要解决数学难题，先建一座塔

图片：Kristina Armitage/Quanta Magazine；图片来源：Maxiphoto。

当一项任务或一个问题让你感到难以招架时，最好的办法就是试着把它拆成较小的部分。这样一来，事情忽然就不那么不可逾越了。数学也是如此。最重大的数学谜题——那些悬而未决数百年、塑造了数学家对某个领域认识的问题——太难一举攻克。数学家需要逐步接近它们，在向最终目标攀登时，把每一步都当作新的立足点。

因此，数学家常常先研究某个命题的推论，而不直接尝试证明那个宏大而影响深远的命题。他们问：如果这个命题成立，那么还有什么必须成立？每一个推论的覆盖面、颠覆性，都可能不及原命题——但有时，其中一个会是更容易解决的问题。它可以充当某种地基。证明这个推论成立，并不能立即证明原命题成立。但将这个推论证伪，却会立即否定原命题：如果原命题的某个推论为假，那么原命题也必定为假。

数学家就是这样建起一座座由蕴含关系（implication）构成的塔。在这样的塔中，最宏大的命题位于顶端，它们的推论位于下方。证明最上面的命题，就能证明下方的所有命题；而为最底下的推论找到一个反例，就会让整座建筑倒塌。

即使证明塔中较低处的一个命题，不能直接证明其上方的命题，这个证明依然可能震动整个领域。它会让数学家对这座建筑的完整性更有信心。而且，他们还可以尝试运用在这个证明中开发的技巧，去攻克塔中更高处的命题。

这种数学研究方式，与我们把一个问题拆成许多较小部分的做法很相似——但在这里，各部分之间有着独特的层级关系。这样的层级关系可以为数学家指引数十年。

值得关注的新进展

今年，我一直在思考数学之塔，因为我有机会写到2025年最重大的数学突破之一。挂谷猜想（Kakeya conjecture）问的是：怎样在空中转动一根针，让它指向每个方向，同时扫过尽可能小的空间？听起来，这像是一本面向热爱科学的小孩的杂志里的益智题，但它却是纯数学中最大的未解问题之一。

或者说，它曾经是——直到Joshua Zahl和Hong Wang给出这种运动所能占据的最小空间，证明了三维挂谷猜想。这个结果结束了一个延续百年的故事，却也标志着一个更大故事的开始。这个猜想是一座真正的数学之塔的地基。它上方还有另外三个重要猜想。它们都与波的研究有关——波是上下振荡的函数——而它们与挂谷猜想之间的联系，既令人惊讶，也带来了丰硕成果。

在许多塔的顶端，坐落着数学中最大的难题之一：黎曼猜想（Riemann hypothesis）。这个猜想涉及一个称为黎曼ζ函数（Riemann zeta function）的特殊函数；这个函数决定了素数在数轴上的分布。数学家距离解决它还很远。但如果它成立，就会自动推出许多其他猜想成立。有意思的是，物理学家还在它上方建出了更高的一层：他们证明，某一种量子系统（quantum system）的存在，将会推出黎曼猜想成立。2017年，研究者缩小了寻找这种奇异事物的范围。

与此同时，数学家Hugh Woodin大胆梦想着：能有一座单一而巨大的真理之塔，描述整个数学宇宙。自19世纪70年代集合论（set theory）诞生之初，数学家就一直在应对各种大小不一的奇异无穷。为了理解它们，并证明更多值得研究的猜想，集合论学家在“ZFC”——构成现代数学基础的九条核心公理——之上添加了假设，也就是公理（axiom）。这些新公理中的每一条，都定义了一种不同的无穷。接着，集合论学家会尝试证明，这些额外的无穷仍然与ZFC相容。

Woodin和其他数学家相信，所有这些无穷都存在于一个整齐有序的层级之中：如果他们能够证明其中一种无穷与ZFC相容，就会推出其下方所有无穷的相容性。但今年早些时候，Woodin的一些昔日弟子不再循着原先的道路走，找出了数学世界并非如此有序的证据。他们发现了奇异的无穷，看起来与ZFC相容（尽管这一点尚未得到证明）——但这些新的无穷却存在于塔之外。如果他们能证明自己的主张，就会撼动整个数学版图。

网络选读

• 当然，有时人们会从顶端攻克整座塔。Grigori Perelman就是这样在2003年证明庞加莱猜想（Poincaré conjecture）的——他证明了一个范围更广、能够推出庞加莱猜想的猜想。在《美国数学会通告》（Notices of the AMS）的这篇2006年文章中，Allyn Jackson从社会学角度，出色地描绘了数学家如何面对这些突破性的证明，以及更一般地说，数学家如何达成共识。
• 数学家Keith Conrad在回答这个MathOverflow问题时，列出了不少于18条重要的数学事实：只要有人证明黎曼猜想（以及它对其他类似黎曼ζ函数的函数的推广），这些事实就会自动由此推出。
• 如果想进一步了解Wang和Zahl的挂谷猜想证明如何运作，可以读Terry Tao关于此事的博客文章。Tao是Zahl的研究生导师，并曾帮助勾勒出一条通往证明的道路——这条道路为两人的解答提供了指引。

此文章由AI翻译。