康托尔是剽窃者吗？一封失踪信件改写了数学史

Kristina Armitage, Michael Kanyongolo / 《量子杂志》

去年 3 月 12 日，当德米安·古斯（Demian Goos）跟随卡琳·里希特（Karin Richter）走进她的办公室时，他首先注意到的是那尊半身像。它矗立在房间角落的一个高底座上，描绘了一位秃顶、神情坚毅的老绅士。古斯在那张脸上看不出任何焦虑和孤独的痕迹，而这个男人在过去一年多里一直让他痴迷不已。

相反，这是历史眼中的格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）。一个知识巨擘：坚定不移，意志坚强，即便面对同僚们的一片反对声，也要发起一场数学革命。

150 年前，康托尔正是德国哈勒大学发起了这场革命。1874 年，他在那里发表了数学 4000 年历史上最重要的论文之一。那篇论文使一个长期以来被视为必须不惜代价避开的“数学恶疾”变得清晰可见：它就是无穷（infinity）。它迫使数学家们质疑一些根深蒂固的假设，从根本上动摇了数学的基石。它催生了一个全新的研究领域，最终导致了整个数学学科的重写。

古斯现年 35 岁，是一位数学家兼记者。他从美因茨的家中坐了五个小时的火车来到哈勒，是为了查阅康托尔遗产中的一些信件。他已经看过其中一封的扫描件，并确信自己知道其他信件会写些什么，但他想亲眼看看原件。

里希特和康托尔一样，职业生涯都在哈勒大学度过。她先是一位研究型数学家，退休后担任数学史讲师。她示意古斯坐下，从桌上散乱的书堆和纸堆中拿起一个蓝色的薄活页夹。里面是几十个塑料透明护页，每一个里面都装有一封古老的手写信。

古斯开始翻阅，带着考古学家进入失落陵墓般的快感端详着这些信件。突然，他翻到某一页，整个人僵住了，呼吸变得急促。

让他震惊的不是笔迹。在对康托尔的研究中，他已经习惯了那种被称为 kurrentschrift（德语尖角体）的奇特、近乎无法辨认的哥特式字体，那是德国人直到 1900 年左右一直在使用的。

也不是签名。他知道德国数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind）是康托尔探索无穷、巩固数学基础的关键人物，两人交换过许多信件。

让他震惊的是日期：1873 年 11 月 30 日。

他以前从未见过这封信。没有人见过。人们一直认为这封信已经失踪了，要么毁于二战的动荡，要么被康托尔本人亲手销毁。

这封信拥有改写康托尔遗产的力量。它一劳永逸地证明了康托尔那篇著名的 1874 年论文——那篇重塑了整个数学的论文——实际上是一次剽窃行为。

思想的交汇

18 世纪 45 年，康托尔出生于俄罗斯圣彼得堡。11 岁时，他的父亲生病了，全家移居德国，以躲避俄罗斯危险的严冬。康托尔的一生都在那里度过，并最终失去了所有口音。但在他的第二故乡，他从未感到完全自在。

随着康托尔父亲的身体持续恶化，他把所有的希望都寄托在了六个孩子中的长子身上。在康托尔受坚信礼时，父亲给这个 15 岁的少年写了一封信，警告他，许多有前途的天才会被那些反对其想法的人击败——只有不可动摇的宗教信念才能防止他成为另一个“所谓的陨落天才”。为了实现自己作为“科学地平线上闪耀之星”的潜力，他必须在面对反对者时坚持不懈。

康托尔余生都带着父亲的那封信。他将那种知识领域孤军奋战的英雄观内化于心，并很快为自己的才华找到了施展之地：数学。正如他所说，数学是“一个未知的秘密声音在召唤他”进入的领域。18 岁那年，父亲去世，他利用继承的遗产进入柏林大学读书，那是当时的数学中心之一。

在那里，一场冲突正在酝酿。

格奥尔格·康托尔不断寻求在数学领域留下自己的印记。但到了 19 世纪 90 年代，他的雄心壮志使他陷入了严重的抑郁状态。ETH-Bibliotek Zurich/Science Photo Library

争议的核心是“无穷”。几千年前，数学家们为了处理这样一个问题而发明了这个抽象概念：对于你给出的任何数字，总能找到一个更大的。但无穷本身也带来了问题。古希腊哲学家芝诺利用它编造了各种悖论。当无穷进入视野时，像大小和加法这样直观的概念似乎都崩溃了。

无穷还提出了宗教方面的挑战。基督教神学规定，上帝必须比他的任何创造物都伟大——上帝是唯一的真无穷，比任何数字都大。如果日常数学家可以控制这个无法量化的量，那就是对上帝的冒犯，进而也是对教会权威的冒犯。

几千年来，数学家们通过达成共识来规避这些风险：无穷只是一个有用的技巧，而不是一个有效的数学实体。正如伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯在 1831 年的一封信中所说，无穷只不过是一种“façon de parler”——一种修辞手段。

但在几十年内，无穷变得越来越难以忽视。

数学家们开始重新审视他们最基本的概念，希望让它们变得更精确。他们开始意识到，甚至连他们对数字是什么的理解，都建立在不稳固的基础之上。

在那之前，他们只把数字看作解代数方程时得到的答案：整数、分数、平方根。现在，他们中的一些人想要探索这些不同的“物种”之间是如何相互关联的，以及是否还有其他物种等待被发现。

在这些探索者中，有一位安静的德国数学家，名叫理查德·戴德金。1858 年，他找到了一种严格定义实数（数轴上出现的任何数字）的方法。但他没有分享他的发现。他是一个思维缓慢而有条理的人，更喜欢与他人讨论他的结果，直到他确信自己是正确的。

与此同时，1870 年，康托尔在不知道戴德金工作的情况下，完成了他的研究生学业，并开始研究关于某些方程行为的实际问题。他当时还没有对关于数字本质的哲学问题感兴趣，但他的工作引导他提出了自己对实数的定义。

1872 年初，戴德金和康托尔独立发表了各自的结果。

他们都做了一件激进的事情：他们重新定义了数轴。

在他们的论文发表之前，数学家们一直假设，尽管数轴看起来像一个连续的物体，但如果放大得足够远，最终会发现缝隙。

以 0 到 1 之间的那段数轴为例。它包含无限多个分数：对于任何两个分数，你总能放大并在它们之间找到另一个分数。但无论你放大多少，有些数字（如 $\sqrt{2}$）是你永远无法触及的。那里有缝隙——无穷是不完整的。

然而，在他们 1872 年的论文中，康托尔和戴德金找到了一种构建完整数轴的方法。无论你如何放大其中的任何一段，它始终是一段未断开的、由无限多个实数构成的、连续连接的疆域。

突然之间，那个被数学家们长期恐惧的、被称为无穷的庞然大物，再也不能被放逐到数轴上某些无法触及的部分。它潜藏在数轴的每一个缝隙之中。

那年夏天，康托尔和戴德金都在风景秀丽的瑞士湖畔小镇格尔绍（Gersau）度假，他们在那里第一次相遇，并在湖边长谈，讨论他们的想法。

19 世纪 90 年代瑞士格尔绍小镇的版画，康托尔和戴德金在这里偶遇并迅速成为朋友。Photochrom Print Collection

对于任何旁观者来说，在湖边散步的这两个人似乎并不合拍。27 岁的康托尔身材高大、肩膀宽阔、性格活泼。他沉迷于同龄人的关注，但在这一切背后，他深陷于别人如何看待他的焦虑之中。这使他工作飞快，试图频繁且快速地发表论文。而戴德金比康托尔大 13 岁，个子矮小得多，性格内敛。他完全没有康托尔那种发表论文的紧迫感。事实上，在他的一生中，他的作品相对较少。

但他们一见如故。在后来写的信中，两人一再回忆起在湖边讨论数学的美好时光。他们在彼此身上找到了伙伴和朋友。

但这并没能持续太久。

追寻故事

自德米安·古斯记事起，他就非常在意规则。2008 年，17 岁的古斯随家人从他长大的德国移居到母亲的家乡阿根廷。在那里，古斯决定从事裁判工作。“我喜欢和朋友一起踢足球，”他说，但比起踢球，“我总是对体育运动中的不公正感到恼火。当我观看比赛，而裁判判错时，我总想纠正它。”

这给了他将信念转化为行动的机会。在接下来的 15 年里——在他在国立罗萨里奥大学读本科、读研以及从事数学博士后研究和担任讲师期间——他为一场重大的地区足球联赛担任职业裁判。他回忆说，有一次，观众席上的一名球迷对着他挥舞着砍刀，这是一种隐晦的威胁。但当该球迷的球队在随后的比赛中犯规时，古斯没有畏缩。他只是深吸一口气，掏出了红牌。

“当裁判真的是一段非常有意义的经历，”他说，“当人们试图恐吓我时，我绝不退缩。”

德米安·古斯是一位德裔阿根廷数学家兼记者，他一直觉得阿根廷才是他的家。这里，他正在喝马黛茶，一种南美的传统草药茶。Zack Savitsky 为《量子杂志》拍摄

虽然古斯喜欢数学研究，但他更被定理背后的故事所吸引。他利用闲暇时间阅读数学思想史，并在大学咖啡馆里绘声绘色地向同龄人讲述他学到的故事，同龄人后来把那里称为他的“办公室”。作为一名博士后，他有时会带学生去户外，通过行为艺术舞蹈来演示数学概念，比如最优化算法或混沌系统。他说，许多学生很喜欢这种方式，但一些教授警告他不要使用这种非传统的方法。“他们可能认为这样能吓跑我，”古斯说，“他们那是没听过砍刀的故事。”

2020 年，当古斯还在做博士后时，他生病了，不得不经常回德国接受治疗。几年后，他全职搬回了德国。完成博士后研究且身体好转后，他决定离开学术界，追求他对讲故事的热爱。于是，在 2023 年初，他在柏林自由大学开始了一个科学新闻奖学金项目，专注于开发播客。他想讲述数学史上最引人入胜的故事。

他想好了从哪里开始。

“因为我是个感情丰富的人，所以我关注了有史以来最富情感的故事，”他说——这个故事就是无穷如何变成现实，并导致了集合论的诞生，集合论为所有现代数学提供了新的基础。“它把我们对数学的理解推向了极限，”古斯说，“你必须告别数学直觉，敞开心扉接受你将在那里遇到的一切奇事。”

古斯制作了一个关于数学和科学史的播客。正是他在这个播客上的工作，引导他发现了康托尔和戴德金之间真实发生的新证据。

他在学校学到的是，康托尔是集合论的唯一创始人——这一切都始于他 1874 年发表的一项证明。在那项证明中，康托尔展示了无穷也有不同的“大小”，终结了无穷仅仅是数学诡计的观念。

古斯开始为一个关于康托尔发现的播客做研究。但他很快发现，真实的故事比他听说的要复杂得多。

“我最初的方法是讲述每个人都在讲的故事。那是一个美丽的故事，”他说，“但那是一个错误的故事。那并不是真实发生的事情。”

木马计

真实的故事是，康托尔并不是孤胆英雄。他有一个伙伴——至少在一段时间内是这样。

每当康托尔遇到志同道合的数学家时，他总是极力结交。他会在天亮时出现在合作伙伴的住所，兴奋地讨论他产生的新想法，有时会等上几个小时直到对方起床。戴德金也是如此。在 1872 年格尔绍相遇后，康托尔利用每一个机会向这位年长的数学家寻求建议。

1873 年 11 月，康托尔开始了一场将永远改变人类知识进程的交流。“请允许我向您提出一个问题，”他在一封仓促写成的信中对戴德金写道，“它对我来说有一定的理论兴趣，但我自己无法回答；也许您可以。”

康托尔为他父亲灌输的那种狂热驱动力找到了出口：数轴的无限本质。西班牙塞维利亚大学的数学史家和哲学家何塞·费雷罗斯（José Ferreirós）说：“他有一种非常强烈的使命感。他确信引入‘实无穷’（actual infinity）不仅会改变数学，还会改变整个科学。”对康托尔来说，这种无穷并不与上帝的至高无上相矛盾。它只是意味着，上帝并不是遥不可及、不可知的，而是无处不在，存在于万物之间。

他开始将实数作为一个整体、无限的包来研究，提出了没有人想到要问的问题：由 1, 2, 3, … 结尾的三个点所代表的无穷，与构建在数轴神秘连续统中的无穷之间是否存在差异？换句话说，实数是否比整数（whole numbers）更多？

从表面上看，这个问题似乎毫无意义。这些无限集合有不同的大小到底意味着什么？

康托尔想要弄清楚。

他询问戴德金，这两组数字是否可以建立“一一对应”——将每一个实数与一个独特的整数配对。他在信中写道，他已经成功地对另一组数字做到了这一点：他证明了有理数（可以写成分数的数字）可以每个都分配一个唯一的整数，而不会剩下任何数字。也就是说，尽管有理数看起来比整数多得多，但这两个集合的大小实际上是相同的。因此，两者都是数学家后来所说的“可数”（countable）的。

但康托尔无法弄清楚如何以同样的方式比较整数和实数。戴德金很快回信说他也不能——但他已经证明了代数数（作为代数方程解的数字）是可以被数出来的。戴德金在信的结尾写道：“如果我认为一两条评论可能对您有用，我就不会写下这一切了。”

从那时起，数学上的博弈继续进行。受到戴德金进展的启发，康托尔在接下来的几天里全力攻克剩下的问题——实数。他能否最终证明，与代数数不同，实数是比整数更大的无穷大？

1873 年 12 月 7 日，他写信给戴德金，说他认为自己终于成功了：“但如果我是在欺骗自己，我肯定找不到比您更宽容的裁判了。”他展示了他的证明。但那个证明非常笨拙且晦涩。戴德金回信提供了一种简化康托尔证明的方法，在不失严密性和准确性的前提下构建了一个更清晰的论证。与此同时，康托尔在收到戴德金的信之前，也给他发了一个类似的如何简化证明的想法，但他并没有像戴德金那样推导出细节。

康托尔思考着他掌握的东西：两个集合，都是无限的，但其中一个不知何故比另一个大。这意味着革命性的影响。他开始梦想的不是一个无穷大，而是无穷大的整个层级。如果无穷大可以如此具体地进行比较，那么它们一定是真实的，而不仅仅是修辞手段。

他意识到，他的证明有可能震撼整个数学界。但如果不激怒一些最显赫的人物，那是做不到的。

其中一位人物是利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker），一位憎恨无穷的数学意识形态家。他不相信数轴缝隙中塞满的那些东西。根据证明了 $\pi$ 不是代数数（你永远无法提出一个以 $\pi$ 为答案的普通代数问题）的数学家费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）的说法，克罗内克曾告诉他他的工作毫无价值，因为这种“超越”数（transcendental numbers）根本不存在。

对于利奥波德·克罗内克来说，无穷在数学中没有一席之地。当康托尔挑战这一信念时，克罗内克试图毁掉他的名声并阻止他发表论文。公有领域

克罗内克还是数学界的权势人物。他是《克雷勒杂志》（Crelle’s Journal，当时世界上最卓越的数学刊物之一）的编委会成员。他从不迟疑地利用自己的巨大影响力来推行他的守旧主张。通常，他会决定哪些结果能够迅速传达到其他数学家手中——或者根本传不到。

康托尔在与他的导师卡尔·魏尔斯特拉斯讨论了他的工作后，想在《克雷勒杂志》上发表这些发现。他认为，在那里，他将能够使无穷大进入主流。向全世界揭示上帝的心智。成为数学地平线上的一颗闪耀之星。

康托尔的使命感，那内心深处的“秘密声音”，开始膨胀。

康托尔与克罗内克的关系不错。但几年前，戴德金在一个重大结果上击败了克罗内克，克罗内克对他的厌恶是众所周知的。如果康托尔提交一篇与克罗内克的死对头合著的论文——一篇公开宣布存在多种大小的无穷大的论文——它可能永远无法发表。

于是他做出了两个决定。

第一是建造一个数学上的“木马”。

魏尔斯特拉斯最感兴趣的是代数数是可数的证明。（他后来利用这个结果证明了一个自己的定理。）于是康托尔选择了一个具有误导性的标题，只提到了代数数。

但他把那个证明——戴德金的证明——视为一个诱饵，一个他可以用来撬开无穷大禁忌之门的楔子。康托尔在写论文时，把关于代数数的证明放在第一位。在那之后，他加上了自己关于实数不可数（也就是戴德金的简化版）的证明。康托尔淡化了这第二部分的真实重要性。古斯说：“他刻意选择了不会引起克罗内克和那些讨厌无穷大的人怀疑的措辞。”

康托尔的第二个决定是声称自己是唯一的作者。他仔细擦除了合作伙伴贡献的每一个痕迹，包括不经意使用的任何行内人能一眼认出属于戴德金的术语。

以典型的康托尔式风格，他在一天之内草草写就了论文并提交给了《克雷勒杂志》。第二天早晨，也就是 1873 年圣诞节，他给戴德金寄了一封信，告知他魏尔斯特拉斯说服了他发表论文。他写道：“正如您将看到的，我高度评价的您的评论以及您阐述某些观点的方式，给了我极大的帮助。”

书写故事

康托尔欺骗行为的第一个证据是在 20 世纪初由另一位伟大的德国数学家发现的。埃米·诺特（Emmy Noether）是戴德金的追随者。她经常诗意地赞叹戴德金在数学上的预见性。正如她喜欢告诉学生的那样，“一切都在戴德金那里了。”1930 年，当她正将他所有的数学著作收集成四卷出版时，她偶然发现了他在与康托尔通信中保留的一些信件。她与法国哲学家让·卡瓦耶（Jean Cavaillès）合作，也收集并出版了这些信件。

著名数学家埃米·诺特帮助收集了康托尔不端行为的第一批证据。Ian Dagnall Computing/Alamy

当时戴德金和康托尔已经去世十多年了。诺特和卡瓦耶在接下来的几年里从戴德金的遗产中追踪这些信件。1933 年，阿道夫·希特勒掌权后，身为犹太人的诺特从德国逃往美国，两年后因癌症去世。但卡瓦耶在 1937 年完成了他们的项目。

书中呈现的这些往来信件很奇怪。它始于 1872 年康托尔和戴德金相遇后不久的一系列密集的信件。这些来自戴德金遗产的信件只包括他收到的信，不包括他寄给康托尔的。然后，通信在 1874 年 1 月突然中断，随后是几年的沉默。当 1877 年恢复交流时，戴德金寄给康托尔的信也出现了。戴德金显然决定保留每一封寄给同行的信的底稿。

还有一张戴德金在看到康托尔 1874 年在《克雷勒杂志》发表论文后似乎写给自己看的便条。在便条中，他讲述了他是如何把论文中的第一个证明和第二个证明的修改版寄给康托尔的——结果仅仅几个月后，这两个证明就在印刷品中“几乎逐字逐句”地出现在康托尔一人的名下。

戴德金从未公开这一说法，诺特和卡瓦耶也没有发表评论。塞维利亚的历史学家费雷罗斯说：“我认为对他们来说，这是一种非常有意识的决定，即什么都不说，只是让信件自己说话。那是那个时代的荣誉准则。”

其他人也没有注意到这一点——至少在出版物中没有。由康托尔的数学信徒撰写的康托尔最早的传记，只是在赞颂他的天才。

古斯拿着康托尔和戴德金最早出版的交流记录。Zack Savitsky 为《量子杂志》拍摄

几十年后，伊沃尔·格拉顿-吉尼斯（Ivor Grattan-Guinness）等历史学家重新审视了康托尔与戴德金的往来信件。格拉顿-吉尼斯拼命寻找戴德金在 1873 年寄给康托尔的那些信——那些可能证明康托尔不端行为的信。据称，康托尔去世后，这些信件留在了他在哈勒大学的办公室里，但现在却无处可寻。格拉顿-吉尼斯得出结论，这些信件极有可能在二战期间失踪，或者在 1945 年美苏军队占领哈勒后的破坏中被毁。

由于没有这些信件，格拉顿-吉尼斯和他的同龄人决定不指控康托尔存在道德失范。一些人认定康托尔是在得到戴德金允许的情况下行事的；另一些人则原谅了他的选择，因为是他发起了这场交流，并提出了更重要的第二个证明的初版。

但当古斯在 2024 年制作播客时了解到这段历史，他感到非常愤怒。他只能找到一篇明确讨论康托尔不端行为的文章。在 1993 年的一篇论文中，费雷罗斯指责康托尔剽窃并未经许可发表了戴德金的工作。但其他康托尔传记作者立即反驳了费雷罗斯的叙述，认为那是对所发生事情的过度解读。此外，由于没有戴德金失踪的信件，所谓的罪行并没有真正的证据——只有戴德金事后写的便条。谁能确定便条上的说法是真的呢？

西班牙塞维利亚大学的数学史家和哲学家何塞·费雷罗斯是第一个在出版物中指责康托尔剽窃的人。塞维利亚大学

这在数学史家之间仍然是一场冷门辩论，而康托尔作为“孤胆天才”的神秘色彩依然存在。

古斯想在播客上讲述真实的故事——并用证据支持它。他看到了一种方法。虽然希望渺茫。

“他们总是说信件在战后失踪了，”他说。这让他很烦恼。“毫无疑问有很多东西丢失了，但这并不意味着没有其他东西幸存下来。”

许多伟大的历史学家都寻找过这些信件，但都空手而归。古斯才刚开始他的研究。但是，有没有可能所有的专家都漏掉了一些东西？

孤独的存在

康托尔在《克雷勒杂志》发表的论文并没有引起巨大的反响，因为数学家们很大程度上忽略了他隐藏在字里行间的内容。但在对他后来的职业生涯来说是一场对数学现状终身攻击的战役中，他已经打出了第一拳。他在数学最重要的期刊上发表了一项证明：无穷大有不同的大小。这最终将迫使数学家重新思考该领域的基石——决定其最基本的规则及其后果。

与此同时，戴德金停止了给康托尔的回信。在近三年的时间里，他们完全没有通信。然后，出于目前尚不完全清楚的原因，戴德金谨慎地重新建立了联系。但这一次，他保留了寄出的每一封信的草稿：作为备份记录。

两人开始重新讨论无穷。康托尔计划继续研究无穷大的多种大小，他想要建议。他现在的信件更像是在恳求，而戴德金则更为谨慎。但通信是富有成效的，康托尔很快向《克雷勒杂志》提交了一篇新的、更大胆的论文——这一次，没有任何掩饰。

克罗内克造反了。他利用自己在柏林圈子里的所有影响力，尽可能拖延评审过程。但几个月后，魏尔斯特拉斯等人代表康托尔出面干预，论文最终出现在期刊上。

再一次，戴德金寄给康托尔信件中的想法出现在论文中且未经致谢。再一次，戴德金切断了他们的联系。

康托尔也许会后悔与他唯一的知识盟友之一决裂。他一直努力将哈勒大学这个数学上的“穷乡僻壤”变成由他的工作衍生出的领域——集合论——的中心。他实现这一目标的最佳机会是聘请戴德金。1882 年，他试图招募他，就像什么都没发生过一样。戴德金礼貌地拒绝了。

随着康托尔继续发表关于无穷的研究结果，克罗内克致力于让数学界反对他。他称康托尔为“青年的腐蚀者”和“叛徒”。1883 年，当康托尔试图离开哈勒，申请更有声望的柏林大学的职位时，身为那里教授的克罗内克阻挠了他的任命。其他数学家，包括康托尔的一些朋友，也开始劝阻他不要发表论文。

康托尔将所有这些阻力都视为针对他个人的攻击。古斯说：“他渴望得到认可。但做一些与众不同的事情，其本质就是别人不会喜欢。”1884 年，康托尔因严重的抑郁症发作住院。随着时间的推移，他变得越来越孤立。费雷罗斯说：“这成了一个模式。他与同事的许多关系都以不欢而散告终。”

康托尔在他晚年的照片中经常表现得自信而有力量。但在他自信的外表下，他孤独而焦虑。UAHW, Rep. 40/VI, Nr. 1, Bild 75

最终，康托尔成了他父亲曾警告过的那种反对势力的牺牲品。当他多次被拒绝获得他认为应得的学术职位和荣誉时，他的使命感变成了怨恨。他的抑郁症复发了，在接下来的二十年里他几次住院。1917 年，他最终被送入疗养院，在那里他经常给妻子写信，哀求她让他回家。次年他去世了。

康托尔被迫边缘化了。但渐渐地，他的思想开始在年轻一代数学家中获得认可。他们在康托尔的工作中看到了从根本上重写整个数学的可能性。

幸运的发现

古斯也想进行一些重写。在他 2024 年的播客中，他报道了康托尔和戴德金之间的冲突。但由于未能挖掘出任何新证据，他发现很难改变辩论的局势。他转向了其他项目。

尽管如此，他无法放下这个故事。

他在业余时间继续挖掘关于失踪信件的线索。他说：“我不认为还有哪本书是我没看过的。”他尽可能地追踪原始资料并搜寻大学档案馆。他说：“我说的是那种在一篇文章中只被提到过一次的原始资料。”

就这样，在 2024 年夏天，他偶然发现了一封看起来像是戴德金寄给康托尔的信的局部扫描件。它出现在一个名为“Georg-Cantor-Vereinigung”（格奥尔格·康托尔协会）的网页上。“这是一群试图保持对康托尔记忆的人，”古斯说。那封信是 1877 年的，远在冲突之后，所以戴德金的信件草稿已经存在于历史记录中了。但从未有过他寄给康托尔的那份原件的记录。古斯试图联系该组织的各种成员，但没有得到答复。

几个月后，他回到了那个网页。但这一次，他注意到扫描件下方提到，2009 年有一位继承人捐赠了信件。他追踪那位继承人可能是谁，在仔细研究了许多族谱和其他文件后，他终于发现了一位安杰莉卡·法伦博士（Dr. Angelika Vahlen）——康托尔的曾孙女，她似乎住在哈勒。

当他给她打电话时，她告诉他她对数学一窍不通（实际上她是一位考古学家），但她想让她拥有的所有信件都能提供给历史学家研究。她把信件交给了哈勒大学（今天的正式名称是哈勒-维滕贝格马丁路德大学），最后落到了康托尔协会主席、数学教授卡琳·里希特手中。

古斯找到了里希特。2025 年 3 月来到她的办公室。打开了她递给他的蓝色薄活页夹。

他原本以为会看到康托尔协会网站上发布的戴德金后期的那封信。那将和他对原始资料的其他追求一样——是验证已知内容并可能获取一些新见解的好方法。

但在他面前的，是那封他一年多来一直希望找到的信。他确信无疑。虽然戴德金细致、华丽的笔迹在某种程度上甚至比康托尔不均匀的涂鸦更难辨认，但古斯能看到信纸上布满了 algebraischen Zahlen（代数数）这个词。而在信末，清晰可见的是落款：“献上最热忱的问候，您最忠诚的理查德·戴德金——不伦瑞克，1873 年 11 月 30 日。”

里希特知道她手里拿的是什么吗？他请求扫描件。里希特说她会考虑一下。

失踪了一个多世纪的戴德金给康托尔的信，日期为 1873 年 11 月 30 日。在信中，戴德金证明了代数数集合的大小与整数集合的大小相同——康托尔后来剽窃了这个结果。

在回家的火车上——这是他当天的第二次五小时旅程——古斯思索着他手中的发现。他知道情况很微妙。当他提到康托尔背叛戴德金时，他曾体会过德国数学家的轻蔑。古斯说：“自豪感是德国人通常感到不自在的东西。但我们为康托尔感到自豪。”很难找到比里希特更大的康托尔粉丝了，而她似乎并不急于分享扫描件。

两天后他拨打里希特的电话时，心凉了一半。那个电话已经停机了。他说：“你该怎么告诉别人这件事？你知道，我和这位女士谈过，她似乎并不乐意分享这些信件，所以我给她打电话，她的电话已经不存在了。得了吧，德米安，得了吧！”他责怪自己太有礼貌，没在里希特办公室掏出手机开始拍照。

接下来的一个月里，他联系了他在哈勒认识的所有人，恳求他们想办法找到里希特。他说：“我开始觉得自己要疯了。她到底还存在吗？”最后，里希特的一位同事告诉了他她下一次讲座的时间和地点。4 月份，他又做了一次往返 10 小时的旅程，里希特解释说她换了电话服务商。她递给他一张扫描件和一份誊录稿。只有一封信，但那是至关重要的一封。

一个月后，又一次长途跋涉，里希特递交了另一封戴德金的信，这封是 1873 年夏天的。古斯不知道他还能不能负担得起这些旅行：“我不富有，”他说。他决定，是时候让全世界知道他发现了什么了。

古斯在阅读失踪信件的扫描件。Zack Savitsky 为《量子杂志》拍摄

真实的遗产

今天，康托尔的名声远超戴德金。

两人都对数学基础做出了重大贡献。但康托尔通常被归功于驾驭了无穷并发明了集合论，而现代数学的所有语言现在都是用集合论书写的。作为历史上最伟大的数学家之一，他的声誉得到了传记和科普书籍的支持，他是少数被数学界之外的人所熟知的数学家之一。

目前还没有英文版的戴德金传记。他的维基百科词条长度只有他昔日好友的四分之一。在数学家中——这很大程度上要归功于诺特的努力——他保留了作为一位较不知名的远见者的声誉。圣母大学的集合论家和哲学家乔尔·大卫·哈姆金斯（Joel David Hamkins）说：“我对戴德金了解得越多，就越佩服他。康托尔证明了所有这些伟大的定理，但戴德金可能是更伟大的数学家。”

康托尔 1874 年论文背后的真实故事已经在公开场合存在了 90 年。但这并不是人们喜欢讲的那种故事。费雷罗斯说：“每一个科学分支都需要一个英雄。化学有拉瓦锡，力学有牛顿，相对论有爱因斯坦。总有这一个，唯一的那个。但这总是一个谎言。”

自从向这个谎言发起挑战以来，古斯遇到了阻力。当他分享关于失踪信件的发现时，数学家们质疑它的重要性——尤其是在德国。他很难让人们明白为什么这很重要。他们的反应呼应了 30 年前历史学家对费雷罗斯论文的反应。

但它确实很重要。数学通常被视为与现实世界及其缺陷保持最安全距离的科学。它的真理是绝对的。它将美感和优雅置于所有其他事物之上。重要的是作品，是正在探索的世界。其他一切，包括作者身份和荣誉，都是次要的。

但这掩盖了科学真理追求过程的现实。费雷罗斯说：“数学是一项集体事业。即使在集合论的情况下，也不是一个家伙发明了整个东西的绝佳例子。”

它也掩盖了数学是由人完成的事实。不可能将自尊、观点和个人缺陷与工作本身剥离。古斯喜欢这样回答那些对康托尔不端行为不屑一顾的数学家：“太好了。下一篇你写的论文，匿名发表吧。到那时我们再看看这是否仅仅关乎科学。”当涉及到自己的工作时，数学家们非常关心荣誉。他们中的许多人对谁提出了哪个定理、谁获得了哪个奖项有着近乎百科全书式的知识。

关于康托尔结果的揭露并没有损害他的遗产。他仍然是第一个证明实数比整数多的人，这最终开启了对无穷的研究。哈姆金斯说：“在我看来，真正重要的是第二个定理。”而那个定理的原始证明并不是戴德金的。

但承认戴德金在数学最伟大发现之一中所扮演的角色，以及康托尔决定不署名，这仍然很重要。最终，康托尔的选择只是将他从英雄降格为人——这是一个更真实的形象。里希特说：“康托尔是一个不容易与他人建立联系的人。对他来说，这非常非常难。”

费雷罗斯说：“他当时非常年轻，非常充满激情和热诚。他犯了一个大错。”

这归根结底是一个更好的故事——因为它是真实的。

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重要术语翻译对照表

英文术语	中文翻译	备注
Set Theory	集合论
Infinity	无穷 / 无限
Actual Infinity	实无穷	与潜无穷相对，指作为一个完成整体的无穷。
Algebraic Numbers	代数数	能够作为整数系数多项式方程解的数。
Real Numbers	实数	数轴上所有的数。
Rational Numbers	有理数	可以表示为两个整数之比的数（分数）。
Whole Numbers / Integers	整数	文中 context 有时特指自然数/正整数。
Transcendental Numbers	超越数	不是代数数的实数，如 $\pi$ 和 $e$。
One-to-one Correspondence	一一对应
Countable / Countability	可数 / 可数性
Uncountable	不可数
Continuum	连续统	实数集合的无限基数。
Real Line / Number Line	实数轴 / 数轴
Crelle’s Journal	《克雷勒杂志》	即《纯粹与应用数学杂志》。
Kurrentschrift	德语尖角体	德语旧式手写字体。