陶哲轩谈伊夫·梅耶的小波：从纯数学到信号处理
摘要
小波怎样把纯数学与日常技术联系起来？陶哲轩以 2017 年阿贝尔奖得主伊夫·梅耶的工作为线索，从准晶与流体力学讲到数字信号的表示，说明小波如何兼顾整体结构与局部细节，并通过稀疏表示服务于图像压缩、去噪、计算机图像和压缩感知。随后的对谈进一步讨论了理论框架的作用、跨学科交流、缩短 MRI 扫描时间的研究，以及数学学生如何培养提问、尝试与长期探索的能力。
概述
这场演讲与对谈来自 2017 年在挪威奥斯陆举行的阿贝尔奖 afterMath 活动。前半场，陶哲轩介绍梅耶横跨纯数学与应用数学的贡献，并借助声音、图像和视频等例子，解释空间表示、傅里叶表示与小波表示各自擅长处理什么。后半场，主持人 Eldrid Borgan 与他讨论数学如何通过抽象获得广泛应用，以及研究者在合作、职业选择和日常工作中面对的问题。
梅耶的重要贡献之一，是与斯特凡·马拉共同发展多分辨率分析，为构造和设计不同的小波提供系统框架。陶哲轩也分享了自己与埃马纽埃尔·坎代斯在压缩感知上的研究，以及在困难问题上保持进展的具体做法。
演讲：伊夫·梅耶与小波
开场
陶哲轩： 非常感谢。谢谢你，Eldrid。我想，我很庆幸自己不会挪威语。
好，接下来我来介绍伊夫·梅耶的一些工作。刚才大家已经听到了一些介绍。他最著名的当然是关于小波的研究，不过我也会简要谈谈他的其他工作。他既研究纯数学，也研究应用数学，是少数在这两个领域都做出过奠基性贡献的数学家之一。我想，对他来说，这两者其实就是同一门学问。
例如，他早期的一项工作，就是描述我们如今所说的准晶体。当时，梅耶研究的是数论中一些纯理论的问题。
梅耶集与准晶体
陶哲轩： 他在研究一类特殊的数，叫作皮索数。黄金比例就是一个很好的例子。他发现，这些数与某些特殊的点集密切相关，我们现在把这些点集叫作梅耶集。
看这里，有一条直线，线上的这些绿色点构成了一个梅耶集。它们几乎是规则排列的，几乎具有周期性。它们会重复出现，不过，周期集是以相等的间距有规律地重复；而这个点集虽然也会重复，间距却并不相等。比如，这里先是一个小间隔，然后是一个大间隔，再是一个小间隔、一个大间隔。它在重复，可又没有完全重复：这里多出了一个大间隔，然后又是一个小间隔、一个大间隔。所以，它重复着，又不完全重复。这是一种很奇妙的图案。
这就是我们所说的准周期点集。它不完全具有周期性，却拥有周期集的许多性质。
这里是一个二维准周期点集的例子。你同样能看到一些图案，比如这里的这个小圆圈，到了那边又差不多出现了一次。接着隔开一段距离，又出现一次，再隔开一段距离。它并不是完全有规律地重复，不过，重复出现的次数仍然相当多。梅耶描述了这些点集，找到了一种能够描述所有这些点集的方法。
尽管这些点集并不具有周期性，他却证明，它们总是来源于更高维空间中的一个周期集。例如，这个绿色的点集没有周期性，但它来自这个黑色的点集。这里的黑色二维点集是周期性的，会有规律地重复。
对，它是一个格。你可以把这个格限制在一条带状区域里，也就是说，只看这两条虚线之间的黑点，然后把它们投影到这里的这条直线上。这样就能得到绿色的点集。所以，这个准周期点集实际上可以由二维空间中的周期集构造出来。我想，旁边这个二维点集则可以由五维空间中的周期集构造出来。不过，我就不在这里展示了。
梅耶的工作完全是理论性的，但大约十年之后，一些化学家在自然界中发现了恰好具有这种结构的物质排列，也就是我们现在所说的准晶体。事实上，发现它们的化学家丹·谢赫特曼，正是因为在现实世界中发现了这些准晶体而获得了诺贝尔化学奖。
流体力学
陶哲轩： 梅耶研究过、并作出过重要贡献的另一个领域，是流体力学。它研究诸如纳维–斯托克斯方程这样的方程，这些方程支配着水、空气和其他重要流体的运动。它们对于天气预报、模拟飞机周围的气流等问题都非常重要，但无论是在理论上还是在数值计算中，都很难求解。
这些方程的一个根本难题是，流体会产生湍流。一开始，流体可能十分平静、十分稳定，可当你按照这些方程推进计算时，在某些情况下，流体就会开始旋转，形成各种复杂的结构。这些结构不断向更精细的尺度发展，于是，求解这些方程，甚至对它们进行建模，都会变得困难。
不过，梅耶给出了一些方法，让我们在这种情况下仍能继续求解。事实上，这些方法就用到了他的小波，也就是我们现在要谈的内容。
好，下面来说小波。大家刚才已经看到了一个非常漂亮的小波，那其实就叫作梅耶小波。这里也有一张图。
什么是小波？
陶哲轩： 小波是现代信号处理中的一种基础工具。信号处理，就是研究如何处理数字数据的科学。如今，数字数据无处不在。只要你用手机、电脑或者互联网，就在处理数字数据。
数字数据有各种不同的形式、形状和大小。但对数学家来说，很多不同类型的数据都可以用同一套数学来处理。
例如，声音，也就是声波，可以看成一维数据。这一维就是时间：每一个时刻，声音都有一个振幅。把它画出来，就得到一个一维函数。这就是一份数字数据，一段声波。
另一种数字数据是图像，比如这张奥斯陆某座博物馆的图片。你可以把它看成二维数据：两个维度是 x 和 y，也就是宽度和高度。图像中的每个点（x，y）都有某种颜色或亮度，因此，这就是一个二元函数。这是从数学上理解二维图像的一种方式。
还有三维数据，比如视频。视频看起来是平面的，但对数学家来说，它实际上是三维数据，因为除了 x 和 y 这两个空间维度，还有一个时间维度。所以，你完全可以把视频看成一个三维的数据阵列。
这些数据的类型很不一样，但都可以用小波来分析。
在以数字方式处理数据时，首先要做的是表示数据。你得想办法把数据存进电脑。通常的做法，是把数据拆成一些简单的组成部分，再分别存储。实现这一点的方法有很多，每种方法都有各自的优点和缺点。
计算机如何表示数据
陶哲轩： 最简单、最直接的存储方式，叫作空间表示。你只需要把图像或手头的其他数据，拆成空间或时间上的一个个点，再把每个点分别存储下来。
例如，这里的这张图像可以拆成许多个点，也就是像素。每个像素只有一种颜色，你把每个像素的颜色存下来，就得到了这张图像的位图。这是一种存储数据的方法，对于查看、理解图像中非常精细的结构很有用。
但它在呈现较大的、大尺度的结构方面就很糟糕。如果电脑只看到这样一张图像，要把它处理出来，并看出这是一只鹿，是很困难的。
此外，这种图像也很占存储空间。像这样一张图像，可能有一兆字节，是一张百万像素的图像，需要存储一百万个像素。如今这并不算很多，但如果你有大量图片，想同时处理它们，速度就可能相当慢。
傅里叶表示
陶哲轩： 与空间表示处在另一个极端的，是傅里叶表示。刚才大家已经听人讲过，也听人唱过它了。
傅里叶分析这套数学已经有两百年的历史。它让我们可以把任何信号，比如这里这个一维信号，表示成一个或多个傅里叶模态的叠加，也就是三角学中那些正弦波和余弦波。
每个信号都有这样的分解。对于理解大尺度结构来说，这是一种很好的分解方法，与空间表示正好相反。例如，你有一组时间序列，其中存在季节性变化，像是夏天较暖、冬天较冷之类的规律，用傅里叶变换就很容易看出来。
但在另一个极端，它对于精细尺度结构的识别就很差。空间表示擅长呈现精细结构，却不擅长大尺度结构；傅里叶变换则反过来，很擅长描述大尺度行为，却不能很好地捕捉小尺度行为。而且，它的存储效率也很低。还是拿那只鹿来说，如果你对它做傅里叶变换，仍然需要一百万个不同的系数。
小波：兼得两者之长
陶哲轩： 小波是一项了不起的发明，可以说兼得两者之长：既有空间表示的优点，也有傅里叶表示的优点。它是由梅耶和其他几位研究者发展出来的。
这里有一个信号，可能是一段地震记录，也可能是某个人做了个后空翻。你可以像这样，把它拆成傅里叶模态，也就是这些正弦形的波；也可以使用小波变换，把同一个信号拆成这些叫作小波的东西。
小波的样子就是这样。它们也会振荡，和傅里叶模态有些相似，但不会无休止地振荡下去，只会在某一段时间内振荡。有的小波持续时间很短，有的持续时间很长，但它们都是小波。
梅耶和斯特凡·马拉发展出了一种小波变换，可以把任何信号表示成这些小波的叠加。从这一点上看，它与傅里叶变换非常相似，但在许多方面，它是一种更好的表示。
如果使用傅里叶表示，要精确表示这个信号，就需要无穷多个傅里叶波。你可以只取其中最大的几个傅里叶模态，比如像这里一样取最大的七个，来近似表示原信号，再把信号重建出来。
不过，这里重建出来的信号并不完美：原本尖锐的边缘变圆了，还出现了一些原始信号中并不存在的振荡伪影。所以，这样的重建效果不算好。
如果对小波变换做同样的处理，对边缘的保留就会好得多。这里这些尖峰处的形态仍然十分准确，外侧边缘附近的振荡伪影也更少。
稀疏表示
陶哲轩： 小波最重要、也让它变得非常实用的一个性质，叫作稀疏表示。
这里是另一张图片，旧金山的金门大桥。这张图可能有十万个像素。你看，图中没有黑色的部分，每个像素都有自己的颜色。因此，如果想画出这张图，就需要每一个像素。如果扔掉一半的像素，图像里就会留下许多空洞，这可不是你想要的。所以，空间表示并不是一种很稀疏的表示。
不过，我们可以用小波变换来转换这张图。这里我用的是哈尔小波变换。
你可以把图像分解成许许多多的小波，我在这里把它们排列了出来。准确地说，你在这张图里看不到小波本身，但这里的每个点，都对应着一个可以放到原图上的小波。
这边都是尺度非常精细的小波，它们很窄，捕捉的是图像中非常精细的变化，比如这些缆索，或者这里的一些细节。这些图表示的就是这样的信息。
然后还有中等尺度的部分。我想，这些表示的是图像中偏竖直方向的变化，这些捕捉的则是偏水平方向的变化。这里还有一些中等尺度的特征，以及一些较粗尺度的特征，分别由不同的小波来捕捉。
与原始图像相比，你会注意到，变换后的这张图里有大量的黑色。这就是关键：这里的大部分小波系数基本上都是零，或者接近零。真正具有显著大小的系数，可能只有百分之十。
这意味着，你已经把信号压缩了。描述这张图像，不再需要十万个数。十万个数里，真正重要的可能只有一万个。因此，只要找出最重要的一万个小波，就已经可以很好地描述这张图像。
这就是稀疏表示。也正是因为这一点，如今小波几乎无处不在。有些地方直接使用小波，有些则使用后来发明、以小波为基础的变体。今天，信号处理中的许多应用都会使用某种类似小波的东西。
应用：JPEG 2000、去噪与计算机生成图像
陶哲轩： 比如图像压缩。如果你想把一张很大的位图变小，以便存到手机上，或者发给朋友，就可以把它压缩成各种压缩格式。大家可能听说过 GIF 或 JPEG。还有一种格式叫作 JPEG 2000，它完全以梅耶及其合作者发展出来的小波变换为基础。
你也可以用小波去噪。一张图像可能有许多伪影，比如噪声、划痕，或者别的什么。借助小波，你可以把图像中好的部分，也就是有用的信号，与各种噪声分离开来。这就叫去噪。你可以清理信号，或者增强信号。
还可以检测边缘，比如指纹的边缘。刚才我们其实已经看到了，小波非常擅长做这件事。这里这两种特殊的二维小波，就是用来做这个的。
你还可以求解微分方程。我刚才提到了流体方程，也就是纳维–斯托克斯方程。描述黑洞的相对论方程，同样可以利用小波进行数值求解。
如今，大量的计算机生成图像，也就是 CGI，都用到了小波的稀疏表示性质。对于 CGI 中任何同时具有大尺度和精细尺度结构的物体，使用小波或类似小波的方法来建模，通常都是个好主意，尤其当物体包含许多曲线和曲面的时候。
压缩感知与更快的磁共振成像
陶哲轩： 一个比较新的进展，是我本人也参与过的压缩感知。它利用这种稀疏表示，让测量变得高效得多。
例如，你要用磁共振成像来拍摄人体。传统上，如果想用某种类似傅里叶变换的方法进行完整采样——实际上，它更像是 X 射线变换——可能需要好几分钟才能得到一幅不错的扫描图像。
但现在，我们有了利用小波和稀疏表示的方法，可能只需要对人体扫描十秒或二十秒，仍然能得到非常好的图像。这确实带来了很好的医学应用，此外还有许许多多其他的应用。不过，我想就讲到这里。谢谢大家。
哦，不，不，还有最后一点，还有最后一点。我还剩最后一张幻灯片。抱歉，我忘了提一件事。
梅耶的理论框架：多分辨率分析
陶哲轩： 那么，梅耶在这些工作中究竟起了什么作用？
梅耶并不算是最早发明小波的人，但他为小波提供了一套系统的理论描述，解释小波是什么、如何找到它们，以及如何设计它们。
如果你想要一个以某种方式发挥作用的小波，比如一个非常简单的小波，像这里这个哈尔小波；或者，你想要一个非常光滑的小波，像这个梅耶小波；又或者，你想尝试其他种类的小波，该怎么办？
梅耶和他的合作者马拉建立了一个叫作多分辨率分析的框架，可以用来生成各种各样的小波。不同的应用需要不同的小波，来完成不同的事情。
在梅耶的工作之前，小波这种工具只有一些专家用来完成某些特定任务，他们并不知道自己的方法究竟有多大的普适性。但在梅耶之后，人们意识到，小波几乎可以用在任何地方：只要有值得处理的信号，就值得试一试。
好，现在我真的讲完了。谢谢大家。
对谈：为什么理论很重要
主持人： 谢谢你精彩的介绍。至少我觉得自己现在多懂了一点。那么，建立这样的理论框架，为什么这么重要？
陶哲轩： 我在最后简短地提到了这一点。在这之前，已经有人在使用小波了。比如，一些研究地震数据的地球物理学家，发明了一种为特定问题量身定做的小波变换，比现在的小波变换稍微复杂一些。他们通过实验发现，这种方法对存储和分析数据非常有用，却并不真正知道它为什么有效。
这只是他们尝试过的一种方法，结果还不错。但他们不知道，它是不是地震数据特有的现象，是不是只有地球物理学家能用，做计算机生成图像或研究流体的人就用不了。
可是一旦有了一个非常抽象、非常一般的数学框架，其他人就会意识到，自己也可以使用它。这正是数学的作用：把现实世界中的某个东西抽象出来。一旦完成了抽象，它就能以许多出人意料的方式被重新使用。
与其他领域的人交流
主持人： 梅耶似乎并不害怕与其他领域的人交谈。你觉得，这对他的小波研究产生了怎样的影响？
陶哲轩： 我认为，这对他非常重要。那确实是一次幸运的机缘。你刚才用挪威语讲到，他偶然与物理学家阿莱克斯·格罗斯曼聊起了小波。我想，他就是保持着开放的心态，乐于与人交流，也乐于发现事物之间的联系。这真的是一种很了不起的天赋。
主持人： 你提到，自己也曾在研究中利用小波来改进磁共振成像。能再具体解释一下吗？这也是以梅耶的工作为基础的吗？
陶哲轩自己的研究：缩短磁共振扫描时间
陶哲轩： 是的。这项工作大约是在二十年之后发生的。我的一位合作者埃马纽埃尔·坎代斯，在本科阶段曾经就是伊夫·梅耶的学生。他当时在研究磁共振成像中所谓的“部分重建问题”。
正如我刚才所说，磁共振机器可能需要花上几分钟，才能完成获得一幅很好图像所需的全部测量。
主持人： 比如说，我进入磁共振机器，要拍一张肺部的图像。
陶哲轩： 对。
主持人： 然后机器就进行测量，是吗？
陶哲轩： 对。它测量的，我想可能是中子散射之类的东西吧。我并不了解其中的物理原理。
主持人： 总之，你会接收到返回的信号。
陶哲轩： 是的。而且它必须从许多不同方向进行许多次不同的测量。这有点像是在对你的身体做傅里叶变换。并不完全是，但有点类似。然后它再把数据重建出来。
不过，它需要进行大量测量。就像我刚才说的，如果你想要一幅十万像素的图像，就需要做十万次测量，对吧？所以这就要花上几分钟。
主持人： 而我有幽闭恐惧症，所以我很不喜欢待在磁共振扫描仪里。
陶哲轩： 所以这很重要。比如，做磁共振的时候，你必须保持身体非常静止。如果是个小孩子，还不懂得怎样保持不动，这就可能成为一个很大的问题。有时候，人们不得不给孩子用药，让他们能够保持不动。
主持人： 我也是。我也得吃药。
陶哲轩： 对。所以，能够在很短的时间内取得图像，确实有医学上的重要意义。但扫描时间缩短，得到的数据也会变少。标准的傅里叶重建方法，在只有部分数据时，无法把图像重建出来。
然而，由于二十年前已经建立了小波理论，我们知道，一幅十万像素的图像，实际上可能只需要一万个小波系数，就足以描述其中的数据。
所以，原则上，你只需要进行一万次测量，就能得到这幅图像。剩下的问题只是：怎样才能利用磁共振机器，真正获得我们所需的那一万次测量？这就是我们的贡献。
主持人： 那么，在你们完成这项工作之后，患者在磁共振扫描仪里待的时间，大概能缩短到多少？
陶哲轩： 现在，十到二十秒就能得到一幅还不错的图像。当然，它的分辨率未必是最好的，但也许已经足以看出一些癌细胞之类的东西。
主持人： 你的大部分研究，并不像磁共振这个例子一样属于应用研究，对吗？
陶哲轩： 这几乎是我唯一做过的应用研究。
主持人： 你更多从事的是纯数学研究。
数学变了吗？
主持人： 那么，在2017年的今天，一个人只待在自己的办公室里，还可能成为伟大的数学家吗？还是说，数学已经发生了某种变化？
陶哲轩： 数学确实发生了变化。它变得更加注重合作，也更加跨学科。现在，越来越多的研究是在数学的两个领域之间展开，或者是在数学与其他学科之间展开，比如计算机科学、物理学等等。
不过，仍然有一些专家，几乎只在一个领域里工作，并成为那个领域真正的专家。事实上，许多获奖者都是如此。比如安德鲁·怀尔斯，他就是数论某个领域里一位造诣非常深的专家。
我觉得，这其实非常好：我们既有专精于一个领域、钻研得极深的数学家，也有像梅耶这样涉猎广泛、能够看见不同领域之间联系的数学家。数学中一些最出色的进展，正是来自这两类人的合作：一类人在某个领域里研究得非常深入，另一类人则能把这些工作与另一个领域联系起来。
主持人： 那你自己呢？
陶哲轩： 我很广，但不深。我非常喜欢把一个领域里的想法拿过来，看看它们能在另一个领域里发挥什么作用。
主持人： 不过，你所说的不同领域，应该不一定总是非常偏应用的领域，也可能是数学内部的不同领域？
陶哲轩： 当然。数学已经变得极其庞大。即便我们是数学家，也只理解其中的一小部分、某一块内容。所以，我们会与精通其他部分的数学家交流。
主持人： 那么，数学是不是已经变得让人更难在不合作的情况下成为伟大的数学家？我是说，现在的问题是不是比过去更难了？
陶哲轩： 问题当然变得更难了。许多唾手可得的果实已经被摘走了。但另一方面，我们做数学的本领也强得多了，拥有的工具也多得多。而且，现在学习新的数学知识，其实比过去容易得多。我们有互联网。甚至维基百科都非常有用。
过去，如果你不在研究某个领域的那十来所大学里，可能就根本无法跟上那个领域的最新进展。但现在，你可以追踪讲座和论文，甚至可以去维基百科查阅相关内容。
主持人： 所以，与过去相比，它变得更加民主化了？
陶哲轩： 我想是的。
主持人： 也更加注重合作了。今天现场有一些数学专业的学生，你有什么建议想给他们吗？
给数学学生的建议：不停地问为什么，动手摆弄数学
陶哲轩： 实际上，我的博客上有几页谈建议的博文。不过，让我想想……我觉得，做数学时很重要的一点，就是始终不停地提问。
本科上课的时候，知识常常是这样呈现的：“我们这么做，是因为高斯就是这么做的。”或者：“因为我说要这么做。”但你必须问自己：我们为什么要这样做？为什么这里要用加号来定义？如果换成减号，会发生什么？如果我这么做，又会怎样？你必须不断地摆弄数学，才能真正理解它。
主持人： 你说“摆弄”的时候，我有工程学背景，会觉得你是在说一台机器。数学要怎么摆弄呢？
陶哲轩： 比如，一个引理会有一些假设和一个结论，就像输入和输出。于是你可以问：如果我去掉这个输入，会发生什么？如果我去掉这个假设，还能得到那个结论吗？如果我想要的是另一个结论呢？或者，如果我用负数代替正数，会怎样？
你可以用许许多多的方法，试着改变一个数学命题。当然，通常你这么一改，它就坏了。这跟你摆弄机器时的情况一样。
主持人： 是的。
陶哲轩： 但通过观察它是怎么坏的，以及尝试怎样把它修好，你就能学到很多东西。等你这样玩过一阵子，再去听关于这个数学对象的讲座，就会产生强得多的共鸣。
数学家的职业选择
主持人： 那么，职业选择方面呢？比如今天在场的 Magnus，博士阶段做的是非常纯粹的数学，现在却在从事遗传学研究。另一些人也许想继续深造，攻读数学博士，甚至成为研究人员。他们该怎样选择？应该考虑些什么？
陶哲轩： 从很多方面来说，现在数学博士的职业选择比过去多得多，这是件很美好的事。学术界如今只是众多去向中的一小部分。
尤其是数据科学、大数据这些领域，现在有非常多的行业都需要能够处理这些信号的人。
实际上，还有很多公司的研发部门会雇用数学博士。他们看中的，与其说是这些人学过的某项具体数学知识，不如说是他们理解高度抽象问题的能力，以及像刚才说的那样去尝试、去摆弄的能力：理解怎样把一个问题简化到可以求解的程度，等等。许多这样的技能，在学术界之外的需求也越来越大。
主持人： 不过，你也告诉过我，如果想选择学术道路，你会提醒自己的博士生：他们必须习惯，到了这个层次，事情往往不会进展得那么快。
陶哲轩： 是的。与本科教育相比，这是一个很大的变化。本科数学课会给你布置作业，给你一些能够解出来的问题。拿到一道作业题时，你知道，利用上周刚学过的方法，应该能在半小时或者一小时内做出来。期末考试也差不多：用已经学过的方法，花上几个小时就应该能完成。
但研究问题有时无法用你已经学过的方法解决。你必须去寻找新的方法，要么从已有文献中寻找，要么试着自己发明。有时候，一个问题甚至还没有到能够被解决的时候，因为所需的方法还不存在。
它需要的不是一两个小时，而可能是几个月。
数学家每天到底在做什么？
主持人： 那么，作为数学家，你坐在办公室里的时候，到底在做什么？我实在有点难以想象。就拿你自己来说，一连这么多天好像都没发生什么的时候，你怎样保持自己的热情？
陶哲轩： 首先，你并不是只做研究。你还得教课，处理行政事务，阅读，以及摆弄一些小一点的问题。
你最早学会的一项本领就是：如果一个问题非常难，就把它拆成更小的部分。试试特殊情形。也许某个情形已经有人解决了，但你可以尝试用另一种方法再做一遍。
所以，你总是能够取得进展。它看上去未必像是进展，但理解会在表面之下逐渐积累，就像一座冰山。
等到你对一个问题的理解积累得足够多，有时突然就能一下子看清所有东西。你会想：“哦，我只要这样做就好了。把这个顺序换一下……”然后，一切忽然都吻合了。接着你就会说：“我怎么没早点想到？原来这么简单！”
主持人： 听起来真好。
陶哲轩： 是的，那种感觉很好。
主持人： 所以，你真的需要享受这种日复一日摸索、尝试的过程。
陶哲轩： 我想是的。
数学的未来
主持人： 你怎么看数学这个领域的未来？具体一点说，比如小波这件事，它还在继续向前发展吗？它会带来什么？
陶哲轩： 小波本身现在当然已经是一套非常标准、发展得很成熟的理论了。但建立在小波之上的一些东西，比如压缩感知，仍然非常活跃。
这个领域一直在变化，与其他科学之间的联系也越来越多。比如，现在数学与生物学有了许多联系，而在十年、二十年前，还没有这样的情况。我认为，这会成为未来研究的一个很有前景的方向。
主持人： 非常感谢你。谢谢你今晚来到这里，和我们相聚。
基本信息
- 原题：Terence Tao on Yves Meyer's wavelets – The Abel Prize 2017
- 演讲者：陶哲轩（Terence Tao）
- 主持人：Eldrid Borgan
- 主题人物：伊夫·梅耶（Yves Meyer），2017 年阿贝尔奖得主
- 活动：afterMath，2017 年阿贝尔奖系列活动
- 地点：挪威奥斯陆文学之家（House of Literature）
- 视频频道：The Abel Prize
- 视频发布：2026 年 10 月 1 日
- 时长：30 分 16 秒；演讲后对谈从 17 分 23 秒开始
- 原视频：Terence Tao on Yves Meyer's wavelets
- 另一场相近主题演讲：幻灯片较清晰的版本
- 相关资料：阿贝尔奖官网的梅耶介绍；《The Abel Prize 2013–2017》活动记录