从辍学生到菲尔兹奖得主：一位数学家的诗意

许埈珥（June Huh）在普林斯顿大学的办公室里。

许埈珥常常发现自己迷失了方向。每天下午，他都会在自己担任数学系教授的普林斯顿大学周围进行长途漫步。在五月中旬的这一天，他正穿行在附近高等研究院周围的树林里——“只是想让你知道，”他在面对前方的一处分叉小径时说道，“我不知道我们现在在哪儿”——他每隔一小会儿就会停下来，指出藏在树叶下或树后的野生动物的微妙动静。在接下来两个小时的漫游中，他发现的动物包括一对青蛙、一只红冠鸟、一只顶针大小的乌龟和一只脚步敏捷的狐狸，对于每一个发现，他都给予了片刻安静的观察。

“我很擅长发现东西，”他说。“这是我的特殊能力之一。”

现年39岁的许埈珥已被授予数学界的最高荣誉——菲尔兹奖，以表彰他在数学的风景中漫游并找到恰到好处的对象的能力——他随后利用这些对象，让看似毫不相干的几何学和组合数学领域以全新且令人兴奋的方式展开对话。从研究生阶段开始，他在组合数学领域解决了几个重大问题，通过数学的其他分支开辟出一条迂回的路线，直抵每个证明的核心。每一次找到那条路径，都无异于一个“小小的奇迹”，许埈珥说。

人们也可以这样形容他走上数学之路的历程：充满了漫游与一系列小小的奇迹。年轻时的许埈珥根本没有想过要成为一名数学家。他对这门学科漠不关心，高中辍学去当了诗人。直到大学期间的一次偶然相遇——以及许多次感到迷茫的时刻——才让他发现，数学中蕴含着他一直寻找的东西。

那次充满诗意的弯路，后来被证明对他的数学突破至关重要。据他的同事们说，他的艺术气质体现在他能发现其工作核心中那些恰到好处的数学对象上，也体现在他在所做的每一件事中寻求更深层意义的方式上。“数学家在很大程度上就像艺术家，因为我们实际上都在寻找美，”旧金山州立大学的数学家、许埈珥的合作者之一 费德里科·阿迪拉-曼蒂利亚 (Federico Ardila-Mantilla) 说。“但我认为在他的案例中，这一点尤为明显。我真的非常喜欢他的品味。他创造出了美丽的东西。”

“当我得知他是从诗歌转行到数学的时候，我的反应是：好吧，这就说得通了，”阿迪拉补充道。

许埈珥自己也将在艺术家和数学家之间作了类比。对于两者，他说，“感觉就像你在抓住一些已经存在那里的东西，而不是在你脑海中创造出什么。”

辍学者

在任意普通的一天里，许埈珥大约会进行三个小时的专注工作。他可能会思考一个数学问题，或是准备给学生们上课的讲义，亦或是为他的两个儿子预约看医生。“然后我就精疲力竭了，”他说。“做一些有价值的、有意义的、有创造性的事情”——或者一项他并不是特别想做的工作，比如预约医生——“会消耗你很多精力。”

听他讲来，他通常无法控制自己在这三个小时里决定专注于什么。在2019年春天的几个月里，他所做的只有阅读。他有一种强烈的冲动，想要重温他年轻时第一次接触的书籍——包括罗马皇帝马可·奥勒留（Marcus Aurelius）的《沉思录》和德国作家赫尔曼·黑塞（Hermann Hesse）的几部小说——所以他就这么做了。“这意味着我没有做任何工作，”许埈珥说。“所以这算是个问题。”（不过他后来已经接受了这种约束。“我曾经试图抵抗……但我最终学会了向这些诱惑屈服。”结果是，“我变得越来越擅长无视最后期限了。”）

许埈珥最近一次演讲的笔记。Caroline Gutman 为《Quanta》杂志拍摄

他发现，强迫自己去做某事或设定一个具体目标——即使是为了他喜欢的事情——也永远行不通。把注意力从一件事转移到另一件事对他来说尤其困难。“我认为意图和意志力……被高估了，”他说。“你很少能靠这些东西取得任何成就。”

他从小就是如此。他于1983年出生在加利福尼亚州，当时他的父母正在那里读研究生。在他大约2岁时，全家搬到了韩国首尔。在那里，他的父亲教授统计学，母亲教授俄语语言和文学。

上学对他来说是极其痛苦的。他热爱学习，但在课堂环境中却无法集中注意力，也吸收不了任何东西。相反，他更喜欢自己阅读——在小学时，他狼吞虎咽地读完了全套10卷的生物百科全书——并探索他家公寓附近的一座山。他很快就对那座山的每个角落了如指掌，但他还是偶尔会迷路，有一次甚至误入了一片由于可能存在地雷而被列为禁区的区域。

他尽可能地去逃避数学。他父亲曾试图用练习册教他，但许埈珥没有尝试去解题，而是抄写了书背面的答案。当他父亲发现并把那些答案页撕掉后，许埈珥就跑到当地的书店，在那里把答案抄下来。“到那一步，他就放弃了，”许埈珥说。

当他16岁，正处于高中一年级下半学期（韩国高中为三年制）时，他决定辍学去写诗。他有点像个浪漫主义者。“我听到好听的音乐时，甚至会在生理上真切地流下眼泪，”他说。他写自然，也写自己的经历。他计划在上大学前的两年里完成他的杰作。“当然，那并没有发生，”他笑着说。

他发现写作的过程过于关注自我——而对他来说，这种探索往往是痛苦和令人沮丧的。此外，正如他后来意识到的那样，“我想成为一个能写出伟大诗歌的人，”他说。“但我其实并不是想写伟大的诗歌。”现在，他把那个版本的自己视为一个几乎完全陌生的人。

当他于2002年进入首尔大学时，他感到随波逐流。他曾短暂地动过做科学作家的念头，并决定主修天文学和物理学。但他经常翘课，不得不重修几门课程。“我当时总体上很迷茫，”他说。“我不知道我想做什么。我不知道我擅长什么。”

事实证明，他终究还是擅长数学的——而这完全是他偶然发现的。

真正的美

许埈珥花了六年时间才大学毕业。在第六年，他选修了日本著名数学家广中平祐（Heisuke Hironaka）教授的一门课，广中平祐曾在 1970年获得了菲尔兹奖。广中平祐非常有魅力，许埈珥很快就被他深深吸引。

但在第一堂课上吸引许埈珥的，不仅仅是教授的个人魅力，还有数学本身。表面上看，这门课是代数几何的入门课，代数几何是研究代数方程的解及其几何性质的学科。然而，广中平祐教授的却是他自己在名为“奇点理论”（singularity theory）领域的研究成果，该理论侧重于研究特定类型的空间。“基本上，他在课堂上讲的是他昨天思考的东西，”许埈珥说——一个非常具体的问题，以及不一定正确的证明。这门起初有200名学生的大课人数迅速锐减；几周后，只剩下5名学生，许埈珥就是其中之一。

他第一次亲眼目睹了研究级数学是实时的展开过程。广中平祐的讲座不像其他本科课程那样经过精心打磨，在那些课程中一切都被精简，答案已经被推导出来。许埈珥喜欢其中的悬念，喜欢尝试去做一些没有人真正知道如何去做的事情的感觉——以及伴随未知而来的自由，还有那些成为可能的惊喜。他说，大学里通常教授的材料是经过几个世纪提炼出来的。“那与你在眼前观察这种原生态的数学是非常不同的。”

许埈珥在普林斯顿大学校园内。

许埈珥发现，这种数学能给他诗歌所无法给予的东西：能够在自我之外寻找美的能力，努力去抓住一些外部的、客观且真实的东西，这种方式比写作更能让他敞开心扉。“你不会去思考渺小的自我，”他说。“那里没有自我（ego）的位置。”他发现，与他做诗人时不同，他从不被追求认可的渴望所驱使。他只是想做数学。

广中平祐或许意识到了这一点，于是将他收于麾下。许埈珥毕业并开始在首尔大学攻读硕士学位后——在那里他也遇到了他现在的妻子金奈永（Nayoung Kim）——他花了很多时间与广中平祐在一起。在假期里，他跟着教授回到日本，在东京和京都和他住在一起，帮他提行李，共进午餐，当然，还继续讨论数学。

意想不到的发现

许埈珥申请了大约十几个美国的博士项目。但由于他平庸的本科经历，除了一所大学外，他被其他所有大学拒绝了。2009年，他开始在伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校学习，随后于2011年转入密歇根大学完成他的博士学位。

尽管面临重重挑战——在一个新的国家生活，与金奈永异地（她留在首尔大学攻读数学博士学位）——许埈珥还是很珍惜他在研究生院的经历。他能够全身心地投入到数学中，他十分享受最初吸引他接触这门学科的那种探索的自由。

他很快脱颖而出。作为伊利诺伊大学的一名刚起步的研究生，他 证明了图论中的一个猜想，该猜想已经悬而未决40年。在最简单的形式下，这个被称为“里德猜想（Read’s conjecture）”的问题，涉及附加在“图”上的多项式——例如像 n ⁴ + 5 n ³ + 6 n ² + 3 n + 1 这样的等式。图是由顶点（点）和连接它们的边（线）组成的集合。具体来说，假设你想给一个图的顶点着色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。在你拥有特定数量颜色的情况下，有许多种方法可以对图形进行着色。事实证明，总的可能性数量可以使用一个称为色多项式（chromatic polynomial）的方程来计算（该方程是根据使用的颜色数量写出的）。

数学家们观察到，无论什么图，色多项式的系数似乎总是遵循某些规律。首先，它们是“单峰的”（unimodal），这意味着它们先增加后减少。以上述多项式为例。其系数的绝对值——1, 5, 6, 3, 1——形成了一个单峰序列。此外，该序列还是“对数凹的”（log concave）。对于序列中的任意三个连续数字，中间数字的平方至少与它两边数字的乘积一样大。（例如在上述多项式中，6 ² ≥ 5 × 3。）

Merrill Sherman /《Quanta》杂志

尽管如此，数学家们在证明这些性质时遇到了困难。就在这时，许埈珥似乎凭空出世了。

在攻读硕士期间，他曾跟随广中平祐学习代数几何和奇点理论。该领域的主要研究对象被称为代数簇（algebraic varieties），可以将其视为由特定方程定义的形状。有趣的是，与某些类型的代数簇相关联的数字已知是对数凹的——许埈珥之所以知道这一点，仅仅是因为他学习方向上的偶然机缘。许埈珥的关键想法是找到一种构建代数簇的方法，使得那些相关联的数字恰好就是原始问题中图的色多项式的系数。

他的解决方案震惊了数学界。正是此时，曾拒绝他最初申请的密歇根大学将他招募到了他们的研究生项目中。

许埈珥的成就之所以令人印象深刻，不仅是因为他解决了一个长期以来看似完全无法攻克的里德猜想。更重要的是，他证明了在图的组合属性之下，隐藏着更深层的东西——也就是几何学。

他的举止也给数学家们留下了深刻的印象。他在会议上的演讲总是通俗易懂且具体；在与他的交谈中，人们很清楚地看出他在对自己所研究的概念进行既深刻又广泛的思考。“对于一个研究生来说，他成熟得不可思议，”佐治亚理工学院的数学家 马修·贝克 (Matthew Baker) 说。在贝克第一次见到他之后，“我当时的反应就是：这家伙是谁啊？”

据许埈珥在密歇根大学的导师 米尔恰·穆斯塔塔 (Mircea Mustaţă) 说，他几乎不需要任何监督或指导。与大多数研究生不同，他脑子里已经有了一个研究项目，以及如何推进的想法。“他更像是一位同事，”穆斯塔塔说。“他已经有了自己看待事物的方式。”

他的许多合作者都指出，他极其谦虚且脚踏实地。当他得知自己获得菲尔兹奖时，“感觉并没有那么好，”许埈珥说。“你当然会感到高兴，但在内心深处，你会有点担心，他们最终可能会发现你其实并没有那么好。我是一个相当优秀的数学家，但我配得上菲尔兹奖吗？”

逃离空间

图实际上只是能定义称为“拟阵”（matroids）的更一般结构的一种对象类型。例如，考虑二维平面上的点。如果两个以上的点在该平面上的同一条直线上，你可以说这些点是“相关的”（dependent）。拟阵是一种抽象对象，它在各种不同的背景下——从图到向量空间再到代数域——捕捉到了诸如相关性（dependence）和独立性（independence）之类的概念。

Merrill Sherman /《Quanta》杂志

正如“图”具有与之相关的色多项式一样，“拟阵”也有被称为特征多项式的方程式与之相连。有人猜想，这些更一般对象的特征多项式系数也应该是对数凹的。但是，许埈珥用来证明里德猜想的技术，只能用来证明非常小的一类拟阵的对数凹性，比如由图产生的拟阵。

许埈珥与数学家 埃里克·卡茨 (Eric Katz) 扩大了可适用此类证明的拟阵的类别。他们遵循了一种类似于配方的策略。像以前一样，策略是从感兴趣的对象（这里是拟阵）开始，并用它来构建代数簇。在那里，他们可以提取出一个称为上同调环（cohomology ring）的对象，并利用它的一些性质来证明对数凹性。

只是这里存在一个问题。大多数拟阵没有任何几何基础，这意味着实际上没有代数簇可以与它们关联。于是，许埈珥、卡茨和数学家 卡里姆·阿迪普拉西托 (Karim Adiprasito) 找到了一种方法，直接从拟阵本质上从零开始写出正确的上同调环。然后，他们使用一套全新的技术证明了，它的表现就仿佛它来自一个真正的代数簇一样，即使事实并非如此。在此过程中，他们证明了所有拟阵的对数凹性，一劳永逸地 解决了被称为罗塔猜想（Rota’s conjecture）的问题。“它居然行得通，这真是非常引人瞩目，”贝克说。

这项工作表明“你不需要空间来做几何，”许埈珥说。“那让我从根本上重新思考几何是什么。”这也将引导他走向许多其他问题，在这些问题中，他继续将这个想法推向更深处，使他能够开发出更广泛的方法。

但尽管这项工作需要很强的具体性，构建正确的上同调环需要进行大量的猜测和在黑暗中摸索。这是这项工作里许埈珥尤为享受的部分。“没有指导原则……没有明确定义的目标，”他说。“你只需要去猜测。”

许埈珥的工作涉及调查拟阵的性质。这些抽象结构有时可以由几何对象产生。

这种没有意图的状态完美地映射了他在日常生活中状态最好的运行模式。这就好像他发现了一个完美契合他个性的数学程序。他再次发现，“事情就这样自然而然地发生了，”许埈珥说。

事物的核心

许埈珥说话缓慢，经常停顿，字斟句酌，举止间带着一种近乎冥想的平静与安宁。“他不会轻易变得激动，”威斯康星大学麦迪逊分校的数学家 王博潼 (Botong Wang) 说，他曾与许埈珥合作完成了一些近期重要成果。

在做数学时，他也同样从容不迫。王博潼第一次见证时感到非常震惊。“我有过参加数学竞赛的经历，经验告诉我作为数学家，你必须聪明，你必须反应快，”他说。“但许埈珥恰恰相反。……如果你和他聊五分钟关于微积分的问题，你会觉得这家伙连资格考试都过不了。他太慢了。”事实上，他慢到让王博潼一开始认为他们在早已理解的简单问题上浪费了大量时间。但后来他才意识到，许埈珥正在以一种更深入的方式学习哪怕是看似简单的概念——而且正是这种方式在后来被证明极其有用。

“许埈珥喜欢用正确的方式做事，”安大略省西方大学的数学家、许埈珥的合作者之一 格雷厄姆·德纳姆 (Graham Denham) 说。

例如，德纳姆、阿迪拉和许埈珥刚刚完成了一个与罗塔猜想密切相关的高达50页的证明，但许埈珥却说他们应该花更多时间去寻找一种更干净、更吸引人的方法。他认为外面一定存在着更好的解释，最好不要急于求成。“费德里科（阿迪拉）和我当时的反应是，哦，好的，那我们就把这份证明扔掉，可以吗？”德纳姆说。

他们花了两年时间才打造出 更好的论证过程。“幸好我们都已经拿到终身教职了，”阿迪拉说。不过最终，阿迪拉和德纳姆都认同这份额外的努力是值得的。他们最终的结果“完全不同，更深刻，而且触及了事物的核心，”阿迪拉说。

这种做法不仅适用于许埈珥的数学工作。2013年，他决定要学习烹饪。作为一个完全的初学者，他采取的策略是每天做同一道菜——简单的油泼意大利面——直到它完美为止。整整六个月，他完全就是这么做的。（据妻子金奈永说，直到今天，这也是他唯一会做的一道菜。）

许埈珥的整个生活都是建立在规律的作息之上的。“我几乎每天都完全一样，”他说。“我对重复有极高的耐受力。”他入睡有困难，通常在凌晨3点左右醒来。然后他去健身房，和妻子及两个儿子（一个8岁，另一个刚满1岁）一起吃早餐，在去普林斯顿办公室之前陪大儿子步行上学。

他的办公室很简陋，几乎是空的。有一张大桌子，一张用来睡觉的沙发——许埈珥通常在上午晚些时候要小睡一会儿——地板上铺着一张瑜伽垫（他说只是用来躺着的；他其实不会做瑜伽）。没有书，只有几摞整齐地叠在靠墙架子上的文件。角落里有一台吸尘器。许埈珥喜欢那些重复性、不需要动脑子的活动，比如打扫卫生、洗碗，以及将他阅读的内容抄写到笔记本上的物理动作。

他经常在公共图书馆的儿童区工作，那里相当嘈杂。“我不喜欢安静的地方，”他说。“那会让我昏昏欲睡。”许埈珥对很多事情都有这种感觉。

每天午饭后，他都会去散步很长一段时间，然后回到办公室继续做些工作（除非他已经达到了三小时的额度），之后再回家。他和家人度过余下的夜晚时光；他们所有人都在晚上9点左右一起在大床上睡觉。

这种对规律的偏好——以及任何偏离规律的事物都会让他筋疲力尽的倾向——有时会以极端的方式表现出来。例如，在密歇根大学读博期间，“我切断了几乎所有其他的事情，”许埈珥说。刚搬到安娜堡时，他发现自己对严冬毫无准备。他几乎没什么行李，他需要一条毯子。但当他查阅如何去当地购物中心时，他发现后勤方面太困难了。“这简直超出了我的忍受极限，”他说。“我不想把我的精神能量浪费在搞清楚如何从这里走到那里上。”于是，他走到附近的一家CVS药店，买了10块布料和一个巨大的订书机，然后用订书机把这些布料钉在一起做成了毯子。

许埈珥在普林斯顿大学的刘易斯科学图书馆里。

他曾有几个月靠吃冷冻披萨度日，因为他不想应付买菜和做饭。他只想做数学。他形容他生命中的那个时期“几乎像苦行僧一样”。事实上，在那个时候，他真的每周只和另外一个人——他的导师穆斯塔塔——说一次话。

金奈永回忆起在许埈珥还在伊利诺伊州时去拜访他，“那之后，我真的重新思考了我们的关系，”她说。“我应该嫁给他吗？因为他无法处理现实生活中的技能，比如生存技能。”

尽管如此，她还是在2014年嫁给了他。他们搬到了普林斯顿，两人都在高等研究院开始工作。那是金奈永第一次在美国生活，她用英语处理某些事务感到不自在；她不得不依靠许埈珥来把事情办成。“可以这么说，她非常失望，”他说。

那年晚些时候，金生下了他们的第一个儿子Dan（丹）。在分娩期间，她还抓到许埈珥正在做数学。

“我妻子是一个比我平衡得多的人，”他说。“生活有很多面，而数学只是其中非常非常非常微小的一部分。”

“我是一个真正的行动者，”金说。“他是一个思考者。”

但她补充说，从那以后，许埈珥有了极大的改善。在夫妻俩抚养丹的过程中，“我学会了如何过更平衡的生活，”许埈珥说。“那是一个转折期。”他花很多时间和丹在一起——陪他画画，解答丹为他设计的复杂数学练习册里的问题，带他去书店和其他当地场所。他甚至还包揽了金让他去做的后勤任务，尽管心有不甘。“我仍然不喜欢这样，”他说，“但我的意思是，我们总不能盖着用订书机钉起来的毯子过日子吧。”

现在他甚至能够从数学中抽身出来了。当他处于空闲状态时，他的大脑不再返回去思考问题了，当其他事情需要他时，他能够停下来休息一下。

“他现在完全是另一个人了，”金说。

头重脚轻

无论如何，有些事情并没有改变。许埈珥仍然只能集中精力每天工作几个小时。“其他人工作一小时，只休息五分钟，”金说。“他呢，是做其他事一小时，只专注五分钟、十分钟。”

他对美的追求也没有改变。他经常回归到关于对数凹性或类似概念的问题上，作为发掘那种美的一种方式。

Caroline Gutman 为《Quanta》杂志拍摄

例如，他、王博潼和其他合作者最近证明了关于点、线和面的结构的一个基本问题，即道林-威尔逊（Dowling-Wilson）的“头重脚轻”（top-heavy）猜想。考虑平面上一个有限点集，每对点由一条线连接。数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）和尼古拉斯·戈弗特·德布鲁因（Nicolaas Govert de Bruijn）证明过，线的数量必须始终大于或等于点的数量（除非所有的点都位于一条直线上）。以正方形四个角的四个点为例，线条勾勒出了正方形，并且还连接了对角，总共加起来有六条线。

“头重脚轻”猜想推广了这个想法。这不是平面，而是在某些高维空间中给定一组点。考虑连接点对的所有线，由三个点集所跨越的面，由四个点构造的三维子空间，以此类推。现在思考由这些数字构建的序列：点的数量、线的数量、面的数量。比较在这个序列中对称位置的数字（第一个和最后一个数字，第二个和倒数第二个数字，依此类推）。对应于高维空间的数字至少同样大——也就是说，这个序列是“头重脚轻”的。（这个序列也被猜想是对数凹的，但这尚未得到证明；到目前为止，许埈珥和王博潼已经证明了序列的前半部分是单峰的。）

许埈珥和王博潼采纳了许埈珥在研究罗塔猜想时的工作思路，但在这样做的过程中，他们不得不进一步推进他的项目。同样，他们是在处理拟阵、代数簇和上同调环。但这一次他们必须找到的代数簇涉及到奇点（singularities），即空间放大后看起来与在其他点看起来不同的地方。这使得 构建正确的空间 并证明其上同调环的某些性质变得更加复杂——在没有代数簇作指导的情况下，要想解决他们必须 直接从拟阵中 构造这些环的案例就更是难上加难了。

在他们花五年时间解决这个问题的过程中，许埈珥也开始探索一种彻底脱离几何学的方法。在那之前，他有太多工作涉及到构建问题所需精确的上同调的艰巨任务。此外，一旦找到了那个上同调，数学家们仍然需要证明它满足某些性质，这也可能需要好几年的时间。

他（与数学家 彼得·布兰登 (Petter Brändén) 共同）开发的新理论能够完全绕开这些方法。这使得他们能够 解决一个被称为强梅森猜想（strong Mason conjecture）的问题（该猜想探寻有关拟阵中独立集数量的问题），并且其他数学家已经使用该理论以更直接的方式重新证明了罗塔猜想。但更重要的是，它打开了发现全新问题的大门，暗示了为什么所有这些对数凹的命题都是真的更深层原因，并且与理论计算机科学中的问题产生了有趣的交集，而这些交集才刚刚开始被探索。

灵光乍现的连接

对于许埈珥来说，当他工作时，几乎有一种潜意识的东西在运作。事实上，他通常无法追溯他的想法是如何或何时产生的。他没有突然的顿悟。相反，“在某个时刻，你只是突然意识到，哦，我知道这个，”他说。也许上周他还因为不理解某件事，但现在，没有任何额外的输入，这些碎片就在他不知不觉中拼凑在了一起。他把它比作当你在做梦时，你的大脑能给你带来惊喜并创造出意想不到的连接的方式。“人类大脑的能力真是太惊人了，”他说。“而且承认我们不知道发生了什么也挺好的。”

也许，这也是他内心艺术气质的体现。他希望继续发现数学不同领域之间意想不到的连接。

“他只是遵循他最初的那个项目愿景……那个愿景他在读研究生时就已经有了，”贝克说。“看看他的极限在哪里，将是一件非常有趣的事情。”

到目前为止，许埈珥还没有达到极限。而数学家们确信他将继续创造出美丽的东西。

当被问及他是否会重拾早期那个艺术家版本的自己，再次尝试写诗时，他耸了耸肩。“也许吧。但我不知道，”他说。“我现在非常着迷于其他的事情。”