孤独跑者猜想在停滞二十年后取得重大飞跃

是否每位跑者在某些时刻都会远离所有其他跑者？对于少数几位跑者来说，答案是肯定的。但增加跑者人数会使问题的难度呈指数级增长。Mark Belan/《量子杂志》

想象一个奇特的训练练习：一组跑者开始绕着圆形跑道慢跑，每位跑者都保持着独特且恒定的速度。无论他们的速度如何，是否每位跑者都至少会有一次处于“孤独”状态，即离其他所有人相对较远？

数学家推测答案是肯定的。

“孤独跑者”（lonely runner）问题看似简单且无关痛痒，但它以多种形式出现在数学的各个领域。它等同于数论、几何、图论等学科中的问题——例如，何时能在充满障碍的场地上获得清晰的视线，或者台球在桌面上可能如何运动，又或者如何组织网络。“它有很多侧面，触及了这么多不同的数学领域，”旧金山州立大学的马蒂亚斯·贝克（Matthias Beck）说。

对于只有两到三名跑者的情况，该猜想的证明非常初等。数学家在 20 世纪 70 年代证明了四名跑者的情况，到 2007 年，他们已经推进到了七名跑者。但在过去的二十年里，没有人能够再进一步。

接着在去年，蒙彼利埃计算机科学、机器人与微电子实验室的数学家 马修·罗森菲尔德（Matthieu Rosenfeld）证明了该猜想在八名跑者时成立。仅仅几周后，牛津大学一名名为 塔努帕特（保罗）·特拉库通猜（Tanupat (Paul) Trakulthongchai）的大二本科生，在罗森菲尔德思路的基础上，证明了九名和十名跑者的情况。

突如其来的进展重新燃起了人们对该问题的兴趣。“这真的是一次飞跃，”并未参与这项工作的贝克说。他表示，增加仅仅一名跑者，证明猜想的任务就会变得“指数级困难”。“从七名跑者跨越到现在的十名跑者，这太了不起了。”

起跑冲刺

起初，“孤独跑者”问题与跑步毫无关系。

相反，数学家们当时对一个看似无关的问题感兴趣：如何利用分数来逼近诸如圆周率（pi）之类的无理数，这项任务有着极其广泛的应用。在 20 世纪 60 年代，一个名叫 约尔格·M·威尔斯（Jörg M. Wills）的研究生推测，一种有着百年历史的逼近方法是最佳的——也就是说，没有办法再改进它。

1998 年，一群数学家使用跑步的语言改写了那个猜想。假设有 N 名跑者从长度为 1 个单位的圆形跑道的同一点出发，每人以不同的恒定速度奔跑。威尔斯的猜想等同于说：无论其他跑者的速度如何，每位跑者总会在某个时刻处于孤独状态。更精确地说，每位跑者在某个时刻都会发现自己与任何其他跑者的距离至少为 1/N。

Mark Belan/《量子杂志》

当威尔斯看到这篇关于孤独跑者的论文时，他给作者之一、西蒙菲莎大学的 路易斯·戈丁（Luis Goddyn）发了邮件，祝贺他想出了“这个美妙而富有诗意的名字”。（戈丁的回信是：“噢，您还活着呐。”）

数学家们还展示了孤独跑者问题等同于另一个问题。想象一张无限大的方格纸。在每个方格的中心放置一个小正方形。然后从方格的一个顶点开始画一条直线（直线可以指向除垂直或水平以外的任何方向）。在直线必然碰到一个小正方形之前，这些小正方形最大能到多少？

随着孤独跑者问题的各种版本在数学界流传，人们对这一问题的兴趣日益浓厚。数学家们利用完全不同的技术证明了该猜想的不同情形。有时他们依靠数论工具；有时他们转向几何或图论。

但这意味着他们并没有一个通用的策略来解决这个问题。相反，他们拥有一堆聪明但针对性强的技术，这些技术可能对四名跑者有效，但对五名跑者就失效了。每增加一名跑者，他们都不得不回到起跑线重新开始。

到 2000 年代中期，数学家已经证明了当有七名或更少跑者在跑道上奔跑时，他们每个人最终都会变得孤独。他们还找到了简化问题的方法。例如，他们意识到不需要证明该猜想对所有（无限多种）速度组合都成立。相反，如果他们能证明它对任何整数速度组合都成立，那么它在更一般的情况下也必然成立；这样他们就可以忽略分数和无理数。

这任务要容易得多，但它仍然涉及处理无限多种可能的已知速度。他们还需要更多的手段。

速度限制

2015 年，加州大学洛杉矶分校的陶哲轩（Terence Tao）播下了第一颗种子。他证明了如果孤独跑者猜想在相对较低的速度下成立，那么它在高速度下也会成立。对于任何给定数量的跑者，数学家只需要考虑直到某个特定阈值的整数速度。

这在理论上将问题减少到了有限次的计算。牛津大学的 诺亚·克拉维茨（Noah Kravitz）说，在实践中，即使你只处理少数几个跑者，需要检查的速度组合数量仍然是“天文数字，完全不切实际”。

陶哲轩的进展最终引起了罗森菲尔德的注意，后者对利用计算机检查大量案例的证明方法很感兴趣。

他通过考虑该猜想可能的反例重新界定了问题：跑者的速度必须具备哪些特征，才能使至少一名跑者永远不会处于孤独状态？

马修·罗森菲尔德被孤独跑者问题所吸引，因为它让他有机会探索自己对计算机辅助证明的兴趣。Virginie Fèche

事实证明，他们的速度必须受到高度限制。罗森菲尔德利用计算机程序以及数论思想表明，如果他将所有速度相乘，它们的乘积必须能被某些质数整除。现在他需要做的就是证明没有任何速度组合能满足这一条件。

为此，他回到了陶哲轩阈值的修改版本。然后，他用速度乘积的术语对其进行了改写：如果孤独跑者猜想对于直到给定大小的乘积都成立，那么它在一般情况下也必然成立。这意味着，如果该猜想是错误的，那么一定能找到一个乘积低于该阈值的反例。

但罗森菲尔德已经证明，在任何反例中，乘积都必须能被所有那些质数整除。这样的乘积必然是巨大的。事实上，巨大到它会远超那个阈值。

换句话说，孤独跑者猜想的反例不可能存在——至少对于八名跑者来说是这样。该猜想是正确的。

跑道之外

罗森菲尔德开始思考如何将他的证明扩展到九名跑者。与此同时，克拉维茨看到了罗森菲尔德的论文，并将其展示给他一直在牛津指导的一名很有前途的本科生——保罗·特拉库通猜。他建议特拉库通猜研究九名跑者的猜想。

特拉库通猜沿用了罗森菲尔德的总体思路，但他开发了一种更高效的计算技术，用于精确定位反例必须具备的质因数。这使他能够更快地排除九名和十名跑者的所有反例：在这两种情况下，猜想都是正确的。（罗森菲尔德也独立证明了九名跑者的猜想，仅比特拉库通猜晚了几天。他很高兴看到另一位数学家的突飞猛进。但“同时也有一点点沮丧，”他笑着说。）

塔努帕特（保罗）·特拉库通猜在本科阶段解决了孤独跑者问题的两个新情形。Evan Nedyalkov

罗森菲尔德和特拉库通猜的方法对于更多跑者来说计算成本都太高了，这使他们卡在了该问题的下一个情形上。“为了实现 11 名跑者的情况，我认为需要一种全新的观察方式，”特拉库通猜说。

但数学家们对这些最近的进展感到兴奋——而且事实证明，单一的方法一次性解决了三种情形，而在以前，每一个新情形都需要一个全新的证明。德国罗斯托克大学的 马蒂亚斯·舒穆拉（Matthias Schymura）说：“我真的看到了一种通过这个新思路掌控整个猜想的新方法。”

克拉维茨说，尽管整个猜想的证明感觉仍然很遥远——而且数学家们对于它是否对任何 N 名跑者都成立尚未达成共识——但“在停滞了一段时间后，事情开始有眉目了”。

受新结果的启发，舒穆拉和其他人正在组织一次孤独跑者猜想研讨会，将于今年 10 月在罗斯托克举行。它将汇集来自该猜想出现的不同领域的研究人员。舒穆拉说，希望他们能从不同角度切入问题，“交流并跨越不同的领域”，从而找到潜在的证明或反例。

“我坚信这个问题会被解决，”威尔斯说。“但可能还需要 20、30 年。”

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重要术语翻译表

英文术语	中文翻译	备注
Lonely Runner Conjecture	孤独跑者猜想	核心数学问题。
Circular Track	圆形跑道	问题的几何模型。
Number Theory	数论	用于解决该问题的关键数学分支。
Irrational Numbers	无理数	如圆周率（pi），最初问题的出发点。
Diophantine Approximation	丢番图逼近	利用分数逼近无理数的数学领域。
Graph Theory	图论	另一个与该猜想等价的数学领域。
Counterexample	反例	证明猜想不成立的特殊案例。
Prime Numbers / Primes	质数 / 素数	罗森菲尔德证明方法中的关键元素。
Threshold	阈值	陶哲轩设定的速度限制边界。
Whole-number Speeds	整数速度	简化后的研究对象。
Computer-assisted Proof	计算机辅助证明	罗森菲尔德和特拉库通猜使用的方法。
Exponentially Harder	指数级变难	描述随着跑者增加，复杂度飞速上升。