杰出的数学成果可能来自任何人

摄影：Valerie Plesch，供Quanta Magazine使用

很多时候，开辟数学新天地所需要的，只是一双看待问题的新眼睛。一个问题如果几十年甚至几百年都没有被攻克，这个领域的专家很可能已经尝试了他们知道的每一种方法。既有的思路行不通。

有时，在这样的情况下，最终解决问题的，并不是那些花了多年时间一点点啃下它的专家，而是一位彻头彻尾的新人——他可能来自数学中一个完全不同的领域，也可能根本不在学术界，却能带来新的视角和见解。一个此前与这个主题毫无关联的人，偶尔会在恰好的时刻出现，带着恰好合适的一套工具，一击攻克一个重大数学问题。

数学的各个分支高度专业化，人们往往需要经过多年训练才能在其中摸索。因此，进展通常是渐进的：由一小群圈内人写出一连串中间证明，成果涓滴而来。正因如此，这些突然注入的新意格外令人兴奋。它们预示着新思想的涌入，能够为一个研究领域注入活力，并催生各式各样的新数学。

这些时刻也说明了一条重要的道理：证明可能来自任何地方。只要其中的每一步都正确，署名是谁、来自哪个机构，就都无关紧要。名气可能有助于人们信任一个结果，但数学家最终在意的是真相。

让我们看看业余爱好者或局外人取得重大数学进展的一些时刻。这些故事让我们有机会赞美数学连接不同领域的力量，也鼓舞那些希望为数学这项宏大事业作出贡献的人，无论他们有什么样的背景。

值得关注的新进展

Hannah Cairo进入数学世界的道路并不寻常。正如Kevin Hartnett在今年夏天一篇精彩的报道中讲述的，她在巴哈马接受居家教育，通过在线学习平台Khan Academy学习数学，14岁时便达到了高年级数学本科生的水平。2月，她解决了沟畑—竹内猜想（Mizohata-Takeuchi conjecture）。这个猜想涉及由球面或其他几何曲面上的波构成的函数。按照猜想，这些函数一种叫作“能量”的性质，应该按照某些特定模式扩散和集中。但Cairo找到了一个新例子，其中的能量聚集起来，形成了一种奇怪的、类似分形的图案——这是一个反例，更有经验的数学家40年来都没有发现它。今年秋天，Cairo开始在University of Maryland攻读研究生。尽管她既没有高中文凭，也没有大学学位，仍有两个项目录取了她，马里兰大学的项目是其中之一。她18岁。

更常见的一种“局外人”贡献，发生在成名数学家走进一个不熟悉的领域时。今年早些时候，我写过Boaz Klartag的故事。直到一年前，他对球体堆积（sphere packing）几乎一无所知。这个问题研究的是一个箱子里能放进多少个球。他的研究关注的是高维凸形状的几何性质与对称性。不过，他知道，一个世纪前有两位数学家将高维球体堆积与这些其他形状联系了起来。于是，他开始阅读球体堆积的相关研究，几个月内便打破了阻碍这个问题取得进展几十年的一道壁垒。有些人认为，Klartag找到的球体排列，就是任意高维空间中最好的堆积方式，没有之一。但这一点仍有待证明。

有时，这位踏入陌生领域的人甚至来自数学之外。乍看之下，Connes嵌入猜想（Connes embedding conjecture）与计算机科学或物理学毫无关系。它听起来是纯数学，因为它确实是。它的内容之一是，人们往往可以用称作矩阵（matrices）的大型有限数字表，去近似无限的数字表。但最终解决它的，是一支计算机科学家团队。他们最初要研究的是，什么时候可以用量子计算机验证计算问题的解，什么时候不可以。正如Quanta2020年的报道所述，在这个过程中，他们推翻了物理学中一个关于如何用数学描述纠缠的猜想，也推翻了Connes嵌入猜想。这说明，数学中令人意外的结果，往往来自它与其他研究领域的联系。

还有铺砌（tiling）的世界。Quanta报道的所有数学故事中，业余数学家最常出现的，就是铺砌问题的故事。任何一个发呆时盯着浴室地砖看过，或玩过太多俄罗斯方块的人，都想过哪些形状可以拼在一起，不留缝隙、不相互重叠地填满一个空间。所以，一场持续50年、寻找格外难寻的“einstein”铺砖的探索，最后由一位痴迷拼图的退休者David Smith终结，或许也没那么意外。长期为Quanta撰稿的Erica Klarreich在2023年报道了他的成果。他找到的铺砖形状像一顶帽子，一经出现便引起轰动。有些数学家整个职业生涯都在寻找这样的形状，而它简单的轮廓让他们觉得“简直不可思议”。

网络延伸阅读

• 和很多人一样，我第一次接触“天才局外人”这个故事模式，是在电影《心灵捕手》（Good Will Hunting）里。Matt Damon扮演的清洁工解出了一道重要的图论问题，那道题被写在黑板上，是为了难住研究生。（不过，我记得自己当时在想：“这不就是一堆点和线吗——怎么连这也算数学？”）这个设定来自George Dantzig的真实故事：他还是学生时，把一个重大数学难题误当成了家庭作业，并解了出来。2019年，Matt Davis在Big Think上写过Dantzig的故事。
• 我刚给年幼的侄女订了一本绘本《Marjorie Rice的五条边》（The Five Sides of Marjorie Rice）。她将来一定会证明许多著名定理。Rice读了《科学美国人》1975年的一篇专栏后，发现了一整类能够铺满平面的五边形。2017年，Natalie Wolchover在Quanta上撰文，悼念Rice，回顾了她的艺术与数学成就。
• Chris Havens在长达几十年的监禁中自学数学，并在狱中从事前沿研究。他参与创办的非营利组织Prison Mathematics Project，在2025年秋季通讯中刊登了一篇优美的专栏，讲述数学如何改变了他。

此文章由AI翻译。