书写如何改变数学思维

大卫·E·丹宁探讨了符号系统的选择——例如使用罗马数字还是印度-阿拉伯数字——如何改变数学的研究方式。

人们很自然地认为数学本质上是抽象的。无论它是被发明的还是被发现的，它的真理在字面上都是普世的，以至于（人们认为）即使是外星人也会同意 2 加 2 等于 4。

然而，史密森尼学会美国国家历史博物馆的数学史家兼科学史策展人大卫·E·丹宁表示，数学的实际工作通常涉及一些完全“接地气”的事情：“在纸上或黑板上做标记。”这种做标记的行为，或者说“符号系统”（notation）——可能包括从木棍上的刻痕到屏幕上晦涩的排版符号——不仅产生了智力上的涟漪效应，还产生了实际、物质和社会层面的影响。

“当数学家们探索我们所体验到的抽象领域时，他们实际上是在‘做’一些事情，”丹宁说。“思想是随着它们在书面形式上的不同表达方式而同步发展的。这就是为什么我发现专注于符号系统非常有用——我将其视为一种将数学家的所作所为根植于现实活动和物理世界的方式。”

丹宁研究符号系统的社会效应，他的职业追求是逐渐形成的，始于本科时的数学和英语双学位。“它们对我来说是相关的，”他说。“它们都关乎通过写作可以召唤出的世界和结构。”在分别追求这两个兴趣后，他意识到科学史的研究生课程可以将两者结合起来。特别是，他受到社会学家大卫·布鲁尔（David Bloor）的论著《知识和社会意象》（Knowledge and Social Imagery）的启发，开始进一步了解“数学知识的创造是如何在人们相互交流的过程中，并深深植根于其背景之下而产生的。”

换句话说，你并不需要相信数学本身全是相对的——明确地说，丹宁并不这么认为——就能参与到其各种符号形式的社会偶然性中。这些形式“必须被发明，我们必须学习使用它们，它们具有可供性（affordances）和局限性，”他说。“在很多方面，它就是一种技术。”

《量子杂志》（Quanta）与丹宁探讨了这种技术如何影响数学思维——关于为什么罗马数字难以使用，符号如何在微积分中胜过几何图形，以及关于记录方式的争论如何产生了一些关于逻辑和计算的最基本见解。为了清晰起见，对话经过了删减和编辑。

丹宁在本科阶段同时修读了英语和数学。“它们对我来说是相关的，”他说。“它们都关乎通过写作可以召唤出的世界和结构。”

数学符号系统从何而来？它是如何开始的？

符号系统总是一套实践。最基础的数学符号类型是数码——能够写下数字。在做出什么样的涂鸦这个层面上，总是有一些偶然性。但符号系统不仅仅是具体的涂鸦，它是规则，是你用它来做什么。不同的数码系统有不同的优缺点。

比如什么？

我们使用的印度-阿拉伯数字起源于印度，流传到阿拉伯世界，然后主要通过商人阶层传播到欧洲。与之前在欧洲广泛使用的罗马数字相比，印度-阿拉伯数字能更轻松地促进商人进行商业所需的计算。用罗马数字构思算术并非不可能，但它不像后者那样利于算术活动。

为什么不呢？

使用罗马数字，每当达到一个新的数量级，你就需要一个新符号。如果你在写年份，那没问题，但它有极限。而如果你理解了印度-阿拉伯数字，那么只需要 10 个符号，你就可以表示潜在的无限多个数字。理论上，你可以理解任何自然数。

在史密森尼美国国家历史博物馆看到的这些物理模型，长期以来一直被用于获取对曲面和其他数学对象的新见解。“它们以前在每个数学系都有，”丹宁说。“当时有一种观点认为，学习数学的一部分就是为了培养对等式所代表的形式的物理直觉。”

更重要的是，它们不仅仅是一个静态表示系统。随之而来的是我们熟知的加法、乘法等算法——一种计算方式。我们对此习以为常：学童们学习如何进位以及如何将大数相乘。但我认为，这凸显了印度-阿拉伯数字作为一种惊人技术的作用。我们已经习惯了一个这种技术长期普及的世界，但重要的是要意识到，在历史上，在大数相乘变得容易的系统出现之前，这曾经是一件很难做到的事情。

这就是符号系统的力量。

书写是先决条件吗？还有其他数学符号系统吗？

当你追溯得更远时，还有一些复杂的表示数字的系统，它们本身并不是文字。我特别想到了印加人的“奇普”（quipus），这是一种结绳记事系统，可以编码复杂的数值信息。还有罗马人的手指计数系统，这种系统在欧洲中世纪一直被广泛使用，双手最高可以数到 9,999。

这是一张插图，出自 1494 年出版的意大利代数论著《算术集成》（Summa de Arithmetica），展示了一种罗马手指计数系统，允许人们用双手表示最高达 9,999 的数字。公有领域

那么为什么书写最终胜出了？为什么我们不教人们用某种更具形象性或视觉性的符号来做数学呢？

我们可以思考一段相关的历史来理解这个想法——即牛顿和莱布尼茨处理微积分及其符号的不同方式。

背景是，你指的是戈特弗里德·莱布尼茨和艾萨克·牛顿在 17 世纪各自独立发明了微积分，并使用了不同的符号，对吗？

没错。牛顿认为他的微积分比莱布尼茨的更植根于几何学。牛顿的杰作《原理》（Principia）并没有引入符号微积分——像欧几里得一样，它以定义和公理开头，然后有大量的图表。重要的是要意识到，（在当时）欧几里得仍然是数学的奠基性文本，而代数通常被视为一种“走捷径”的方法，用于获取你在更“真实”形式（即几何形式）的问题中所需要的值。

“思想是随着它们在书面形式上的不同表达方式而同步发展的，”丹宁说。

莱布尼茨想要一种更具代数性、符号性、专注于符号系统的微积分。你会看到他的一句名言：“我敢说，这是人类精神的最后一次努力，当这个项目完成时，人们所要做的就是享受幸福。”我的意思是，他听起来就像个推销人工智能的人——这种想法认为我们的书写系统可以替我们思考。这确实是莱布尼茨理解符号系统的方式。

他的符号系统就是我们今天仍在微积分中使用的那个吗？

是的——最显著的是积分符号，它是微积分中最具辨识度的图像。它是一个拉长的“S”，代表“总和”（sum）。莱布尼茨的微积分在欧洲大陆得到了更多的应用，它不断成长并展现出肥沃的生命力，而牛顿的则不然。

那是因为它确实让微积分变得更容易了吗，就像印度-阿拉伯数字对算术的作用一样？

我确实在某种程度上认为这是真的。人们指出的一个核心点是，莱布尼茨的 $dy/dx$ 微分符号诱导人们去“玩转”它，而牛顿的符号则做不到。

戈特弗里德·莱布尼茨关于积分学的手稿笔记，发现于他德国汉诺威的档案中。他的记号法后来演变为我们今天在微积分中使用的符号。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨图书馆/斯蒂芬·沃尔夫勒姆/公有领域

但我不想把它仅仅归结于此。莱布尼茨的符号之所以流行，是因为他的合作者圈子采用了它并加以推广，而他们的继任者——像欧拉、拉格朗日和拉普拉斯这样的人——在接下来的一个世纪里将分析学发展成了欧洲大陆的一门完整学科。在英国，牛顿的数学物理被定位为重要学科，但并未成为研究文化的基础。所以就出现了这样一种情况：极其崇拜牛顿的英国传统实际上并没有跟上其他地方牛顿力学的发展。

在 19 世纪初，英国年轻的数学系学生感到沮丧，因为当所有的数学研究都在使用莱布尼茨的符号时，学校仍在教他们使用牛顿的符号。这也是由于法国大革命和拿破仑战争使得英国与巴黎之间的文化交流变得异常困难。所以（符号系统）不是他们可以迅速切换的东西，他们也没有这种权力。这是一个渐进的过渡，直到那一代人逐渐晋升到能够设定考题的位置。到 19 世纪中叶，英国数学转向了莱布尼茨的符号，这种转型才算真正完成。

丹宁致力于研究史密森尼学会的数学和计算机藏品。

符号系统总是会像这样趋向于某种主导形式吗？

并不总是这样，也不总是那么明确。数理逻辑是一个特别重要的例子，在那里你会看到符号系统的巨大激增——以及作者们对这种多样性的适应程度。最终它们或多或少会趋同，但你也能看到共存的现象。

原因之一是（逻辑学家）有着截然不同的目标，尤其是在早期。乔治·布尔（George Boole）在 1847 年出版了他的第一本关于数理逻辑的书，他相信逻辑是数学化的，你可以通过将三段论表示为方程，比亚里士多德更有效地处理同样的逻辑。所以对他来说，使用现有的代数符号非常重要：即读者已经熟悉的系统。

但在 1879 年，德国数学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）出版了他的《概念文字》（Begriffsschrift）。对他来说，目标恰恰相反：是要证明数学本质上是逻辑。为了做到这一点，他的逻辑符号系统中不能包含任何数学符号，因为他最终要重建数学。因此，他发明了一套看起来完全不像之前数学符号的系统。

有一段时间，这种多样性（符号的多样性）简直成了逻辑运作的方式。部分原因是逻辑没有一个非常明确的应用或统一的目的。不同的作者认为逻辑之所以重要有不同的原因，这反映在他们认为哪种符号系统最能服务于其目的。紧跟文献意味着要不断在这些系统之间转换，并思考它们能做什么，不能做什么。

这种符号系统的激增并不是逻辑学所独有的，但它对逻辑学尤为重要。在 20 世纪 30 年代，你看到了这个巅峰时期，库尔特·哥德尔、艾伦·图灵和阿隆佐·丘奇提出了非常重要的定理（关于不完备性和计算）——在这些定理中，书写系统的功能本身就是研究课题，就是你证明定理的对象。我认为，这些元问题始于这样一个领域，即没有人以同样的方式写作。上下文背景是这一传统，其中有如此多的符号系统，而你一直在关注它们能做什么，这绝非偶然。

数学符号系统现在还在演变吗？我们需要将其推向书写之外吗？

我怀疑我们还没有触及天花板。计算机允许进行各种建模，我想我们可能会看到越来越多的数学领域，其结果是动态的——即那些你无法打印出来的物体和过程的（模型或模拟）。但这在数学史上并非没有先例。

我们谈到了遥远过去除书写之外的其他范式，而在 19 世纪末，物理模型曾有过一个真正的全盛时期。当时有很多石膏几何模型，我们在（史密森尼）博物馆里就有大量藏品。它们以前存在于每个数学系：你有一套针对各种不同曲面的模型，当时有一种观点认为，学习数学的一部分就是为了培养对等式所代表的形式的这种物理直觉。你可以看到，模型制作实践实际上也是一种研究探索。

与此类似，计算机为非排版形式的表达开辟了大量可能性，并将使新问题的提出成为可能。

我们应该有一个限定：我们谈论的是精英数学话语，用“数学”来称呼它是一种方便的简写，但这实际上遗漏了很多内容。一个人在杂货店里处理商品价格和预算时所使用的知识，也是数学。我们拥有这些符号技术，使我们不认为这是重要的数学，但它确实是。

符号系统在其他方面变得普及或熟悉了吗？

我想到的另一个例子是使用 $x$ 作为变量。在数学史上，这种做法用了很长时间才发展出来。当小学里的孩子第一次接触到我们要把字母当成数字来处理的想法时，他们仍然觉得这很深奥。但（现在）它已经被广泛学习，各种不认为自己懂数学的人都能自如地在句子中使用 $x$ 来代替未知数。你可以说，“假设我有 $x$ 磅苹果，”一个完全不想处理实际方程式的人也不会被这种说话方式所排斥。

这就是符号系统使之成为可能的东西——深奥的事物。而什么算作深奥是可以改变的。

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