数学怪兽：魏尔斯特拉斯如何终结直觉时代

微积分是一门强大的数学工具。但在 17 世纪发明后的数百年里，它一直建立在不稳固的基础之上。它的核心概念根植于直觉和非正式的论证，而非精确、形式化的定义。

爱丁堡大学的数学与科学史家迈克尔·巴兰尼（Michael Barany）指出，为了应对这一现状，当时出现了两派思想。法国数学家大体上满足于现状。他们更关心如何将微积分应用于物理问题——例如，用它来计算行星的轨道，或者研究电流的行为。但到了 19 世纪，德国数学家开始“拆台”。他们致力于寻找能够颠覆长期假设的反例，并最终利用这些反例将微积分置于更加稳固、持久的基础之上。

在这些数学家中，有一位名叫卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）。尽管他自幼便显露出数学天赋，但他的父亲却强迫他学习公共财政和管理，希望他能进入普鲁士的民政部门工作。由于对大学课程感到厌烦，据说魏尔斯特拉斯把大部分时间都花在了喝酒和击剑上。在 19 世纪 30 年代后期，由于未能获得学位，他成为了一名中学教师，教授从数学、物理到书法和体操的一切课程。

魏尔斯特拉斯直到近 40 岁时才正式开始他的职业数学家生涯。然而，他通过引入一个“数学怪兽”，彻底改变了这个领域。

微积分的支柱

1872 年，魏尔斯特拉斯发表了一个函数，这个函数威胁到了数学家对微积分的所有认知。他遭遇了冷遇、愤怒甚至恐惧，尤其是来自法国学派的数学巨擘。亨利·庞加莱（Henri Poincaré）谴责魏尔斯特拉斯的函数是“对常识的侮辱”。查尔斯·埃尔米特（Charles Hermite）则称其为“极其恶劣的邪恶”。

要理解为什么魏尔斯特拉斯的结果如此令人不安，首先需要理解微积分中两个最基本的概念：连续性（continuity）和可微性（differentiability）。

连续函数正如其字面意思——一个没有缝隙或跳跃的函数。你可以从这种函数上的任何一点画到另一点，而无需提起画笔。

微积分在很大程度上是为了确定这类连续函数的变化速度。粗略地说，它的工作原理是用直线（非垂直线）来近似给定的函数。

Mark Belan/《量子杂志》

在这条曲线上的任何给定点，你都可以画一条“切线”（tangent line）——一条在该点附近最能近似曲线的直线。切线的斜率或陡峭程度衡量了函数在该点的变化速度。你可以定义另一个函数，称为导数（derivative），它提供原始函数上每个点的切线斜率。如果导数在每个点都存在，则称原始函数是可微的。

包含不连续点的函数永远是不可微的：你无法画出一条切线来近似那些裂缝，这意味着你的导数在那些点不存在。但即使是连续函数，也并不总是在每个点都可微。考虑“绝对值”函数，它的图像如下：

在这条 V 字形曲线的左侧，切线斜向下；在右侧，切线斜向上。在底部的顶点处，斜率突然改变方向。函数的导数在该点不存在，尽管它在其他所有地方都有明确的定义。

这在大多数 19 世纪的数学家看来并没有什么大不了。他们认为这是一种孤立现象：他们声称，只要你的函数是连续的，那么导数无定义的点只能有有限个。在所有其他点上，函数仍然应该是平滑优美的。换句话说，一个函数即便曲折，也不会曲折到离谱。

事实上，1806 年，著名的法国数学家和物理学家安德烈-玛丽·安培（André-Marie Ampère）声称他已经证明了这一点。几十年来，他的推理一直未受质疑。直到魏尔斯特拉斯出现。

魏尔斯特拉斯的怪兽

魏尔斯特拉斯发现了一个根据安培的证明本该是不可能存在的函数：它处处连续却处处不可微。

他通过将无穷多个波状“余弦”函数相加来构建这个函数。他添加的项越多，他的函数就越曲折——直到最后，它在每一个点都突然改变方向，看起来就像一个无限锯齿状的梳子。

许多数学家对这个函数嗤之以鼻。他们说这是一个异类——是一个学究的产物，在数学上毫无用处。他们甚至无法在脑海中勾勒出它的图像。起初，当你尝试绘制魏尔斯特拉斯函数的图像时，它在某些区域看起来很平滑。只有通过放大，你才会看到这些区域也是锯齿状的，而且随着每一次额外的放大，它们会变得更加锯齿分明、表现恶劣（数学家称之为“病态”的，pathological）。

但魏尔斯特拉斯无可辩驳地证明了，尽管他的函数没有断点，但它在任何地方都不可微。为了展示这一点，他首先重新审视了数十年前由数学家奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）和贝尔纳德·波尔扎诺（Bernard Bolzano）制定的“连续性”和“可微性”定义。这些定义依赖于模糊的日常语言描述和不一致的符号，使其很容易被误解。

因此，魏尔斯特拉斯利用精确的语言和具体的数学公式重写了它们。（每一个微积分学生都要学习极限的 $\epsilon-\delta$ 定义；正是魏尔斯特拉斯引入了它的现代版本，并将其作为他连续性和可微性定义的基石。）

随后，他得以证明他的函数满足他更为严谨的连续性定义。与此同时，他也能证明在他的新形式化定义下，该函数的导数在每一个点都没有有限值；它总是“爆涨”到无穷大。换句话说，连续性并不意味着可微性。他的函数确实像数学家们所担心的那样狰狞。

这一证明表明，微积分再也不能像其发明者那样依赖于几何直觉。它为这门学科开启了一个全新的标准，一个植根于对方程进行仔细分析的标准。数学家被迫追随魏尔斯特拉斯的脚步，进一步磨炼他们对函数的定义、对连续性与可微性关系的理解，以及计算导数和积分的方法。这种标准化微积分的工作后来演变成了被称为分析学（analysis）的领域；魏尔斯特拉斯被认为是该领域的创始人之一。

但他的函数的遗产远超微积分和分析学的基础。它揭示了数学充满了怪兽：看似不可能的函数、奇怪的对象（它是分形最早的例子之一）、疯狂的行为。宾夕法尼亚大学的菲利普·格雷斯曼（Philip Gressman）说：“存在一个充满无限可能性的宇宙，魏尔斯特拉斯函数的作用就是让你大开眼界。”

事实证明，它还有许多实际应用。在 20 世纪初，物理学家想要研究布朗运动，即液体或气体中粒子的随机运动。由于这种运动是连续但不平滑的——以快速且无限微小的波动为特征——像魏尔斯特拉斯函数这样的函数非常适合对其进行建模。同样，这类函数也被用来模拟人们在决策和承担风险时的不确定性，以及金融市场的复杂行为。

就像魏尔斯特拉斯本人一样，他的函数所产生的后果有时也是大器晚成。但它们在今天仍在继续塑造着数学及其应用。

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重要术语翻译对照表

英文术语	中文翻译	备注
Calculus	微积分
Continuity	连续性
Differentiability	可微性	亦称可导性
Derivative	导数
Tangent line	切线
Slope	斜率
Pathological	病态的	数学中指违反直觉或常见规则的对象
Analysis	分析学	现代数学的主要分支之一
$\epsilon-\delta$ definition	$\epsilon-\delta$ 定义	魏尔斯特拉斯建立的极限严密定义
Geometric intuition	几何直觉
Fractal	分形
Brownian motion	布朗运动
Cosine function	余弦函数