为何一遍又一遍地证明同一件事

作者：Joseph Howlett · Quanta Magazine 原文

插图：Wylie Beckert / Quanta Magazine。

每周，Quanta Magazine 都会解释一个推动现代研究的重要思想。本周，数学记者 Joseph Howlett 探讨：为什么值得寻找通往同一真理的许多不同路径。

数学家的目标是拓展我们所知的范围。因此，他们大部分时间都在思考如何证明新的命题。既然如此，一旦他们把一个猜想变成定理，你会以为他们就该转向一个新问题了。毕竟，他们的工作就是不断把新的真理加入清单。

但证明的价值，并不只在于把一个新命题移到“已知”那一栏。数学家想尽可能深入地理解“为什么”。你可以让读者相信，证明中的每一步都合乎逻辑地承接上一步，即便读者并未完全理解其中深层的数学联系。审阅这样的证明时，你会错过那种难以言说、豁然开朗的领悟感——正是这种感觉，让数学家每天早晨走向黑板。当他们谈起一个“美妙”的证明时，他们指的是能够满足自己对真正理解的那份独特渴求的证明。

所以，即使某件事已经得到证明，数学家仍常常会寻找通往同一真理的其他路径，尤其是在他们觉得现有路径不令人满意，或者不够优雅的时候。重新证明，往往能从数学家此前未曾注意的角度阐明结论。有时，在构造第二个、第三个或第四个证明的过程中，数学家还会创造出新技巧，进而得到与原问题无关、出人意料的发现。数学史上有许多这样的例子：对已获证明的命题给出新的证明，终于使它从“已知”进入了“已理解”那一栏。

使一个证明优于另一个证明的那些品质，具有强烈的主观性和人性。正因为有这些审美价值，人们把数学比作艺术的次数，并不比把它比作科学的次数少。在数学家看来，一个证明是一部交响曲，是一件艺术品；它所关心的不只是最后一个音符，还包括抵达那里时必须经历的、揭示事物本质的旅程。

新进展与值得关注的事

不出所料，数学中被反复证明最多的定理，往往也是最著名、最古老的定理。而很少有数学上的迷恋，比对素数（prime numbers）的迷恋更古老或更广为人知。素数尤其集中在数轴较小的一端：0 到 50 之间有 15 个素数，10,000 到 10,050 之间却只有 4 个。素数定理（prime number theorem）是一个描述这种分布的方程。1896 年，两位数学家各自独立证明了它。但一个多世纪之后，新的证明仍在不断出现。原因有很多：它是一条基础定理；许多其他定理依赖于它；而且，重新证明它也是让数论学家保持证明功力的好办法。

计算机的介入，常常让数学家对证明感到不安。现代机器能够以远超任何数学家能力的规模，完成繁琐的计算任务，但它们给出的证明，往往缺少人类同行所珍视的那些难以言说的品质。Thomas Hales 在 1998 年借助计算机给出了开普勒猜想（Kepler conjecture）的证明——这个猜想问的是，一个箱子里究竟能塞进多少个球。该证明引发的争议如此之大，以至于他不得不花六年时间，把每一步都编写成代码，再输入形式化验证（formal verification）程序，才说服所有人相信它是有效的。数学家也仍在热切期待四色定理（four-color theorem）的纸笔证明——它问的是，能否用四种或更少的颜色给地图上的国家着色，使任何相邻国家的颜色都不相同——尽管 Wolfgang Haken 半个世纪前就借助 1,000 小时的计算机运算证明了它。

最近，Quanta 撰稿人 Lyndie Chiou 和我合写了一篇报道，讲述一次引人注目的重新证明。“十杯马提尼”问题（ten martini problem）问的是：当处在原子网格中的电子被置于磁场中，会发生什么？数学家 Marc Kac 曾表示，谁能证明电子的能量值构成一种分形（fractal）图案，他就请谁喝 10 杯马提尼。数学家最终找到了证明，但其中一位作者 Svetlana Jitomirskaya 始终觉得它不够妥帖。这个证明需要用不同的技巧解决不同的情形，像是一床拼接出来的百衲被，逐块构造而成。这个数学真理显得足够深刻，令 Jitomirskaya 推测应该有一个更优雅的证明，能同时处理所有不同的情形。

有些数学家如此痴迷于优美的证明，以至于相信每一个数学论证都有一个柏拉图式的理想形式，并努力寻找它。Paul Erdős 常常谈论“天书”（The Book）：那是一本只有上帝知道的书，里面收录了所有这样的完美证明。他去世仅仅几年后，两位数学家就出版了他们自己的版本：《天书中的证明》（Proofs From THE BOOK）。2018 年，他们与 Quanta 撰稿人 Erica Klarreich 谈起了这部汇编的前五版，以及为什么某些证明值得收入天书。

网络选读

• 证明也像语言。它让数学家能够把只存在于自己头脑中的概念传达给同行，有时传达得并不完美。在 MathOverflow 上，Bill Thurston 发过一篇著名帖子，Terry Tao 等人也参与了回复；这篇帖子以饶有趣味的方式思考了这项棘手的工作。
• 如果证明美学的主观性与你心中数学应有的样子不相符，你并不孤单。David Hilbert 在 1900 年提出了著名的 23 个问题，以指引下一个世纪的数学发展；它们原本差一点就有 24 个。Hilbert 决定不列入的问题，要求找到一种客观的衡量标准，按照简洁程度，对同一个命题的不同证明进行排序。Rüdiger Thiele 从他的笔记中重新发现了这个问题，并在 2003 年发表于《美国数学月刊》（The American Mathematical Monthly）的一篇文章中讨论了它。
• 如何计算一个命题有多少种不同的证明？两个证明究竟什么时候其实是同一个证明，并不总是容易判断，数学家 Tim Gowers 曾在博客上讨论过这个问题。我很想知道，他会怎样看待最近一篇声称给出了无穷多个勾股定理证明的预印本。

本文由 AI 翻译。