寻找“幻影”故障：人工智能如何捕捉流体方程中的不稳定暴涨

Samuel Velasco/《量子杂志》

近 200 年前，物理学家克劳德-路易·纳维（Claude-Louis Navier）和乔治·加布里埃尔·斯托克斯（George Gabriel Stokes）完善了一套描述流体如何旋转的方程组。近 200 年来，纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）一直是描述现实世界流体行为无可指摘的理论——从在大陆间穿行的洋流到环绕飞机机翼的气流。

尽管如此，许多数学家怀疑这些方程深处隐藏着缺陷。他们直觉认为，在某些情况下，该理论会失效。在这些情况下，方程会预测流体以某种不符合物理定律、无法理解的方式运动——例如，旋转成一个速度快到不可思议的漩涡，或者瞬间反转流向。方程中的某些量会变得无限大，数学家称之为“暴涨”（blowup）。

尽管付出了巨大努力，仍没有人能找出一个让纳维-斯托克斯方程失灵的情况。完成这一任务——或者反过来证明这些方程永远不会暴涨——将获得 100 万美元的奖金。因此，作为解决纳维-斯托克斯问题的序幕，数学家们开始在各种简化流体方程（例如仅在一维运行的方程）中寻找暴涨（也称为奇点，singularities）。

他们确实找到了。但基本上他们发现的所有奇点都是“稳定的”，这意味着它们可以通过许多可能的方式形成。但在包括纳维-斯托克斯在内的最真实的流体理论中，暴涨（如果存在的话）可能要微妙得多，以一种难以想象的精确方式发生。这些“不稳定”的暴涨几乎不可能被发现，堪称大海捞针。

在这些真实的理论中，“很多人相信存在奇点，但由于它们是不稳定的，所以我们从未见过它们，”普林斯顿大学数学家查理·费弗曼（Charlie Fefferman）说，他正是百万美元纳维-斯托克斯挑战的制定者。

现在，一组数学家开发了一种训练机器识别这些“幻影故障”的方法。在 9 月发布的一篇预印本中，他们重新审视了已知存在稳定奇点的简化流体方程。在那里，他们发现了更多潜在的暴涨场景——包括不稳定的场景。这是首次在超过一维的流体中发现可能的不稳定奇点。

该团队随后在其他几个流体方程中也发现了一系列不稳定的奇点候选者。虽然他们还没有发现那个价值百万美元的奇点，且仍需严格证明他们发现的候选者确实会发生暴涨。但他们在简单模型中揭示潜在不稳定奇点的成功，增加了在更高风险场景中寻找不稳定暴涨的希望。

“‘奇点是不稳定的’这一想法，不再成为发现奇点的阻碍，”并未参与这项新研究的费弗曼说道。

奇点猎人

纳维-斯托克斯方程的一个解捕捉了永恒的一瞬。为流体的某种初始状态求解方程，将告诉你流体在空间每个点和时间每个瞬间的速度。在一种简单的解中，流体可能开始时很平静，并永远保持平静。在更复杂的设置中，温和的电流可能会合并成漩涡和涡流。巨大的谜团在于，每一个解——每一个满足纳维-斯托克斯方程的、所有可能的流体历史——是否在任何地方、任何时候都能自圆其说。

但处理三维流体的纳维-斯托克斯方程极其困难，因此数学家们从该问题的更简单版本开始。例如，欧拉方程（Euler equations）假设流体流动时没有内部摩擦，即黏性（viscosity）。在这些无摩擦流体中能量不会消散，因此它们理应比有黏性流体更容易发生暴涨。

但即使在这种更简单的场景中，寻找暴涨解也很困难。流体方程通常过于复杂，无法直接用纸笔求解。因此，一种常见的方法是使用计算机模拟流体的运动，并获得产生暴涨条件的近似感知。如果你能精确识别出产生暴涨的条件，你或许就能利用这些知识严格证明暴涨确实存在。

这正是侯腾腾（Thomas Hou）和骆果（Guo Luo）在 2013 年采取的方法，当时他们在一个罐子里模拟了一种数字液体。他们设置液体的上半部分向一个方向旋转，下半部分向另一个方向旋转，然后利用欧拉方程随时间演化这一场景。最终，在相反流向在罐壁交汇的点上，涡量（vorticity，衡量流体绕一点旋转程度的量）变得很大——大到超过了计算机的处理能力。

Mark Belan/《量子杂志》

这是一个暗示，即类似的条件集会导致暴涨。但这并非保证。费弗曼说：“三维欧拉方程所谓‘奇点解’的坟墓随处可见。”

侯腾腾和另一位合作者陈贾杰（Jiajie Chen）花了近十年的时间才去掉了“所谓”二字。2022 年，他们利用计算机证明了该奇点候选者意味着真实奇点的存在。这是一项具有里程碑意义的证明，让数学家们渴望进一步拓展前沿。

这项研究依赖于计算机模拟，这意味着对数字流体初始状态的微小调整（或任何数字舍入误差）都不会影响流体的命运。即使情况略有不同，罐壁上仍会发生奇点。

正因如此，该奇点是稳定的。但奇点不一定非得是稳定的。暴涨可能仅在流体以最微妙的方式设置时才会发生。在这种情况下，对初始安排的任何调整，无论多么微小，都会阻止流体发生暴涨。

许多数学家推测，如果奇点确实潜伏在更真实的流体方程中，它们将是这样不稳定的，会毫无预警地弹出来。

它们也更难被发现。

化无穷为有限

利用计算机模拟追踪不稳定的奇点候选者基本上是不可能的。首先，你需要宇宙级的运气才能正好撞上流体的正确初始配置——这就像试图将一支笔完美地尖端着地保持平衡，纽约大学数学家特里斯坦·巴克马斯特（Tristan Buckmaster）说道。然后，为了保持平衡，你还必须让流体在每个瞬间都完美地演化，因为即使是最微小的偏差都会将其推向一条不会暴涨的路径。

计算机无法实现无限精度。它们不可避免地会引入数值误差，这些误差虽然微小，却会阻止不稳定奇点的形成。巴克马斯特说：“这就像风吹在你的笔上。”

根据侯腾腾（左）和陈贾杰在 2022 年的一项里程碑式证明，在圆柱体中旋转的无摩擦流体可以发生“暴涨”。Vicki Chiu; 由陈贾杰提供

结果是，几乎所有的暴涨候选者都是稳定的。

因此，巴克马斯特和他的同事赖庆耀（Ching-Yao Lai，现就职于斯坦福大学）开始研究一种可能“防风”的寻找不稳定奇点的方法。

他们最初并非为了这个目的。2021 年，他们使用神经网络作为一种无差别搜索任何类型奇点候选者的新方法。神经网络通常是由大量数字定义的函数。通过一种高效的“训练”过程（包括猜测、检查和完善），这些数字会被仔细调整，直到函数能够执行某种期望的任务。例如，如果你使用成千上万张带有标签的猫狗照片校准神经网络，它就会“学会”输入从未见过的未打标签图像并将其标记为“猫”或“狗”。

巴克马斯特和赖庆耀转而采用所谓的物理信息神经网络（physics-informed neural network，简称 PINN）。与图像分类神经网络不同，PINN 不通过研究外部数据来学习。相反，它接收一个偏微分方程——描述系统随时间变化的方程——并进行自我调整，直到能够表示出该方程的一个解函数。例如，它可以接收流体方程，并训练自己锁定一个捕捉流体有效历史的函数，其中可能包含奇点。

但任何计算机技术都无法直接呈现奇点的无限本质。想象一下运行流体模拟并看着它随时间向前移动。你可能会将某些量（如流体中不同点的速度）表示为图表上的曲线。随着流体随时间变化，你会看到曲线也在发生变化，就像电影一样。如果曲线从一帧到下一帧变得陡峭得多，流体可能正在接近奇点。然而，模拟无法达到那个最终目的地。在曲线变得无限陡峭之前，计算机就会耗尽内存，导致程序崩溃。那时你就无法确定会发生什么——你是否真的朝着暴涨的方向前进。

为了避开“无穷大”带来的不便，数学家们最近将搜索重点放在具有一种特殊属性的奇点上，即自相似性（self-similarity）。这意味着存在一种方法，可以将一帧中的速度曲线拉伸，以匹配后期更陡峭的速度曲线。因此，如果你想捕捉一个潜在的奇点，你不再需要试图看着曲线变得无限陡峭。相反，你可以随着电影的播放，以一种抵消变陡趋势的方式，放大约束在变陡部分。从这个新的、动态的视角来看，曲线反而越来越接近一条具有有限陡峭度的“冻结曲线”。这种转换将目标（即冻结的极限）变成了一个有限的对象，使有限的计算机可以处理它。

巴克马斯特和赖庆耀意识到，PINN 可能是寻找流体方程这些冻结解的一种极其高效的方法。此外，这些神经网络还可以确定让奇异解呈现冻结和有限状态的独特缩放率。

起初，他们的 PINN 只发现了已知的候选者。例如，在 2022 年，巴克马斯特和赖庆耀与赖庆耀的博士后研究员王勇基（Yongji Wang）以及布朗大学的哈维尔·戈麦斯-塞拉诺（Javier Gómez-Serrano）合作，使用 PINN 锁定了侯腾腾和骆果在 2013 年发现的稳定暴涨（侯腾腾和陈贾杰在同年晚些时候证明了其存在）。

特里斯坦·巴克马斯特（左）和哈维尔·戈麦斯-塞拉诺正在使用神经网络寻找流体方程发生故障的极微妙方式。Dan Komoda/普林斯顿高等研究院; Jason Rossi/布朗大学

他们还在 CCF（Córdoba-Córdoba-Fontelos）方程中重新发现了一个已知的奇点候选者，该方程描述了一种更简单的一维流体。那个奇点候选者尤其引人注目——它是不稳定的。它是在 2019 年被发现的，因为 CCF 方程恰好与一个已被充分理解的更简单的流体模型密切相关。但 PINN 可以以更通用的方式、更精确地找到这个解。这是因为从传统意义上讲，它不是一个让流体在时间上前进的模拟。相反，它直接追求冻结的极限。

“这里没有时间，所以你不在乎它是否不稳定，”巴克马斯特说，“你只是试图求解方程本身。”

不稳定性的新领域

数学家们对使用 PINN 寻找新的不稳定奇点候选者的前景感到兴奋。他们与 Google DeepMind 合作，在接下来的几年里对神经网络方法进行了微调，以便在几种不同的经典流体理论中寻找不稳定暴涨。王勇基（现为 DeepMind 的研究员）带领团队从通用的 PINN 转向了专门针对他们试图求解的特定流体方程而定制的神经网络。研究人员还进一步调整了 PINN 的结构，引导它们寻找具有已知奇点特征的解。

随着他们这样做，他们的 PINN 在 spotting 奇点候选者方面变得越来越出色。好得多。

9 月，这个由 20 多名研究人员组成的合作团队展示了一系列以前从未见过的奇点，其中大多数是不稳定的。

重新审视罐中的旋转流体，他们在欧拉方程中描述了四个新的不稳定奇点候选者。这些候选者在广义上仍与侯腾腾和骆果已知的稳定奇点相似，尽管初始旋转条件在强度和其他变量上略有不同。他们发现的每个候选者都比前一个更不稳定——当设置在微妙方面被调整时，更容易消失。

他们还研究了描述流体如何在两维不可压缩多孔介质（如土壤或岩石）中渗透的方程（IPM 方程）。以前从未有人在这种设置中发现奇点候选者。他们发现了四个——一个稳定的，三个不稳定的。所有这些都涉及一种可以在思想实验中可视化的类似设置，尽管在现实中，没有科学家能够以制造该实验所需的无限精度来调整流体。想象一个装满沙层和石层（但没有蚂蚁）的蚂蚁农场。现在加入一团水，弄湿部分沙子。随着时间的推移，重力将水向下拉过沙层，水团在落下时变平。最终它撞上石层，某种与流体密度相关的属性似乎发生了暴涨。

最后，团队回到了单一维度的 CCF 方程，这一次发现了比以前更不稳定的奇点。可视化这一模型的一种方法是想象一个具有两股相反气流的广阔水洼。CCF 方程描述了两股气流之间的界面。如果你在这个界面上放入一个精心形状的扭结（kink），它会锐化成一个奇点尖点（singular cusp）。

值得注意的是，与纳维-斯托克斯方程一样（且不同于研究人员研究的其他两种方程），CCF 方程描述的流体具有类似于黏性的消散属性。因此，他们研究的每个模型都表明，PINN 方法可以处理全纳维-斯托克斯方程的一些具有挑战性的方面，如高维和消散。

“我们正试图一个一个地隔离技术难题，”戈麦斯-塞拉诺说。

关键的是，这些新的奇点候选者都没有得到证明。但戈麦斯-塞拉诺预计它们可以被证明，因为 PINN 的近似值非常精确。而候选者越精确，就越容易证明它是一个真实的奇点。与几年前该小组首次发布 PINN 时相比，现在的精确度提高了约 10 亿倍。

“这种精度非常了不起，”西班牙加泰罗尼亚理工大学数学家埃娃·米兰达（Eva Miranda）说，“剩余误差如此之小，以至于这些解可以现实地用作未来计算机辅助证明的种子。”

竞相逃离边界

那个价值百万美元的问题（或者技术上说是百万美元问题的热身问题）是：DeepMind 合作团队现在是否能利用他们的 PINN 机制在欧拉方程中找到一个奇点——针对的是没有被困在罐子里的流体，这是一个困难得多的问题。数学家们表示，他们需要针对这种更狂野、更复杂的流体再次升级他们的技术，但他们对此持乐观态度。

“你正在构建一个强大的工具来寻找那些非常难找的东西，”巴克马斯特说。

然而，其他数学家指出，过去的表现并不保证未来的回报，因为无边界流体与有边界流体完全不同。西班牙数学科学研究所的数学家、CCF 模型的开发者之一迭戈·科尔多瓦（Diego Córdoba）说：“这是一个完全不同的动物。”（他的父亲是另一位开发者。）

因此，随着研究人员在欧拉方程及其他方程中搜寻“无边界”奇点，竞争正在升温。科尔多瓦和他的合作者、西班牙 CUNEF 大学路易斯·马丁内斯-佐罗亚（Luis Martínez-Zoroa）已利用纸笔技术在几种 不同的 流体 设置中发现了稳定奇点。他们相信他们正处于让该方法适用于无边界欧拉流体的边缘。（科尔多瓦曾担心 DeepMind 合作团队会抢先实现这一目标，但令他松了一口气的是，他们的 PINN 功率还不足以解决这个问题。他说，他们发现的解“是不稳定的，但还没那么不稳定。”）

另一位竞争对手、加州大学圣地亚哥分校的塔雷克·埃尔金迪（Tarek Elgindi）已经在无边界设置（带有其他限制条件）中取得了成功，并打算进一步扩展其策略。

目前尚不清楚哪种技术（如果有的话）能到达终点。科尔多瓦是戈麦斯-塞拉诺的博士生导师，他说：“如果哈维（戈麦斯-塞拉诺的昵称）能做到，我会感到非常自豪和高兴。但如果我们能做到，我会更高兴。”

如果有人能做到，那么下一步将是纳维-斯托克斯。尽管最近在寻找流体新故障方面取得了突破性进展，数学家们仍不敢抱有过高的期望。

“你可以做白日梦，但只能做一两天，”戈麦斯-塞拉诺说，“你没有足够好的想法。然后白日梦就停止了。”

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重要术语翻译表

英文术语	中文翻译	备注
Navier-Stokes Equations	纳维-斯托克斯方程	描述黏性流体运动的基础方程组。
Euler Equations	欧拉方程	描述理想（无黏性）流体运动的方程组。
Blowup	暴涨 / 爆破	物理量在有限时间内趋于无穷大的现象。
Singularity	奇点	方程解失效或物理量发散的点。
Viscosity	黏性 / 黏度	流体内部摩擦力的量度。
Vorticity	涡量	描述流体局部旋转强度的物理量。
Physics-Informed Neural Network (PINN)	物理信息神经网络	将物理定律嵌入损失函数的神经网络。
Stable / Unstable	稳定 / 不稳定	奇点是否能在微小扰动下依然存在。
Self-similarity	自相似性	某种结构在不同尺度上重复出现的性质。
Boundary / Bounded	边界 / 有边界的	流体是否被容器限制。
Dissipation	消散 / 耗散	能量转化为热能的过程。
Neural Network	神经网络	人工智能的核心算法结构。
Incompressible Porous Medium (IPM)	不可压缩多孔介质	如水流过沙石的物理模型。
Numerical Error	数值误差	计算机计算时产生的离散化或舍入误差。