觉地纳入了可能比后续一千页还要多的关于我人生的具体细节……）

如果你问我，这绵延千页的「意图」究竟是什么，我的回答是：它在于叙述，并由此实现发现，即内心的历险曾是我的人生、也正是我的人生的历程。这一历险的叙述-见证同时在我刚才提到的两个层面上展开。一方面是对过去一场历险的探索，追溯其根系与源头，直至我的童年。另一方面是这「同一」场历险的延续与更新，在我写作*《收获与播种》*，作为对外界猛烈叩问的自发回应5。

[◊ P9]外部事实滋养着反思，但仅限于它们激发和促使内心历险的再度勃发，或有助于照亮它的时候。而我的数学著作被埋葬与劫掠（这将是长篇论述的主题），正是这样一种刺激。它在我心中激起了强大的自我中心反应的全面涌现，同时也向我揭示了我与自身作品之间那些深远而不为人知的联系，这些联系至今仍然维系着我与它的关系。

诚然，我属于「数学强人」这一事实，未必是让你对我的特殊「历险」感兴趣的理由（更不用说好的理由了）——同理，我在改变环境和生活方式后与同事发生龃龉的事也未必是。何况不乏同事乃至朋友认为，公开袒露自己的「心绪」是极其可笑的。重要的只是「成果」。而「灵魂」，即我们内在那个体验这些「成果」的「生产」，以及它的各种后果（无论是在「生产者」的人生中，还是在同辈的人生中），都受到轻视，甚至遭到公开的嘲弄。这种态度自诩为「谦逊」，而我从中看到的却是逃避的迹象，一种奇怪的失调，由我们呼吸的空气本身所助长。可以肯定的是，我不是为那种深受这种潜在的自我蔑视所困扰的人而写作的——这种蔑视使他们瞧不起我所能提供的最好的东西。那是对真正构成其自身生命的事物，以及对我生命构成的事物：那些驱动着心灵的表层与深层、粗犷与精微的运动，这个「灵魂」，正是它体验着经验并对此作出反应，它凝固或绽放，退缩或学习……

内心历险的叙述只能由经历它的人来讲述，而非任何其他人。但即使叙述只面向自己，它也罕见不会滑入构建神话的窠臼，其中叙述者成了英雄。这样的神话并非源于某个民族或文化的创造性想象，而是源于不敢直面卑微现实之人的虚荣，他乐于用自己精神的造物——一种建构——来取代现实。但一个真实的叙述（如果存在的话），关于一场如其所是地被真正经历的，是弥足珍贵之物。这并非因为环绕叙述者的（无论合理与否的）声望，而仅仅因为它**存在，**以其真实的品质存在。这样的见证是珍贵的，无论它来自一个知名甚至显赫的人物，还是一个前途渺茫、家庭负累的小职员，或是一个普通刑事犯。

如果这样的叙述对他人有所裨益，那首先是通过对他人经验的不加粉饰的见证，让他重新面对自己。或者同样[◊ P10]（换种说法）也许可以抹去他心中（哪怕仅在阅读持续的时间里）那种他对自己的自身历险，以及对作为这历险之乘客与船长的「灵魂」所怀有的轻蔑……

风俗画卷

谈及我作为数学家的过往，随后又在（如同身不由己地）发现我那巨幅作品《埋葬》的曲折与奥秘的过程中，我无意中描摹出了某个圈子和某个时代的风貌——一个以某些曾赋予人类工作以意义的价值观的瓦解为标志的时代。这就是「风俗画卷」的方面，它是围绕着一件在「科学」编年史上堪称独一无二的「社会新闻」铺陈开来的。我想，我此前所说的已经足够清楚地表明，你不会在*《收获与播种》中找到一份关于某件不寻常「事件」的「卷宗」，好让你快速了解情况。然而，有位朋友一心寻找卷宗，却紧闭双眼、视而不见地走过了几乎全部构成其血肉与实质的《收获与播种》*。

正如我在《信》中更为详细地解释的那样，「调查」（或「风俗画卷」）主要在第二和第四部分中展开，即《埋葬（1）——或中国皇帝的新衣》和《埋葬（3）——或四种运算》（les Quatre Opérations）。在字里行间，我执拗地将大量（至少可以说是）耐人寻味的事实逐一揭露出来，我尽力好歹逐一「安放」。渐渐地，这些事实汇聚成一幅整体画面，逐渐从迷雾中浮现，色彩日益鲜明，轮廓日益清晰。在这些逐日笔记中，刚出现的「原始事实」与个人的回忆，以及心理学、哲学乃至（偶尔）数学性质的评论与反思不可分割地交织在一起。事情就是这样，我亦无可奈何！

在我已完成的工作——它让我全神贯注了一年多——的基础上，以「调查结论」的风格整理出一份卷宗，应该只需要几个小时或几天不等的额外工作，具体取决于感兴趣读者的好奇心和要求的严格程度。我曾经的确尝试过整理它，那份著名的卷宗。那是在我开始写一篇本应题为《四种运算》的笔记的时候6。然而不行，实在没有办法。我做不到！这不是我的表达风格，[◊ P11]确确实实，到了这把年纪更是从未有过地如此。而我现在认为，凭借*《收获与播种》*，我已经为「数学共同体」的利益做得足够多了，可以毫无愧色地将整理应有的「卷宗」之事留给其他人（如果我的同事中有人觉得与此相关的话）。

继承者与建造者

现在是时候在此谈谈我的数学工作了——它在我生命中占据并（令我本人都感到惊讶）仍保持着重要的位置。在*《收获与播种》*中我多次回顾这项工作——有时以人人都能清楚理解的方式，有时则以略显专业的术语7。这些段落将在很大程度上「超出理解范围」——不仅对「外行人」而言如此，就连对所讨论的数学多少有些「投入」的数学家同行也是如此。你当然可以直接跳过那些你觉得过于「高深」的段落。你也可以随意翻阅，或许在不经意间捕捉到数学事物世界中「神秘之美」（正如一位非数学家朋友写信告诉我的那样）的一丝映照——它们如同一个个「奇异的不可企及之岛」，浮现于思绪浩瀚流动的水面之上……

正如我刚才所说，大多数数学家倾向于将自己局限在一个概念框架内，在一个**「宇宙」——一劳永逸地固定下来的——本质上就是他们在求学时期所发现的「现成」的那一个。他们就像一座宏伟美丽的已装修好的大房子的继承者，拥有客厅、厨房、工作室，还有齐全的厨具和随手可得的工具——凭良心说，足够用来烹饪和做些手工活了。这座房子是如何在几代人的过程中逐步建造起来的，某些工具（而非别的……）是怎样以及为何被设计和制作出来的，为什么房间在这里是这样布局、在那里却是那样安排——这些问题是那些继承者永远不会想到要去问的。这就是「宇宙」、必须生活在其中的「给定之物」，仅此而已！某种看起来很大（而且在多数情况下，他们远未走遍所有房间）却又熟悉**，同时又——尤其是：永恒不变。当他们忙忙碌碌时，是为了维护和美化一份遗产：修理摇晃的家具，粉刷外墙，打磨工具，甚至偶尔——对最具进取心的人来说——在作坊里从零打制一件新家具。而且有时，[◊ P12]当他们全身心投入其中时，那件家具美不胜收，整座房子也因此显得更加华美。

更为罕见的是，其中一人会想到对库存中的某件工具做些改动，甚至——在需求的反复持续压力下——想象并制作一件新工具。这样做时，他几乎要连连道歉，因为他觉得这似乎是对家族传统应有敬意的某种冒犯——他感到自己正以一种怪异的创新搅乱了传统。

房子的大部分房间里，窗户和百叶窗都严密紧闭——恐怕是担心来自别处的风会灌进来吧。当漂亮的新家具——这里一件那里一件，再加上后代子嗣——开始挤满已变得狭窄的房间，甚至蔓延到走廊时，这些继承者中没有谁愿意承认，他那熟悉而舒适的宇宙已经开始变得有些捉襟见肘。与其面对这样的事实，他们宁愿各自勉强地挤身于缝隙之间——有人夹在路易十五餐具柜和藤编摇椅之间，有人挤在流鼻涕的小孩和埃及石棺之间，而最后还有人，在绝望之中，尽其所能地爬上一堆杂乱无章、摇摇欲坠的椅子和板凳……

我刚刚描绘的这幅小画面并非数学家世界所独有。它揭示了根深蒂固且由来已久的思维定势——在所有领域和人类活动的所有范围中都能见到，而且（据我所知）出现在所有社会和所有时代。我曾有机会提及这一点，我丝毫没有声称自己对此免疫。正如我的陈述将表明的那样，事实恰恰相反。只不过，在智识创造活动这个相对有限的层面上，我受到这种8定势的影响较少——这种定势可称为「文化盲视」——即无法看见（也无法活动于）周遭文化所固定的「宇宙」之外。

就我个人而言，我感到自己属于这样一脉数学家，他们自发的天职与快乐在于不断建造新的房屋9。在此过程中，他们也忍不住要发明，并[◊ P13]逐步打造出所需的一切工具、器皿、家具和器具，既为建造从地基到屋脊的房屋，也为充裕地装备未来的厨房和未来的工坊，并将房子布置妥当以便在其中居住和生活得舒适。然而，一旦从最后一根檐槽到最后一个凳几全都安置就绪，工匠却很少在这些地方长久逗留——这里的每一块石头、每一根椽子都带着那双加工和安放它们的手的印记。他的位置不在于那些已然完成的宇宙的宁静之中，无论它们多么宜人、多么和谐——无论它们是由他自己的双手还是由前辈们亲手布置的。其他任务已经在召唤他前往新的工地，在那些也许只有他一人清楚感受到的迫切需求推动下，或者（更常见的是）在只有他一人预感到的需求尚未到来之前就已先行一步。他的位置在广阔的天地之间。他是风的朋友，不畏惧独自劳作，月复一月，年复一年，如有必要，整整一生，如果没有及时的接替者前来救援。他和所有人一样只有一双手，这是肯定的——但这双手每时每刻都知晓自己该做什么，既不嫌弃最粗重的活计，也不嫌弃最精细的活计，并且从不厌倦于不断认识和重新认识那些不停地召唤它们去认识的无数事物。一双手也许太少了，因为世界是无限的。它们永远无法穷尽世界！然而，一双手，又已经很多了……

我本不精于历史，但如果要举出这一脉数学家的名字，我自然而然会想到Galois 和Riemann（上个世纪），以及Hilbert（本世纪初）。如果我在初入数学世界时欢迎我的前辈中寻找一位代表10，那么是这个名字JeanLeray 首先浮现在我脑海中，尽管我与他的接触始终是断断续续的11。

[◊ P14]我刚刚粗略勾勒了两幅肖像：一是「恋家型」数学家，满足于维护和美化一份遗产；二是建造者-开拓者12，他无法克制地不断跨越那些划定一个宇宙的「无形而不可抗拒的圆圈」13。也可以用一些略显武断但富有启示性的名称来称呼他们：「保守者」与「革新者」。两者都有其存在的理由和应扮演的角色，在代代相传、延续数世纪乃至数千年之久的同一集体冒险中。在一门科学或一门艺术的蓬勃发展时期，这两种气质之间并不存在对立或对抗14。它们是不同的，并且它们相互补充，如同面团与酵母相互补充一样。

在这两种极端类型（但本质上绝非对立）之间，当然还存在整整一系列中间气质。某个「恋家者」本不会想到离开熟悉的居所，更不会去承担天知道在哪建造另一栋房屋的苦差，但当空间确实开始变得局促时，他却不会犹豫拿起镘刀，去改造一个地窖或阁楼，加高一层楼，甚至必要时在墙边附建一间规模适度的新偏屋15。虽然不是灵魂深处的建造者，但他常常仍以同情的目光，或者至少没有暗自不安或非议，注视着那个曾与他同住一屋的人，如今正在辛苦地收集木料[◊ P15]和石料，在某个偏僻得不可思议的地方，神情仿佛已经在那里看到了一座宫殿……

视角与洞见

但我还是回到自身与我的作品。

如果说我在数学家的技艺上有所擅长，那与其说是由于解决前人遗留问题的技巧与毅力，不如说是源于我内在的一种自然倾向，驱使我看到一些问题，明明显然至关重要，却从未有人看见过；或是提炼出那些「好的概念」——它们一直是缺失的（在新概念出现之前，往往无人意识到这种缺失）——以及那些「好的陈述」，从未有人想到过。事实上，概念与陈述常常以如此完美的方式相互契合，以至于我心中没有丝毫怀疑它们是正确的（至多需要一些微调）——而往往，当不涉及旨在发表的「基于已有素材的工作」时，我便不再继续深入，也懒得花时间去完善一种证明，因为一旦陈述及其背景被充分看清，剩下的往往不过是「手艺」问题，甚至可以说是例行公事。值得关注的事物不计其数，不可能对每一种召唤都追随到底！即便如此，在我已书面发表的作品中，经过严格证明的命题和定理数以千计，而且我相信可以说，除了极少数例外，它们都已进入共同的知识遗产，被普遍视为「已知」并在数学各个领域广泛使用。

但比起发现新的问题、概念和陈述，我的独特天赋更让我倾向于发现视角——富有成果的视角，不断引导我引入并或多或少地发展出主题——全新的主题。这，在我看来，是我对当代数学所做的最本质的贡献。说实话，我刚才谈到的那些无数的问题、概念和陈述，对我来说只有在这种「视角」的光照下才有意义——或者更确切地说，它们从中诞生自然而然地，带着自明性的力量；就如同黑暗中升起的一道光芒（哪怕是弥漫的），仿佛从虚空中生出了那些它骤然揭示的、或模糊或清晰的轮廓。没有这束将它们统一于一个共同之层（faisceau）的光芒，那十个、一百个或一千个问题、概念和陈述，就会像一堆杂乱的、无定形的「心智小玩意儿」，彼此孤立，[◊ P16]——而非一个整体的各个部分——这个整体或许仍然不可见，仍隐匿在夜幕的褶皱之中，却依然被清晰地预感到了。

富有成果的视角，正是那种向我们揭示出——如同一个包容它们并赋予其意义的同一整体的诸多活的组成部分——那些无人感受到的灼热问题，以及（或许是对这些问题的回应）那些如此自然却无人想到要去提炼的概念，以及那些仿佛源流自出的陈述——当然，在激发它们的问题和使它们得以表述的概念尚未出现之前，没有人会冒险提出。在数学中，比起所谓的「关键定理」，富有成果的视角才是我们这门艺术中16最强大的发现工具——或者说，它们不是工具，而是眼睛——研究者本人那双热切渴望认识数学事物本质的眼睛。

因此，富有成果的视角不是别的，正是这只「眼睛」，它既让我们发现，又让我们认识统一性于所发现事物的多样性之中。而这种统一性，正是连接并赋予这些多样事物以生机的生命与气息本身。

但正如其名称本身所示，一个「视角」本身仍然是片面的。它向我们揭示其中一个方面——一片风景或全景的一个方面，而在它之外还有许多同样有效、同样「真实」的其他方面。只有当同一现实的互补视角相互结合，当我们的「眼睛」增多时，目光才能更深入地穿透对事物的认识。我们想要认识的现实越是丰富和复杂，就越有必要拥有多只「眼睛」17来把握它的全部广度与全部精微之处。

而有时，一束汇聚于同一广阔风景上的视角之层，凭借我们内在那种能够透过多样性把握一的能力，会催生出一件新的事物；一件超越每一个局部视角的事物，就像一个生命体超越[◊ P17]它的每一个肢体和器官。这件新的事物，可以称之为一种洞见（vision）。洞见将那些体现它的已知视角统一起来，并向我们揭示出其他此前未知的视角，正如富有成果的视角使人发现并把握众多新的问题、概念和陈述，将它们视为同一整体的组成部分。

换句话说：洞见之于那些它从中生发并加以统一的视角，犹如明媚温暖的日光之于太阳光谱的各个组成部分。一个广博而深刻的洞见，如同永不枯竭的源泉，不仅注定要启发和照亮那个它曾在其心中诞生并成为其仆役的人的工作，还要照亮一代又一代人的工作——他们或许（正如他本人曾经那样）为它所展现的遥远边界而着迷……

「大理念」——或树木与森林

我数学活动中所谓的「高产」时期，也就是有正式发表的出版物为证的那段时期，跨度从1950年到1969年，共二十年。而在二十五年间——从1945年（我十七岁）到1969年（我将近四十二岁）——我几乎将全部精力都投入到了数学研究中。这当然是过度的投入。我为此付出了长久的精神停滞，付出了逐渐「钝化」的代价——对此我将在*《收获与播种》*的页码中不止一次地提及。然而，在纯智力活动的有限领域内，随着一种仅限于数学事物世界的视野的萌发与成熟，那却是创造力蓬勃的岁月。

在我生命中的这段漫长时期，几乎所有时间和精力都投入到了所谓的「零件加工」：细腻的塑形工作、装配与调试的工作——建造房屋所需的全部工序，而内心的一个声音（或一个魔鬼……）命令我建造这些房屋，并随着工作的推进将施工方案逐一低声透露给我。被这些「手艺」的任务所占据：依次是石匠、泥瓦匠、木匠，乃至水管工、细木工和家具工——我很少有机会白纸黑字地记下来，哪怕是粗略勾勒出那个对所有人都不可见（正如后来才显现的那样……）唯独对我可见的总蓝图，它在日复一日、月复一月、年复一年的过程中，以梦游者般的确定无疑指引着我的双手。18。应该[◊ P18]说的是，零件加工这项工作——我喜爱为之倾注满怀爱意的细心——丝毫不令我不悦。更何况，我的前辈们所传授和实践的数学表达方式，（至少可以说）强调的是工作的技术层面，几乎不鼓励那些会沉溺于「动机」的「离题」之论；甚至也不鼓励那些看似试图从迷雾中浮现出某种或许具有启发性的图像或愿景、却因尚未化为可触可感的木料、石料或纯粹坚硬的水泥构造物而更像[◊ P19]梦的碎片，而非工匠那专注而勤勉的劳作。

在数量层面，我在这些高产年份的工作主要体现在约一万两千页的出版物上，以论文、专著或研讨班的形式呈现19，以及成百上千个新概念——它们已进入共同的遗产宝库，带着我在厘清它们时赋予它们的名字20。在数学史上，我深信自己是将最多新概念引入我们科学的人，同时也正是因此而被逼着发明了最多新名称的人——为了尽可能精巧而富有暗示性地表达这些概念。

这些纯「数量」上的指标当然只提供了一种极为粗糙的理解，完全错过了真正构成其灵魂、生命和活力的东西。正如我此前所写，我为数学贡献的最佳之物，是那些我首先得以「观点」——新的观点——我得以先瞥见，继而提炼并或多或少加以发展。正如我刚才提到的那些概念一样，这些新观点引入大量截然不同的情境，它们本身也几乎不计其数。

然而，有些观点比其他观点更为广阔，它们本身就催生并涵盖了大量局部的观点，适用于大量不同的特定情境。这样一种观点也完全有理由被称为一个「大理念」。凭借其自身的丰饶，这样一个理念会催生出一大群生机勃勃的后代理念，它们都继承了其丰饶性，但其中大多数（若非全部）的涵盖范围都比母理念狭窄。

至于表达一个大理念，也就是「说出」它，这往往是一件几乎和它最初在构想者心中的孕育及缓慢成形同样微妙的事情——或者更确切地说，这个艰辛的孕育与成形工作恰恰就是那「表达」理念的工作：即日复一日、耐心地将其从诞生之际围绕它的迷雾面纱中剥离出来，以逐渐[◊ P20]赋予其可触可感的形态，呈现为一幅随着数周、数月和数年的流逝而不断丰富、巩固和精炼的图景。命名一个理念，仅仅通过某个醒目的表述或多少有些技术性的关键词，可能只需几行甚至几页纸——但若非早已熟知此理念，很少有人能听懂这个「名字」并从中辨认出一张面孔。而当理念完全成熟时，或许一百页就足以表达它，令孕育它的工匠完全满意——但也可能经过长期精心雕琢和斟酌的一万页仍嫌不够21。

在以上两种情况下，在那些为了将其化为己有而阅读了这部最终呈现理念全盛面貌的作品——如同在一片荒原上生长出一片宽敞的乔木林——的人当中，很可能有许多人会清楚地看到所有这些挺拔而茁壮的树木并加以利用（有人攀爬，有人取木为梁为板，还有人则用来点燃壁炉里的火……）。但很少有人能够看到森林……

远见——或十二个主题归于一种和谐

或许可以说，「伟大思想」是这样一种视角：它不仅自身显得新颖而富有成果，而且为科学引入了一个主题新颖而广阔，并以之作为载体。而一切科学，当我们不是将其理解为权力与统治的工具，而是看作我们物种穿越时代的认知冒险时，无非就是这样一种和谐——或广或窄、或丰或简，随时代而异——它在世代与世纪的进程中展开，通过所有依次显现的主题——仿佛从虚无中被召唤而来——的精妙对位，汇聚于她之中并交织缠绕。

[◊ P21]在我于数学（mathématique）中揭示的众多新视角中，有十二个，事后来看，我称之为「伟大思想」22。看待我作为数学家的作品，「感受」它，就是去看见并「感受」这些理念中至少那么一点点，以及它们所引入的、构成作品脉络与灵魂的那些伟大主题。

由于事物本身的逻辑，其中一些理念比另一些「更大」（而另一些也因此「更小」！）。换言之，在这些新主题中，有些比其他的更广阔，有些则更深入地扎入数学事物奥秘的核心23。有其中[◊ P22]三个（在我看来绝非最不重要的），它们在我离开数学舞台之后才出现，至今仍处于胚胎状态；「官方」说来它们甚至不存在，因为没有一篇合乎规范的出版物来充当它们的出生证明24。在我离开前就已出现的九个主题中，最后三个——我离去时它们正蓬勃发展——至今仍处于幼年状态，因为（在我离开后）缺少关爱之手来照料这些「孤儿」的日常所需，它们被遗弃在一个充满敌意的世界中25。至于其他六个主题，在我离开前的二十年里已臻成熟，可以说（除了一两个保留之处26）它们在当时就已经进入了共同遗产：尤其是在几何学家（géomètre）当中，「如今人人都」整天无时无刻不在传颂它们，甚至浑然不觉（就像 Monsieur Jourdain 讲散文一样）。当你「做几何（géométrie）」时，或者当你做多少有些「几何式的」算术（arithmétique）、代数（algèbre）或分析（analyse）时，它们就是你呼吸的空气的一部分。

[◊ P23]我作品中的这十二个宏大主题绝非彼此孤立。在我眼中，它们属于一种统一性精神与意图的统一性，它如同一道共同而持久的基调，贯穿于我全部的「成文」与「未成文」作品之中。而在写下这些文字时，我仿佛又寻回了同样的音符——如同一声呼唤！——穿越那三年「无偿」、顽强而孤独的工作岁月，那时的我尚且不曾关心世上除我之外是否还有别的数学家，因为我是如此深陷于那呼唤着我的事物所散发的魅力之中……

这种统一性并不仅仅出自同一工匠之手在其作品上留下的印记。这些主题之间由无数既精微又显见的纽带相连，如同各个清晰可辨的主题彼此关联——它们在同一个恢宏的对位法中展开、交织——存在于一种和谐之中，这和谐将它们聚拢、推进，赋予每个主题一种意义、一种运动、一种完满，而其他所有主题都参与其中。每个局部主题似乎诞生于这更广大的和谐，并每时每刻从中重生，而非这和谐呈现为一种先存于它的组成主题的「总和」或「结果」。而说实话，我无法摆脱这样一种感觉（无疑是古怪的……）：在某种意义上，正是这种尚未显现却无疑早已「存在」的和谐——存在于尚未诞生的事物那幽暗的怀抱之中——正是它逐一激发了那些唯有通过它才能获得全部意义的主题，也正是它，在我走出青春期后那些炽热的孤独岁月里，早已用低沉而急迫的声音呼唤着我……

无论如何，我作品的这十二个主导主题，仿佛出于某种隐秘的前定，都汇聚于同一交响乐——或者换一种意象来说，它们各自体现了不同的「视角」，共同趋向于同一个广大的视野。

这一视野直到1957、1958年前后才开始从迷雾中浮现，显露出可辨认的轮廓——那是激烈孕育的岁月27。奇怪的是也许，这一视野对我来说是如此切近、如此[◊ P24]「显而易见」，以至于直到一年前28，我都不曾想过给它一个名字。（尽管我的热情之一就是不断命名那些向我展现的事物，作为把握它们的第一种方式……）诚然，我无法指出某个特定的时刻，一个曾被体验为这一视野显现的时刻，或是事后我可以确认为那样的时刻。一个新的视野是如此宏大的事物，它的出现恐怕不可能定位于某个特定时刻，而必须在漫长的岁月中——若非数代人的时间——逐渐渗透并占据那审视与沉思者；仿佛在那些熟悉的眼睛背后，必须艰辛地形成一双新的眼睛，而它们将逐渐取而代之。这视野也过于广大，以至于谈不上「抓住」它，就像抓住路转角出现的第一个念头那样。正因如此，最终也就不必惊讶：给如此宏大、如此切近而又如此弥散的事物命名的念头，只有在事后——当事物已臻至完全成熟之际——才会出现。

说实话，直到两年前，我与数学的关系（除了教授它的任务之外）仅限于做它——追随一种不断将我牵引向前，进入一个「未知」之中，它[◊ P25]不断地吸引着我。我从未想过在这股势头中停下来，哪怕只是瞬间的停顿，转身去看或许显露出一条已走过的道路，甚或为了定位一部已成过往的作品。（无论是将它定位在我的生命中，作为一件仍有深厚而长久被忽视的纽带联系着我的事物；或是将它定位在「数学」这一集体冒险之中。）

更奇怪的是，为了让我最终得以「安放」并重新认识这部半被遗忘的作品，或者仅仅是让我想到给一个名字给那个曾作为其灵魂的视野，就必须让我突然面对一场规模巨大的埋葬的现实：以沉默和嘲弄来埋葬，既是埋葬那个视野，也是埋葬那个孕育了视野的工匠……

形式与结构——或事物之道

未曾预料地，这篇「前言」不知不觉地最终成了对我著作的一种正式介绍，主要面向非数学专业读者。既已深陷其中无法回头，我唯有完成「介绍」！我想勉力至少就实质谈一谈我在前文中所描绘的那些奇妙的「伟大思想」（或「主导主题」），以及那种著名的「洞见」的本质——这些主导思想理应在其中汇聚。由于无法使用稍微技术性的语言，我大概只能传达出一种极为模糊的意象（如果真有什么东西能够「传达」出来的话……）29.

传统上，人们区分宇宙万物的三种「性质」或「方面」，它们是数学反思的对象，即：数（nombre）30、量（grandeur），以及形式（forme）。我们也可以[◊ P26]称它们为「算术（arithmétique）」方面、「度量（métrique）」（或「分析（analytique）」）方面，以及「几何（géométrique）」方面。在数学所研究的大多数情形中，这三个方面同时存在且紧密互动。然而，通常三者中有一方明显占主导。在我看来，对于大多数数学家（了解他们或熟悉其工作的人）而言，他们的基本气质是相当清晰的——他们是「算术学家」、「分析学家」还是「几何学家」——即便他们琴弦众多，在一切可想象的音域和调式中都曾演奏。

我早期孤独的反思——关于测度（mesure）与积分（intégration）理论——明确无误地归属于「量」或「分析」这一门类。同样，我在数学中引入的第一个新主题（在我看来其规模不及其他十一个）也是如此。我之所以通过分析这一「侧面」进入数学，在我看来并非由于我的特殊气质，而是出于一种可称为「偶然境遇」的原因：对于我这位热爱普遍性与严谨性的心灵而言，中学和大学教育中最大的空白，恰好涉及事物的「度量」或「分析」方面。

1955年标志着我的数学工作中的一次关键转折：即从「分析」转向「几何」。我仍然记得那种印象令人震撼（当然是完全主观的），仿佛我离开了干旱荒芜的草原，突然置身于某种「应许之地」，富饶丰盛，在随手所及之处无限繁衍，任人采撷或探索……而这种令人窒息的丰饶之感，超乎一切尺度31，在岁月中只增不减，直至今日。

[◊ P27]这就是说，如果说数学中有一件事（大概从始至终）比任何其他事都更让我着迷，那既不是「数」，也不是「量」，而始终是形式（forme）。而在形式用以向我们显现的千百张面孔中，最让我着迷且继续让我着迷的，是**结构（structure）**隐藏在数学事物之中的。

一件事物的结构绝不是什么我们可以「发明」的东西。我们只能耐心地将其揭示，谦卑地与之相识，去「发现」。如果说这项工作中有创造性，如果说我们偶尔会扮演铁匠或不知疲倦的建造者的角色，那绝不是为了「塑造」或「建造」什么「结构」。结构的存在、以及它们恰好是它们之所是，根本无需等待我们！而是为了表达，尽可能忠实地表达我们正在发现和探察的那些事物，以及这种不愿轻易显露的结构——我们试图摸索着、也许还用着仍显笨拙的语言去把握它。于是我们被引向不断地**「发明」语言**，以越来越精微地表达数学事物内部的结构，并借助这一语言，逐步且从头彻底地建造出那些应当对所把握和所见之物作出说明的「理论」。在这里，存在着一种持续不断、永不停歇的往复运动，在把握事物与表达对所把握之物的表达之间，这种语言在工作的进程中、在即时需求的持续压力下不断精炼和重塑自我。

正如读者大概已经猜到的，这些「从头彻底建造」的「理论」，也正是此前谈到的那些「美丽的屋宇（belles maisons）」。它们是我们从前人那里继承的，以及我们应事物的呼唤与倾听而亲手建造的那些。如果说我刚才谈到了建造者或铁匠的「创造性」（或想象力），我还需要补充一点：赋予其灵魂与隐秘力量的，绝不是那种说「我要这个，不要那个！」并乐于随心所欲地做决定的傲慢——就像一个蹩脚的建筑师，在还没有看见和感受过一块土地、没有探查过它的可能性和要求之前，脑子里就已经准备好了所有图纸。研究者的创造性和想象力的品质，在于其关注，在于倾听事物之声。因为宇宙间的事物从不倦于谈论自身、向那些愿意倾听的人揭示自身。而最美的屋宇，[◊ P28]并非比别的更大或更高。美丽的屋宇是忠实映照出事物隐藏的结构与美的那一座。

新几何（géométrie nouvelle）——或数与量的联姻

但我又离题了——我本打算谈论那些主旋律（maîtres-thèmes），它们汇聚于同一母愿景（vision-mère），正如百川归海，大海乃是众河之源……

这一广阔的统一视野可以被描述为一种新几何。据说，这正是Kronecker在上个世纪所梦想的32。但现实（一个大胆的梦想有时让人预感到或隐约瞥见，并激励我们去发现的现实……）在丰富性和共鸣上，每次都超越最果敢或最深邃的梦想。可以肯定的是，对于这种新几何的多个方面（若非全部），在其出现的前一天，还没有人能够想到——就连构建者本人也不例外。

可以说，“数（nombre）“善于把握”不连续（discontinus）“集合体的结构，或者说”离散（discrets）“：这些系统通常是有限的，由彼此相对孤立的”元素”或”对象”构成，缺乏某种从一个到另一个的”连续过渡（passage continu）“原则。而”量（grandeur）“则是一种卓越的性质，能够”连续变化（variation continue）“；因此，它善于把握连续的结构和现象：运动、空间、各种”流形（variétés）“、力场等。于是，算术（arithmétique）表现为（大致而言）作为离散结构科学，而分析（analyse）则作为连续结构科学。

[◊ P29]至于几何，可以说自它作为现代意义上的科学存在两千多年来，一直”横跨”这两类结构——“离散”结构与”连续”结构33。在很长一段时间里，其实并不存在真正的”分裂（divorce）”」，在两种不同种类的几何之间，一者离散，一者连续。更确切地说，在研究同一几何图形时存在两种不同观点：一种侧重于”离散”性质（特别是数值和组合性质），另一种侧重于”连续”性质（如其在周围空间中的位置，或以其点之间相互距离来衡量的”量”等）。

正是在上世纪末，随着有时被称为”几何（代数）抽象”的出现和发展，分裂出现了。大致而言（Grosso modo），这种方法在于为每个素数（nombre premier）p，引入一种（代数）几何”其特征（caractéristique）为p”，它模仿了前几个世纪传承下来的（连续）代数几何模式，但其所处的上下文却显得不可化约地”不continuous”、“离散”。的André Weil34，也许甚至是主导性的核心思想（idée-force）（在其书面著作中或多或少保持隐晦，理应如此），即”该”代数几何，尤其是[◊ P30]与不同素数相关联的”离散”几何，应当为算术的大规模革新提供钥匙。正是在这种精神下，他在1949年提出了著名的”Weil”。说实话，这些猜想绝对令人叹为观止，它们让人隐约看到，对于这些具有离散性质的新型”流形”（或”空间”），某些类型的构造和论证是可能的，35而此前这些构造和论证似乎只有在被分析学家们视为真正配得上”空间”之名的那些”空间”——即所谓的”拓扑（topologiques）“空间（其中连续变化的概念行之有效）——的框架内才是可想象的。

可以说，新几何首先是这两个世界之间的综合，这两个世界此前相邻且紧密相连，却又彼此分离：“算术世界”，其中居住着（所谓的）没有连续性原则的”空间”，以及连续量的世界，其中居住着严格意义上的”空间”，它们可以被分析学家的工具所触及，并且（正因如此）被他视为配得上在数学城邦中栖居。在新的视野中，这两个曾经分离的世界合而为一。

这种”算术几何（géométrie arithmétique）“（我提议这样称呼这种新几何）愿景的最初雏形，出现在Weil的猜想中。在我某些主旋律的发展过程中36，这些猜想一直是我主要的灵感来源，贯穿了1958年至1969年的整个时期。况且，早在我之前，OscarZariski一方面，随后Jean-PierreSerre另一方面，为”抽象”代数几何中那些”无法无天的空间（espaces-sans-foi-ni-loi）“发展了一些”拓扑”方法，这些方法受到了此前通行于人人皆用的”正宗空间”的方法的启发37。

[◊ P31]当然，在我构建算术几何的最初步骤中，他们的想法发挥了重要作用；不过更确切地说，是作为起点和工具（outils）（为了适应一个远为广阔的语境的需要，我不得不或多或少地从头重塑它们），而非作为持续滋养我数月乃至数年梦想与计划的灵感来源。无论如何，从一开始就很清楚，即使经过重塑，这些工具也远未达到所需的水准——就连朝着那些奇幻猜想迈出最初几步都不够。

魔幻之扇——或称纯真

在新几何学的启动与发展中，两个关键的主导思想是概形（schéma）以及拓扑斯（topos）。两者几乎同时出现，且彼此紧密共生38，它们如同同一个动力神经推动着新几何学的惊人崛起，而这一切自它们出现的当年便已开始。为结束对我工作的这一概览，我至少还需就这两个思想说上几句。

概形（schéma）的概念是最自然、最”显而易见”可以想象的，它用一个单一概念囊括了那一整个无限的”流形（variété）“概念系列[◊ P32]（代数）此前人们所使用的（一种这样的概念用于每个素数（nombre premier）39……都各有一套这样的概念。此外，同一个”概形”（或称新型”流形”），对于每个p，都会产生一个确定的”特征（caractéristique）为p的（代数）流形”。这些不同特征的不同流形的集合，因此可以被视为一种”（无限的）流形之扇”（每种特征一个）。“概形”就是这把魔幻之扇，它将它在所有可能特征下的”化身”或”具现”如同不同的”分支”一般联系在一起。正因如此，它提供了一个有效的”过渡原则”，用于将那些从属于此前彼此或多或少孤立、相互隔绝的几何学的”流形”联系起来。现在，它们被纳入一个共同的”几何学”之中，并由它联结在一起。我们可以称之为概形几何（géométrie schématique），它便是后来在随后的岁月中绽放为”算术几何（géométrie arithmétique）“的那一雏形。

概形这一思想本身具有孩童般的纯朴——如此简单，如此卑微，以至于在我之前没有人曾想到要弯下腰到如此低的高度。甚至可以说如此”傻气”，以至于在随后的多年里，尽管事实摆在眼前，对我的许多博学的同事来说，它仍然显得”太不严肃”！况且，我花了数月紧张而孤独的工作，才在角落里说服自己，确信”这确实行得通”——确信那个如此傻气的新语言（我竟以不可救药的天真执意要去检验它）确实足以用新的光照和新的精微，并且从此在一个共同的框架内，去把握与先前的那些”特征为p的几何学”相关联的那些最初期的几何直觉。这正是那种被所有”消息灵通”人士预先判定为愚蠢且毫无希望的尝试——在我所有的同事和朋友中，我无疑是唯一一个会想到要把这种东西装进脑子里的人，甚至（被一种秘密的冲动所驱使……）还非要不顾一切地把它做成功不可！

我没有被周围那些关于什么”严肃”什么不”严肃”的、如同律法一般的共识所干扰，而是信任——只是像过去一样，信任事物那谦卑的声音，以及我内心那个懂得倾听的东西。回报是立竿见影的，且超乎一切预期。就在这几个月里，甚至没有”刻意为之”，我便触及了强大而不为人知的工具。它们让我得以，[◊ P33]不仅（如同玩耍般）以更透彻的光照重新发现并超越了那些公认艰深的旧有结果，而且终于得以触及并解决”特征为p的几何学”问题——那些问题此前被认为以当时已知的一切手段都无法企及40。

在我们对宇宙万物的认识中（无论是数学还是其他领域），我们内心那种革新的力量不是别的，正是纯真。那便是我们每个人在出生时就共同领受、安睡于我们每个人心中的原初纯真——它常常是我们蔑视的对象，也是我们最隐秘的恐惧的根源。唯有它能够将谦卑与勇敢统一起来，使我们得以深入事物的核心，也使我们得以让事物进入我们内心，浸润我们。

这种力量绝非某种非凡”天赋”的特权——即那种异乎寻常的脑力（姑且这么说），用以灵巧而轻松地吸收和驾驭大量令人叹为观止的已知事实、思想和技术。这样的天赋固然珍贵，对于那个（如我这般）在出生时并未如此”无可估量地”受眷顾的人来说，也确实值得羡慕。

然而，打破那些囚禁我们宇宙的”无形而专横的圆圈”的，并非这些天赋，甚至连最炽热的野心加上毫不动摇的意志也做不到。唯有纯真能穿越它们，在那些我们独自倾听事物、全神贯注于一场儿童游戏的时刻——浑然不觉，亦无所顾虑……

拓扑学——或曰雾中测绘

我们看到，「概型」这一创新理念，正是那个能够将不同素数（或不同「特征」）所对应的不同「几何」联系起来的理念。然而，这些几何各自在本质上仍然主要是「离散的」或「不连续的」，与过往数个世纪所传承（并可追溯到欧几里得）的传统几何形成对比。Zariski 和Serre 引入的新思想，在一定程度上为这些几何恢复了一个「维度」——[◊ P34]连续性，这种连续性随即被刚刚诞生的「概型几何」所继承，以将它们统一。但就（Weil 的）「惊人猜想」而言，还远远不够。这些「Zariski 拓扑」从这一角度来看是如此的粗糙，以至于几乎就如同还停留在「离散集合」的阶段。显然，所缺少的是某种新的原理，一种能够将这些几何对象（或「流形」，或「概型」）与通常的（拓扑）「空间」——即那些其「点」看起来清晰分离且彼此分开的空间——联系起来的原理；而在 Zariski 引入的那些无法无天的空间中，点却有一种令人恼火的相互粘附的倾向……

正是这样一个「新原理」的出现——而且非它不可——才能使这些「数与量的联姻」，或者说「离散几何」与「连续几何」的结合成为现实；而这种结合的最初预感，正从Weil 猜想中透露出来。

「空间」大概是数学中最古老的概念之一。它在我们对世界的「几何」把握中是如此根本，以至于两千多年来它一直或多或少地处于不言自明的状态。直到近一个世纪，这一概念才逐渐从直接感知（那个包围我们的单一「空间」）及其传统（「欧几里得」）理论化的专制束缚中挣脱出来，获得了自身的自主性和活力。如今，它已成为数学中应用最普遍、最广泛的几个概念之一，想必每个数学家都无一不熟悉。而且，这还是一个人所共知千变万化的概念，有着成百上千种面貌，取决于人们向这些空间中注入何种类型的结构——从最富饶的结构（如古老的「欧几里得」结构，或「仿射」和「射影」结构，乃至同名「流形」的「代数」结构，这些结构对前者进行推广和柔化）到最贫瘠的结构：其中任何「定量」信息似乎都一去不复返，只剩下「邻近」概念或「极限」」概念的纯粹定性精髓，41以及形式（称为「拓扑的」）直觉中最难以捉摸的版本。所有这些概念中最空洞的，那个[◊ P35]迄今为止，在过去半个世纪中一直充当着包容所有其他概念的某种广阔的共同概念怀抱的，是拓扑空间。对这些空间的研究构成了几何学中最迷人、最活跃的分支之一：拓扑学。

尽管由（「拓扑」）「空间」所体现的这种「纯性质」结构乍看起来可能难以捉摸——在缺乏任何定量数据（特别是两点之间的距离）来让我们依附于某种熟悉的「大小」或「尺度」直觉的情况下——但在过去的一个世纪中，人们还是用精心「量体裁衣」的语言那严密而柔韧的网眼，精细地勾勒出了这些空间的轮廓。更进一步，人们还凭空发明制造了各种「米尺」或「测量单位」，以便不顾一切地给那些触手般蔓延的、仿佛如不可捉摸的雾气般躲避一切测量尝试的「空间」附上某种「度量」（称为「拓扑不变量」）。诚然，这些不变量中的大多数，以及最本质的那些，其性质比单纯的「数字」或「量」更为微妙——它们本身就是或多或少精妙的一些数学结构，通过（或多或少复杂的构造）附着在所考察的空间之上。其中最古老、最关键的不变量之一，早在上个世纪就已由意大利数学家Betti引入，由与该空间相关联的不同所谓「上同调」的「群」（或「空间」）构成，42。这些不变量正是那些（主要[◊ P36]「在字里行间」，的确如此）出现在Weil 的猜想中，它们构成了猜想深刻的「存在理由」，并且（至少对我而言，经 Serre 的解释「入了门」）赋予了它们全部的意义。但将此类不变量与出现在这些猜想中的「抽象」代数流形相关联，以满足那项事业所需条件所要求的极为精确的条件——那仅仅是一个希望。我怀疑除了Serre 和我自己之外，是否有其他人（甚至而且特别是 AndréWeil 本人43！）真的相信过……

不久前，我们对这些上同调（cohomologie）不变量的认识，还因……的工作而得到了极大的丰富和深刻的更新JeanLeray（战争期间在德国被俘期间继续从事的研究，[◊ P37]在20世纪40年代上半叶）。其核心创新思想是层（faisceau）（阿贝尔）于一个空间上，与之Leray为其关联了一组相应的「上同调群」（即所谓「以该层为系数的」）。这就好比我们迄今为止用于「丈量」一个空间的那些标准老式「上同调标尺」，突然倍增成数量多得难以想象的各式新「标尺」，大小、形状、质地无所不有，每一个都与该空间密切适配，每一个都为我们提供关于该空间的精确信息，且是唯独它能给予我们的信息。这正是我们处理各类空间的方式发生深刻转变的主导思想，也无疑是本世纪涌现出的最关键思想之一。尤其得益于Jean-PierreSerreLeray在拓扑空间理论中一个令人瞩目的重新起步（特别是其与上同调密切相关的所谓「同伦（homotopie）」不变量），以及另一个同样重要的重新起步——所谓的「抽象」代数几何（凭借Serre于1955年发表的基础性文章「FAC」Serre，发表于1955年）。我本人自1955年起在几何学方面的工作，与Serre的这些研究一脉相承并由此与Leray的创新思想一脉相承。

拓扑斯（topos）——或双人床

由 Leray 引入的层（faisceau）的观点与语言Leray 引导我们用新的眼光审视各种「空间」与「流形（variété）」。然而，它们并未触及空间概念本身，只是让我们以新的双眼更精细地把握那些早已为人所熟知的传统「空间」。然而，事实表明，这一空间概念不足以刻画那些最本质的「拓扑不变量（invariant topologique）」，后者表达了「抽象」代数流形的「形状」（例如 Weil 猜想所适用的那些流形），乃至一般的概型（schéma）（推广了旧的流形）。对于那场期盼已久的、「数与量」的「联姻」而言，这无疑是一张过于狭窄的床，未来的两位新人中只有一位（即新娘）尚能勉强蜷身其中，但绝无法同时容纳两人！为了完成吉祥仙女所允诺的联姻，尚待发现的「新原理」不是别的，正是未来夫妇所缺的那张宽敞的「床」——而在此之前竟无一人察觉……

这张「双人床」（仿佛魔杖一挥……）随拓扑斯的观念而出现。这一观念，在一种共同的拓扑直觉中，[◊ P38]既涵盖了传统（拓扑）空间——体现连续量的世界——也涵盖了那些拒不悔改的抽象代数几何学家的（所谓的）「空间」（或「流形」），以及无数其他类型的结构，这些结构此前似乎无可挽回地固着于「不连续」或「离散」聚合的「算术世界」。

正是层的观点——那沉默而可靠的向导，那有效（且毫不隐秘）的钥匙——引导我毫不迟疑、毫无迂回地走向那间摆着宽阔双人床的新婚卧室。这张床如此宽广（宛如一条宽阔而宁静的深河……），以至于

「国王的所有骏马

都能共饮于此……」

——正如一首古老的歌谣所唱，想必你也曾唱过，或至少听人唱过。而第一个唱出这首歌的人，比我从前的任何博学的学生和朋友都更深刻地感受到了拓扑斯的隐秘之美与宁静之力……

这把钥匙是同一把，无论在最初临时的进路中（经由「景（site）」这一非常便利但非内蕴的概念），还是在拓扑斯本身中。现在我要尝试描述的，正是拓扑斯这一观念。

考虑由所有给定（拓扑）空间上的层组成的整体，或者，如果你愿意，这个由所有用以丈量它的「标尺」44所构成的惊人武库。我们将这个「整体」或「武库」视为带有其最显见的结构——可以说是一眼就能看出的结构；即一种称为「范畴（catégorie）」的结构。（非数学专业的读者不必为不了解这一术语的技术含义而困扰。后续内容完全不需要它。）正是这种称为「层范畴」（在所考虑的空间上）的「丈量上层建筑」，从此将被视为「体现」了空间最本质的东西。这是合理的事情（就「数学常识」而言），因为事实证明，我们可以完全「重构」一个拓扑空间45用这个关联的「层范畴」（或这个丈量的[◊ P39]武库）来表述。（验证这一点是一个简单的练习——当然，前提是问题被提出来……）仅此就足以确信：（无论出于何种原因，只要我们愿意）我们现在可以「忘掉」原始空间，只保留并使用关联的「范畴」（或「武库」），它将被视为所要表达的「拓扑结构」（或「空间结构」）的最恰当化身。

正如数学中常有的那样，我们在此（借助「层」或者说「上同调标尺（mètre cohomologique）」这一关键观念）成功地将某一概念（此处即「空间」）用另一概念（即「范畴」）来表达。每一次，发现这样一种翻译将一个概念（表达某类情境）用另一概念（对应另一类情境）来表达，通过分别关联于这两者的特定直觉的意外汇合，丰富了我们对这两个概念的理解。于是，一种「拓扑」性质的情境（由给定空间体现）在此被翻译为一种「代数」性质的情境（由「范畴」体现）；或者，如果你愿意，由空间所体现的「连续」，被「翻译」或「表达」为范畴结构——后者具有「代数」性质（且此前被视为本质上是「不连续」或「离散」的）。

但是，不仅如此。这些概念中的第一个，即空间的概念，曾在我们看来是一种在某种程度上「最大」的概念——一种已经如此一般的概念，以至于很难想象还能找到一种仍然「合理」的推广。然而，在镜子的另一侧46，这些「范畴」（或「武库」），人们从拓扑空间出发所遇到的，具有非常特殊的性质。它们实际上享有一系列高度典型化的性质47，这使得它们类似于其中可以想象到的最简单的一种「模仿品」——即从简化为单一点的空间出发所得到的那一种。这就是说，一个「新风格的空间（或称拓扑斯（topos））」，推广了传统拓扑空间，将被简单地描述为一个「范畴」，它虽然未必来源于一个普通空间，却仍然具有这样一个「层（faisceau）范畴」的所有这些优良性质（当然，这些性质被一劳永逸地明确指定）。

[◊ P40]因此，这就是那个新想法。它的出现可以被视为这一观察的结果——老实说，这几乎有些幼稚——即在一个拓扑空间中真正重要的，绝非它的「点」或点的子集48，以及它们之间的邻近关系等等，而是**层（faisceau）**在这个空间上，以及它们所形成的范畴。总之，我只不过是将Leray 的初始想法引向其最终结论——这样一来，就迈出了这一步。

正如层这一想法本身（由Leray 所提出），或概型（schémas）的概念，正如任何前来撼动根深蒂固之事物观的「伟大思想」一样，拓扑斯的概念以其自然性、「显而易见」性，以其简洁性而足以令人困惑（近乎天真或简单化，甚至可以说是「傻乎乎」的——正是这种特质让我们常常以半失望半羡慕的口吻惊呼：「哦，原来就只是这样啊！」；同时还可能带有「荒唐」、「不严肃」的隐含意味——人们常将这类评价保留给一切因过于出乎意料的简单而令人困惑的事物。给那些或许会让我们想起早已被埋葬和否定的童年时光的事物……

空间概念的嬗变——或曰气息与信念

概型（schéma）概念构成了”代数流形（variété algébrique）“概念的极大扩展，正因如此，它彻底更新了我的前辈们所遗留的代数几何。而拓扑斯（topos）概念则构成一种意想不到的扩展，更确切地说，是空间概念的一次变形。由此，它承载着对拓扑学、乃至几何学进行类似更新的承诺。更何况，它已经在新型几何的兴起中发挥了关键作用（尤其通过上同调（cohomologie）主题ℓ-进和晶体，这些主题源自拓扑斯，并借助它们，在证明Weil猜想）的过程中发挥了作用。作为其年长（且几乎是孪生的）姊妹，它拥有任何富有成果的推广所必备的两个互补的基本特征，兹述如下。

第一，新概念并非过于宽泛，也就是说，在这些新的”空间”（为免惹恼敏感的耳朵，它们被称作”拓扑斯”49），“几何”的直观与构造[◊ P41]最本质的那些50，为昔日美好旧空间所熟悉的，可以以或多或少显然的方式加以转置。换言之，对于这些新对象，我们拥有了以往仅限于旧式对象的那一整套丰富的心智图像与联想、概念以及至少一部分技巧。

第二，新概念同时又足够宽泛，足以涵盖大量此前不被认为能产生”拓扑-几何”性质直观的情境——恰是过去仅保留给普通拓扑空间（这自有其原因……）的那些直观。

这里的关键之处在于，从Weil猜想的角度来看，新概念确实足够宽泛，足以让我们为每一个”概型”关联一个这样的”广义空间”或”拓扑斯”（称为该概型的”平展拓扑斯”）。这个拓扑斯的某些”上同调不变量”（再”简单”不过了！）在当时看来很有希望提供”所需之物”，使这些猜想获得全部意义，并且（谁知道呢！）或许还能提供证明它们的手段。

正是在我正在写的这些篇章中，我生平第一次（哪怕只是对自己）得以从容地追述我数学工作中全部的主线主题与重大指导理念。这使我更好地领会每一个主题及其所体现的”观点”在那种统摄它们且孕育了它们的伟大几何视野中的地位与意义。正是通过这项工作，在新型几何最初强劲兴起时的两个关键创新思想才得以充分显现：概型，以及拓扑斯。

这两个思想中的第二个，即拓扑斯的思想，如今在我看来[◊ P42]是两者中更为深刻的。假如在1950年代末，我未曾捲起袖子，日复一日地执着耕耘，历经整整十二年，去发展一种”概型工具”，具有完美的精妙与力量——然而我仍觉得几乎难以想象，在随后的十年或二十年里，除我之外会有其他人最终能够避免（哪怕是勉为其难地）引入这个显然势在必行的概念，并好歹搭建起至少几座陈旧的”预制”棚屋，而未能建成那些我用心一石一木亲手装配的宽敞舒适的居所。相反，我看不到在过去三十年的数学舞台上，有谁能有这份天真或纯真，（替我去）迈出这至为关键的另一步，引入拓扑斯（或仅仅是”景（site）“）这个如此天真的想法。而且，即便这个想法已经慷慨地给出，连同它似乎蕴含的怯懦承诺——我仍看不到任何人，无论是昔日的朋友还是我的学生，能有这份气息，尤其是这份信念，将这个卑微的想法51（表面上如此微不足道，而目标又似乎遥不可及……）：从它最初的蹒跚起步，直至在我手中、在随后的岁月里最终化身而成的”平展上同调（cohomologie étale）之掌握”的充分成熟。

国王所有的马…

是的，河流很深，我童年时代的水域辽阔而宁静，在一个我以为早已离去的王国。国王所有的马都可以在那里从容畅饮，饱饮一番，而不会将之饮尽！它们来自冰川，炽热如那遥远的雪，又带有平原黏土的温柔。我刚才谈到其中一匹马，是一个孩子带来饮水的，它尽情地喝了很久。而我还看到一匹[◊ P43]另一匹也来饮了一会儿水，说不定还是同一个孩子带来的——但这次没持续多久。一定是有人把它赶走了。差不多就是这样。然而我看到无数干渴的马群在平原上游荡——就在今天早上，它们的嘶鸣声把我从床上拽了起来，在不是时候的时辰，我已是年近六十的人了，又喜欢清静。我无可奈何，只好起身。看到它们瘦骨嶙峋的样子，我心里难受，而好水并不缺少，青翠的牧场也不缺。但仿佛有一种恶毒的咒语降在了这片我一度熟悉而好客的土地上，阻断了通往这些丰沛水源的道路。又或许是当地马贩子设的局，好让马价下跌，谁知道呢？又或许，这个地方再也没有孩子带马来饮水了，马儿口渴，只因缺少一个能找到通往河边之路的孩童……

动机（motifs）——或核心中的核心

拓扑斯（topos）的主题源于概型（schémas）的主题，正是在概型出现的同一年——但其广度远超过母主题。正是拓扑斯的主题，而非概型的主题，才是这个「河床」，或这条「深河」，在这里，几何与代数、拓扑与算术、数理逻辑与范畴论、连续的世界与「不连续」或「离散」的结构彼此交融。如果说概型的主题如同心脏之于新几何，那么拓扑斯的主题便是其外壳，或居所。它是我所构想的最为宏大的概念，旨在通过一种富有几何回响的统一语言，精细地把握一种共同的「本质」，这种本质存在于来自广阔数学宇宙中此一区域或彼一区域的、彼此相距最远的情境之中。

然而，拓扑斯的这个主题远未享有概型那样的盛运。我在不同场合就此事在*《收获与播种》，此处并非详述这一概念所遭遇的奇特变迁的场合。新几何的两大主题却源于拓扑斯，即两个互补的「上同调理论」（théories cohomologiques），二者皆旨在为韦伊猜想（conjectures de Weil）提供一条进路：平展主题（thème étale）（或「ℓ-进」），以及晶体（cristallin）。前者在我手中具化为ℓ*-进上同调工具，它自问世之初便已成为本世纪最强大的数学工具之一。至于晶体主题，在我离开后几乎沦于隐匿状态，最终（在需求的压力下）于1981年6月重见天日，在聚光灯下以一个借用的名号亮相，其境遇之奇特更甚于拓扑斯周围的种种。

[◊ P44]ℓ

[◊ P44] ℓ-进上同调（cohomologie）工具，正如所料，是证明韦伊猜想的关键工具。我本人证明了其中的相当一部分，而最后一步则是在我离开三年后，由我最杰出的同调论学者学生 Pierre Deligne 以精湛技艺完成的。此外，大约在 1968 年，我还提炼出了一个更强且更具「几何」色彩的韦伊猜想版本。这些猜想仍带有一种看似不可还原的「算术」面向（如果可以这么说的话！），然而这些猜想的根本精神恰恰在于通过「几何」（或「连续（continu）」）的中介来表达和把握「算术」（或「离散（discret）」）⁵²。在这个意义上，我所提炼的猜想版本在我看来比 Weil 本人的版本更「忠实」于「Weil 哲学」——这种未曾写就、罕被言说的哲学，或许正是过去四十年间几何学非凡发展的主要潜在动力⁵³。我的重新阐述本质上在于，从适用于「通常」代数簇（variétés algébriques）的经典「Hodge 理论」中，提炼出一种在所谓的「抽象」代数簇框架内仍应有效的「精髓」⁵⁴。我将这个完全几何化的著名猜想新版本称为（关于代数环（cycles algébriques）的）「标准猜想（conjectures standard）」。在我看来，这是在 ℓ-进上同调工具发展之后，朝向这些猜想迈出的新一步。但与此同时，更重要的是，它也是通往我看来仍是数学中最深刻主题的可能进路之一[◊ P45]⁵⁵：即动机（motif）主题（它本身诞生于「ℓ-进上同调主题」）。这个主题如同概形主题的心脏或灵魂，是其最隐蔽、最难以窥见的部分，而概形主题本身又是新视野的核心。而标准猜想⁵⁶中所提炼出的若干关键现象，可以被视为构成了动机主题的终极精髓，是这个在所有微妙主题中最微妙主题的生命「气息」，是新几何（géométrie nouvelle）「核心中的核心」。大致情况如下。对于给定的素数（nombre premier）p，我们已经看到（特别是出于韦伊猜想的考虑）为「特征（caractéristique）p 的（代数）流形（variété）」构造「上同调理论」的重要性。然而，著名的「ℓ-进上同调工具」恰恰提供了这样一种理论，甚至提供了无穷多种不同的上同调理论：每个不同于特征 p 的素数都对应一种。显然，这里仍然缺少一种对应于 ℓ 等于 p 之情况的「理论」。52. En ce sens, la 5354

ℓ[◊ P45]55 : celui des ℓ56

ppℓpℓp**p5758[◊ P46]为了弥补这一点，我特意构思了另一种上同调理论（前面已经提到过），即所谓的「晶体上同调（cohomologie cristalline）」。此外，在 p 为无穷大的重要情形下，还有另外三种上同调理论可供使用⁵⁷——而且没有任何理由表明，我们不会迟早被引导去引入更多形式上完全类似的新上同调理论。与通常拓扑学（topologie）中的情况相反，我们在这里面对的是令人困惑的众多不同上同调理论。人们曾有一种非常清晰的印象：在某种最初相当模糊的意义上，所有这些理论都应该「殊途同归」，它们「给出相同的结果」⁵⁸。正是为了表达这种不同上同调理论之间「亲缘关系」的直觉，我提炼出了与代数流形（variété algébrique）相关联的「动机」概念。我用这个词意在暗示，它是潜藏于与该流形相关联的众多不同上同调不变量（借助所有先验可能的上同调理论得出）之下的「共同动机」（或「共同理由」）。这些不同的上同调理论，就像是同一个「基本动机」（称为「动机上同调理论」）的不同主题展开，各自以其特有的「速度」、「调性」和「调式」（「大调」或「小调」）呈现；而这个基本动机同时又是所有这些不同主题「化身（incarnation）」中最基本、最「精细」的一个（即所有可能的上同调理论）。因此，与代数流形相关联的动机构成了「终极的」、「卓越的」上同调不变量，所有其他（与各种可能的上同调理论相关联的）不变量都可以从中推导出来，如同不同的音乐「化身」或「实现」。流形「上同调」的所有本质属性都可以在相应的动机上「读到」（或「听到」），因此，在特定化的上同调不变量（例如 ℓ-进或晶体）上熟悉的性质和结构（structure），不过是动机内部性质和结构的忠实反映⁵⁹。ℓ59.

[◊ P47]这就是以音乐比喻这一非技术语言所表达的，一个仍带稚气、却又精妙果敢的思想的精髓。我在自认为更紧迫的基础工作之余，于1963-1969年间以「动机论」（théorie des motifs）或「动机哲学（或称「动机瑜伽」）」之名发展了这一思想。这是一门结构之丰富令人着迷的理论，其中很大部分至今仍属猜想性质。60.

我在*《收获与播种》*中多次谈到这个「动机瑜伽」，它是我格外珍视的。此处不宜复述我在别处已谈过的内容。我只须说，「标准猜想」（conjectures standard）从这一动机瑜伽中极其自然地推导而来。同时它们为动机概念的一种可能的形式（forme）构造提供了探索原则。

这些猜想在我眼中——时至今日依然如此——是代数几何（géométrie algébrique）中最基本的两个问题之一。无论是这个问题，还是另一个同样关键的问题（即所谓的「奇点解消」（résolution des singularités）），至今仍未解决。然而，当第二个问题——如今如同百年前一样——显得既崇高又棘手之时，我有幸[◊ P48]所揭示的那个问题，却被时尚的专断判决（自从我离开数学舞台后的那些年起，正如动机主题本身一样）归类为61）可笑的格罗滕迪克式胡诌。但我又一次言之过早……

发现母亲——或两个侧面

说实在的，我关于韦伊猜想（conjectures de Weil）本身所做的旨在确立它们的思考，始终是零星的。那片开始在我眼前展开、我竭尽全力审视并捕捉的全景，在广度和深度上都远远超越了任何证明的假设性需要，甚至超越了那些著名猜想最初所让人窥见的一切。随着概形（schéma）主题与拓扑斯（topos）主题的出现，一个前所未闻的新世界骤然敞开。「猜想」在其中占据着中心位置，诚然，有点像某个辽阔帝国或大陆的首都，拥有无数行省，但其中大多数与那个光彩夺目的显赫之地只有最疏远的关联。尽管从未对自己明说过，但我知道自己从此是一项伟大任务的仆从：探索这个广阔而未知的世界，把握其轮廓直至最遥远的边界；同时，也要走遍四方，以执著而系统的方式清查和编录那些最邻近、最易抵达的行省，绘制出忠实而精确的地图，让最微小的村落和最简陋的茅屋都能在其中占有一席之地……

正是这最后一项工作消耗了我大部分精力——一项耐心而庞大的基础工作，唯有我能清晰地看到它，更重要的是，「从骨子里感受到」它。正是它占据了——而且远远超过——我绝大部分时间，从1958年（概形主题与拓扑斯主题接踵而至的那一年）到1970年（我离开数学舞台的那一年）。

况且，我时常因被这样拖住而暗自焦躁，仿佛被一种顽固而粘滞的重负所牵绊，这些没完没了的任务（一旦看到了本质之后）对我来说更像「后勤事务」，而非向未知的冲刺。我不断需要压制那种向前冲的冲动——[◊ P49]那是先驱者或探索者的冲动，出发去发现和探索无名未知的世界，不停地召唤我去认识它们并为它们命名。那种冲动，以及我投入其中的精力（几乎是偷偷摸摸地！），始终只得到微薄的份额。

然而，我心底深知，正是这种从我应奉献给「任务」的能量中（可以说是）窃取而来的精力，才具有最稀有、最精微的本质——我作为数学家的工作中的「创造」，首先发生在那里：在那强烈的关注（attention）之中——去把握，在温暖而不竭的滋养母体幽暗、无形、潮湿的褶皱里，尚未诞生却似乎在召唤我的事物最初的形式与轮廓的痕迹，使其成形、具现、降生……在发现的工作中，这种强烈的关注、炽热的关切是一种本质性的力量，正如太阳的热量之于埋藏在滋养大地中种子的幽暗孕育，以及它们谦卑而奇迹般地破土而出、迎向日光。

在我作为数学家的工作中，我看到尤其这两种同样深刻、但性质（在我看来）不同的力量或冲动在起作用。为了唤起这两者，我用了建造者的形象，以及先驱者或探索者的形象。将它们并置在一起，两者突然让我感到非常「阳」，非常「阳刚」，甚至可以说是「大男子主义」！它们带着神话般高傲的回响，或是「伟大时刻」的腔调。它们无疑受到我内心深处残余的旧日「英雄式」创造性工作观的启发——那种超级阳刚的洞见（vision）。就这样，它们呈现出一个高度渲染的、甚至可以说是僵化的、「立正站好」的图景，而非一种更为流动、更为谦卑、更为「简单」的现实——一种活生生的现实。

在这种「建造者」的男性冲动中——它似乎不断将我推向新的工地——我却同时清楚地辨认出恋家者：那种深深依恋于「那」房屋的人。首要的是，那是「他的」房屋，是「亲近的人」——一个他感觉自身属于其一部分的亲密的活生生的整体所在。唯有在此之后，随着被感受为「亲近」的圈子逐渐扩大，它才成为「众人的家」。而在这种「造房子」的冲动中（如同人们「做」爱……），也首先存在着一种柔情。其中有着接触的冲动——与那些被一件件精心塑造的材料相接触，唯有通过这种充满爱意的触碰才能真正了解它们。而当墙壁筑起、梁木和屋顶架好之后，又有着[◊ P50]深沉的满足感，去布置一个又一个房间，逐渐看到在这些厅堂、卧室和斗室之间，建立起活生生的家宅那和谐的秩序——美丽、温馨、适于居住。因为家宅，在我们每个人心中，首先且隐秘地，同时也是母亲——那环绕并庇护我们的存在，既是避难所也是慰藉；也许（更深刻地说，甚至就在我们正亲手一砖一瓦建造它的时候）那也正是我们自身所出自之处，是在那永被遗忘的诞生之前的时光里庇护和滋养我们的所在……它也是母怀。

而刚才自发浮现的那个意象——为超越「先驱者」这个显赫称号，去把握它所掩盖的更隐蔽的现实——同样剥去了所有「英雄」色彩。那里再次出现的是母性的原型意象——滋养的「母体」及其无形而幽暗的劳作……

这两种在我眼中曾显得”性质不同”的冲动，最终比我原先所想的更为相近。二者同属一种”接触冲动""，引领我们去遇见”母亲""：去往那位化现着”**以及”**切近的、“已知”的，“以及""未知”的。将自己交付给任何一种冲动，便是”重遇母亲”。那既是重新与切近的、“或多或少已知的”建立联系，也是与”遥远的""，与”未知”却同时已被预感、即将为人所知的那些建立联系。”

此处的差异在于色调、在于配比，而非性质之别。当我”建造房屋”时，是”已知”居于主导；而当我”探索”时，则是未知。这两种发现的”模式”，或更准确地说，同一过程或同一工作的这两个方面，是密不可分的。二者皆不可或缺，且互为补充。在我的数学工作中，我辨认出在这两种进路模式之间——或更确切地说，在一者占主导的时刻（或时期）与另一者占主导的时刻（或时期）之间——存在着一种恒常的往返运动62。但同样清楚的是，在每一时刻，两者——[◊ P51]——皆在场。当我建造、布置，或清理、打扫、整理时，是工作的”阳”或”男性""模式”或”面向”在定调。当我摸索着探索那难以把握的、无形的、无名之物时，我依循的是我存在中的”阴”或”女性”面向。

我无意轻视或否认自身天性中的任何一个面向，二者皆不可或缺——“男性”的建造与生成，“女性”的构思与孕育，承载那些缓慢而幽暗的酝酿。我”即是”二者——“阳”与”阴”，“男”与”女”。但我也深知，创造性进程中最精妙、最灵动的本质，存在于”阴”、“女性”那一面——那谦卑、幽暗、往往其貌不扬的一面。

我相信，正是工作的这一面向，从始至终对我有着最强烈的吸引力。然而，盛行的共识却鼓励我将大部分精力投入另一面——投入那体现在有形”产物”（且不说完成和定型的产物）之中的一面——那些轮廓分明、以雕琢之石的明证来彰显自身实在的产物……

如今回望，我清楚地看到这些共识如何压迫着我，也看到我如何”承受重压”——灵活地承受！我的工作中”构思”或”探索”的部分直到我离开之时仍被压缩在极少的份额里，诚然如此。然而，在回顾我作为数学家的毕生之作时，一个惊人的事实浮现出来：构成这一成果之本质与力量的，恰恰是那个在当今备受忽视——若非沦为嘲弄对象或屈尊俯就的鄙夷的话——的面向：即”思想""，乃至”梦想""，而绝非”成果”。在本书的这些篇章中，我试图以俯瞰森林而非流连于树木的目光，去把握我为时代数学所带来的最本质的东西——我所看到的，并非一份”伟大定理”的获奖清单，而是一幅由丰饶思想构成的生机勃勃的图景63，它们汇聚于同一个辽阔的洞见（vision）之中。

孩子与母亲

[◊ P52]当这篇”前言”开始变成一场穿越我数学作品的漫步时，连同我那关于”继承者”（纯正血统）和”建造者”（无可救药）的小小概述，也同时开始为这篇未成的前言浮现出一个名字：它将是”孩子与建造者”。随后几天，越来越清楚的是，“孩子”与”建造者”是同一个角色。于是这个名字便更简单地成了”建造者孩子”。说实话，这个名字倒是不乏风采，而且完全合我心意！

然而反思却表明，这位高傲的”建造者”，或者（更谦逊地说）那个玩搭房子的孩子，不过是那个著名的玩耍孩子，他有两个面孔。还有一个爱探索事物的孩子，喜欢去刨掘、埋进沙堆或无名泥沼，那些最不可能、最古怪的地方……为了掩人耳目（哪怕只是自欺欺人……），我起初用了一个光彩夺目的名字来介绍他：“先锋”，随后又用了更朴实但仍带着光环的”探索者”。让人不禁要问，“建造者”和”先锋-探索者”之间，哪一个更有男子气概、更诱人！正面还是反面？

然后，再凑近些看，我们这位无畏的”先锋”最终竟是一个女孩（我喜欢把她打扮成男孩）——她是水塘、雨水、细雨和黑夜的姐妹，沉默寡言，因隐没于暗影而几乎不可见——那个总被人遗忘的人（人们甚至还要假装嘲笑她……）。而我自己也有办法，日复一日地忘记她——可以说是加倍地忘记她：我起初只愿意看见那个男孩（那个玩搭房子的……）——甚至当我终究无法不仍然看见**那另一个，**我仍然把她看作男孩，她也一样……

至于这次漫步的好名字，这下子完全站不住了。这是一个纯阳的、全”大男子主义”的名字，一个跛脚的名字。要让它不歪歪扭扭地立住，就得把另一个也加进去。但奇怪的是，“另一个”并没有真正的[◊ P53] 名字。唯一勉强贴切的，是”探索者”，但这仍然是个男孩的名字，无可奈何。语言在这里是个刁妇，她不知不觉地给我们设下陷阱，显然与古老的偏见串通一气。

也许可以用”建造的孩子和探索的孩子”来脱身。不点明一个是”男孩”而另一个是”女孩”，而且这是同一个亦男亦女的孩子，在建造中探索，在探索中建造……但昨天，除了沉思与探索、命名与建造这一阴阳双面之外，又显现出事物的另一个面向。

宇宙、世界、乃至 Cosmos，都是陌生而遥远的东西。它们并不真正与我们相干。驱动我们认知冲动的，内心深处，并非朝向它们而去。真正吸引我们的，是它们的化身具体而直接，最贴近、最”肉身”，满载着深沉的共鸣、充满奥秘——她与我们有血之身的起源融为一体，也与我们物种的起源融为一体——还有那位从太古时代就一直静静等待着我们、随时准备迎接我们的她，“在路的另一端”。正是从她，母亲，从那位生养了我们、如同她生养了世界的那一位，涌出冲动，欲望之路由此出发——而正是向着与她相遇，它们承载着我们，向着她奔涌而去，为了不断回归并消融于她之中。

就这样，在一次意外的”漫步”途中，我不期然间重遇了一则曾熟悉却有些遗忘的寓言——孩子与母亲的寓言。我们可以将它视为一则关于生命，追寻自身的寓言。或者，在个体存在的更谦卑层面，一则关于存在，追寻万物的寓言。

这是一则寓言，同时也是一种深深植根于心灵中的古老经验的表达——是滋养深层创造力层的最强有力原始象征之一。我相信在其中看到，以原型意象那古老语言所表达的，正是人类创造力本身的气息，它激荡着血肉与精神，在那些最卑微、最转瞬即逝，也最辉煌、最恒久的显现之中。

这”气息”，如同化身它的肉身形象一样，是世间最卑微之物。它也是最脆弱之物，最被所有人忽视、最被鄙弃之物……

[◊ P54]而这道气息在你生命历程中的盛衰故事，不是别的，正是你的历险，那”认知的历险”，在你的生命。那无言的寓言，便是孩子与母亲。

你是孩子，来自母亲，庇护于她之中，以她的力量为滋养。孩子从母亲——那至近者、那熟知者——出发，去遇见母亲——那无限者、永远未知而充满奥秘者……

“穿越作品的漫步” 终

尾声：看不见的圆环

死亡是我的摇篮 （或三个顽童送给一个垂死之人）

直到20世纪50年代末拓扑斯观点的出现，空间概念的演变在我看来本质上是一种「连续」的演变。它似乎从欧几里得对我们周围空间的理论化，以及希腊人遗留的几何学出发，专注于研究生活在该空间中的某些「图形」（直线、平面、圆、三角形等），平稳无跳跃地持续发展。诚然，数学家或「自然哲学家」构想「空间」的方式发生了深刻的变化64。但这些变化在我看来都具有一种本质「连续性」的性质——它们从未让数学家（如同所有人一样）固着于熟悉的心理图像，面对一种陌生感突然。这就像那些或许深刻却是渐进的变化，发生在一个我们从小就认识、并跟随其从蹒跚学步到成年和完全成熟的生命身上。在某些风平浪静的漫长时期里，这些变化难以察觉，而在另一些时期则可能喧嚣剧烈。但即使在最剧烈的成长或成熟期，即使我们已有数月甚至数年未见，也绝不会有丝毫怀疑，[◊ P55]丝毫犹豫：我们所重逢的依然是他，那个熟悉亲切的存在，尽管容颜已改。

此外，我相信可以说，到本世纪中叶，这个熟悉的存在已经老态龙钟——就像一个最终精疲力竭、被大量完全未做好准备的新任务压垮的人。也许它早已寿终正寝，只是无人留意并加以确认。「所有人」都还在装模作样地在活人的房子里忙碌，那情形几乎就像它真的还活着一样。

那么诸位可以想象，对这家里的常客而言，当看到在那僵直地坐在扶手椅里的可敬老人位置上，突然出现一个活蹦乱跳、个子只有三苹果高的小顽童，他若无其事地随口宣称，仿佛天经地义一般，说空间先生（现在你大可以省去「先生」二字……）就是他！要是他至少还有几分家族特征，或许是个私生子，谁知道呢……但完全不是！乍一看，丝毫看不出我们如此熟悉（或自以为了解……）的老空间父亲的影子，而人们至少可以肯定（这倒也说得过去……）他是永恒的……

这就是，那著名的「空间概念的突变」。这就是我不得不「看到」的，作为显而易见之事，至少从20世纪60年代初开始，而在此之前我从未有机会向自己明确表述，直到此刻写下这些文字。通过这个形象化的唤起及其立即引发的大量联想，我突然以一种全新的清晰看到：传统的「空间」概念，以及与其密切相关的「流形」概念（各种流形，尤其是「代数流形」），在我来到这一领域的时候，已经变得如此苍老，简直就像它们已经死了……65。而我[◊ P56]可以说，正是随着概型观点（及其产物66，附带超过一万页的基础著作），以及随后拓扑斯观点的接连出现，一种无名危机才最终得以化解。

在先前的比喻中，其实不应该说一个顽童，作为突然突变的产物，而是两个。而且这两个顽童之间有一种无可否认的「家族相似」，尽管他们与已故的老人几乎不像。进一步细看，可以说概型小童就像是已故空间父亲（又名各类流形）与拓扑斯小童之间的一个「亲缘环节」67。

一瞥对面的邻居

这种情况在我看来与本世纪初出现相对论时的情况非常相似爱因斯坦的相对论。那里有一个概念的死胡同，更加明显，体现为一种矛盾突然的矛盾，似乎无法解决。不出所料，那个即将为混乱带来秩序的新想法，是一个孩子般简单的想法。值得注意的是（而且符合一种极为重复的剧本……），在所有那些突然紧张起来、试图「挽救局面」的才华横溢、杰出卓越、声名显赫的人中，没有一个人想到这个主意。必须是一个名不见经传的年轻人，也许刚刚走出大学阶梯教室的板凳，来（或许对自己的大胆有些不好意思……）向他杰出前辈们解释要如何「拯救现象」：只需将空间与时间分开68！当时技术上的一切条件都已具备，以便[◊ P57]这个想法得以诞生并被接受。这要归功于爱因斯坦的前辈们，他们确实懂得接纳新思想，没有过分训斥。这是一个标志，表明那仍是一个伟大的时代……从数学角度来看，爱因斯坦的新想法是平庸的。

而从我们对物理空间的概念来看，却是一次深刻的突变，一种突然的「陌生感」。这是自欧几里得在2400年前提炼出的物理空间数学模型以来，首次出现此类突变，这个模型自古代以来被所有物理学家和天文学家（包括牛顿）原封不动地沿用，以描述地面和星体的力学现象。

爱因斯坦的这个初始想法随后得到极大深化，借助已有丰富数学概念武器库，体现为一个更精妙、更丰富、更灵活的数学模型69。随着「广义相对论」，这一思想扩展为一个宏大的视野，将无限小的亚原子世界、太阳系、银河系和遥远星系，以及电磁波在时空中的传播——该时空每一点的曲率由其中所含的物质所决定——尽收眼底70。这是宇宙学和物理学史上第二次也是最后一次（继牛顿三个世纪前的第一次伟大综合之后），出现了一种以数学模型语言表达的对宇宙中全部物理现象的宏大统一视野。

这种爱因斯坦式的物理宇宙视野，也相继被事态发展所超越。自本世纪初以来，需要解释的「全部物理现象」已经有时间不断丰富！出现了众多物理理论，各自[◊ P58]以或多或少的成功，解释在「观察到的事实」这个巨大杂货堆中的有限一组事实。人们仍在等待那个大胆的顽童，他会在玩耍中找到新的钥匙（如果存在的话……），那个梦寐以求的「完美模型」，愿意「管用」以同时拯救所有现象71……

[◊ P59]我对自己时代数学的贡献与爱因斯坦对物理学的贡献之间的比较，对我来说是自然而然的，基于两个原因：两者的工作都得益于一种我们对「空间」概念的突变（一为数学意义，一为物理意义）；并且两者都采取了一种统一视野，涵盖了此前彼此分离的众多现象和情境。我在此看到一种精神上的亲缘关系在他的工作72和我的工作之间显而易见。

这种亲缘关系在我看来丝毫不因一种「实质」的明显差异而受到否定。正如我先前已经暗示的那样，爱因斯坦的突变涉及物理空间的概念，而爱因斯坦从已有的数学概念武器库中汲取，从未需要扩展甚至颠覆它。他的贡献在于从他所处时代已知的数学结构中，甄别出最适合作为物理现象世界「模型」的那些，以取代73其前辈遗留的垂死模型。在这个意义上，他的工作确实是一个物理学家的工作，更进一步，是一个「自然哲学家」的工作，按牛顿及其[◊ P60]同时代人所理解的那种意义。这种「哲学」维度在我的数学工作中是缺失的，在那里我从未被引导去思考在数学事物宇宙中进行的「理想」概念构造与物理宇宙中发生的现象（甚至包括心理中展开的生活事件）之间可能存在的关系。我的工作是一个数学家的工作，有意回避了「应用」（于其他科学）的问题，以及我工作的「动机」和心理根源。更是一个被其独特的天才所驱使，不断扩展其艺术根基处的概念武器库的数学家。就这样，我甚至在不自觉中，如同玩耍一般，颠覆了几何学家最基本的概念：空间（以及「流形」的概念），也就是我们对几何对象所栖居的「场所」本身的构想。

新的空间概念（作为一种「广义空间」，但其中被认为构成「空间」的点已或多或少消失）在其实质上与爱因斯坦带入物理学的概念（对于数学家来说则毫不令人困惑）毫无相似之处。相反，与量子力学由薛定谔74发现。在这门新的力学中，传统的「质点」消失了，取而代之的是一种「概率云」，其密度在周围空间的不同区域间变化，取决于该「点」位于该区域的「概率」。在这种新视角中，我们可以感受到一种比爱因斯坦模型所体现的更深刻的「突变」——这种突变并非简单地将一个略显局促的数学模型替换为另一个类似但裁量更宽松或更贴合的模型。这一次，新模型与传统的老模型如此不同，以至于即使是力学大专家数学家也一定会突然感到陌生，甚至迷失（或愤慨……）。从牛顿力学到爱因斯坦力学，对数学家来说，大概有点像从古老的普罗旺斯方言转向最新潮的巴黎俚语。而转向量子力学，我想象，就像是法语换成了中文。

而这些取代了昔日令人安心的物质粒子的「概率云」，奇怪地让我想起那些难以捉摸的「开邻域」，它们[◊ P61]如同消散的幽灵一般充塞着拓扑斯，环绕着那些「想象的点」，一个顽固不化的想象力仍然不顾一切地紧抓着它们不放……

「独一无二」——或孤独的天赋

这次对「对面的邻居」——物理学家们的简短造访，可以为那些（像大多数人一样）对数学家的世界一无所知、但肯定听说过爱因斯坦和他的著名「第四维」，甚至量子力学的读者提供一个参照点。毕竟，即使发现者们并没有预见到他们的发现会化为广岛，以及后来无论是军事还是（所谓的）「和平」用途的原子军备竞赛，事实是物理学发现对整个人类世界有着切实且几乎直接的影响。数学发现的影响，尤其是所谓「纯」数学（即没有「应用」动机的数学）的影响，则不那么直接，肯定也更难以界定。例如，我并不知道我的数学贡献是否对建造哪怕是最微小的装置有过什么「用处」。我当然并不因此而居功，但这并不妨碍这让我感到安心。一旦有了应用，可以肯定首先是军方（然后是警察）最先将其据为己有——至于工业（即使是所谓「和平」工业），也并不总是好到哪里去……

当然，为了我自己，或者为了数学家读者，更应该尝试在数学史本身中找到「参照点」来定位我的工作，而不是去别处寻找类比。最近几天我一直在思考这个问题，尽管我对这段历史的了解相当模糊75。在「漫步」中，我已曾有机会提到一系列数学家，其气质让我感到亲切：伽罗瓦，黎曼，希尔伯特。如果我对我的艺术史更熟悉一些，我很有可能[◊ P62]将这一系列向更远的过去延伸，或者在其中插入一些我只听说过名字的人。让我印象深刻的是，我不记得曾听说过，即使是比我更精通历史的友人或同事的暗示，有除我之外的哪位数学家带来了众多创新思想，不是彼此或多或少不相干的，而是作为一个宏大的统一视野的组成部分（正如牛顿和爱因斯坦在物理学和宇宙学中，以及达尔文和巴斯德在生物学中那样）。我只知道数学史上出现过两个「时刻」，诞生了宏大的新视野。其中之一是2500年前在古希腊，数学作为我们今天所理解的科学诞生之时。另一个首先是XVIIe世纪微积分学的诞生，这个时代以牛顿、莱布尼茨、笛卡尔等人的名字为标志。就我所知，诞生于这两个时刻的视野并非一人之作，而是一个时代的集体成果。

当然，从毕达哥拉斯和欧几里得的时代到XVIIe世纪初，数学已有时间改变面貌，同样，从XVIIe世纪的数学家们创立的「无穷小计算」到本XXe世纪中叶。但就我所知，在这两个时期——一个超过两千年，另一个三个世纪——期间发生的深刻变化，从未凝结或具体化为一个在特定作品中表达的新视野76，类似物理学和宇宙学中以伟大综合所发生的情况；牛顿，随后爱因斯坦，在其历史的两个关键时刻。

[◊ P63]作为一场在我心中诞生的宏大统一愿景的仆人，我在从古至今的数学史上似乎确实是「独一无二的」。抱歉，我看起来似乎比被允许的更想标新立异！不过，令我略感宽慰的是，我仍相信自己能察觉到一种兄弟潜在的（且天赐的！）。此前我已偶有机会提及他，作为我「气质兄弟」系列中的第一位：那就是ÉvaristeGalois。在他短暂而璀璨的一生中77，我相信能窥见一场伟大愿景的萌芽——正是在新的几何视野中，「数与量的联姻」。我曾在*《收获与播种》*78中另处述及，两年前，我是如何突然产生这样一种直觉：在那时对我产生最强烈吸引的数学工作中，我正「重新接续Galois的遗产」。这一直觉此后很少再被提及，却已在沉默中有了足够的时间成熟。三周以来我一直在对自己的工作进行回顾性反思，这无疑又促进了它。如今我认为自己与一位往昔数学家之间能识别出的最直接的传承关系，正是联结我与ÉvaristeGalois的那一条。无论对错，我似乎觉得，这个我在生命中十五年里发展起来、并在离开数学舞台后又持续在我心中成熟与丰富十六年的愿景——这个愿景也正是79Galois倘若处在我[◊ P64]的位置上，且没有过早死亡来残酷地中断一段壮丽征程的话，他本不可能不去发展的。

必定还有另一个原因促使我产生这种「本质的亲缘感」——一种不只归结于「数学气质」，也不只归因于某部作品的显著方面的亲缘感。在他的生命与我的生命之间，我也感受到一种命运的亲缘。诚然，Galois在二十一岁时愚蠢地死去，而我即将步入六十岁，且决心要活到老迈。但这并不妨碍ÉvaristeGalois在有生之年，如同一个半世纪后的我一样，始终是官方数学世界中的一个「边缘人」。就Galois而言，在肤浅的观察者看来，这种边缘性似乎是「偶然的」——他只不过还没有足够的时间以其创新思想和工作来「确立自己」。而在我的情况中，我作为数学家的头三年里的边缘性，源于我对即将面对的那个由数学家组成的世界竟一无所知（也许是故意的……）；而自十六年前我离开数学舞台以来，这种边缘性则是一种刻意选择的结果。正是这个选择，无疑招致了一种报复性的「无懈可击的集体意志」，意图从数学中抹去我名字的一切痕迹，连同我所侍奉的愿景一起。

但除了这些偶然的差异之外，我相信在这种「边缘性」中能识别出一种共同的原因，我感觉到它是本质性的。这个原因，我不认为存在于历史环境里，也不在于「气质」或「性格」的特殊性（这些在我与他之间无疑就像在不同人之间那样截然不同），更肯定不在于「天赋」层面（在Galois身上显而易见地卓越，而相比之下在我身上则平平。若确实存在一种「本质的亲缘」，我看到它在一个远为朴素、远为根本的层面上。

在我一生中少数几次罕见的场合里，我感受到过这样一种亲缘。也正是凭借这种亲缘，我感到与另一位前辈数学家「亲近」：Claude Chevalley80。我要说的这种联系，是一种某种「天真」或「纯真」的联系，我曾[◊ P65]经有机会谈及它。它表现为一种（往往不为周围人所欣赏）用自己的眼睛看待事物的倾向，而不是透过某种由某个因某种原因而被赋予权威的、或大或小的人类群体慷慨提供的专利眼镜。

这种「倾向」，或这种内在态度，并非成熟的专利，而是童年的恩赐。这是一个与生命一同在出生时收到的礼物——一份谦卑而可畏的礼物。一份常常深埋于心底的礼物，有些人得以多少保存下来，或也许重新找回……

也可以称之为孤独的天赋。

Footnotes

  1. 1945年至1948年间，我和母亲住在蒙彼利埃约十公里处一个小村庄里，Mairargues（经Vendargues），隐没在葡萄园之中。（我的父亲于1942年消失在奥斯维辛。）我们靠我微薄的学生助学金艰难度日。为了补贴家用，我每年都去采摘葡萄，收成过后再酿些捡拾的葡萄渣酒，想方设法地卖出去（据说还违反了当时的规定……）。此外还有一座花园，从不需要打理，却源源不断地为我们提供无花果、菠菜，甚至（临近结束时）还有西红柿，是一位好心的邻居种在一片灿烂罂粟花海中央的。那是美好的生活——但有时也捉襟见肘，比如要换一副眼镜架，或一双磨得底穿的鞋子的时候。幸好我母亲在集中营长期关押后身体虚弱多病，我们可以享受免费医疗。否则我们根本付不起医生的费用…… ↩

  2. 在*《收获与播种》*（ReS I）第一部的「受欢迎的陌生人」一节（第o9节）中，我对这个略显艰难的过渡时期做了简短记述。 ↩

  3. 这种表述有些不当。我从未需要「学会孤独」，原因很简单，我从未在童年时期忘却过这种与生俱来的天赋能力，它在我出生时就存在于我身上，如同存在于每个人身上一样。但这三年的孤独工作，让我得以按照自己内心自发的严格标准来检验自己的能力，它们确认并在我心中重新奠定了——这次是面对数学工作——一种自信与平静笃定的根基，这种根基不依赖于任何主宰性的共识和风尚。我曾在《根与孤独》（ReS IV，第o1713号注，尤其是第1080页）中再次提及此事。 ↩

  4. 因此，对错误（事实性的，或视角上的，等等）的任何订正，都不会成为修改初稿的由头，而是通过脚注，或在之后对考察情境的「回访」中进行。 ↩

  5. 关于这次「激烈的质问」的细节，参见《一封信》，尤其是第3至8节。 ↩

  6. 原本计划撰写的一条注释，最终扩展成了*《收获与播种》*的第四部（同名为「四种运算」），包含约七十条注释，横跨足足四百多页。 ↩

  7. 除了对我过去工作的数学性回顾之外，书中也间或有一些包含新数学发展的段落。最长的一篇是ReS IV中第no171IX号注的「五张照片（晶体与D\mathcal{D}-模）」。 ↩

  8. 8. 我认为其主要原因在于我五岁之前所处的某种有利氛围。关于这一点，可参见「纯真」（Innocence）注（ReS III，第o107号注）。 ↩

  9. 这种有待建造的「房子」的原型意象，首次浮现并被表述在「尹——仆人（1）——或新主人」注中（ReS III，第o135号注）。 ↩

  10. 我在「受欢迎的陌生人」一节（ReS I，第o9节）中谈到了这些开端。 ↩

  11. 但这并不妨碍我（继H.Cartan和J.-P.Serre之后）成为Leray引入的伟大创新概念之一——层（faisceau）——的主要使用者和推广者之一，这一概念贯穿我作为几何学家的整个工作，是最重要的工具之一。也是它为我提供了将（拓扑）空间概念扩展为拓扑斯（topos）的关键，下文将谈及这一点。 Leray与我描绘的「建造者」形象有所不同，我觉得，在于他似乎并不倾向于「从地基到屋脊地建造房屋」。相反，他总是不由自主地在无人想到的地方启动宏大的地基工程，而把完工和在上面建造的事留给别人，等房屋建好后，再由别人入住（哪怕只是暂住）…… ↩

  12. 我刚刚悄悄、「顺带地」将两个带有雄性气质的修饰语（「建造者」和「开拓者」）并置在一起，然而它们所表达的是发现冲动中截然不同的面向，其性质远比这些名称所能唤起的要精微。这一点将在本次漫步反思的后续章节「发现母亲——或两个侧面」（第o17节）中展现出来。 ↩

  13. 更何况，在不经意间，他同时为这个古老的宇宙（即使不是对他自己，至少对于他那群不如他灵动的同类）划定了新的界限——这些新圈子固然更为广阔，却与它们所取代的那些一样不可见，一样不可抗拒。 ↩

  14. 在数学界尤其是这样，尤其是在我作为亲历者、本身也是这个世界一员的时期（1948–1969）。1970年我离开之后，似乎出现了一场大规模的反动，某种对「思想」的普遍「鄙视共识」，特别是针对我所引入的那些伟大的创新思想。 ↩

  15. 我的大多数「前辈」（例如在《一桩受欢迎的债务·导言》第5节中提到的那些）都属于这种中间气质。我特别想到了HenriCartan，ClaudeChevalley，AndréWeil，Jean-PierreSerre，LaurentSchwartz。也许除了Weil之外，他们全都以「同情的目光」，不带「忧虑或暗中的非议」，关注着他们所看到的我投身其中的那些孤独冒险。 ↩

  16. 当然，不仅是在「我们的艺术」中如此，而且（在我看来）在一切发现工作中都是如此，至少当这种发现处于智性认识的层面时。 ↩

  17. 每一种视角都会催生出一种表达它、专属于它自身的语言。拥有多只「眼睛」或多个「观点」来把握一个境况，也（至少在数学中）意味着拥有多种不同的语言来围捕它。 ↩

  18. 「梦游者」的形象，是受到一部卓越著作的书名启发——Koestler*《梦游者》（Les Somnambules）*（Calmann-Lévy出版社），副标题为「关于宇宙观念史的论文」，从科学思想的起源一直到牛顿（Newton）。这部历史中令Koestler深感震撼并着力揭示的是：在我们的世界认知中，从一个点到另一个在逻辑上和事后看来近在咫尺的点之间的进程，其路径往往要经过有时最离奇费解的迂回，仿佛在嘲弄健全的理性；然而，历经这千百种似乎注定要将人永远引入歧途的迂回，那些出发寻找宇宙「钥匙」的人们，却以「梦游者的笃定」，仿佛身不由己、甚至常常浑然不觉地，撞上了其他一些他们远未预料到的「钥匙」，而这些钥匙却恰恰被证明是「正确的那一把」。 从我周围所能观察到的——在数学发现的层面上——这些发现过程中惊人的迂回曲折，是某些杰出研究者的特征，但绝非所有人皆如此。这或许是因为，近两三个世纪以来，自然科学的研究，尤其是数学研究，已摆脱了特定文化和时代所附加的强制性宗教或形而上学预设，而这些预设曾是阻碍对宇宙进行「科学」理解（无论好坏）的尤为强大的桎梏。然而，确实有一些在数学中最基本、最显然的观念和概念（比如位移、群、数字零、文字运算、空间中点的坐标、集合概念、拓扑「形」的概念，更不必说负数和复数了）都经历了数千年才得以出现。这些都是雄辩的迹象，表明那种根深蒂固、深植于心灵中的「阻滞」，抗拒着全新观念的构想，即使这些观念简单如童年、仿佛以明证的力量不证自明，数代人乃至数千年间依然如此…… 回到我自己的工作，我感到其中那些「搞砸了」（foirages）（也许比我的大多数同事都要多）完全局限于细节之处，通常很快就被我自己发现。它们只是些单纯的「路途波折」，本质上是「局部」的，对所考察境况的那些本质直觉的有效性并无严重影响。相反，在观念层面和那些伟大的指导性直觉层面上，我觉得我的作品没有任何「失误」（raté），不管这看起来多么难以置信。正是这种从未失误的笃定性——在每一个时刻去把握的，即使不是一项探索的最终成果（它们大多时候仍隐匿于视野之外），但至少是最丰饶的那些将我径直引向本质之物的方向——正是这种笃定性，让我心中重新浮现出Koestler笔下「梦游者」的形象。 ↩

  19. 自1960年代起，这些出版物中有相当一部分是与同事（尤其是J.Dieudonné）和学生们合作写成的。 ↩

  20. 这些概念中最为重要的那些，在*《主题纲要》（Esquisse thématique）以及《历史评注》（Commentaires historiques）中得到了回顾，这些都将收录于《沉思录》（Réflexions）*的第四卷。其中有些名称是由朋友或学生们建议的，比如「光滑态射」（morphisme lisse）（J.Dieudonné），以及「位点、域、束、联络」（site, champ, gerbe, lien）这一整套术语，是在JeanGiraud的论文中发展起来的。 ↩

  21. 1970年离开数学舞台时，我关于概型这一核心主题的全部出版物（其中不少是合作成果）总计约达一万页。然而，这只不过是我所展望的那个关于概型的宏大计划中微不足道的一部分。这个计划被放弃了——无限期搁置（sine die）——从我离开的那一刻起——尽管几乎已有的全部开发和出版成果都已公之于众，并立时进入了那些被普遍视为「众所周知」的概念和结果的共同遗产之中。 我在离开之际已经完成的那部分关于概型主题及其延伸和分支的计划，其本身便是数学史上最宏大的基础性工作，也肯定是科学史上最为宏大的工作之一。 ↩

  22. 以下，是为此好奇的数学读者列出的十二个核心思想，或者说我作品中的「主导主题」（按出现时间顺序）。 拓扑张量积（produits tensoriels topologiques）和核空间（espaces nucléaires）。 「连续」与「离散」对偶性（导出范畴（catégories dérivées），「六种运算」）。 瑜伽（Yoga）Riemann-Roch-Grothendieck（K-理论（K-théorie），与相交理论的关系）。 概型。 拓扑斯（topos）。 平展上同调（cohomologie étale）和ℓ-进（-adique）。 动机（motifs）和motivic Galois群（∞\inftyGrothendieck -范畴（-catégories de Grothendieck））。 晶体（cristaux）和晶体上同调（cohomologie cristalline），瑜伽「DeRham系数（coefficients de De Rham）」、「Hodge系数（coefficient de Hodge）」…… 「拓扑代数（Algèbre topologique）」：∞-叠（-champs）、导子（dérivateurs）；拓扑斯的同调形式论，作为一种新的同伦代数的灵感。 温和拓扑（Topologie modérée）。 阿纳贝利亚代数几何（géométrie algébrique anabélienne）瑜伽，Galois-Teichmüller理论。 关于正多面体及各类正配置的「概型」或「算术」观点。 除去其中第一个主题（其重要部分属于我的博士论文（1953年），并在1950年至1955年间的泛函分析时期得到发展）之外，其余十一个主题是在我1955年开始的几何学家时期中逐渐浮现的。 ↩

  23. 在这些主题中，就其广度而言最为深远的，在我看来是拓扑斯，它提供了代数几何、拓扑学和算术三者综合的思想。就所引发的展开的范围而言最为宏大的，则是概型主题。（参见第21页脚注。）正是它为所考察的主题中的其他八个（即除主题1、5和10之外的所有主题）提供了「卓越」的框架，同时为代数几何以及代数-几何语言的彻底更新提供了核心概念。 在另一端，十二个主题中的第一个和最后一个，在我看来比其他主题规模要小一些。然而，就最后一个主题而言——它为非常古老的正多面体和正配置主题引入了一种新的视角——我怀疑一位全身心投入其中的数学家的毕生精力是否足以将其穷尽。至于所有这些主题中的第一个，即拓扑张量积，它所扮演的角色更多是一个随时可用的新工具，而非后续发展的灵感源泉。但这并不妨碍我直到最近几年，仍能零星听到一些较新研究工作的回响，它们（在二十或三十年后）解决了我曾搁置的某些问题。 在这十二个主题中，最深刻的（在我看来）是动机，以及与之密切相关的阿纳贝利亚代数几何和Galois-Teichmüller的瑜伽。 从工具威力的角度看，那些由我亲手完善和打磨、在过去二十年中广泛应用于研究各个「前沿领域」的工具，当属**「概型**」和「平展上同调和ℓ**-进**」最为显著。对于一位了解情况的数学家而言，我认为从今以后几乎已无可怀疑：概型工具，以及由此产生的ℓ-进上同调，都属于本世纪少数几项伟大成就之列，它们在过去几代人中滋养并更新了我们的科学。 ↩

  24. 唯一一份对这些主题稍有勾勒的「半官方」文本，是*《一个计划纲要》（Esquisse d’un programme），写于1984年1月，为申请借调到法国国家科学研究中心（CNRS）而作。这份文本（在导言3「指南针与行囊」中也曾提及）原则上将收录于《沉思录》（Réflexions）*的第四卷。 ↩

  25. 这三个孤儿在我离开之后旋即被无声无息地埋葬了，然而其中两个却在随后被大张旗鼓地发掘出来，且对那位工匠只字不提，一个在1981年，另一个（鉴于这次操作毫无纰漏的成功）在次年便紧随其后。 ↩

  26. 这里的「几乎」主要指Grothendieck式的对偶性瑜伽（导出范畴和六种运算），以及拓扑斯的瑜伽。在*《收获与播种》*的第二和第四部分（《埋葬（一）》和《埋葬（三）》）中，将对这些问题（以及许多其他内容）进行详尽的讨论。 ↩

  27. 1957年，我得以提炼出「黎曼-罗赫（Riemann-Roch）」（Grothendieck版本）——一夜之间将我推上了「大明星」的地位。同年，母亲去世，也由此成为我生命中一道重要的分水岭。这是我一生中创造力最为蓬勃的年份之一，而且不仅在数学领域。整整十二年来，我的全部精力都投入在数学工作中。这一年，我开始感到自己差不多已经「遍历」了数学工作的方方面面，也许是时候投身于别的事情了。显然，这是一种内心更新的需要，在我生命中第一次浮现出来。那时我曾想过成为一名作家，有几个月完全停止了数学活动。最后，我决定至少还是把我已经着手进行的数学工作付诸笔墨，大概也就几个月的事，或者顶多一年…… 时机大概尚未成熟，还不足以做出重大的跳跃。然而，一旦重新开始数学工作，反倒是它重新占据了我。它再也没有放开我，又持续了整整十二年！ 在这段插曲之后的年份（1958年），可能是我数学生涯中最丰产的一年。正是在这一年，新几何学的两大核心主题破土而出，伴随着概型论（théorie des schémas）（这是我同年夏天在爱丁堡国际数学家大会上的演讲主题），以及「景（site）」概念的出现——它是关键概念**拓扑斯（topos）**的一种临时技术版本。时隔近三十年，如今我可以这样说：这一年才是新几何学真正诞生的一年，伴随着这门几何学的两大核心工具：概型（它代表了旧有的「代数簇」概念的蜕变），以及拓扑斯（它代表了对空间概念的更为深刻的蜕变）。 ↩

  28. 1984年12月4日的思考中，我首次想到为这一愿景命名，在副注第号136¹对注释「Yin le Serviteur (2) — ou la générosité」(ReS III，第637页）。 ↩

  29. 一个形象即使是「模糊的」，也丝毫不妨碍它可以是忠实的，并且确实能够还原出所审视对象（在此即我的著作）的某种本质。反过来，一个形象即使清晰，也完全可能是扭曲的，而且可能只包含了次要的东西，完全错过了本质。因此，如果你「领悟」了我就我的著作所要说的东西（那么我心中关于它的形象就确实会「传递」给你），你便可以自诩比我的任何博学同僚都更好地把握了我著作中的本质！ ↩

  30. 这里所说的「数」指的是所谓的「自然数」，即0，1，2，3等，或者（严格来说）借助这些数通过初等运算表达出来的数（如分数）。这些数不像「实数」那样适用于度量可以连续变化的量，例如直线、平面或空间中两个可变点之间的距离。 ↩

  31. 我使用「accablant, au-delà de toute mesure」这个词语组合，勉为其难地表达德语中的überwältigend，及其英语中的对应词overwhelming。在前面的句子中，（不恰当的）表达「impression saisissante」也应在这个细微含义上理解：当面对一种超凡的光辉、宏伟或美时，内心涌现的印象与情感骤然将我们淹没，以至于任何想要表达我们所感的念头似乎都预先被摧毁了。 ↩

  32. 我所谓的「Kronecker之梦」只是道听途说，当有人（很可能正是John Tate）告诉我我正在实现那个梦。在我从前辈们那里所接受的教育中，历史参考文献极为罕见，我所汲取的营养并非来自阅读那些多少有些古老的作者，甚至也不是同代人的著作，而主要是通过与其他数学家——首先是前辈们——的口头交流或书信往来。1958年概型论突然而强劲启动的主要——甚至可能是唯一——外部灵感，是Serre那篇以缩写FAC（《代数凝聚层（Faisceaux algébriques cohérents）》）闻名的文章，发表于前几年。除此以外，我在该理论后续发展中的主要灵感都是自生自发的，并年复一年地自我更新，仅凭内部简洁性与一致性的要求，努力在这一新语境中阐释代数几何中那些「众所周知」的内容（而我在它于手中不断转化的同时吸收着它），以及这些「已知」内容让我所预感到的东西。 ↩

  33. 说实话，传统上，「连续」方面才是几何学家关注的中心，而「离散」性质——特别是数值和组合性质——则被忽略或草草带过。大约十年前，我惊奇地发现二十面体的组合理论如此丰富，而这一主题在Klein关于二十面体的经典著作中甚至未被触及（很可能甚至未被注意到）。我看到的另一个惊人迹象表明几何学家对几何中自发出现的离散结构的忽视（长达两千年之久）：群的概念（尤其对对称群来说）直到上个世纪才出现，而且最初是由Évariste Galois在一个当时不被认为属于「几何」的语境中引入的。确实，即使在今天，仍有许多代数学家尚未理解Galois理论本质上正是一种**「几何」视角**，它更新了我们对所谓「算术」现象的理解…… ↩

  34. Weil，法国数学家，后移民美国，是「创始成员」之一，属于「Bourbaki」集团，在《*收获与播种》*的第一部分中会多次提及（此外Weil本人偶尔也会被提及）。 ↩

  35. （面向数学读者的说明。）这里指的是与可微或复流形的上同调理论相关的「构造和论证」，特别是涉及Lefschetz不动点公式和Hodge理论。 ↩

  36. 这里指的是四个「中间」主题（n°5至8号），即拓扑斯（topos）、平展上同调和ℓ-进上同调、动机，以及（在较小程度上）晶体。我在1958年至1966年间逐一阐明了这些主题。 ↩

  37. （面向数学读者的说明。）在我看来，Zariski在这方面最重要的贡献是引入了「Zariski拓扑」（后来成为Serre在FAC中的重要工具），以及他的「连通性原理」和他所称的「全纯函数理论」——在他手中演变为形式概型理论，以及形式与代数之间的「比较定理」（其第二个灵感来源是Serre的基础性文章GAGA）。至于Serre的贡献——我在文中暗示的——当然首先是在抽象代数几何中引入了层（faisceau）的观点（该概念由JeanLeray大约十二年前在完全不同的语境中引入），即那篇已被引述的基础性文章FAC（《代数凝聚层（Faisceaux algébriques cohérents）》）。 根据这些「回顾」，如果要列举新几何视角的直接「先驱」，那么Oscar Zariski、AndréWeil、JeanLeray和Jean-PierreSerre这些名字立即浮现在我脑海中。其中，Serre扮演了独特的角色，因为我主要是通过他不仅了解了他本人的思想，也了解了Zariski、Weil和Leray的思想——这些思想都在新几何的诞生和发展中发挥了作用。 ↩

  38. 这一始于1958年的启动，在第27页注b中有所述及。景（site）或「Grothendieck拓扑」（拓扑斯的暂用版本）紧随着概型概念的出现而出现。它反过来又为「局部化」或「下降」提供了新的语言，在概型主题和工具的发展中每一步都在使用。更内在、更几何的拓扑斯概念，最初几年仍隐含未彰，到1963年左右随着平展上同调的发展才逐渐凸显，并日益成为我眼中最基本的概念。 ↩

  39. 这一系列还应包括p= ∞的情形，对应于「特征零」的代数簇。 ↩

  40. 关于概型论「强力启动」的记述，见我在1958年爱丁堡国际数学家大会上的报告。该报告文本在我看来是概型视角的最佳导论之一，（或许）能激励几何学背景的读者尽力熟悉那部宏伟的（后续）论著《代数几何原理》，它详尽无遗地（且不省略任何技术细节）阐述了代数几何的新基础和新技巧。 ↩

  41. 说到「极限」这一概念，我在此想到的主要是「取极限」（passage à la limite），而非（非数学家更熟悉的）「边界」（frontière）概念。 ↩

  42. 说实话，由Betti 引入的不变量是同调（homologie）。*上同调（cohomologie）则构成了一个或多或少等价的「对偶」版本，引入时间要晚得多。这一方面后来压过了最初的「同调」方面，（无疑）主要是由于 JeanLeray 引入了层（faisceau）的视角，下文将谈及。从技术角度来看，可以说我作为几何学家的工作很大一部分在于揭示并或多或少地发展了那些尚缺的上同调理论，适用于各种空间和流形，尤其是「代数簇」和概型（schémas）。在此过程中，我也得以重新用上同调术语诠释传统的同调不变量，从而以全新的眼光看待它们。 拓扑学家引入了许多其他的「拓扑不变量」，用以刻画拓扑空间的这样或那样的性质。除了空间的「维数」和（上）同调不变量外，最早的其他不变量是同伦群（groupes d’homotopie）。我在 1957 年引入了另一个不变量——（所谓「Grothendieck」的）群K(X)，它一经提出便大获成功，其重要性（无论在拓扑学还是在算术中）不断得到证实。 大量新的不变量——其性质比目前已知和运用的不变量更为微妙，但我感觉它们是基础性的——都包含在我的「温和拓扑」计划中（其极为粗略的纲要见于《一个计划纲要》（Esquisse d’un programme），将发表于《反思》（Réflexions）*第四卷）。这一计划基于「温和理论」或「温和空间」的概念，有点类似于拓扑斯（topos）的概念，构成了空间概念的（第二次）「蜕变」。它比后者更为直观（在我看来），也没那么深奥。但我预计它对「严格意义上的」拓扑学的直接影响将远为更加深刻，并将通过深刻改造拓扑学家工作的概念语境，彻底改变几何拓扑学家的「行当」。（正如代数几何中引入概型（schémas）视角时所发生的那样。）此外，我已将我的《纲要》寄给了几位老友和杰出的拓扑学家，但似乎没有引起其中任何一位的兴趣…… ↩

  43. 矛盾的是，Weil 对上同调形式主义有一种顽固的、显然发自内心的「抵触」——尽管在很大程度上，正是他那著名的猜想激发了自 1955 年起代数几何中各大上同调理论的发展（随着Serre 以其基础性论文 FAC 开创了先河，这在前面的脚注中已提及）。 在我看来，这种「抵触」在Weil 身上，属于一种对所有「庞杂之物」、对一切类似于形式主义（当其无法浓缩于几页纸时）或稍有错综复杂的「构造」的普遍厌恶。他当然毫无「建造者」的气质，显然是在极不情愿的情况下，才在 1930 年代被迫发展了「抽象」代数几何的最初基础——鉴于他的这些秉性，这些基础对使用者来说无异于一张真正的「普洛克路斯忒斯之床」。 我不知道他是否怨恨我走得更远，并致力于建造那些宏大的殿堂，使得Kronecker 和他本人的梦想得以化身为精妙而有效的语言和工具。无论如何，他从未对我所投身的工作或已完成的工作有过只言片语的评论。我也未能从*《收获与播种》*中得到回音——三个多月前我寄给了他，并亲笔题写了热情的献辞。 ↩

  44. （面向数学家的说明。）确切地说，这里指的是集合层，而非阿贝尔层，由Leray 引入作为构成「上同调群」的最一般系数。此外，我相信自己是第一个系统性地研究集合层的人（从 1955 年起，在堪萨斯大学我的论文《A general theory of fibre spaces with structure sheaf》中）。 ↩

  45. （面向数学家的说明。）严格来说，这只对所谓的「sobres」空间成立。然而，这些空间包括了几乎所有常见空间，尤其是分析学家钟爱的所有「分离」空间。 ↩

  46. 这里所说的「镜子」，正如在*《爱丽丝梦游仙境》*中一样，是将置于镜前的空间的「像」呈现为与之关联的「范畴」，被视为空间的某种「双重」，位于「镜子的另一侧」…… ↩

  47. （面向数学家的说明。）这里主要是指我在范畴论中以「正合性质」（propriétés d’exactitude）之名引入的性质（同时还有现代范畴意义上的归纳和投射一般「极限」概念）。参见《Sur quelques points d’algèbre homologique》，《Tohoku Math. Journal》，1957 年（第119–221页）。 ↩

  48. 因此，人们可以构造非常「大」的拓扑斯，它们只有一个「点」，甚至根本没有「点」！ ↩

  49. 「拓扑斯（topos）」这个名称被选中（与「拓扑学」或「拓扑的」相关联），是为了暗示它是拓扑直觉所适用的「典范对象」。由这个名称所唤起的丰富意象之云来看，应将其视为大致等同于「（拓扑）空间」一词，只是更加强调该概念的「拓扑」特性。（因此，有「向量空间」，但迄今还没有「向量拓扑斯」！）有必要将这两个表述并存，各自保有其独特的内涵。 ↩

  50. 在这些「构造」中，特别包括所有熟悉的「拓扑不变量」，包括上同调不变量。对于后者，我在已引述的那篇文章（Tohoku，1955）中已做了所需的一切，以便为任何「拓扑斯」赋予意义。 ↩

  51. （为数学家读者而写。）当我说「实现这个朴素的想法」，指的是将平展上同调作为通往Weil 猜想的途径。正是受此启发，我在 1958 年发现了景（site）的概念，而这一概念（或其极为相近的拓扑斯概念）以及平展上同调的形式体系，在 1962 年至 1966 年间在我的推动下发展起来的（在几位合作者的协助下，他们将在适当的时候被提及）。 当我谈到「气息」和「信念」时，指的是「非技术」性质的品质，在我看来它们正是最根本的品质。在另一个层面上，我还可以加上我所称的「上同调嗅觉」，即我在构建上同调理论过程中所发展起来的那种嗅觉。我曾以为已将这种嗅觉传授给了我的上同调学生们。在离开数学世界十七年后的今天回首，我发现它并未在他们任何人身上得以保留。 ↩

  52. （为数学家而写。）的猜想Weil 猜想附属于「算术」性质的假设，特别是因为所考虑的簇必须在有限域上定义。从上同调形式体系的角度来看，这导致赋予Frobenius 自同态（endomorphisme de Frobenius）Frobenius以特殊地位。在我的方法中，关键性质（如「广义指标定理」）涉及代数对应（correspondances algébriques）任意，并且不对预先给定的基域作任何算术性质的假设。 ↩

  53. 然而，在我 1970 年离开之后，出现了一股非常明显的反动趋势，具体表现为一种相对停滞的局面，我不止一次在*《收获与播种》*的篇章中提及这一点。 ↩

  54. 「通常」在此意指「在复数域上定义」。理论Hodge（称为「调和积分」理论）是在复代数簇语境中所知的最强大的上同调理论。 ↩

  55. 这是最深刻的主题，至少在我作为数学家的「公开」活动时期（1950 年至 1969 年，即我离开数学舞台之前）是如此。我认为阿纳贝利亚代数几何与Galois-Teichmüller 理论（自 1977 年起发展）具有可比的深度。 ↩

  56. （为代数几何读者而写。）有必要时，或许需要重新表述这些猜想。更详细的评论，见「工地巡视」（ReS IV，注第178，第1215-1216页）以及第 308 页脚注，第769页，见「信念与认知」（ReS III，注第162）。 ↩

  57. （为数学家读者而写。）这些理论分别对应于Betti 上同调（通过超越方法，借助基域到复数域的嵌入来定义）、Hodge 上同调（由Serre 定义）和 DeRham 上同调（由我定义），后两者已可追溯到 1950 年代（而Betti 上同调则可追溯到上个世纪）。 ↩

  58. （为数学家读者而写。）例如，若f是代数簇X的一个自同态，诱导了上同调空间Hi(X)，则后者的「特征多项式」应为整系数，且不依赖于所选的具体上同调理论（例如：ℓ-进，对于ℓ变化）。一般代数对应也是如此，当X假定为真且光滑时。可悲的事实（这也让人了解自 1970 年我离开以来，特征p >0 的代数簇上同调理论处于何等可悲的荒废状态）是，此事至今仍未得到证明，即使在X是一个光滑射影曲面且i= 2 的特殊情形下也是如此。事实上，据我所知，在我离开之后，还没有人屈尊关注过这个关键问题，这是那些被视为从属于标准猜想的典型问题。时尚的法令是，唯一值得关注的自同态是 Frobenius 自同态（该自同态已被Deligne 用「手头的手段」特殊处理……）。 ↩

  59. （致数学读者。）另一种看待域k上动机（motifs）范畴的方式，就是将其视为”k”上有限型分离概型（schémas）范畴的一种「包络阿贝尔范畴」k. 与这样一个概型相关联的动机X（或称”X”的动机上同调（cohomologie motivique）」，我用记号H**mot(X)) 因而表现为一种”X”的阿贝尔化「化身」X. 这里的关键在于，正如一个代数簇（variété algébrique）X可以「连续变化」（其同构类依赖于连续「参数」或「模」），与X*相关联的动机，或更一般地说，一个「可变」的动机，本身也同样可以连续变化。这就是动机上同调的一个方面，与所有经典上同调不变量形成鲜明对比，包括ℓ-进不变量，唯一的例外是复代数簇的Hodge上同调（cohomologie de Hodge） 这让人看到「动机上同调」是一个精细得多的不变量，它以远为紧密的方式勾画了”X”的「算术形式」（若容我冒昧使用这个表达）X，胜过传统的纯粹拓扑不变量。在我对动机的构想中，它们构成一种极为隐蔽且精妙的「纽带」，将代数簇的代数-几何性质与其动机所体现的「算术」性质联系起来。后者可以被视为一个本质上属「几何」的对象，其中从属于几何的「算术」性质可以说是被「赤裸地揭示」了 因此，动机在我看来是迄今为止人们能够与一个代数簇相关联的最深刻的「形式不变量」，除了其「动机基本群」之外。这两个不变量对我来说都像一个尚待描述的「动机同伦型」的「影子」（我在注释《工地巡览——或工具与视野》（《收获与播种》IV，n°°178，参见工地5（动机），尤其是第1214页））。正是这最后一个对象在我看来应当是一个任意代数簇那种难以捉摸的「算术形式」（或「动机形式」）直觉的最完美体现 ↩

  60. 这些年来，我向任何愿意听的人解释了我对动机的看法，却未费心将这些白纸黑字地出版（并不缺少为大家服务的其他任务）。这后来使得我的一些学生得以更从容地剽窃，在我全体旧友的温存注视之下，而他们对情况心知肚明。（参见下一条脚注。） ↩

  61. 事实上，这个主题在1982年（比晶体主题晚一年）被重新发掘，这次用的是它最初的名字（且以一种狭隘的形式，仅针对特征零的基域），而工人的名字未被提及。这只是众多例子中的一个——一个概念或主题在我离开后被埋葬为格罗滕迪克式的幻影，然后在接下来的一二十年间被我的一些学生逐一挖掘出来，带着谦逊的自豪，且（还有必要指明吗）从不提及那位工人…… ↩

  62. 我在此关于数学工作所说的也同样适用于「冥想」的工作（在*《收获与播种》*中处处都会谈到这一点）。我毫不怀疑这出现在一切发现工作中，包括艺术家（比方说作家或诗人）的工作中。我在此描述的这两个「侧面」同样可以被视为，一方面是表达及其「技术」要求，另一方面是接纳（各种知觉和印象的接纳），通过强烈注意力的作用而成为灵感。两者在工作的每一时刻都同时存在，且有持续的「往返」运动，时而一方主导，时而另一方主导 ↩

  63. 这并不是说我的作品中缺乏所谓的「伟大定理」，包括一些解决了他人提出的、我之前无人能够解决的问题的定理。（我在脚注104第554页，注释《涨潮……》（《收获与播种》III，n°°122）中回顾了其中一些。）但是，正如我早已在这次「漫步」之初（在「观点与视野」这一节，n°°6）所强调的，这些定理对我而言只有在一个伟大主题的滋养语境中才具有全部意义，而这个主题是由某个「丰饶的理念」所开创的。它们的证明于是如同源自泉水般毫不费力地从承载它们的主题本身的本性及「深度」中流淌出来——如同河流的波浪似乎从河水自身的深处温柔地生发，没有断裂，没有费力。我在已经引用过的注释《涨潮……》中以完全类似的方式，用另外的意象表达了同样的意思 ↩

  64. 我最初写《尾声》时的打算，是纳入某些「深刻变化」的极简概要，并让其中我所看到的「本质连续性」显现出来。我放弃了这一打算，以免过分拉长这次本就远超预期的《漫步》！我打算在*《历史评论》中回到这个问题，该部分计划收录于《反思》（Réflexions）*的第四卷，这次面向的是数学读者（这完全改变了阐述的任务） ↩

  65. 这个断言（在有些人看来会显得武断）需要带着”保留态度”来理解。它的有效性既不高于也不低于那个断言——即我在下文会采纳的那个：牛顿力学（地面或天体）的”牛顿模型”在本世纪初当爱因斯坦前来救援之时已经”奄奄一息”。事实上，即使在今天，在物理学的大多数”日常”情境中，牛顿模型仍然完全适用，去寻求相对论模型将是疯狂之举（考虑到测量中允许的误差范围）。同样，在数学的许多情境中，旧的熟悉概念如”空间”和”流形”（variété）仍然完全适用，无需去寻求幂零元（élément nilpotent）、拓扑斯（topos）或”温和结构”。但在这两种情况下，对于前沿研究中日益增多的语境而言，旧的概念框架已变得无法表达即使是最”常规”的情境。 ↩

  66. （致数学家。）在这群”后代”中，我特别列举形式概型（schémas formels）、各种”多重性”（multiplicités）（特别是概形多重性（multiplicités schématiques）或形式多重性），以及所谓的”刚解析空间”（espaces rigide-analytiques）（由Tate引入，遵循我提供的”总蓝图”，其灵感同时来自拓扑斯的新概念和形式概型的概念）。这份清单当然远非详尽…… ↩

  67. 此外，在这两个孩子之外，还应当加上第三个更年幼的，诞生于不那么宽容的时期：那就是”温和空间”这个幼崽。正如我在别处指出的，它没有得到出生证明，我完全是在非法的情况下，仍将其纳入我有幸引入数学的十二个”主旋律”之中。 ↩

  68. 当然，这样描述爱因斯坦的思想未免有些单薄。在技术层面上，需要阐明应当赋予新的时空以何种结构（尽管在Maxwell的理论以及Lorenz的思想中已经”呼之欲出”）。这里关键的一步不是技术性质的，而是哲学层面的：认识到对于遥远事件的同时性概念没有任何实验依据。正是这个”孩童般的发现”，这个”但皇帝没穿衣服！“，让人跨过了那个著名的”限制宇宙的不可见的专制之圈”…… ↩

  69. 这主要涉及”黎曼流形”（variété riemanienne）的概念，以及此类流形上的张量计算。 ↩

  70. 区分这一模型与欧几里得（或牛顿）的时空模型，以及爱因斯坦最早的模型（“狭义相对论”）的最显著特征之一，在于时空的整体拓扑形式仍然是不确定的，而非由模型本身的性质强制规定的。在我看来（作为一名数学家），探究这种整体形式是什么，是宇宙学中最迷人的问题之一。 ↩

  71. 人们将这种假想理论称为「统一理论」，它得以「统一」并调和我们讨论过的众多局部理论。我感到，有待开展的基础性反思将在两个不同层面上展开。 1o) 一种「哲学」性质的反思，关于「数学模型」（modèle mathématique）概念本身如何应用于部分实在。自牛顿理论的成功以来，这已成为物理学家不言而喻的公理，即存在存在一个数学模型（甚至是一个唯一的模型，或「这个」模型）来完美表达物理实在，毫无「脱离」或偏差。这个两个多世纪以来一直主宰的共识，就像是一位Pythagore 那「万物皆数」的愿景。也许这就是新的「隐形圆圈」，它取代了旧的形而上学圆圈，用来限定物理学家的宇宙（而「自然哲学家」这个族群似乎已经彻底灭绝，被计算机族群轻松取代了…）。只要人们愿意稍作停留，哪怕只是一瞬间，也很清楚这个共识的有效性绝非显而易见。甚至有非常严肃的哲学理由导致人们对其产生怀疑先验地，或至少，预见其有效性有非常严格的界限。现在（或许唯有现在）正是对这个公理进行严密批判的时候，甚至可能「证明」，超越一切可能的怀疑，它并非不有根据：并不存在一个唯一的严谨数学模型，能够解释迄今为止记录在案的所有所谓「物理」现象。 一旦「数学模型」概念本身及其「有效性」概念（在测量所允许的「误差范围」内）得到令人满意的界定，「统一理论」的问题，或至少是「最优模型」（modèle optimum）（其含义有待明确）的问题，将最终得到清晰的阐明。同时，人们或许也会更清楚地认识到，选择这样一个模型所伴随的（也许是必然的）任意性程度。 2o是在……之后只有在这样的反思之后，在我看来，提炼出一个比前人更令人满意的显式模型这一「技术性」问题才具有全部意义。也许到那时，才是摆脱物理学家第二个不言而喻的公理的时候，这个公理本身就起源于古代，深深植根于我们感知空间的方式本身：这就是连续本性空间和时间的（或时空（espace-temps）的），也就是「物理现象」所发生的「场所」的。 大约十五或二十年前，当我翻阅构成Riemann 全集构成的那本薄册时，他一句「顺便」提及的评论让我印象深刻。他指出，空间的终极结构很可能是「离散的」，而我们所做的「连续」表象可能是一种简化（也许从长远来看是过分的简化…），是对更复杂实在的简化；对人类精神而言，「连续」比「不连续」更容易把握，因此它作为一种「近似」来帮助我们理解不连续。这番话出自一位数学家之口，其洞察力令人惊讶，而当时欧几里得（Euclid）物理空间模型从未受到过质疑；从严格的逻辑意义上说，传统上恰恰是「不连续」被用作通向连续的技术途径。 此外，近几十年来数学的发展已经表明，连续结构与不连续结构之间的共生关系远比本世纪上半叶人们所想象的更为密切。无论如何，找到一个「令人满意的」模型（或必要时，一组这样的模型，以尽可能令人满意的方式「衔接」起来…），无论它是「连续的」、「离散的」还是「混合的」性质——这样的工作必定需要巨大的概念想象力和用于捕捉并揭示新型数学结构的精湛嗅觉。这种想象力或「嗅觉」在我看来是罕见的，不仅在物理学家中（其中Einstein 和Schrödinger 似乎是少数例外），即使在数学家中也是如此（而这一点我是在充分了解情况的前提下说的）。 总而言之，我预见到人们期待的革新（如果它还会到来的话…）更可能来自一位灵魂深处是数学家、深谙物理学重大问题的人，而非来自一位物理学家。但最重要的是，这需要一位具有「哲学开放性」的人来抓住问题的症结。这个问题绝非技术性质，而是一个根本性的「自然哲学」问题。 ↩

  72. 我绝不自称熟悉Einstein 的著作。事实上，我没有读过他的任何作品，只是通过道听途说和非常粗略的方式了解他的思想。然而，我感觉自己看到了「森林」，尽管我从未费力仔细审视过他的任何一棵树… ↩

  73. 关于「垂死」这个定语的评论，请参见前面的脚注（注 65）。 ↩

  74. 我似乎了解到（从各方传来的反响），人们普遍认为本世纪物理学经历了三次「革命」或巨大变革：理论Einstein 的、放射性的发现由Curie 夫妇、以及量子力学（mécanique quantique）的引入由Schrödinger。 ↩

  75. 从小我就对历史（地理也是）一直不太感兴趣。（在第五部分中*《收获与播种》*（仅写了部分），我「顺便」触及了在我看来这种对历史的局部「抵触」的深层原因——这种抵触正在消解，我相信，就在最近这些年。）此外，我从前辈们那里受到的数学教育，在「布尔巴基圈子」内，也并未改善这一状况——其中偶尔出现的历史参考资料极为罕见。 ↩

  76. 写下这些文字数小时后，我惊讶地发现自己竟未想到M.Bourbaki的（集体）论著所着力呈现的当代数学的宏大综合。（关于Bourbaki，在*《收获与播种》*的第一部分中还将大量讨论。）这在我看来有两个原因。 一方面，这种综合仅限于对大量已知的思想和结果进行某种「整理排序」，并未加入自身独创的新见解。若有新意，那就是对「结构（structure）」概念给出了精确的数学定义，这一概念后来成为贯穿整部论著的宝贵线索。但这个想法在我看来更像是某个聪明而富有想象力的词典编纂者的杰作，而非一种语言的革新要素——后者能赋予对现实（在此指数学事物）以全新的把握。 另一方面，自20世纪50年代起，结构这一概念已被事态发展所超越，随着「范畴论（catégorique）」方法突然涌入数学中最具活力的某些领域，如拓扑学（topologie）或代数几何（géométrie algébrique）。（因此，「拓扑斯（topos）」这一概念拒绝进入布尔巴基式的结构「袋子」——这个袋子在肩膀处显然太窄了！）在明知事态的情况下决定不踏上这条「苦船」，Bourbaki由此放弃了其最初的抱负——即为整个当代数学提供基础（fondements）和基本语言（langage de base）。 相反，它确立了一套语言，同时也确立了一种特定的数学写作和探索风格。这种风格最初是（极为片面的）某种精神的反映——是Hilbert留下的鲜活而直接的遗产。在20世纪50年代和60年代，这种风格最终大行其道——既有好的一面，也（尤其是）有坏的一面。近二十年来，它已蜕变为一种僵硬的「准则」，一种纯粹表面上的「严谨」，而曾经赋予其生机的精神似乎已一去不返。 ↩

  77. ÉvaristeGalois（1811—1832）在一场决斗中去世，年仅二十一岁。我相信关于他有好几本传记。我年轻时曾读过物理学家Infeld撰写的一本小说体传记，当时给我留下了深刻印象。 ↩

  78. 参见「Galois的遗产Galois」（ReS I，第7节）。 ↩

  79. 此外我深信，一个Galois会走得比我远得多。一方面是因为他极为出众的天赋（就我而言，这并非我所分有的）。另一方面是因为他很可能不会像我一样，让大部分精力消耗在无休止的细致整理工作上——边前进边整理那些已基本掌握的东西…… ↩

  80. 我在此处和彼处提到ClaudeChevalley，在*《收获与播种》*中，尤其是在「与Claude Chevalley相遇——或曰自由与善意」一节（ReS I，第11节），以及在「告别ClaudeChevalley」（ReS III，注释第no97）。 ↩