最抽象的数学能让世界更美好吗

“我已经花了很长时间探索传统数学的晶莹之美，但现在我有一种强烈的冲动，想要研究一些更接地气的东西，”John Baez 在 2011 年的博客中写道。Baez 是一位极具影响力的数学物理学家，他的时间分摊在加州大学河滨分校和爱丁堡大学。他对地球的现状越来越感到担忧，并认为数学家能为此做点什么。

Baez 呼吁发展新的数学——他称之为“绿色”（green）数学——以更好地捕捉地球生物圈和气候的运作方式。就他自己而言，他试图将他所擅长的范畴论（category theory，一个高度抽象的数学分支）应用于模拟自然世界。

这听起来像是一个白日梦。数学在描述简单的孤立系统时非常有效，但当我们从原子跨越到生物体再到生态系统时，简洁的数学模型通常会变得不那么有效。这些系统实在太复杂了。

但在 Baez 发表那篇文章之后的几年里，已有 100 多名数学家作为“应用范畴论学者”（applied category theorists）加入他的行列，试图以一种全新的方式对现实世界中各种各样的系统进行建模。应用范畴论现在拥有了年度会议、学术期刊、专门的研究所，以及由英国政府资助的研究项目。

然而，怀疑的声音依然比比皆是。“当我说我们处于弱势且不受人待见时，虽然并非完全如此，但也确实有那么一点，”一位名叫 Matteo Capucci 的应用范畴论学者告诉我。

我开始着手了解这个新兴的研究领域到底是怎么回事。这个看似最纯粹、最高深的纯数学领域之一，如何能帮助我们揭开像生物圈这样复杂系统的神秘面纱？它在建模方面相比其他方法有显著改进吗？数学真的能变“绿”吗？这似乎并不被看好。

令我惊讶的是，我了解到应用范畴论最近取得了一些成功。这些应用目前还没有 Baez 期望的那样“绿”，但这种方法在流行病学和人工智能（AI）安全等重要领域正展现出潜力。看来，最抽象的理想化模型确实有可能帮助我们更好地理解最混乱的现实。

范畴论起源于 1945 年，初衷是为了将数学对象之间的关系形式化，随后迅速发展成为一个强大且成果丰硕的数学分支。

我们所说的“数学对象”是什么意思？数字、函数和集合都是例子。对于范畴论学者来说，定义一个对象的是它与其他对象的关系。国际象棋中的黑王是什么？“你可以说它是一块被雕刻成特定形状并涂成黑色的木头，但这并不重要；它也可以是一个胡椒罐，”爱丁堡大学的数学家 Tom Leinster 说。相反，黑王是由它在棋盘上如何移动、它如何吃掉对方棋子或被对方将军来定义的。

Jeremy Howard，来源于 flickr，经 Quanta 修改

一个范畴（category）就是对象及其关系（或态射，morphisms）的集合。让我们把这副国际象棋想象成一个范畴。为此，你可以把它画成一张图，其中每个对象（合法的棋局位置）用小方框表示，然后用箭头连接这些方框，以代表态射或可能的走法。范畴论学者研究如何映射、重叠或连接各种不同的范畴。

我们在直觉上都能意识到范畴的存在。例如，我们知道 5 英尺和 5 美元在数学上是不一样的。你可以将 5 英尺乘以 3 英尺得到 15 平方英尺。但你不能将 5 美元和 3 美元相乘——不存在“平方美元”这种东西。你可以将 5 美元和 3 美元相加，或者将 5 美元乘以 3（是指数字 3，而不是 3 美元）。但是 5 美元乘以 3 美元是毫无意义的。

对范畴论学者来说，美元的价值是一维向量空间的元素。想象一下数轴；美元的金额就像是一个固定在零点上的箭头（或“向量”），沿着数轴延伸出一段距离。你可以把两个向量首尾相连进行相加，但在具有一维向量空间的范畴中，你是无法将两个向量相乘的。

尽管我们对向量空间或态射一无所知，但我们在收银台结账时，不知怎么地总能避免犯下令人尴尬的类别（category）错误。但是，当概念比距离和美元更加多样和复杂时，我们就会遇到问题。

“这在建模中经常出现，例如流行病学建模，”Baez 告诉我。“如果你用常规软件编写模型并在程序中输入‘35’，那并不能告诉你这是 35 美元、35 个人还是 35 剂药物。所以你把它们都混为一谈仅仅当作数字，这会让人更容易犯错。”

应用范畴论提供了一个框架，用对象和态射来为现实世界的系统建模。“范畴是组织逻辑结构的方法，”位于伯克利、致力于范畴论应用的 Topos Institute 的联合创始人兼首席执行官 Brendan Fong 说道。

物理学家 Bob Coecke 在 21 世纪初将其应用于量子力学，此后该应用又扩展到了量子计算的推理中。几年后，Baez 开始思考生物圈的范畴化，而参与创立 Topos 研究所的数学家 David Spivak 则独立地通过思考数据库开创了应用范畴论。“David 有一种将世界形式化并使其变得清晰易懂的强烈使命感，”Fong 说。“他在这世上最讨厌的事情就是沟通不畅。”

Xenja Santarelli，经 Quanta 修改

在 2022 年我在线观看的一场讲座中，Spivak 展望了应用范畴论在实践中可能如何运作。一位会计向应用范畴论学者讲述其数据库中的对象，比如员工和美元金额。随后，这位范畴论学者会开发出该系统的一个形式化模型——一个具有严谨逻辑结构的范畴——接着，它可以与其他范畴连接，这些范畴对应着其他数据库和电子表格，从而为整个公司进行建模。通过这种方式，应用范畴论成为了一种用来讨论某个庞大系统中异构部分的通用语言。

气候建模——Baez 最初考虑的绿色数学应用方向之一——试图模拟最具代表性的庞大系统：地球本身。地球系统不同领域的专家必须以合乎逻辑的方式组装他们的知识和数据流，以了解整体。但 Baez 和其他人告诉我，应用范畴论学者在气候科学领域还没有立足之地，部分原因是气候模型尽管在组装方式上缺乏数学的严谨性，但它们已经足够复杂且能运转。数学家们认为，这种严谨性可以使模型变得更强大、更灵活，并能更好地整合新信息，但从头开始需要巨大的说服力和努力。

“这是我们在应用范畴论中总是面临的挑战之一，”爱沙尼亚塔林理工大学的 Amar Hadzihasanovic 说。“我们可以去找别人并告诉他们，‘如果你们按照这些基本原则来组装，你们的模型会更好。’然后他们会问你，‘好的，那要花多长时间？’在你能获得收益之前，这是一个巨大的投资。”

在应对气候危机的乏力政治反应方面，数学能做的确实很少，但应用范畴论在其他公众关注的领域走得更远。

例如，Baez 一直在与 Topos 和加拿大的一位专门研究疾病爆发的流行病学建模的计算机科学家 Nate Osgood 合作。在萨斯喀彻温大学从事加拿大应对大流行病的工作时，Osgood 感到沮丧的是，现有的建模软件不允许专家结合来自不同领域的知识。

Robert Koorenny，经 Quanta 修改

为了预测疫情的进展，流行病学家经常使用存量与流量图（stock-and-flow diagrams）：图示包含人群的存量（易感者、感染者、康复者、死亡者），以及基于暴露度或病毒毒力等因素在这些存量之间流动的箭头。存量和流量正是范畴的对象和态射。图表中方框和箭头的排列可以转化为描述系统演化的方程式。

在过去的几年里，Osgood、Baez 和他们的团队开发了一个名为 StockFlow 的软件包，将这种建模方式形式化。专家可以对疫情的不同方面进行建模，例如健康差异如何影响易感人群的感染率，然后这些范畴可以组合成更大的范畴。“范畴论能够处理这些更高级的组合形式，”Baez 说。

StockFlow 尚未在流行病学家中普及，但 Osgood 正在把它教授给他的学生，希望能“接种”给下一代建模者。“这是真正可以投入使用的东西，”Leinster 说。“这是一项严肃的成果。”

与此同时，Hadzihasanovic 和 Capucci 都是 Safeguarded AI 项目的成员，该项目由英国政府资助的高级研究机构 ARIA 提供资金，旨在将范畴论应用于人工智能安全问题。该项目提出的问题是：如何才能信任不可预测且容易出错的 AI 系统去运行现实世界中至关重要的系统，如核电站或电网？

我能看到这方面的需求，而团队给出的答案也很巧妙：为复杂的系统构建形式化的模型供 AI 练习。这些模型必须具有与真实系统相同的逻辑结构，并正确地表示许多不同类型对象之间的态射。

“范畴论为你提供了一种模块化和组合式的方法来实现这一点，”Capucci 说。“我们正在开发一种能够部署在许多场景中的基础技术。”

应用范畴论的从业者有一种感觉，随着系统变得越来越复杂、互联互通，以及人工智能的介入越来越深，他们的方法从长远来看必将取得成效。靠随兴发挥是行不通的。“这最终将是非常重要的工作，”Hadzihasanovic 说。

许多从业者进入这个领域是因为他们认同 Baez 的环保理念，并希望假以时日能够解决更绿色的问题。Baez 依然抱有很高的期望。作为民谣歌手兼活动家琼·贝兹（Joan Baez）的堂兄弟，他深受其叔叔（琼的父亲）的影响——他叔叔是一位物理学家，也是一位热心社会活动的贵格会信徒。他说，帮助世界而不仅仅是“自我享受”，“已经融入了我的骨髓”。

我问他，他认为生物圈的什么方面是范畴论可以帮助我们理解的。

在他看来，我们对生物系统进行了错误的分类。我们误将它们当作机器，也就是那种通过吸收物质和能量、生产所需输出和废弃物来执行特定任务的物体。“我们只关注我们在乎的部分，而忽略了废弃物和能量来源，”Baez 说。“我们现有的全部技术，甚至我们现有的全部数学，都建立在这种态度之上。”

然而，生命系统属于另一个不同的范畴。它们不是为了执行任务而建立的。进化使得生命变得“无比微妙和复杂，这是我们无法完全参透的，”他说。例如，基因并不像机器中拥有自己特定目的的离散部件；它们都具有多种作用和影响。在一个生态系统中，没有废弃物；一种生物的排泄物是另一种生物的盛宴。

“我不认为我们现在的数学足以理解这样的系统，”Baez 说，他认为对这些系统的建模将涉及具有以前未被研究过的新逻辑结构的新范畴。“那正是我想要发展的数学。因为我怀有这样一个希望：如果我们能多一点理解世界，不把自然世界仅仅当作我们为了达到目的而供机器利用的原材料，这将有助于我们善待这个世界。我们现在的这种态度正在碰壁。这种态度最终会毁掉整个地球。”

确实，如果我们将非人类、生态系统和气候与我们自己视为同一个共享范畴中的对象，我们或许会更加珍视它们。

像这些数学家一样，我渴望在做自己热爱的事情的同时，让世界变得更美好。（我们难道不都是这样吗？）在哲学层面上，我看到了应用范畴论的前景。时间会证明这种方法是否真的能帮助人类或地球。但对于那些感到受到召唤，想要同时行善和做数学的人来说，这绝对值得一试。

更正说明：2026 年 3 月 9 日
本文的早期版本将一维向量空间描述为一个“范畴”（category）。实际上，它们应被视为一个范畴中的对象（objects），而在该范畴中态射是线性映射。