II — 梦与梦想者

Alexandre Grothendieck

II — 梦与梦想者

概要

(5) 被禁的梦

(6) 梦想者

(7) Galois的遗产

(8) 梦与证明（démonstration）

1984年2月

(5) 被禁的梦

我借写作中断三个月之机*《追寻场域》*，以便将《引言》从我去年六月停下的地方继续写下去。时隔六个多月，我刚刚仔细重读了一遍，并添加了几个小标题。

在撰写这篇《引言》时，我很清楚这类反思难免会引发许多「误解」——试图事先防范也是徒劳，那只会在此之上堆积更多的误解！对此我只想补充一点：我绝无意与沿用千年的科学写作风格为敌，我自己也曾在二十多年的人生中勤勉地实践过，并将其作为数学家技艺中必不可少的一部分传授给我的学生。无论对错，至今我仍视其为如此，并继续教授它。以我对一项工作做到底、从头到尾手工缝制、不放过任何一个阴暗角落的坚持来看，我甚至可能显得有些老派。如果说近十年来我不得不收敛一些，那完全是形势所迫！「规范[◊ 9]写作」对我来说始终是数学工作的重要一环，既是一种发现工具，用于检验和深化对事物的理解——没有它，这种理解始终是近似而碎片化的——也是传达这种理解的手段。从教学角度来看，严谨的阐述方式，即演绎的方式，完全不排斥勾勒宏大图景的可能性，在简洁性和引用便利性方面具有明显的优势。当论述对象是数学家时——更具体地说，是对所讨论主题及其邻近领域的来龙去脉已经足够熟悉的数学家——这些确实是实实在在且重要的优势。

然而，当论述对象是儿童、青少年或那些事先完全「不在行」的成年人时——他们的兴趣尚未被唤起，而且他们往往（并将一直，这有其原因……）对真正的发现工作过程一无所知——这些优势就完全变成了幻觉。更准确地说，是那些不知道存在本身，这样的工作，每个人都可以做到的只要拥有好奇心和健全的理智——正是这样的工作不断孕育着我们对宇宙万物的智识认知，包括那些体现在宏伟体系如*《几何原本》* Euclide的，或*《物种起源》*的Darwin。对这样一种工作的存在及其本质的完全无知，几乎是普遍现象，包括从小学教师到大学教授在内的所有层级的教育工作者中。这是一个非同寻常的事实，它首次充分显现出来，是在去年开始的反思中，通过这篇《引言》的第一部分，同时我也隐约看到了这一令人困惑的事实的深层根源……

即使它面向的是在各方面完全「在行」的读者，仍有一件重要的事情是「严谨」的阐述方式所无法传达的。这也是一件在严肃人士圈子中——尤其是在我们科学家群体中！——完全不受待见的事情！我要说的是梦。关于梦，以及它吹送给我们的洞见（vision）——起初像梦一样不可触摸，而且往往难以成形。漫长的岁月，甚至一辈子的辛勤工作，或许都[◊ 10]不足以让某个梦中的洞见完全显现，看着它凝聚、打磨，直至拥有钻石般的硬度和光彩。这正是我们的工作，以手或心灵劳作的工匠们。当工作完成，或工作的某一部分完成时，我们用所能找到的最明亮的光线来呈现其切实的成果，我们为之欣喜，并常常引以为豪。然而，在这颗我们长久雕琢的钻石中，真正激励我们去雕琢它的东西并不在其中。或许我们打造了一件精度极高的工具，一件有效的工具——但工具本身是有限的，就像人的手所造的一切，即便它在我们看来很伟大。一种洞见，起初无名无形，缥缈如一片雾气，指引着我们的手，让我们俯身于工作之上，忘记了时间的流逝，甚至忘记了岁月的更迭。一片雾气，悄无声息地从一片无底的雾气和幽暗之海中分离出来……我们内心无限的是她，这片海洋，随时准备孕育和不断地生产，当我们的渴望使之受孕。从这种结合中涌出梦，如同胚胎寄居在滋养的子宫中，等待着将其引向第二次诞生、引向白昼之光的隐秘劳作。

一个蔑视梦的世界是不幸的——这样的世界也蔑视我们内心深处的部分。我不知道在我们之前是否还有其他文化——电视、计算机和洲际火箭的文化——曾宣扬过那样的蔑视。这必定是我们区别于前辈的众多特征之一，我们如此彻底地取代了他们，几乎将他们从地球表面清除了。我不知道还有哪一种文化不尊重梦，不让所有人都能感受到并承认其深层根源。一个人或一个民族生活中，有哪项宏大事业不是诞生于梦、在梦的滋养下孕育，最终才破土而出的呢？然而在我们这里（是否甚至该说：在各地？），对梦的尊重被称为「迷信」，众所周知，我们的心理学家和精神科医生已从方方面面测量过梦——恐怕还塞不满一台小型计算机的存储器。同样确实的是，「在我们这里」再也没有人会生火，也没有人敢在家里亲眼看着自己的孩子出生，或看着自己的母亲或父亲离世——自有诊所和医院负责这些事。谢天谢地……我们的世界，如此为其原子弹百万吨当量的威力和图书馆中存储的信息量而骄傲[◊ 11]以及计算机中的，无疑也就是那个无力每个人的无力，这种面对生活中简单而本质之事的恐惧和蔑视，达到了顶点。

幸运的是，梦就像最压抑的社会中的原始性冲动一样，顽强地存在着！迷信与否，它继续暗中固执地向我们传递一种认知，而我们清醒的心灵过于迟钝或怯懦，无法领会；它赋予它所启示的计划以生命，并为它们插上翅膀。

如果我方才暗示梦常常不愿意采取形式，那只是一种表象，并未触及事物的本质。这种「不情愿」毋宁说来自我们清醒状态下的心灵，处于其惯常的「状态」——而且，「不情愿」一词还是委婉说法！它更像是一种深刻的不信任，掩盖着一种古老的恐惧——对认知的恐惧。就严格意义上的梦而言，这种恐惧越发活跃，它形成的屏障也越发有效，因为梦的信息离我们越近，就越充满对我们自身的深刻变革的威胁，倘若它碰巧被听闻的话。但必须相信，即使在相对无关紧要的数学「梦」的情况下，这种不信任也存在着并发挥着作用；以至于一切梦似乎不仅被逐出了文本（我至少不知道有任何文本留下过梦的痕迹）；而且也被逐出了同事间的小型讨论，甚至私下交谈。

情况若果真如此，那当然不是因为数学梦不存在或不再存在——那样的话，我们的科学就会变得贫瘠，而事实绝非如此；这种明显的缺席、这种沉默的共谋，其缘由无疑与另一种默契密切相关——即小心翼翼地抹去所有关于发现得以产生、我们对世界的认识得以更新所凭借的工作的痕迹和提及。或者更确切地说，是同一个沉默笼罩着梦，以及它激发、启迪和滋养的工作。以至于「数学梦」这个说法在许多人看来将毫无意义，因为我们常常是被按按钮式的陈词滥调所驱动，而非被我们对一个极其简单、日常而重要的现实的直接体验所驱动。

(6) 梦想家

[◊ 12]事实上，我从经验中清楚地知道，当心灵渴望认识梦，而不是逃避它（或者手持专利框架去接近它——这其实是同一回事）时，梦丝毫不吝于「成形」——让自己被细腻地描述并传递其讯息，这讯息永远简单，从不愚蠢，有时令人震撼。恰恰相反，我们内心的梦想家是一位无与伦比的大师，能一次次找到或凭空创造出最合适的语言，来绕开恐惧、摇撼麻木，其舞台手段变化无穷，从完全没有任何视觉或感官元素，到最令人叹为观止的场面调度。当祂显现时，绝非为了躲闪，而是为了鼓励我们（几乎总是徒劳，而祂的善意从不倦怠…）走出自我，走出祂所见我们深陷其中的沉重——祂有时还会不动声色地以滑稽的色彩来戏仿这沉重。倾听我们内心的梦想家，就是与自己沟通，对抗那些不惜一切代价想要阻止我们的强大屏障。

能做大者亦能做小。如果我们能通过梦的中介与自己沟通，向自己揭示自我，那么肯定也应该能以同样简单的方式向他人传达——比方说——数学梦的讯息，这个讯息绝不私密，它并不涉及同等力量的反抗机制。而说实话，作为数学家的我，过去所做的不正是追随、「梦」到底，直到其最显明、最坚实、无可置疑的显现——那些从厚重浓密的迷雾织料中一片片脱落的梦境碎片吗？又有多少次，我对自己那固执——小心翼翼地打磨每一颗凝聚了我梦想的宝石或半宝石直到最后一个刻面——而不去追随一种更深的冲动：即追随那母体织物的千变万化的奥秘——它处于梦与其明显化身、总之按照现行规范「可发表」之间的不确定边界——而急得跺脚！何况我当时正要追随那个冲动，投身于一项「数学科幻」的工作，一种关于「动机」（motifs）理论的「清醒梦」，该理论在当时纯粹是假设性的——至今仍然如此，而且理所当然，因为缺少另一个「清醒的梦想家」投身这场冒险。那是在1960年代末，当时我的生活[◊ 13]（而我对此毫不知情）即将迎来一个完全不同的转折，在十多年间将我的数学热情边缘化，乃至背弃。

但归根结底，追猎场，这沉寂十四年后的首次出版，正是那从未被写下的「清醒梦」的精神体现，它似乎暂时接续了那个梦。诚然，这两个梦的主题，至少乍看之下，是数学主题所能达到的最大不同；更何况第一个——关于动机的那个——似乎更处于现有手段「可行」的边界，而第二个，即著名的「场」及其同类，则完全触手可及。这些可以说是偶然或意外的差异，也许会比人们预期的消失得早得多（3）。在我看来，这些差异对这两个主题各自可能产生的工作类型影响相对较小——只要这确实是关于「清醒梦」，或者用不那么刺激的话来说：是持续进行概念粗加工的工作，直到达到一个足够连贯和精确的整体洞见（vision），以引发或多或少完全的信念，相信这一洞见本质上确实符合事物的实在。就本书所发展的主题而言，这或多或少意味着，对这一洞见有效性的详细验证变成了纯粹的技艺问题。这当然可能需要大量的工作，需要相当的机巧和想象力，而且无疑还会有意想不到的曲折和前景，幸运的是，这使其绝非纯粹的例行公事（正如 AndréWeil 所说的「长练习」）。

总之，这就是我过去反复做过、已经烂熟于胸的工作，因此在我余生中再做也是徒劳。如果说我要重新投入到数学工作中，那么我的精力肯定最适合用在「清醒梦」的边界地带。在这个选择中，激励我的并非对效益的考量（假设这种考量真能激励任何人的话），而恰恰是一个梦，或是一些梦。如果我心中这股新的冲动将要带来力量，那正是在梦中汲取的！

(7) 遗产Galois

[◊ 14]似乎在所有自然科学中，只有在数学领域，我所称之为「梦」或「白日梦」的东西，才遭受着一种看似绝对的、长达两千年以上的禁忌。在其他科学中，包括像物理学这样被誉为「精确」的科学，梦至少是被容忍的，甚至受到鼓励（视时代而定），只不过用了更「体面」的名称如：「思辨」、「假说」（比如那个著名的「原子假说」，它源自一个梦，抱歉，源自Démocrite的一种思辨）、「理论」……那不敢说出自己名字的梦，其地位转变为「科学真理」，是通过难以察觉的渐进过程，凭借逐渐扩大的共识完成的。而在数学中，情况却几乎总是（至少在今天）一种突变，凭借的是证明（démonstration）（4）。在数学定义和证明的概念尚未像今天这样清晰并达成（或多或少）普遍共识的时代，有些明显重要的概念却有着模糊的存在——比如「负数」的概念（被Pascal拒绝）或「虚数」的概念。这种模糊性至今仍反映在当今使用的语言中。

定义、陈述、证明、数学理论等概念的逐步澄清，在这方面是非常有益的。它让我们意识到那些工具（outils）的全部力量——尽管其简单如儿戏——我们可以凭借它们以完美的精确性去表述那些看似无法表述的东西，这在很大程度上仅仅依靠对日常语言的足够严谨（rigoureux）的运用。如果说有一件事从小至今一直让我对数学着迷，那正是这种用语言去捕捉、并以完美方式去表达那些数学事物本质的力量——那些事物初看之下如此难以捉摸、或如此神秘，仿佛超越了语言……

然而，这种力量的一个令人遗憾的心理副作用是：——完美的精确性和证明所提供的资源——在于它们进一步强化了针对「数学之梦」的传统禁忌；也就是说，针对一切不以约定俗成的精确面目出现的东西（哪怕牺牲更广阔的洞见（vision）），那种由形式（forme）完备的证明担保的「正品」，或者至少（而且如今[◊ 15]越来越如此）由理应能够形式化的证明提纲所担保的「正品」。偶尔的猜想（conjectures）在严格意义上是可容忍的，条件是要满足一份问卷式的精确要求，其中允许的答案只有「是」或「否」。（而且，不用说，还有一个条件：提出猜想的人必须在数学界有头有脸。）据我所知，还没有过一个「实验性」地发展某种数学理论的例子，该理论在其本质部分会是明确猜想性的。诚然，按照现代的标准，自XVIIe世纪发展起来的整个「无穷小」计算，后来成为微积分（calcul différentiel et intégral），将呈现为一幅白日梦的图景，它最终在两个世纪之后，才通过Cauchy的魔杖一挥转变为严肃的数学。而这必然让我想起ÉvaristeGalois的白日梦，他没有在同一位Cauchy那里得到好运；但这一次，不到一百年就足够了，这次是Jordan（如果我没记错的话）的又一次魔杖一挥，便使这个梦获得了合法地位，在此场合下被重新命名为「Galois理论」。

从这一切中得出的结论——且不利于「1984年的数学」——是：幸好像Newton、Leibnitz、Galois（我肯定还漏掉了许多人，因为我对历史不精通……）这样的人没有被我们当今的教条所困扰，在他们那个时代，他们只满足于发现，而没有闲暇去将之教条化！

的例子Galois不请自来，触动了我内心的一根弦。我似乎记得，早在第一次听说他和他的奇异命运之时，我想，当时我还只是中学生或大学生。和他一样，我内心感受到对数学的热情——和他一样，我感到自己是个边缘人，是那个（在我看来）排斥了他的「上流社会」中的异类。然而我自己最终也成为这个上流社会的一员，又终有一日离开了它，毫无遗憾……这种已有些淡忘的亲近感直到最近才以一种全新的面貌重新浮现，当时我正在撰写*《纲领草稿》（正值我申请法国国家科学研究中心研究员职位之际）。这份报告主要致力于概述我的主要思考主题[◊ 16]近十年来的思考主题。在所有这些主题中，最令我着迷、并打算在未来几年着重发展的，正是一种数学梦想的典型，它其实与「动机之梦」一脉相承，并为其提供了一种新的进路。在撰写这份《纲领草稿》*时，我想起了过去十四年间我一气呵成地进行的最长的一次数学思考。它从1981年1月持续到6月，我将其命名为「漫长跋涉穿越理论之Galois」。渐渐地，我意识到我这些年断断续续追求的清醒之梦，最终以「阿纳贝利亚代数几何」为名，它不是别的，正是一种延续，是「理论的终极Galois，而且无疑是在Galois 的精神意义上」。

当这种连续性在我眼前显现时——就在我写下包含前面所引那句话的段落的那一刻——一股喜悦涌遍我的全身，久久没有消散。这是在完全孤独中持续工作所得到的回报之一。它的出现是如此出人意料——就像当年两三位同事和老友给予我的冷淡至极的接待一样出人意料，他们本来都是很「内行」的人，其中一位还曾是我的学生，我曾有机会在事情「还热乎」的时候，满心欢喜地向他们讲述我正在发现的这些东西……

这让我想起，今天重新继承Galois 的遗产，那肯定也是要承受孤独的风险在他那个时代曾属于他的那种孤独。也许时代的变化比我们想象的要小。然而这个「风险」对我而言常常并不以威胁的面目出现。虽然那些我曾爱过的人刻意表现出的冷漠或轻蔑有时会让我感到伤心和沮丧，但这么多年来，无论是数学上的孤独还是其他方面的孤独，却从未让我感到沉重。如果说有一位忠实的朋友是我在离开时总渴望重新找回的，那就是孤独！

(8) 梦与证明（démonstration）

但回到梦本身，以及数千年来数学界对它的禁忌。这或许是所有*先验的（a priori）*中最根深蒂固的一个——通常是隐性的、深植于习惯之中，断言某些东西「这是数学」而另一些则不是。历经数千年之久，一些诸如某些几何图形的对称群、某些其他图形的拓扑形式、数字零、集合这般简单浅显而又无处不在的事物，才得以被接纳进入[◊ 17]圣殿！当我向学生们谈论球面的拓扑学（topologie），以及通过添加手柄从球面推导出的各种形式——这些事物并不会让幼儿感到惊讶，却让他们感到困惑，因为他们自以为了解什么是「数学」——我得到的第一个本能回应是：可这不是数学啊！数学，当然，是Pythagore 定理、三角形的高和二次多项式……这些学生并不比你或我更笨，他们的反应与古往今来乃至今天所有数学家如出一辙，除了像PythagoreRiemann 以及或许另外五六位。就连 Poincaré，他可不是什么等闲之辈，竟也能用一套煞有介事的哲学 A加B 论证来「证明」无穷集合不是数学！想必曾几何时，三角形和正方形也不是数学——它们只是孩童或陶艺工匠在沙地上或陶罐的泥坯上描画的图案，千万别搞混了……

这种被「知识」窒息的心灵的深层惰性，当然并非数学家所独有。我有些偏离正题了：对数学之梦的禁忌，以及经由它，对一切不以可供消费的成品之惯常面貌呈现的东西的禁忌。我对其他自然科学的点滴了解已足以让我衡量：一道同样严谨的禁忌本会使它们陷于贫瘠，或如龟步般蹒跚前行，颇似中世纪时不得僭越《圣经》字句的时代。但我也深知，发现的深层源泉以及发现过程在其一切本质层面上的方式，在数学中与在我们身体和精神所能认知的宇宙中任何其他领域或事物中，都是相同的。放逐梦，就是放逐源头——将其判入隐秘的存续之中。

而我也同样深知，这一点从我年少初涉数学之爱以来从未被证伪：在展开对数学事物广泛或深刻的洞见（vision）时，正是这种洞见与理解的展开、这种渐进式的渗透，始终先于证明，使之成为可能并赋予其意义。当一个情境——从最卑微到最宏大——在其本质层面被理解之后，对所理解之内容（以及其余）的证明便如熟透的果实般自然落下。而强行摘下的证明[◊ 18]如同一枚从知识之树上摘下的青涩果实，留下不满的余味，一种对渴望的挫败感，丝毫未被平息。在我的数学生涯中有两三次，我不得不退而求其次，去强行摘取而非从容采摘果实。我不是说我做错了，或者我对此感到遗憾。但我所能做到最好的、也是我最钟爱的，皆出自心甘情愿而非勉强为之。如果说数学曾带给我丰沛的欢乐，并在我的暮年继续令我着迷，那并非因为我曾向它强行索取的证明，而是因为我感受到它那取之不竭的神秘与完美和谐，它们时刻准备向一双充满爱意的手和目光展现自身。