A — 遗产与继承人

Alexandre Grothendieck

第二部分

埋葬 (1)

——或中国皇帝的龙袍

致曾为我的朋友们者

亦致那少数仍为我友者

也致众多蜂拥而至齐声附和者

在我的葬礼上

纪念一场难忘的研讨会……

以及整个修会……

A — 遗产与继承人

概要

I. 遗腹弟子

教学的失败 (2) —— 或曰创造与自负

注释 44’

一种不公与无力之感

! 注释 44”

注释 45

II. 孤儿们

我的孤儿们

注释 46

注释 461

注释 462

注释 463

注释 464

注释 465

注释 466

注释 467

注释 468

注释 469

拒绝遗产 —— 或曰矛盾的代价

* 注释 47

注释 471

注释 472

注释 473

III. 风尚 —— 或曰名人的人生

本能与风尚 —— 或曰强者的法则

注释 48

注释 481

注释 482

当值无名氏与上帝的好定理

注释 48’

罐装重量与十二年的秘密

注释 49

进步不可阻挡！

注释 50

I 遗腹弟子

教学的失败 (2) —— 或曰创造与自负

注释 44’ [◊ 173]这段话让我那位我请他读了最后一节”往昔之重”的朋友心中一动。1他来信写道：“对你的许多旧日弟子而言，你那——如你所说的——咄咄逼人乃至近乎毁灭性的’老板’一面，记忆犹新。这便是你所感受到的印象的由来。“（我猜想，所谓”印象”，指的便是本节及以下几条注释编号为46、47、50中所述。）他在信的前面写道：“首先，我认为你暂时离开数学是件好事[！]，因为你和你的学生之间（当然除了Deligne）。他们多少有些不知所措……""

这是我第一次听到关于我在1970年之前作为”老板”的角色有这样的弦外之音——超越了惯常的恭维！在同一封信的更前面：他写道：”……我明白了，你的旧日弟子们[读作：“1970年之前的那些”]并不太清楚什么是创造（数学上的），而你可能也有部分责任……确实，在他们那个时代，问题全都是被提出来的2……""

我的通信人大概是想说，是我提出了这些”问题”，连同那些需要发展的概念，而不是让我的学生自己去发现这两者；也正是在这一点上，我可能遮蔽了他们对数学创造工作中本质部分的认识。这其实也呼应了[◊ 174]一种从我与两位之后1970的前弟子——在之前的注释中提及的——的谈话中流露出的印象（注释 23IV）。诚然，我在投奔我的学生身上首先寻找的是合作者——来发展那些已在我心中成形的直觉与观念，简而言之，就是去”推”一辆早已存在的车，他们无需从某种虚无中将它拉出（正如我的通信人当年不得不做的那样）。然而，正是这一点——让一种柔韧而稠密的可触之物从不可触的迷雾中凝聚成形——向来是数学工作中最令我着迷的方面，尤其是我感受到”创造”正在发生的那个部分，感受到某种比单纯的”结果”更为微妙、更为本质的东西的”诞生”。

如果我有时看到某个曾为我弟子的人以轻蔑对待这种极其珍贵之物，因而他身上显露出J. H. C.Whitehead所说的那种”势利”（即鄙视那些”能够证明”的东西）3，那么我或多或少也难辞其咎。我的教学的失败——对于1970年之后的时期是显而易见的，如今在我看来也以不同且更隐蔽的形式出现在我第一时期的教学中——尽管按传统标准那一时期是完全成功的！这是我在过去几年间偶尔瞥见的事，并在给几位旧日弟子的信中提及过，但至今未从他们任何人那里真正得到回响。

然而，我认为，说我给学生布置的工作以及他们与我一同所做的工作纯粹是技术性的、纯属常规的、不足以调动他们的创造能力——这并不准确。我为他们提供了切实而可靠的出发点，他们可以在其中自由选择，并以此为起点向前飞跃——正如我自己在他们之前所做的那样。我不相信我曾向任何一个学生提出过连我自己都不乐于去处理的课题；也不相信在他们与我同行的旅程中有哪一段路如此荒芜，以至于我自己在数学家的生涯中未曾独自穿越过同样荒芜的路途——不曾为此气馁或挣脱束缚，当工作必须完成、别无他途的时候。

[◊ 175]因此，我认为我今天所看到的失败，其原因比我提出的主题类型——以及这些主题在多大程度上仍模糊不清或反之条理分明——更为微妙。在这场失败中，我的责任似乎更多在于我与数学的关系中那些自负的态度；这些态度我在此反思中已有机会审视。它们或多或少地渗透着——即使不是与某个学生共事的具体工作本身，至少也是围绕着我这个人的氛围或空气。自负，即便以世间最”含蓄”的方式表达出来，也总是导向封闭、导向对事物微妙的本质及其美的麻木不仁——无论这些是”数学的事物”，还是我们有能力去接纳、去鼓励、或也可以从我们量的高度俯视的活生生的人——对那伴随我们的气息及其对他人如同对我们自身的破坏性影响毫无察觉。

一种不公与无力之感

注44”(5月10日) 利用我朋友允许我自由引用其信中我认为有用的段落之授权，我在此给出一个更完整的引文4，它将截断的引文置于其真实的语境之中：

诚然，在75至80年间，除了向Verdier提过寥寥几个问题外。但我并不为此责怪你的旧日学生们，因为当时没有谁真正理解这一联系的重要性[读作：离散系数与连续系数之间的联系]。1980年10月，当这一联系对于半单群的首个非常重要的应用被发现时，一切都改变了，即Kazhdan-Lusztig，其中本质性地用到了所述范畴（catégorie）等价。这一等价后来被称为「Riemann-Hilbert对应（correspondance de Riemann-Hilbert）」而不加任何说明，毕竟这太自然了！正是在这里我明白了，你的旧日学生们并不很清楚什么是创造，而且或许你对此负有一部分责任。我仍然感到一种不公与无力。诚然，在他们那个时代，问题都已经摆在那里。这一定理的应用数量惊人，无论是在平展拓扑学（topologie étale）的框架内还是在超越框架内，却始终以Riemann-Hilbert对应的名义！我感到，我的名字配不上这一成果，对于[◊ 176]许多人而言尤其是你的旧日学生们。但正如你可以从我工作的引言中清楚看到的，是你的「对偶」形式主义自然地导向了这一结果。但和你一样，我并不为这一联系——即「可构造离散系数」与晶体系数（或全纯D\mathcal{D}-模（Module holonome））之间的未来担忧。显而易见，它适用于众多领域，无论是在空间（espace）的上同调（cohomologie）中还是在分析中。

正是我朋友信中的这段文字（除了本注之外）启发了后来的注文《当班的无名氏与好上帝的定理》。根据这封信的措辞，我丝毫未曾料想到（正如我在相应处所解释的），我朋友心中的这种「不公与无力之感」并非仅仅是对一种盲目轻蔑态度的反应，即那种系统性地贬低其贡献的态度（这种态度在我的一些旧日学生中已变得令我十分熟悉），而是一种真正的欺诈行径，即窃取一个关键定理的创立者身份。这一情况是在仅仅八天前才为我所知的——关于此事，见注《不义——或回归的意义》以及接下来的注释（nos75à80），它们汇集在标题《研讨会——或Mebkhout的层（faisceau）与反常性》之下。

注45由于环境和生活方式的改变，与旧友们会面或其他接触的机会变得稀少。但这并未阻止「保持距离」的迹象以各种方式显现出来，程度因人而异。然而在另一些人身上，比如Dieudonné、Cartan或Schwartz，事实上在所有那些在我起步时给予了我如此热情接待的「前辈」们身上，我没有感受到任何这类东西。除开他们，我仍然觉得，在数学界的旧友或学生中，很少有人与我之间的关系（无论是否有机会表达）不曾变得分裂、充满「矛盾」，在我退出那个曾经共同的圈子、共同的世界之后。

II 孤儿们

我的孤儿们

注 46 [◊ 177]我想借此机会，就我所揭示的数学概念与思想中，那些在我看来（远远）最具影响力的，说几句话（461）5。这首先是五个紧密相关的关键概念，我将按特异性、丰富性（和深度）递增的顺序快速加以回顾。

首先是关于导出范畴（catégorie dérivée）的想法在同调代数（algèbre homologique）中（48），及其对一种「万能」形式体系（formalisme）的运用，该体系称为「六项运算的形式体系（formalisme des six opérations）」（即运算⊗L\otimes^L,L f*,R f!,,RHom,R f*,L f!) (462)用于几何中迄今引入的最重要的「空间（espace）」类型的上同调（cohomologie）：「代数」空间（如概型（schémas）、概形多重性（multiplicités schématiques）等）、解析空间（包括复解析、刚性解析及同类）、拓扑（topologique）空间（当然，还有待各种「温和空间」的语境，以及肯定还有许多其他类型，例如作为同伦模型（modèles homotopiques）的小范畴的范畴（catégorie）(Cat)……）。该形式体系既涵盖离散（discret）性质的系数，也涵盖「连续」系数。

这个对偶（dualité）形式体系及其普遍性的逐步发现，是通过孤独、执着且严苛的沉思完成的，这一沉思持续了 1956 年至 1963 年。正是在这一沉思过程中，导出范畴的概念逐渐显现，以及对其在同调代数中应有作用的理解。

在我的空间上同调形式体系的洞见（vision）中，仍然缺少的是对离散系数与连续系数之间隐约可感的联系的理解，超出局部系与这一熟悉情形[◊ 178]即可积连接模或模的晶体（cristaux）来诠释它们。这一深刻联系，最初在复解析空间框架中表述，由（近二十年后）Zoghman Mebkhout，用导出范畴来表述，该范畴一方面借助「可构造」离散系数构成，另一方面借助「D\mathcal{D}-模」或「微分算子复形」（463）

在将近十年的时间里，由于我那些最有条件给予他鼓励、并以他们的兴趣和从我这里获得的经验来支持他的旧日学生们未能这样做，Zoghman Mebkhout 在几乎完全孤立的状态下继续着他卓越的研究。这并未阻止他揭示并证明两个关键定理6这属于一个在普遍漠视中艰难诞生、步履蹒跚的新的晶体（cristalline）理论，而且这两个定理（这兆头可真不好！）都是用导出范畴来表述的：一个给出了刚才提到的「可构造离散」系数与晶体系数（满足某些「完整性」和「正则性」条件）之间的范畴等价（48’），另一个是「这个」晶体整体对偶定理，关于一个光滑复解析空间（未必紧，这带来了相当大的额外技术困难）到一点的常值映射。这是深刻的定理7，它们为[◊ 179]解析与概形（schématiques）空间的上同调带来了新的光芒（目前限于零特征（caractéristique）情形），并预示着这些空间的上同调理论将迎来一次大规模的更新（renouvellement）。这些成就最终使它们的作者在两次申请进入 CNRS 被拒后，获得了一个研究员职位（相当于大学的助理或副教授职位）。

在这十年间，没有人想到去告诉Mebkhout，他正与源于「六种变体的形式体系」这一超越语境所带来的巨大技术困难作斗争，这一体系我的学生们都很熟悉8，但该体系却从未「誊清」在任何地方。直到去年，当他好心地、耐心地向我（一个已经不太跟上同调前沿的人）解释他所做的工作时，他才从我这里得知这个形式体系的存在（以一份显然只有我才知道的提纲的形式……）。也没有人想到建议他，也许先专注于零特征概型的语境会更「有成效」；在那里，超越语境所固有的困难消失了，而理论的基本概念问题反而会显现得更加清晰。没有人想到要提醒他（或者甚至没有人意识到，而我从引入晶体的时代起就已经知道9）即「D\mathcal{D}-模」在光滑（解析或概形）空间上，无非就是「模的晶体」（如果我们暂时不考虑两者各自的「凝聚性」问题），而且后者是一种万能概念，既适用于任何奇点的「空间」，也同样适用于光滑空间（464）

鉴于其（非同寻常的）能力与勇气Mebkhout 已展现出——我十分清楚——倘若置身于友善氛围中，他本会毫无困难且极其愉快地在特征为零的概形（schéma）的晶体上同调的语境中建立完整的「六方差」形式体系，因为实现如此宏大计划的所有关键思想（包括他本人的，以及佐藤学派的和我本人的）在我看来已经齐备。对于他这样才干的人而言，不过是几年工作的问题，就如同发展一套[◊ 180]平展上同调的通用形式体系也不过是几年的事（1962-1965），因为六运算（six opérations）的主线早已明确（再加上两条基变换（changement de base）关键定理）。诚然，那是被热情与友善的潮流所承载的岁月——来自共同参与者或见证者——而不是逆着那些掌控一切者的傲慢自满而行的工作……

现在我来谈想要讨论的第二对概念，概形（schéma），以及与之密切相关的**拓扑斯（topos）后者是更为内在的版本，对应景（site）的概念，我最初引入它是为了形式化「局部化」的拓扑直觉。（「景」这个术语实际是由 JeanGiraud后来引入的，他也为赋予景和拓扑斯概念以全部必要的灵活性做出了很大贡献。）正是代数几何的迫切需求，促使我接连引入了概型和拓扑斯。这对概念潜在地蕴含着一场广泛的更新，既关乎代数几何与算术，也关乎拓扑学，通过一种综合（synthèse）**将这些长久分离的「世界」融入共同的几何直觉之中。

通过概形的观点和景的语言（或「下降（descente）」的语言），再加上十二年的基础工作（还不算我的学生和其他参与进来的志愿者的工作），代数几何与算术的更新已是二十年前就已实现的事了：概形的概念，以及概型的平展上同调（若不说平展拓扑斯和平展多重性的概念），最终已融入人们的习惯与共同遗产之中。

相反，这一本也将涵盖拓扑学的广阔综合——尽管二十年来必要的关键思想与主要技术工具在我看来已齐备就绪——10，仍在等待它的时机。在[◊ 181]十五年间（自离开数学舞台以来），拓扑斯这一富有成果的统一思想与强大的发现工具，被某种时尚11排斥在所谓严肃概念之列。时至今日，极少有拓扑学家隐约意识到他们的学科拥有如此巨大的潜在扩展，以及它提供的新资源。

在这一更新后的洞见（vision）中，拓扑学家日常处理的拓扑空间、可微空间等，连同概型（他听说过）以及拓扑多重性、可微多重性或概型多重性（无人谈及），都是同一种卓越几何对象的不同化身，即环化拓扑斯（465），它们扮演着「空间」的角色，在其中来自拓扑学、代数几何和算术的直觉汇聚为共同的几何洞见。人们在每一步都会遭遇的各种「模」多重性（只要睁眼去看）提供了同样多令人惊叹的例子（466）。深入研习它们，是穿透这些模多重性所描述的变分、退化与概化方式的几何对象（或其他对象——若有非几何对象的话……）的本质属性的头等线索。然而，这一丰富性仍被忽视，因为能够精细描述它的概念并不属于普遍接受的范畴。

这一被拒斥的综合带来的另一个意料之外的方面，12在于[◊ 182]某些最常见的空间（中一些熟悉的同伦不变量467）（或更准确地说，它们的 profinite 紧化）被发现赋予了未曾料到的算术结构，尤其是某些profinite Galois 群的作用……

然而，近十五年来，在「上流社会」中，瞧不起任何敢说出「拓扑斯」这个词的人已成为时髦，除非是开玩笑或是有逻辑学家的身份作借口。（这是一些以与众不同而闻名的人，需要原谅他们某些怪癖……）导出范畴的瑜伽——用于表达拓扑空间的同调（homologie）与上同调（cohomologie）——也未能渗透到拓扑学家中，对他们而言，Künneth 公式（对于系数环不是域的情况）仍然是一对谱序列（或至多是一连串短正合序列），而非某个适当范畴（catégorie）中的唯一典范同构；并且他们继续无视基变换定理（例如，对于紧合态射（morphisme propre）或光滑态射），而这些定理（在平展上同调的邻近框架中）构成了该上同调强力「启动」的关键转折（468）。我对此并不感到惊讶，因为那些曾经为发展这一瑜伽做出贡献的人自己早已将其遗忘；并且冷落那个不幸的、似乎想要使用它的人，13！

第五个让我珍视的概念，或许胜过其他所有，是「动机（motif）」。它与前四个概念的不同之处在于，「那」好的动机概念（哪怕只是在基域之上，更不用说任意基概形了）至今未能得到令人满意的定义，即使为此目的接受所有所需的「合理」猜想。更确切地说，显然，[◊ 183] 那个在第一步中要做的「合理猜想」将是存在性一门满足某些给定数据和性质的理论，对于内行来说，完全不难（而且极其迷人！）14将其完整地阐述出来。我在「离开数学」前不久，也曾差一点就做了这件事。

在某些方面，这种情况类似于微分与积分计算英雄时代的「无穷小」，不过有两个区别。首先，我们今天拥有在建立复杂数学理论方面的经验，以及有效的概念工具储备，这是我们的前辈所缺乏的。而其次，尽管我们拥有这些手段，而且这个明显关键的概念出现已有二十多年，却没有人屈尊（或敢于——不顾那些不肯屈尊的人……）动手实干，梳理出动机理论的主要轮廓，就像我们的前辈们直截了当地为无穷小计算所做的那样。然而，对于动机而言，现在就像当年对于「无穷小」一样清楚：这些家伙是存在的，并且在代数几何中处处显现，只要你关心代数流形的上同调（cohomologie）以及这类流形的族，尤其是它们的「算术」性质。或许比起我谈到的其他四个概念，动机——它是所有概念中最具特色、最为丰富的——与大量各种直觉相关联，这些直觉绝非模糊，而是[◊ 184]常常可以完全精确地表述（必要时有时也允许承认一些动机前提）。这些「动机」直觉中最迷人的，对我而言是「动机 Galois 群（groupe de Galois motivique）」，它在某种意义上允许将「动机结构」置于域和有限型概形（在绝对意义上）的射有限 Galois 群上。（为赋予这个概念以精确含义所需的技术工作，依据为动机概念提供临时基础的「前提」，已在Neantro Saavedra 关于「Tannaka 范畴」的论文中完成。）

目前对于动机概念的共识，比起它的三个难兄难弟（或姐妹）（导出范畴、所谓「六运算」的对偶形式论、拓扑斯（topos））要稍微微妙一些，因为它没有被直接斥为「胡扯」15。但实际上，这结果是一样的：既然无法「定义」动机或「证明」某个东西，正经人就只能避而不谈（当然是深表遗憾，但人要么正经要么不正经……）。当然，只要人们宣称连谈论它都是不正经的，就永远不可能建立起动机理论或「证明」任何关于它们的东西！

但那些少数内行（同时也是引领潮流的人）自己非常清楚，依据那些仍然保密的「前提」，可以证明许多东西。也就是说，从今天起，事实上自从这个概念在Weil 猜想（尽管已被Deligne 证明，这总归是一个有力的论据！）的余波中出现以来，动机之瑜伽（yoga des motifs）确实存在。但它具有一门秘密科学的地位，当然只有极少数入会者16。它尽管「不正经」，却仍然允许[◊ 185]让这些稀少的入会者在大量上同调情境中说出「人们有权期待什么」。它由此产生了大量直觉和部分猜想，这些有时事后可以通过手头的手段、借助「瑜伽」所提供的理解来把握。Deligne 的多项工作都受此瑜伽启发17，尤其是那个（如果我没弄错的话）他最早发表的工作，确立了Leray 关于代数流形间光滑射影态射的谱序列的退化（在零特征下，为了证明的需要）。这个结果是由「权重」——因而属于算术性质的——考量所提示的。这些是典型的「动机」考量，我是指：可以用动机的「几何」来表述。Deligne 用Lefschetz-Hodge理论证明了这一陈述，并且（如果我没记错的话）只字未提动机（49）——然而没有它，肯定没有人会想到去怀疑如此不可思议的事情！

动机之瑜伽（yoga des motifs）恰恰首先诞生于我从18Serre 那里获得的「权重瑜伽（yoga des poids）」。正是他让我领略到「韦伊猜想」（后成为「Deligne 定理」）的全部魅力。他曾向我解释，如何（*模去（modulo）*一个关于所考虑特征中奇点消解（résolution des singularités）的假设）便可以借助权重瑜伽，将任意域上的每个代数流形（不必光滑也不须完备）与「虚拟Betti 数」联系起来——这件事当时令我大为震动（469）。我相信正是这一想法成为我对权重思考的起点，此思考（在我编写基础文本的工作之余）持续了之后的整个岁月。（也是同一想法在 1970 年代为我所重拾，结合任意基概形（schéma）上「虚拟动机（motif virtuel）」的概念，[◊ 186]旨在建立至少适用于虚拟动机的「六运算」形式体系。）如果说在那些年里我不停地向19Deligne（作为特权对话者）和任何愿意倾听的人谈起这动机之瑜伽，那当然不是为了让他和别人把它维持在秘传之学（science secrète）的状态，仅供他们自己独享（⇒note 47).

Note 461我至多只对以我曾为某定理所给出的表述引入的想法和观点Riemann-Roch（以及我找到的两种证明）破例，同样不保密的还有该定理的各种变体。如果我记忆无误，这样的变体出现在 1965/66 年 SGA 5 研讨班的最后一次报告中，该报告与该研讨班的其他多篇报告一同石沉大海。其中最有趣的一种在我看来是关于离散可构造系数（coefficients discrets constructibles）的变体，不知此后是否已在文献中得到阐明20。值得注意的是，该变体还有一个「动机式的」变体，它本质上等价于断言：「特征类（classes caractéristiques）」（在正则概形的 Chow 环（anneau de Chow）中），与Yℓℓ-进可构造层相关联，对于不同的素数（与剩余特征互素），当这些层来源于同一个「动机词语」（例如是给定的R  !(ℤ ℓ) pour un f : X → Y的 if）时全部相等。

Note 462可以将这一形式体系视为一个「全局对偶（dualité globale）」形式体系的精华提炼，在上同调中；在其最「高效」的形式下，它摆脱了所有多余的假设（特别是对所考虑的「空间」和态射的光滑性要求，或对态射的完备性要求）。还有必要用局部对偶（dualité locale）形式体系来加以补充，局部对偶中，在所允许的「系数」中区分出那些称为「对偶化（dualisant）」的对象或「复形」[◊ 187]」（该概念在运算L f !), i.e.下保持稳定），那些导出「对偶性定理（théorème de bidualité）」（以运算RHom 表述）的系数，这些系数满足适当的有限性条件（在次数方面，以及在局部上同调对象上的凝聚性或「可构造性（constructibilité）」）。当我谈到「六函子形式体系」时，我此后所指的都是这一完整的对偶形式体系，包括其「局部」和「全局」两个方面。

迈向深入理解上同调对偶的第一步，是在第一个重要情形——诺特概形（schémas noethériens）和具有凝聚上同调（cohomologie cohérente）的模复形——中逐步发现六种运算形式体系。第二步则是在概形的平展上同调（cohomologie étale）语境中发现该形式体系同样适用于离散系数。这两个极端的案例足以奠定该形式体系在一切产生 Poincaré 式「对偶」的几何情境中无所不在的信念——这一信念已由 Ramis 和Verdier, Ruget（等人）的工作所证实。当十五年来阻碍该形式体系发展和大规模应用的障碍逐渐瓦解时，它必将在其他类型的系数中同样得到证实。

这种无所不在性在我看来是一个意义深远的事实。它使得 Poincaré 对偶与Serre 对偶之间存在深刻统一性的感受成为必然；这一统一性最终由Mebkhout 以所需的普遍性确立。这种无所不在性使得「六函子形式体系」成为同调代数（algèbre homologique）中理解「全方位」上同调对偶（dualité cohomologique）现象的基本结构之一。21。这种相当精巧的结构过去未被阐明（正如「三角化范畴（catégorie triangulée）」的「恰当」概念也未被阐明一样，Verdier 版本仍是一种非常初步和不够充分的形式）这一事实，并不会改变什么；拓扑学家乃至那些假装对上同调感兴趣的代数几何学家们依然竞相无视对偶形式体系本身的存在，以及作为其基础的导出范畴（catégories dérivées）语言。

Note 463D\mathcal{D}-模（Modules）和微分算子（opérateurs différentiels）复形的观点由 Sato 引入，并首先由他和他的学派加以发展，其[◊ 188]视角（我似乎理解）与Mebkhout 所遵循的路径颇为不同，而更接近我的方法。

关于「可构造性（constructibilité）」用于「离散」系数的各种概念（在复解析、实解析、分段线性语境中），据我所知，是由我在 1950 年代末首次阐明的（并在几年后将其重新置于平展上同调（cohomologie étale）语境中）。我当时提出了这一概念在实或复解析空间的固有态射（morphisme propre）下通过高次直像（images directes supérieures）的稳定性问题，但不知道在复解析情形中这一稳定性是否已得到证明。22。在实解析情形中，我原先考虑的概念其实并不恰当，因为当时尚不具备 Hironaka 的实子解析集（ensemble sous-analytique réel）概念，该概念具有通过直接像（images directes）保持稳定的基本初步性质。至于诸如RHom 之类的局部性运算。显然，在零特征优概形（schémas excellents de caractéristique nulle）框架下，建立可构造系数稳定性的论证（利用 Hironaka 的奇点消解（résolution des singularités））在复解析情形中直接适用，对偶性定理（théorème de bidualité）（见 SGA 5 I）亦同。在分段线性框架中，自然的稳定性和对偶性定理都是「简单练习」，我在平展上同调起步之时（其主要惊喜之一正是发现了这种普遍性）曾乐于以此验证对偶性形式体系的「普遍存在性（ubiquité）」。

回到半解析情形，此方向上关于稳定性定理（关于六种运算（six opérations）下的可构造系数）的「好」框架显然是「温和空间（espaces modérés）」（见*《纲要》（Esquisse d’un programme）*，第 5、6 节）。

注 464当然，「D\mathcal{D}-模」观点，结合D\mathcal{D}是凝聚环层（faisceau d’anneaux cohérent）这一事实，为模的晶体（cristaux de modules）揭示了一种比我惯常处理的「凝聚性」更为隐蔽的凝聚概念，它在非必然光滑的（解析或概形）空间上仍有意义。将其称为「M-凝聚（M-cohérence）」（M 取自Mebkhout）。对于稍有涉猎（且充分保有健康数学直觉）的人来说，应当相当明显：在光滑情形下推广[◊ 189]「微分算子」复形的「好系数范畴」，只能是模的晶体范畴的「M-凝聚导出范畴」（一个晶体复形被称为**M-凝聚（M-cohérent）**如果它的上同调对象是 M-凝聚的）。这一范畴在没有光滑性假设的情况下仍有合理意义，并且应当同时涵盖通常的「连续」（凝聚）系数理论和离散的「可构造」系数理论（对于后者需要引入适当的完整性（holonomie）和正则性（régularité）假设）。如果我对事物的洞见（vision）是正确的，那么Sato-Mebkhout理论与先前已知的晶体语境相比，两个新的概念要素是：模的晶体的 M-凝聚概念，以及关于 M-凝聚晶体复形的完整性与正则性条件（具有更深刻的性质）。有了这些概念，首要的基本任务是在晶体语境中发展六种运算（six variances）的形式体系，以涵盖我在二十多年前就已发展的两个特例（通常凝聚、离散）（而我的一些前上同调学者学生大概早已为了「更重要」的工作而长久遗忘了这些……）。

Mebkhout 在研读我的著作后，倒也终于了解到「晶体」概念的存在，他感到自己的观点应当能为这一概念提供一种好的途径（至少在零特征下）——但这一建议落到了聋子的耳朵里。从心理上说，让他投身于必要的庞大基础工作几乎是不可想象的，因为他身处那些被视为上同调权威、最有能力鼓励——或打压——的人们所营造的傲慢冷漠氛围之中。

注 465（5 月 13 日）这里涉及的，主要是被一个**交换局部环（Anneau commutatif local）赋环的拓扑斯（topos annelés）。**用拓扑空间上这样一个环层（faisceau d’anneaux）的数据来描述「流形（variété）」结构的想法，最初由 H.Cartan 引入，后被Serre 在其经典著作 FAC（Faisceaux algébriques cohérents）中继承。正是这项工作成为原初推动力，促使我反思并走向「概形（schéma）」概念。在Cartan 提出、Serre 继承的方法中，要涵盖迄今为止出现的所有类型的「空间」或「流形」，所欠缺的正是拓扑斯（topos）的概念（即：恰好是那种「某物」，在其上「集合层（faisceau d’ensembles）」的概念具有意义且拥有我们所熟悉的性质）。

Note 466 [◊ 190]作为并非通常空间、且似乎也没有令人满意的「公认」概念替代品的拓扑斯（topos）的其他显著例子，我将指出：拓扑空间商去一个局部等价关系得到的商拓扑斯（例如流形的叶状结构，此时商拓扑斯甚至是「多重性（multiplicité）」）*i.e.*局部上是一个流形）；以及几乎任何数学结构的「分类」拓扑斯（至少那些「用有限射影极限和任意归纳极限表述的」结构）。当我们取一个「流形」结构（拓扑的、可微的、实或复解析的、Nash 等等，甚或在给定基上的光滑概形）时，我们在每种情形下都会发现一个格外诱人的拓扑斯，它配得上「万有流形（variété universelle）」之名（在所考虑的那一种类中）。它的同伦（homotopie）不变量（尤其是其上同调（cohomologie），它配得上「分类上同调」之名，针对所考虑的流形种类）早就应该被研究和认识，但眼下完全没有走上这条路⋯⋯

Note 467 所涉及的空间 X其同伦类型被「自然地」描述为复代数流形的同伦类型。该流形于是可以定义在一个子域上K**K复数域，使得 是 Galois 投射有限素域的一个有限型扩张ℚ. Le groupe de (K‾\overline{K}/KGal) 于是自然地作用于 的投射有限同伦不变量上。通常（例如当X**X是一个奇数维同伦球面）时可以取K 素域ℚ.

Note 468（5 月 13 日）当我在 Serre 的 FAC 文章中学习代数几何的最初基础时Serre（正是他「触发」了我走向概形（schéma）），基变换（changement de base）的概念在代数几何中几乎不为人知，除了基域变换这一特例。随着概形语言的引入，这一运算无疑成了代数几何中最常用的运算，无时无刻不在使用。这一运算在拓扑学中仍然几乎不为人知（除了非常特殊的情形），在我看来，这是拓扑学与来自代数几何的思想和技术相隔离的一个典型标志（在许多其他标志之中），也是「几何」拓扑学基础不充分的一份顽固遗产。

Note 469 [◊ 191]（6 月 5 日）Serre 的想法是，应该能够给一个域上的任何有限型概形X**K, des entiers

*hii*(*X*) (∈ ℕ)

他称之为他的「虚拟 Betti 数」，使得我们有：

a) pour Y一个闭子概形和U补开集

*hih*(*X*) = *ihj*(*Y*) + (*U*)

b) pour X光滑射影的，我们有

*hii*(*X*) = -ème nombre de Betti de*X*

（例如通过上同调定义ℓ-adique, pour ℓ与 k 的特征互素）。如果我们承认 上的代数概形的奇点消解（résolution des singularités），那么立即得到k‾\overline{k}hi(X由这些性质唯一确定。这样一个函数的存在X → (hi(X))ℕi∈ 对于 k固定，利用紧支集上同调的形式体系，可以本质上化约为基域是有限域的情形。在 上有限维向量空间的「Grothendieck 群」中工作，Gal(kℚℓk‾\overline{k} / ) 连续作用，并取 的 ℓ-进 Euler-Poincaré 示性数（紧支集）ℓX(X在这个群中，hi) 表示「权为 i 的分量」的虚拟秩*X,*ℚℓEP() 的，其中权的概念来自韦伊猜想，再加上一种弱形式的奇点消解。即使没有消解，Serre 的想法也通过韦伊猜想的强形式（由 Deligne 确立 在「韦伊猜想 II」中）。

我沿着这条思路进行了启发性的反思，被引向一个用于「虚拟相对概形」的六种运算的形式体系（formalisme des six opérations），基域 k 被一个基概形取代S或多或少是任意的——以及关于 上这样的虚拟概形（有限呈现）的各种「特征类」概念。S。因此，我（为简化起见回到基域的情形）被引导去考虑比 hq 更精细的整数数值不变量Serre, notés p,(X，满足与上述 a)、b) 类似的性质，并通过通常的公式重新给出 Serre 的虚拟 Betti 数

hi(X)=∑p+q=ihp,q(X)h^i(X) = \sum_{p+q=i} h^{p,q}(X)

拒绝遗产——或矛盾的代价

注释 47 [◊ 192]应当指出，我刚才回顾的五个概念中有四个（恰恰就是那些被认为「不严肃」的东西）涉及上同调（cohomologie），而且首先是概型（schémas）和代数流形（variétés algébriques）的上同调。无论如何，这四种全都源于我对代数流形上同调理论的需求——首先是连续系数，然后是离散系数。也就是说，从1955年到1970年的十五年间，贯穿我工作的一个主要动力和恒定主题，一直是代数流形的上同调。

值得注意的是，这也是Deligne至今仍视之为其主要灵感来源，如果我对去年IHES手册中相关说法的解读无误的话23。我是带着几分惊讶得知此事的。诚然，当时我仍「在场」、与一切前沿紧密相连，当Deligne（继他在Ramanuyam猜想上的漂亮工作之后）发展出他那非凡的霍奇理论（théorie de Hodge）扩展。这首先——对他对我都一样——是在复数域（corps des complexes）上构建形式化的动机（motif）概念的第一步——这还只是开始！1970年我的「转向」之后的最初几年，我当然也听说了Deligne对Weil猜想（这也同时证明了Ramanuyam猜想）的证明，紧接着还有「硬Lefschetz定理」（théorème de Lefschetz vache）在正特征（caractéristique positive）的情形。我对他寄予的期望正是如此！我甚至确信他应该同时证明了标准猜想（conjectures standard）」，那是我在1960年代末提出的，作为在域上建立「半单」动机概念的第一步（至少是第一步），并将这些动机的某些预期性质转化为上同调性质的语言ℓ-进上同调和代数闭链群（groupes de cycles algébriques）。Deligne后来告诉我，他的Weil猜想的证明肯定无法证明（更强的）标准猜想，而且他也不知道该如何着手攻克它们。这大约是十年前的事了。自那以后，我没有听说在[◊ 193]代数流形上同调的「动机性」（或「算术性」）方面有什么真正决定性的进展。以我对Deligne才华的了解，我暗自推断他的主要兴趣想必已转向其他课题——这便是我读到并非如此时感到惊讶的原因。

在我看来毫无疑问的是，至少二十年来，要想在对代数流形上同调的理解上做出广泛而深刻的革新工作，几乎不可能不或多或少被视为「Grothendieck的继承者」。ZoghmanMebkhout在这方面就吃了苦头，而且（在某种程度上）Carlos Contou-Carrère也是如此，他很快就明白换课题才是明智之举（471）。在所有不可回避的首要之事中，恰恰就包括在多种系数背景下发展著名的「六个变异的形式体系」（formalisme des six variances），使其尽可能接近动机的框架（动机目前扮演着一种理想「地平线」的角色）：在零特征中的晶体系数（coefficients cristallins）（沿袭Sato学派和Mebkhout，Grothendieck风味）或p（主要由Berthelot、Katz、Messing以及一群显然深受激励的年轻研究者所研究），「分层promodule」（promodules stratifiés），à laDeligne，（它们作为对偶化变体，或者说「pro」版本，出现在「ind」概念——D\mathcal{D}-凝聚模（module cohérent），或「D\mathcal{D}-凝聚晶」），「Hodge-Deligne系数」最后（它们似乎与动机一样好用，唯一的区别在于其定义是超越的，且仅限于在复数域上有限型的基概型）……在另一端，则是将动机概念本身从围绕它的迷雾中解脱出来的任务（这当然情有可原……），并且，如果可能的话，还要着手解决像「标准猜想」这样明确的问题。（对于后者，我曾考虑过，除其他方法外，发展一种「中间雅可比」（jacobiennes intermédiaires）理论，用于域上光滑射影流形（variétés projectives et lisses），作为可能获得迹的正性公式（formule de positivité de traces）的一种途径——那是标准猜想的关键要素之一。）

这些便是我直到「离开数学」那一刻仍觉烫手的问题和任务——火热的、多汁的东西，其中没有任何一个、在任何时候曾在我面前呈现为一道「墙」、一个断点24。它们代表着一股灵感的源泉和一种[◊ 194]取之不尽的实质，一种只需在凸出的地方拉扯（它从四面八方「凸出」！）就会有东西——意料之中或出乎意料的——到来的东西。以我有限的才能，只要在工作中不分心，我知道一个人只要真正投入，一天、一年或十年能做成什么。而我也知道，因为我曾在一个他尚未分心于工作的时代亲眼见证过他的实践，Deligne的才能是怎样的，以及Deligne一天、一周或一个月能做成什么，只要他愿意真正投入。但是没有人，即使是Deligne，也无法长久地做出丰硕的成果、深刻的革新工作，同时却俯视着那些本该深入探究的对象本身，以及语言和整整一套为此目的由某位前辈（而且是在他本人的协助下，加上许多其他亲自动手的人……）所发展出的工具（outils）（59）。

我也想到紧化（compactification）«Deligne-Mumford»的模多重性（multiplicité modulaire）Mg,ν（在 Spec(ℤ)）上，对于亏格为g带有ν个标记点（point marqué）的连通光滑代数曲线。它们是在25为了解决证明模空间（espace modulaire）连通性的问题Mg,ν在任意特征（caractéristique）下，通过从零特征出发的特化（spécialisation）论证。这些对象Mg,ν 在我看来（与群Sℓ(2)）是我在数学中遇到过的最美、最迷人的（472）。它们单独的存在——兼具如此完美的性质——对我而言已是一种奇迹（而且是完全被理解的奇迹），其意义远超当初要证明的那个连通性事实。对我而言，它们凝缩了代数几何中最本质的东西，即（几乎）所有代数曲线（在所有可想象的基域上）的总体，而正是这些曲线构成了所有其他代数流形（variété algébrique）的终极基石。但这类对象，即”Spec(上的光滑固有多重性ℤ)»仍然逃出了”公认”的范畴，即人们愿意（出于人们不愿审视的理由）去”承认”的那些范畴。凡夫俗子最多只是隐晦地提及它们，并且带着一副为自己的做法像是还在搞general non-sense而道歉的神情，而他们当然小心翼翼地说着stack或”champ”，以免说出禁忌之词”拓扑斯（topos）“或”多重性（multiplicité）“。毫无疑问，正是这个原因，这些独一无二的珍宝自十多年前被引入以来，一直没有被研究或使用过（据我所知），除了我本人在一些研讨班笔记中[◊ 195]未曾发表。取而代之的是，人们继续要么使用”粗糙”的模流形（variété de modules），要么使用模多重性的有限覆盖——这些覆盖有幸成为真正的概型——然而这两者都不过是那些完美珍宝的相当苍白而残缺的影子，它们源于那些珍宝，却实际上仍然被放逐……

这四项工作——Deligne关于Ramanuyam猜想、关于混合Hodge结构（structure de Hodge mixte）、关于模多重性紧化（与Mumford合作）、以及关于Weil猜想——每一项都构成了我们对代数流形认识的更新（renouvellement），并因此成为一个新的起点。这些基础性工作相继出现在几年的时间里（1968-1973）。近十年来然而，这些伟大的里程碑并未成为向已知和未知领域发起新冲刺的跳板，也未能成为更广泛更新的手段。它们导致了一种沉闷停滞的局面（473）。这当然不是因为十多年前存在于各处的”手段”如魔法般消失了；也不是因为触手可及的美景突然消散了。但世界美丽并不足够——还需要有欣赏它的意愿……

注471我在这里想到的是Contou-Carrère五六年前在相对局部雅可比（jacobienne locale relative）理论上做出的富有希望的起步——该理论与对于光滑曲线概型（不一定固有）在任意基概形（schéma）上的整体雅可比（称为”广义雅可比”）之间的联系，以及与Cartier的交换形式群（groupe formel commutatif）和典型曲线理论之间的联系。除了Cartier的鼓励性回应外，对Contou-Carrère的第一篇笔记——那些最有能力欣赏它的人——的接待是如此冷淡，以至于作者从未发表他保留的第二篇，并匆忙改变了主题（尽管未能避免其他不幸）26.

我曾向他建议局部和整体雅可比这一主题，作为迈向一个可追溯到20世纪50年代末的纲领的第一步，该纲领尤其指向一个用局部雅可比构成的任意维数”adelic”对偶复形（complexe dualisant）理论（对于[◊ 196]任意维数的局部环），与诺特概形（schéma noethérien）的剩余复形（complexe résiduel）（用其所有局部环的对偶化模（module dualisant）构成）相类比。我的上同调对偶（dualité cohomologique）纲领的这一部分（连同其他部分）在20世纪60年代期间，由于当时看起来更为紧迫的其他任务大量涌现，被有些遗忘了。

注472说实话，正是Teichmüller塔——所有这些多重性的族都嵌入其中——以及该塔的离散（discret）或pro有限（profini）范式（用基本群胚（groupoïde fondamental）来表述），才构成了我在数学中遇到过的最丰富、最迷人的独一无二的对象。群Sℓ(2)，其pro有限紧化（compactivité profini）的”算术”结构Sℓ(2*,ℤ)（包括Galois群 Gal(Q‾\overline{\mathbb{Q}}/ℚ)在该群上的作用），可被视为该塔的”pro有限版本”的主要基石。关于这一点，请参见《一个纲领的草图》（Esquisse d’un programme）（在等待《数学反思》（Réflexions mathématiques）*中专门讨论这一主题的一卷或多卷出版之前）。

Note 473这种对「阴郁停滞」的指认，并非某个熟知近十年来围绕概型与代数流形的上同调（cohomologie）之主要事件的人的深思熟虑之见。它只是一个印象，一个局外人的整体印象，是我从1982和1983年与Illusie、Verdier、Mebkhout等人的交谈和通信中得出的。当然，这种印象肯定可以从许多方面加以细化。因此，「Weil II」猜想是Deligne于1980年发表的，代表了实质性的新进展，即便在主结果层面并非出乎意料。在特征p >0的晶体上同调（cohomologie cristalline）方面似乎也有进展，更不用说那个围绕交上同调（cohomologie d’intersection）的rush（热潮），它最终使某些人（尽管不情愿）重拾导出范畴（catégories dérivées）的语言，甚至让他们记起长期被否认的原创归属……

III 时尚——或显赫人物 的生平

本能与时尚——或强者法则

Note 48 [◊ 197]众所周知，导出范畴的理论归功于J.-L.Verdier。在他着手我提议的基础工作之前，我一直仅限于以启发式的方式使用导出范畴，带着这些范畴的一个临时定义（后来被证明是正确的），以及对其本质内部结构的同样临时的直觉（这一直觉在预期的语境中被证明在技术上是错误的，映射锥（mapping cone）并不函子性地依赖于导出范畴中本应定义它的态射，而仅在同构（非唯一）意义下定义它）。相干层（faisceaux cohérents）的对偶理论（即在相干框架下的「六种运算」形式论）是我在1950年代末发展起来的27，它只有在对导出范畴概念的基础工作完成之后才具有完整意义，这项工作由Verdier后来完成。

Verdier的论文文本（仅于1967年答辩），约二十页，在我看来是迄今为止所写的对导出范畴语言的最佳导论，将这一语言置于其本质用途的语境中（其中多项归功于Verdier本人）。这只是一个正在撰写中的工作的导论，该工作后来得以完成。我可以自夸，即便不是唯一，至少也是极少数可以证明曾亲手持有过这份工作的人之一，它理应确证授予其作者理学博士头衔的正当性——而这一头衔仅凭导论就颁发了！这份工作是（或曾是——我不知道是否还有副本存在于某处……）迄今为止唯一一份从导出范畴视角呈现同调代数（algèbre homologique）系统性基础的文本。

[◊ 198]也许只有我一人感到遗憾，无论是导论文本，还是基础部分本身都未曾出版28，以致使用导出范畴语言所需的基本技术素材散落在文献中三个不同的地方29。缺乏一部可与Cartan-Eilenberg经典著作相媲美的系统性参考文本，在我看来既是原因也是典型的标志，标志着自我1970年离开数学舞台后导出范畴形式论所遭遇的冷落。

诚然，早在1968年就已经发现（在SGA 5中发展的上同调迹理论的需求中），原始形式的导出范畴概念以及相应的三角化范畴（catégorie triangulée）概念不足以满足某些需求，更深入的基础工作仍有待完成。在这方面迈出的有用但尚属微小的一步（主要是出于迹理论的需要）是由Illusie完成的，他在其论文中引入了「滤过导出范畴（catégories dérivées filtrées）」。似乎我1970年的离开标志着对同调代数基础以及与之密切相关的动机（motifs）理论基础的思考突然而彻底的停止（481）。然而，就前者而言，所有构建宏大基础的关键思想似乎在我离开之前就已具备（482）。（包括「导子（dérivateur）」或「制造导出范畴的机器」这一关键想法，它似乎是迄今为止所遇到的三角化范畴所共有的更丰富的底层对象，这一想法最终将在近二十年后，在*《Poursuite des champs》*第2卷的一章中，在非加性框架下得到一定发展。）此外，需要完成的基础工作有很大一部分已经由Verdier、Hartshorne、Deligne、Illusie完成，这些工作可以直接用于综合，在导子的更广阔视角下重拾已获得的思想。

[◊ 199]诚然，过去十五年间对导出范畴这一概念本身30的冷落——在某些人那里已近乎对过去的背弃——顺应了某种时尚，这种时尚故作姿态地鄙弃一切关于基础的反思，无论其何等紧迫31。另一方面，我十分清楚，平展上同调的发展——如今”所有人”都毫不迟疑地使用它（哪怕只是隐含地通过已成为过去的Weil猜想……），若没有导出范畴、六种运算、以及景和拓扑斯的语言（最初正是为此目的而发展出来的）所代表的概念装备，是绝不可能完成的，更不用说SGA 1和SGA 2了。同样清楚的是，今天在代数流形的上同调理论中可以看到的停滞，本不会出现，更不会扎下根来，倘若我的一些学生当年懂得追随他们作为数学家的健康本能，而不是追随一种他们自己率先开创、并且早已在他们的支持下获得了法律般力量的时尚。

注481此外（带着某些保留），同样的话也可以说及我的整个代数几何基础纲领——其中仅有一小部分得以实现：它随着我的离去而戛然而止。这种停滞在对偶纲领中尤为令我震惊，我曾认为它特别富有成果。ZoghmanMebkhout的工作，尽管逆风逆水仍坚持推进，属于这一纲领的脉络（因意外想法的注入而焕然一新）。CarlosContou-Carrère 1976年的工作（在注471中已提及）——这些工作他明智地暂停了无限期地。还有一项关于曲面fppf上同调对偶的工作（Milne）。这就是我所知的一切。

诚然，我从未想过要为我于1955年至1970年间逐渐形成的长期工作计划写一份纲要，不像我对过去十二年所做的那样，写出了*《一个纲领的草图》。原因很简单，我相信，是因为从未出现过特别的契机（如同现在我的CNRS入职申请）来[◊ 200]激发这样一项阐释工作。在致LarryBreen（1975年）的信中——这些信作为附录收录于第I章的《模型的历史》（《数学反思》*2）中，可以找到关于我1970年前议程上某些理论（尤其对偶理论）的一些说明，这些理论仍在等待有人将其纳入共同遗产。

注482同样的情况也适用于动机理论，区别在于，它可能注定要在相当一段时间内仍停留在猜想阶段。

值班的无名之辈与上帝的定理

注 48’尽管按惯例，一个理论中的关键定理应以完成提炼和确立工作的人的名字来命名但似乎Zoghman Mebkhout 的名字被认为不配冠于这一基本定理——那是四年（1975-1979）执拗而孤独的工作的结晶，逆当时风尚而行，顶着前辈们的鄙夷。而当定理的意义再也无法忽视之时，那些人却乐于称其为「Riemann-Hilbert 」，我相信他们（尽管Riemann 和Hilbert 大概也不会要求这么多……）他们这样做自有充分的理由。毕竟（当一种需求意识——即理解一般离散系数与连续系数之间精确关系的需求——在普遍的漠然中浮现，经由细致而耐心的工作得以精炼和明确，经过若干相继的阶段，正确的表述最终被提炼出来，白纸黑字地写下并得到证明，而最终，这孤独的定理在最意想不到的地方证明了自身价值——经过这一切之后）这一定理显得如此显然（对于那些「本可以证明它」的人来说，甚至可以说是「平凡」的……）以至于实在没有必要用某个值班的无名之辈的名字来加重记忆的负担！

受此先例鼓舞，我提议从此将任何一个真正自然而基本的定理称为「亚当与夏娃定理」，或者甚至追溯到更远，把荣誉归于应得之处，直接称之为「上帝的定理」32。

[◊ 201]据我所知，除了我自己以外，Deligne 是唯一在Mebkhout 之前就感受到理解离散系数与连续系数之间关系在比分层模（modules stratifiés）更广泛的框架中的意义的人，以便能够用「连续」的术语来解释任何「可构造」系数。这方面最早的尝试是 Deligne 的一个研讨班（未出版）于 1968 或 1969 年在 IHES 举办，其中他引入了「预分层模（promodules stratifiés）」的观点，并给出了一个（在复数域上的）比较定理，用于超越离散上同调与 DeRham 型上同调，该上同调在任意特征零的基域上对有限型概型仍有意义。（显然，他当时还不知道他遥远的先驱者们Riemann 和Hilbert……）更甚于Verdier33或Berthelot34，Deligne 因此尤其有资格充分领会Mebkhout 自 1975 年起的研究方向的意义，以及后来Mebkhout 的成果的意义，尤其是「上帝的定理」——该定理给出了用连续系数对离散系数的一种比他自己所提炼的更为精妙和深刻的把握。但这并未阻止Mebkhout 不得不在令人痛苦的精神孤立中继续他的工作，而他作为先驱者应得的荣誉（我甚至要说，尤其应得的荣誉）在五年后的今天仍被遮掩35。

罐头权重与十二年秘而不宣

注 49 [◊ 202]经查证（在*《数学出版物》（Publications mathématiques）*35, 1968），我注意到文章「Lefschetz 与谱序列退化判据」的末尾，有三行文字提到了「权重考量」，正是这些考量曾使我（以稍欠一般性的形式）猜想该工作的主要结果。我怀疑这晦涩的暗示对任何人能有帮助，当时除了Serre 或我本人，我们反正早已知道了。36。

我在此指出，一套非常精确的「权重瑜伽（yoga des poids）」——包括权重在诸如Rif和Rif!等操作下的行为，对我已是熟知的（因此对Deligne 也是如此），早在那个时代，即 1960 年代末期，在Weil 猜想（conjectures de Weil）的余波中。这套瑜伽的一部分最终得以确立（在ℓ*-adic 系数层（faisceaux de coefficients ℓ-adiques）的语境中，有待在更自然的动机（motifs）框架中确立）于Deligne 的《Weil 猜想 II》（《数学出版物》，1980）。如果我没弄错，在这两个时刻之间相隔的大约十二年里37，文献中没有留下任何关于权重瑜伽（仍完全是猜想性的）的论述痕迹，无论多么简短或片面，它在整个这段时间里一直是少数（两三个？）内行人的专有特权38。然而，这套瑜伽构成了理解代数流形（variétés algébriques）上同调的「算术」性质的一个首要关键，因此既是一种手段用以在[◊ 203]给定的情形中辨明方向，并进行预测，其可靠性从未见出错，而同时，也正因如此，它代表了任务在代数流形的上同调理论中最为紧迫也最为迷人的任务之一。这套瑜伽直到最终被确立（至少在某些重要方面）之前几乎一直不为人知，这一事实在我看来是一个尤为鲜明的例证，说明了信息封锁的作用——那些因其特权地位和职务本应确保信息广泛传播的人，往往恰恰扮演着这一角色。39。

进步无法阻挡！

注50我在这一方向上的初次尝试，是我为试图发表Yves的论文所做的徒劳努力所结出的意外果实Ladegaillerie关于曲面各向同性定理（théorèmes d’isotropie sur les surfaces）的论文——这篇论文无疑与我曾担任其「老板」的十一篇国家博士论文（「1970年以前」，确实如此！）中的任何一篇同样优秀。如果我没记错，这些努力持续了整整一年或更久，参与者中有不少我的老朋友（当然还包括我的一名旧日学生）。40。主要的几幕至今在我看来仍如同轻喜剧的片段！

这也算是我初次接触某种新的精神（esprit）和新的风尚（在我旧日朋友们的圈子中已变得司空见惯），我在反思中已不时有所提及。正是在那一年（即1976年），我第一次——但并非最后一次——得知：如今人们认为，切实证明那些人人都使用、而前人一直满足于承认的精细东西（在此即曲面拓扑学中不存在狂野现象），是不严肃的（至少对初来乍到者而言……）。41。或者证明一个结果，它涵盖[◊ 204]作为特例或推论涵盖若干已知的深刻定理（这显然表明这个所谓的新结果只能是已知结果的一个特例或简单推论）。或者仅仅是在陈述（énoncé）一个结果或用另一种术语描述某种情形时，费心阐述自然的假设（令人遗憾的胡扯的标志），而不是局限于某位发表意见的高人的口味所偏好的某一特例（cas d’espèce）。（就在去年，我还看到有人指责Contou-Carrère未曾在其论文中局限于使用基域（corps de base）而非一般的概形（schéma général）——尽管还是认可了从轻情节：他一定是迫于其临时老板（patron de circonstance）的坚持才这样做的。发言者尽管对情况足够了解，知道即使局限于复数域，证明的需要也会迫使他引入一般的基概型……

当今某种潮流的迷失到了不仅憎恶细致的证明（甚至憎恶证明本身），而且常常憎恶规范的陈述和定义的程度。以纸张的价格和已被过度填喂的读者的耐性而言，很快就不会再有人费心去承受如此昂贵的奢侈品了！将当前的趋势外推，我们应该能够预言这样一个时刻：出版物中将不再需要阐明定义或陈述，人们只需用代码词来命名，让不知疲倦的天才读者自行依照其智慧填补空白。而referee的任务也将相应简化，因为他只需查看Who’s who名录，看作者是否被公认为可信（反正没人能够反驳构成那篇精彩文章的空白和虚线），或者相反，是一个不可告人的无名之辈，他将（如同早已如此且由来已久的情况一样）被当即剔除……

Footnotes

  1. （5月10日）所提及的朋友正是Zoghman Mebkhout；他欣然允许我解除我原本认为应当保持匿名的信（1984年4月2日）的来源，我在本注中引用了此信。 ↩

  2. （5月10日）出于尊重通信者匿名的考虑，前面的引文被大幅删节。 完整的引文及对其真实含义的评论见下一条注，该含义因缺乏更详细的信息最初被我忽略了。 ↩

  3. 见注27，《「年轻人的势利」——或纯粹性的捍卫者》，第27。 ↩

  4. 见前一条注的第二个脚注，《教学的失败（2）——或创造与自负》，第44’。 ↩

  5. 读者将在注第461至469号中找到对本文所回顾概念的某些更具技术性的评论。此外，除了这些我已引入的特定概念，读者可以在注第88号《遗骸》中找到关于我视为自己作品之「核心部分」（在我「完全彻底完成」的作品部分之内）的反思。 ↩

  6. （6月7日）Mebkhout向我指出，在这两个定理之外还应加上第三个，同样用导出范畴（catégories dérivées）的语言表述，即他（或许略有不当）称之为「对偶性定理（théorème de bidualité）」的定理，用于D\mathcal{D}-模，也是三个中最困难的一个。关于Mebkhout的思想和成果的总体概述，见Mebkhout及其应用，见LeDung Trang和Zoghman Mebkhout，《Introduction to linear differential systems》，Proc. of Symposia in Pure Mathematics，第40卷（1983），第2部分，第31-63页。 ↩

  7. (30 mai) 第二个定理的证明遇到了超越语境中常见的技术困难，需要借助「évétesque」技巧；我猜想它可以被归入「困难」证明之列。第一个定理的证明则是「显然的」——且深刻，运用了奇点解消的全部力量Hironaka。 正如我在笔记《团结》的倒数第二段中指出的（no85），一旦定理被阐明，任何一个消息灵通的「随便来的人」都能证明它。也可与J H. C.Whitehead在笔记《年轻人的势利——或纯粹性的捍卫者》中引用的观察相比较（no27）。当我写下这最后一篇笔记时，仿佛受到某种秘密预知的无声驱使，我丝毫没有料到现实将会多么远超我那些胆怯而摸索性的暗示！ ↩

  8. 他们是在SGA 4和SGA 5研讨班上直接学到的，以及通过中间文本，在R.Hartshorne。 ↩

  9. (30 mai) 但我曾有时间将其遗忘——凭借与Mebkhout的第二次相遇，于去年重新记起。（见笔记《阴间重逢》，no78。） ↩

  10. (15 mai) 这些「本质思想与主要技术手段」曾在1963至1965年间汇集于SGA 4和SGA 5研讨班的宏大壁画之中。降临在这幅壁画的SGA 5部分的编写与出版上的奇异厄运——它在十一年后（1977年）以面目全非、残破不堪的形式出版——生动地描绘了这一广阔洞见（vision）在「某种风尚」手中——或者不如说，在某些最先开创这一风尚的我的学生手中——的命运（见下页脚注）。这些厄运及其意义在过去四周的反思中逐渐显现，并延续到笔记《同谋》、《白板》、《与众不同的人》、《绿灯》、《颠倒》、《沉默》、《团结》、《神秘化》、《死者》、《屠杀》、《遗骸》中，笔记nos63”‘，67，67’，68，68’和84-88。 ↩

  11. (13 mai) 在这些文字写下之时（三月末）之后的六周内，反思的持续推进表明，这一「风尚」首先是由我的某些学生开创的——正是那些最有条件将某种洞见、思想和技术手段化为己有的人，而他们选择了占有这些工作工具，同时既否定了使它们诞生的洞见，也否定了那个洞见在其中诞生的人。 ↩

  12. (13 mai) 这一综合体系，在其精神以及使其成为可能的关键概念上，首先遭到了一个人的「拒绝」，而此人正是通过其全部著作，成为我所得以发展的技术手段（包括概型（schémas）语言和平展上同调（cohomologie étale）理论的构建）的主要使用者和受益者。此人便是PierreDeligne。凭借其非凡的影响力（源于其非凡的才能），以及相对于我的著作他所占据的非常特殊的地位——他就像我著作的隐性继承人——他对我所引入的主要思想（除概形概念和平展上同调之外）所设置的隐蔽而系统的障碍极为有效，肯定在开创那种「风尚」中发挥了首要作用，埋葬了这些思想，已在近十五年间被削减至一种植物般的存在状态。他的著作被这种模棱两可深深烙印，我在此笔记的反思延续中第一次隐约察觉到这一点。（见笔记《拒绝遗产——或矛盾之代价》，no47。）这种对我离开后Deligne著作中这一永久阻碍的最初感知，敏锐却仍显模糊，在关于这场埋葬（Enterrement）的全部反思过程中，以惊人的方式变得清晰和确凿，而在这场埋葬中，我的朋友扮演了主祭的角色。 ↩

  13. (13 mai) 在后续反思中显现，情况从1981年6月的Luminy研讨会开始发生变化：在那里，那些曾经「遗忘」（或者不如说，埋葬……）这些概念的人，带着它们招摇过市，却并没有停止冷落那个如果没有他这场辉煌研讨会绝不可能举行的「不幸之人」。（见笔记nos75和81关于这场值得纪念的研讨会。） ↩

  14. (13 mai) 我终于明白，唯一一个（除我之外）至今仍对「多少算是在行」这一相当特殊的意义有所回应的人是PierreDeligne，他在四年中享有优势，在听取「我在代数几何中那点所知」的同时，成为我动机（motifs）反思的每日心腹。诚然，我曾在这里那里向许多其他同事谈及这些事情，但显然没有一个人足够「入流」去吸收一个在我心中发展了数年的整体洞见，或者把我的指示当作起点，自己去发展一个洞见和纲领（正如我自己曾经以Serre某些思想产生的两三个「强烈印象」为起点所做的那样）。也许我搞错了，但在我看来，那些对代数流形（variétés）上同调（cohomologie）感兴趣的人，在心理上并不倾向于「认真对待动机」，只要Deligne本人——他在上同调领域是权威，同时是唯一被认为对这些动机究竟是怎么回事了如指掌的人——自己却对它们保持沉默。 （6月8日）经核实，我的最早动机反思可追溯到1960年代初期——因此它们持续了近十年之久。 ↩

  15. （5月13日）如我在前一篇页底注中所指出的，导出范畴（catégories dérivées）在三年前得以隆重重见天日（尽管我的名字未被提及）。拓扑斯（topos）与六运算（six opérations）仍在等待它们的时机，动机（motifs）亦然，除了两年前被发掘出来的那个小碎片，并附有一个替代的原创归属（参见注释 第51、52、59）。 ↩

  16. （5月13日）我现在似乎明白了，所谓的「极少数知情人」到1982年为止已缩减为唯一一人——Deligne。诚然，他从这门「秘传之学」中揭示的内容，透过这一修行（yoga）所包含的某些重要成果显现出来——这些成果是在他能够证明它们的过程中逐步披露的，他借此收获赞誉，同时隐藏其灵感来源，这一来源始终秘而不宣。然而，若十五年来仍无人启动以最终开创一门规模宏大的动机（motifs）理论，那只能说明我们这个时代确实远非微积分英雄时代那般勇猛活力了！ ↩

  17. （5月13日）在终于稍微了解了相关文献之后，我现在看到，Deligne的全部著作都扎根于这一修行（yoga）。而我的文献抽样（以及其他交叉验证）让我推测，在Deligne的全部著作中，对这一来源的唯一引用见于一句简短的文字（将我Serre并列提及）出现在《Hodge I》1970年版中。（参见注释 第78’1和78’2。） ↩

  18. 我从Serre（1960年代初？）那里得到的是一种出发性的观点或直觉，让我明白存在着某种重要的东西需要去理解！它像一股初始的冲动（impulsion），触发了一段持续多年的思考，起初是关于权重（poids）的「修行」（yoga），很快便扩展为更广泛的动机之瑜伽（yoga des motifs）。 ↩

  19. （4月10日）在我看来，Deligne是唯一「听到」的人——而且他刻意为自己保留了所听到内容的独占特权。另一方面，诚然在写下这些最后文字时，我对事态的发展已经「滞后」了：两年前，动机之瑜伽（yoga des motifs）已被部分发掘出来，却丝毫未提及我曾扮演过的角色！对此请参见注释 第50、51、59，这些注释是由一次意外的发现引发的，它为（至少对我来说）持续了十二年的埋葬（enterrement）的意义投下了始料未及的光芒。在那之前，我只是相当模糊地意识到某种埋葬的存在，却未曾抽空去仔细审视…… ↩

  20. （6月6日）我找到了它（以相近的形式，冠以「Deligne-Grothendieck猜想」这一讨好的名称），出现在MacPherson于1974年发表的一篇文章中。详情参见注释第871。 ↩

  21. 感兴趣的读者可在本卷附录中找到这一形式体系的纲要。 ↩

  22. （5月25日）它是由J.-L.Verdier建立的，参见《良好的推荐信》，注释 第82。 ↩

  23. （5月12日）相反，我刚刚注意到，上述小册子中的任何内容都不会让读者怀疑我的著作与代数流形的上同调（cohomologie des variétés algébriques）或任何其他事物的上同调有任何关系！对此请参见本日所写的注释《悼词（1）——或称颂词》（第104号），写于当日。所提及的小册子即是在注释《有益的剥离》的脚注中提到的那本，注释 第42，并在刚才提及的注释《悼词（1）》中得到了更仔细的审视。 ↩

  24. （5月25日）然而，这正是那本著名的纪念册中所善意暗示的，出自一支我自认为能辨认出的匿名笔触。对此请参见注释《悼词（2）》，接续前一条页底注所引的《悼词（1）》。 ↩

  25. 载于Pub. Math。36卷，1969年，第75-110页。评论参见注释 第631 ↩

  26. （6月8日）参见子注释 951注释《棺材3——或称有点过于相对的雅可比簇》，第95。 ↩

  27. 其中还缺少一个运算Rf！（紧支集上同调（cohomologie à support propre））对于非紧态射，此项运算是在六、七年后由Deligne引入的，他为此引入了凝聚预模（promodules cohérents）的框架——在我看来这是一个重要的新思想（并在他的预分层模（promodules stratifiés）理论中得到了成功的运用）。 ↩

  28. （5月25日）在写下这些文字之后，我发现Verdier的论文最早雏形可追溯至1963年（答辩前四年），最终于1967年出版。对此请参见注释《同谋》和《赊账论文与全险》，第63“‘和81。 ↩

  29. 这些地方分别是：著名的Hartshorne关于凝聚对偶（dualité cohérente）的研讨班，其中包含我在1950年代后半期发展的对偶理论迄今唯一已发表的部分；以及一两个exposé（研讨班报告/讲稿）Deligne在SGA 4中的exposé（研讨班报告/讲稿）；以及Illusie的鸿篇巨制论文中的一两章。 ↩

  30. （5月24日）有必要对这些「逝去的十五年」做出更细致的区分——对此请参见注释 第473，以及更为详尽的注释《赊账论文与全险》，第81。 ↩

  31. （5月25日）欲思考这股风尚出现与持续中起作用的力量（forces），请参见注释《掘墓人——或称全体修会》，第97。 ↩

  32. 在我作为数学家的生涯中，我未曾有过这种乐趣：激发——或者仅仅是能够鼓励——一位学生写出一篇包含「上帝定理」（théorème du bon Dieu）的论文——至少没有达到可比的深度和广度。 ↩

  33. 看来Verdier，作为ZoghmanMebkhout的正式博士导师（并因此甚至「给予了几次讨论」），是（除了Mebkhout本人之外）这起围绕这一基本定理署名权及其「学生」通过D\mathcal{D}-模（Module），由Mebkhout发展。然而我并未得知他比Deligne更为动容。 ↩

  34. （5月25日）写这几行时，我（略带犹豫地）没有把我朋友LucIllusie的名字列入那些本「最有资格」向ZoghmanMebkhout给予理所应当的鼓励的学生名单中。我当时没有注意到内心的某种不安，这本可以提醒我，我是在为我所喜爱的人暗中助力，佯装为他卸下一份他与我其他「上同调学生」同样承担的责任。 ↩

  35. （5月25日）事实上，这起隐瞒事件首先出自Deligne和Verdier本人。参见注释「不义——或回归的意义」，no75。 ↩

  36. （4月29日）欲更仔细审视这篇在诸多方面具有启发性的文章，参见注释「排挤」（no63）。 ↩

  37. （4月19日）我在刚收到并饶有兴致地阅读的Deligne出版物清单上注意到，早在1974年Deligne在温哥华大会的一次报告中就已论及「权」（poids）——因此是六年的「围绕权之秘密」而非十二年。然而这秘密在我看来与围绕动机（motifs）的类似秘密（在1970-1982的十二年间）密不可分。这一秘密的意义在今天的思考中焕发出了新的光芒，反映在随后的长双注（nos51-52）。 ↩

  38. （5月25日）根据思考过程中浮现的所有信息要素，看来这些「两三个知情人」仅限于唯一的一个Deligne，他似乎极为谨慎地将从我这里获得的这一瑜伽（yoga）的独家拥有权保留给自己，直到1974年（见前注脚），彼时时机成熟，得以将其作为自己的独创思想提出，既不提及我，也不提及Serre（参见注释nos78’1，78’2）。 （1985年4月18日）自写下这些文字以来，我还有机会了解到Deligne在1970年尼斯国际数学家大会上的报告「Hodge理论（Théorie de Hodge）I」（会议录，卷I，第425-430页）。与我根据手中零散信息所认为的相反，该文早在1970年就阐述了权之瑜伽的实质性部分。关于这些思想的来源，它仅以谜语般的纯形式提及了Serre（且与问题无关）的一篇文章，以及「Grothendieck的猜想性动机理论」。（与注释nos78’1，78’2作比较。）关于权概念在诸如Rif!和Rif∗等运算下的行为这一关键问题甚至未被提及，直到引用的文章「Weil猜想（Conjecture de Weil）II」（1980年），才被提及，在该文中我的名字与这项工作的主要定理无关未被提及，就如同Serre或我的名字在上一则脚注（恰好一年前）中提到的「代数流形上同调（cohomologie）中的权」报告中也未被提及一样。 ↩

  39. 另参见第32节和第33节，「数学家的伦理」和「注释——或新伦理」，以及与之相关的两篇注释，「义务论共识——与信息控制」和「青年的势利——或纯洁的捍卫者」，nos25，27。 ↩

  40. 参见注释「棺材2——或分段切割」，no94。 ↩

  41. 另参见该主题的章节「注释——或新伦理」（第33节）。这篇著名的「注释」的过错恰恰在于阐明了此前一直含糊其辞的概念和陈述，而这些概念和陈述却一直被我暗中用于建立那些冠以我名、并且将近二十五年来所有人都毫无顾忌地使用的结果（况且那两位著名的同事对此心知肚明）。 （6月8日）更多细节参见注释「棺材4——或没有鲜花与花环的拓扑斯（topos）」（no96）。「冠以我名的结果」是关于某些整体与局部profinite基本群的生成与有限呈示的结果，这些结果在SGA 1中除其他外通过下降（descente）技术被「证明」，但这些技术因缺乏OlivierLeroy在（显然「不可发表」的）工作中所完成的关于拓扑斯基本群的Van Kampen型定理的细致、充分的理论论证而仍是启发性的。 ↩