陶哲轩：开放数学模型与 AI 时代的数学价值
摘要
AI 已能快速生成并验证数学证明，但正确答案并不自动转化为可以理解、交流和传授的知识。陶哲轩把这一失衡称为“证明消化不良”：解题与验证环节急速扩张，解释、发表和融入教科书的环节却跟不上。在这场演讲与问答中，他介绍 SAIR 的开放数学模型计划及多项挑战赛，讨论如何把竞争转化为协作，并呼吁数学共同体明确表达自己的价值：衡量进步，不能只看解出了多少难题，还应看创造了多少洞见、培养了多少理解，以及这些成果能否进入下一代人的知识体系。
内容概述
- 数学为什么不只是解决问题：从未解难题到教科书，一项成果如何成为共同知识。
- AI 证明与理解的瓶颈：为机器的高速运算和人类的探索分别建设合适的空间。
- SAIR 的开放数学模型计划：开放模型、合作伙伴与数学及计算机科学挑战赛。
- 把代数知识蒸馏成提示词和程序：从 2,200 万道题中提炼可复用的知识。
- 逆伽罗瓦挑战赛：从竞赛走向协作：寻找多项式，再汇集参赛者的思路。
- 让 AI 的激励与数学价值对齐：学术共同体的影响力，以及可评分指标的局限。
- 保留人的洞见与数学知识的质量：新问题的产生、知识传承与 AI 数据污染。
数学的意义，不止于解决问题
陶哲轩： 非常感谢给我这个机会。很遗憾，过去一周左右，我一直没法集中注意力。我刚刚经历了这辈子最离奇的一周，所以这次幻灯片没有像往常那样准备得那么细致。我会先做一个简短的报告，然后回答大家的问题。
先说一件事：今天上午，我和另外 24 位菲尔兹奖得主一起，刚刚发表了一份关于数学与 AI 的宣言，网站是 mathandai.org。请大家去看看。我们有一份声明，如果你认同，也欢迎签名。不过，这不是我今天要讲的内容。当然，两者有关。其实确实有关。如今所有事情都联系在一起了。
大约两个月前，我在国际数学家大会，也就是 ICM，做了一场报告，谈的是 AI 正在给数学带来的变化。其实整个科学领域都在受到影响，不过那场报告讲的是数学。尤其是，AI 如何迫使我们真正理解自己的职业，理解我们究竟在做什么。
很长一段时间以来，在数学界，我们总说自己所做的一件事，就是解决重要的问题。这些数学问题往往很难，我们还解不出来，但我们想把它们解决。可为什么想解决它们呢？并不主要是因为这些问题本身有什么用。如果你研究癌症，找到了治愈癌症的方法，那显然很有用。如果你研究能源效率，做出了更好的太阳能电池板，那显然也很有用。相比之下，纯数学属于基础研究，是由好奇心驱动的研究。
我们提出各种问题，从给孩子们做的应用题，一直到克雷千禧年大奖问题之一的纳维–斯托克斯方程正则性问题。
这些问题的重要性，并不在于问题本身，而在于它们能带来什么。我的同事于戈·迪米尼尔-科潘（Hugo Duminil-Copin）打过一个很好的比方：它们就像灯塔。对大多数人来说，灯塔本身并不是要去的目的地；灯塔的作用是指引方向，照亮周围的整片地形，让人看清四周，能够安全地航行。
未解决的问题也是如此。我们的确解决问题，也确实在乎能不能解决问题。但我们要的并不只是一个解答，解答还得经历一个过程。这就是我在 ICM 上讲的内容：一个未解决的问题很难，但最终有人找到了一个解答。于是，我们有了一个提出的解答，一个还没有经过验证的解答。接着，得有人检查它，它才成为经过验证的解答。
但有时候，最先出现的那个证明写得很糟。这就需要有人把它讲清楚，让别人能够理解，这就是阐释。经过这一步，我们才有了一个写得清楚的证明，至少你能看懂它。最近，我们开始看到由 AI 生成的证明，连按下按钮、让 AI 生成这些证明的人，也无法解释或理解刚刚究竟发生了什么。这是前所未有的。
即使证明已经写得清楚，它仍然需要得到整个学术共同体的接受。不只是你要理解，你的同行也应该理解。因此，还有发表和同行评审的过程，让这些成果获得共同体的认可。这一步同样非常重要。我们对它的重视却不够。解决问题的人可以得到奖章，但我们不会因为一个人做了审稿工作，就给他颁发奖章。然而，两者同样重要。
最后还有一个过程，我称之为“经典化”：成果不仅要发表，还要经过消化，写进教科书。这样，不只是你和你的同行理解它，下一代学生也能理解你做出了什么，以及它与其他研究之间有着怎样的联系。成果不再只是零散的论文，而是融入一本讲解连贯、体系完整的教科书。到这一步，我们才得到真正定型的、最终的解答。
顺便说一句，AI 正是利用这些东西去证明其他结果的。AI 之所以如此擅长数学，其中一个原因，就是我们花了几个世纪编写线性代数、群论以及数学各个基础领域的教科书。人们走过了刚才说的整个过程，最终留下了一套极其宝贵的数据，而正是这些数据让 AI 能够发挥作用。
这大致就是数学的生命周期，至少是数学中“解决问题”这一方面的生命周期。我想画一张图，表示我们现在处于什么位置。通常，我会找个 AI，把它画得花哨一点。于是，我用了 PowerPoint。
目前的情况是，AI 已经极其擅长生成解答了。
AI 生成的证明与理解上的瓶颈
陶哲轩： 事实上，AI 在验证这些解答方面也已经相当不错了，它们使用 Lean 等形式化证明辅助系统的语言，如今主要是 Lean。于是，这个流程的前两个环节突然出现了巨大的产能增长，后面的环节却几乎没有变化。
因此，我们正在经历一种前所未有的拥堵，我把它称为“证明消化不良”：我们突然生成了大量证明，甚至已经验证它们是正确的，但没人理解它们，没人发表它们，也没人解释它们。我们没有什么可以拿给学生看，也没能从中孕育出下一代的数学。
大概是今年三月的时候，我让 AI 生成了一张图：如果把证明比作交通运输，这种情形会是什么样子？
这就好比，原先的街道是为行人和马匹修建的。到了二十世纪初，汽车突然出现了，却仍然使用行人走的那些街道，于是一切都堵在了一起。今年三月时，我们大致就处在这样一个状态。
当时我说，我们想要到达的地方，应该是另一番景象：我们需要为 AI 证明建设一些专门的基础设施，例如高速公路和运输通道，让我们能够高速、大规模地开展数学研究。但同时，我们也需要人行道、公园和无车区，让人类仍然可以在其中做数学，并且保留这一切所蕴含的价值。
这是我们想要去的方向。但很遗憾，现在的情况却更像这样：AI 已经变得无比强大，正像压路机一样四处碾过。好吧，它们确实接二连三地解决了重大猜想，但实际上并没有创造价值。或者说，即便创造了价值，也远远比不上我们从容一些、遵循原则地开展这些工作，本来能够创造的价值。
而且，我们数学里的这些问题，并不是下周就急着需要答案的事情。我们没有必要赶着把它们做完。这不是一场重大的全球危机，我们完全可以慢一些。说真的，现在这种状态是不对的。所以，请大家去读一读我们的宣言。
这就说到了 SAIR。SAIR 是查克和我在一年前创立的。目前规模还比较小，但我们正在成长，也在努力变得更专业、更有雄心，做出一些事情来。
SAIR 的开放数学模型计划
陶哲轩： 一开始，我们做的是一些规模不大的事情。我们赞助像今天这样的活动，也在做一些播客。我们举办数学竞赛，并希望把范围拓展到计算机科学和其他类型的竞赛。
竞赛本来是我今天应该讲的主题，不过我没怎么准备。我们的目标还不止这些。我们正在筹划一些项目，打造开源数学模型，也希望打造开源科学模型。我们已经找到了一些合作伙伴，有的可以提供算力，有的提供资金，还有一些非常优秀的学术合作伙伴。这些都还在推进中。我们希望很快就能公布消息，但现在还没有可以宣布的内容。我们也正在设立一些物理学奖项，奖励职业生涯早期的成就。我们有很多计划，也有很多梦想。我们确实需要合作伙伴。
如果你有什么想法，想找到负责任地在科学中使用人工智能的方法，创造出更像上上一张幻灯片、而不是上一张幻灯片所描绘的东西，欢迎来找我们聊聊。
接下来该讲竞赛了，我会讲得简短一些。这些竞赛已经开展了一段时间。第一个项目于今年年初的圆周率日，也就是 3 月 14 日启动，叫作蒸馏项目。它刚刚结束，我们正在分析结果。接下来是逆伽罗瓦挑战赛和模运算挑战赛。这两项比赛都分为两个阶段，各自的第一阶段已经完成，目前仍在进行中。就在今天，我们还启动了 Andrews–Curtis 挑战赛。
我没有为它准备幻灯片，因为实在没时间。Sergey 在哪里？对，Sergey 可以向大家详细介绍。很遗憾，我实在没有余力把这部分整理好、拿来介绍。不过很好，这个项目很棒。
然后是我们的第一个计算机科学挑战赛：Lean 内核优化挑战赛。我也没准备这部分的幻灯片。简单说，我们正在寻找让 Lean 运行得更快的方法，同时非常负责任地使用人工智能。这就是基本思路。我们刚刚拿到了资金……不对，这个还不能宣布。好吧，我们正在洽谈，为另外几项挑战赛争取资金。希望能有消息公布。
今天还不能宣布。（笑）我们也在寻找适合新挑战赛的好点子。如果你有新的挑战赛想法，欢迎来找我们聊聊。下面我会简单介绍其中一两项，让大家有个大致印象，不过这并不是完整的介绍。
第一项是我们所说的蒸馏挑战赛。它建立在我两年前主持的一个项目之上，叫作等式理论项目（Equational Theories Project）。这是一次众包尝试，希望调动社群的力量，同时利用 Lean、自动定理证明器，以及当时能用到的各种技术。
把代数知识蒸馏成提示词与程序
陶哲轩： 当时我们没有怎么使用大语言模型。具体的数学内容在这里不是特别重要，但我们创建了一个包含 2200 万道代数题的数据集。大多数题目的难度，大概是代数方向的研究生花半个小时就能解出来的水平。可是我们有 2200 万道题，却没有 2200 万名研究生。尽管如此，我们还是把所有题目都解决了。这些都是判断题，所以我们有了这样一个庞大的数据集，知道哪些命题为真、哪些为假，而且每道题都有相应的证明或否证，并且全部都用 Lean 做了形式化。于是，我们就得到了这个数据集。
如今，甚至早在今年 1 月，你就可以把其中一道代数题交给前沿人工智能模型，它能解决大约 99% 的题目。它会思考五分钟，然后给你一个解答。相比之下，如果你使用开源模型，也就是可以在本地运行的模型，而不是那些先进的专有模型，把同样的问题交给它，结果基本上就是五五开。一半时候回答“是”，另一半时候回答“否”，就像抛硬币一样。
所以挑战在于：能不能给开源模型一段提示词，让它变得和前沿模型一样好？你可以把这段提示词想象成一张小抄，一页纸的小抄。就好比你有个学代数的学生，期中考试考得很吃力，面对这些判断题，正确率只有 50%。有没有一张纸，给了他就能提高成绩？
这项竞赛就是请大家拿出这样一张纸。参赛者提交一段提示词，长度有限制，我记得是 10K。提示词看起来就是这样的。长话短说，到比赛结束时，他们能够把成绩提高大约三四十个百分点，也就是把 50% 的正确率提升到大约 80% 至 90%。
这样，你就得到了一页纸的蒸馏结果：这个数据集最重要的特征是什么？这里面可是有 2200 万道“是或否”的判断题。
这里展示的就是其中一页。你们可能看不清，但从某种意义上说，它把所有这些知识，或者其中 80% 的知识，总结到了一张纸上。我们希望，这种范式也能用于其他问题。如果有另一个挑战，涉及一个非常复杂的数据集，而你希望设法理解它，这或许就是一种办法，而且还能顺便办一场很不错的比赛。
我们刚刚完成了第二阶段。这一阶段不再只是让模型回答“是”或“否”，而是给它一张大得多的小抄，大约是一个 100K 的 Python 文件。目标也不只是回答这些问题的是非，而是为这些问题生成 Lean 中的证明或否证。
比赛刚刚结束，我还没有看到最终的分析结果。有一点很有意思：我们允许参赛者在这些 Python 程序的运行过程中调用一定次数的大语言模型。但实际上，获胜的参赛者几乎完全没有使用大语言模型。有时候，大语言模型并不是答案。这是一个有趣的发现。
我也希望能再多讲一点，不过我没有准备太多其他内容。最后一个例子是逆伽罗瓦挑战赛。同样，具体的数学内容在这里不是特别重要，但每当你有一个整系数多项式，它就会对应一个叫作伽罗瓦群的对象，以及一个稍微复杂一些、叫作“特征标记”（signature）的东西。你可以把多项式想象成复活节彩蛋，而把这些伽罗瓦群想象成彩蛋表面的花纹。
逆伽罗瓦挑战赛：从竞赛走向协作
陶哲轩： 我们研究的是24次多项式。它们可能呈现的模式大约有16万种；更准确地说，这些伽罗瓦群约有16.5万种特征标记（signature）。但最初，我们只找到了其中大约600种，也就是约三百分之一。换句话说，只有很少几种花纹，我们手里真正有带着那种花纹的“彩蛋”。
第一阶段就是一场寻找彩蛋的比赛。我们邀请大家使用 AI，或者任何其他办法，去收集彩蛋：针对这16.5万种模式中的每一种，找出一个具有相应特征标记的多项式。这是所谓“逆伽罗瓦问题”的一部分，而这个问题在一般情形下仍未解决。长话短说，参赛者找到了98.9%的特征标记，还有少数没有找到。
我们设计了一套很棒的计分办法，用来奖励那些非常罕见的花纹，而不给常见花纹太多分数，不过这里就不展开了。
接下来，我们准备启动第二阶段，虽然目前还没有正式开始。所有第一阶段的参赛者都会公开自己的全部数据，我们会用 AI 组建一支“超级团队”，尝试从所有参赛者那里吸收最好的想法。首先看看能不能把剩下的特征标记全部找出来，同时也挑战次数高得多的多项式，一直做到31次多项式。这会非常令人期待，也是我们尝试将人类与 AI 的创造力结合起来的另一种方式。
不过，第一阶段有件很有意思的事：几乎所有人都用了 AI，但获胜的团队，也就是图上最上面那条线所代表的团队，得分远远领先于其他人，却是由两位专家组成的。他们只用了传统计算方法，没有使用 AI。我想，可能只有在处理提交过程中的某些技术问题时，他们才用过一点 AI。
这应该是最后一张幻灯片了。非常感谢大家，剩下的时间我们可以开放提问。
现场问答
观众： 你们怎么定义谁是获胜者？
陶哲轩： 这项挑战的第一阶段是一场真正的比赛。基本上，每找到一个彩蛋，就能得到一定的分数。但我们给分数加了权重，罕见彩蛋的分值比其他彩蛋更高。所以，第一阶段是竞争性的，参赛者的多项式也不公开。
我应该提一下，第二阶段是协作性的。也就是说，没有单独的赢家，当然，你可以拿自己的贡献来炫耀一下。
所有人都会在同一个聊天频道里公开自己的想法，AI 会尽力把这些想法利用起来。它会尝试标明想法的来源，比如“这个想法来自这位参赛者，另一个想法来自另一位参赛者”。但大家只组成一支团队，一支超级团队，共同争取实现同一个目标。
以前我也做过类似的事。我们组织过一些叫作 Polymath 的项目，大家协同工作，一起朝同一个目标努力。
所以，我们先借助竞争的力量，取得一些非常有意思的初步成果，然后在某个阶段转向开放共享。
让 AI 的激励机制与数学的价值观保持一致
陶哲轩： 有麦克风吗？或者请大声一点。
观众： 您提到，我们正走向一种黑暗、悲观的 AI 未来……
陶哲轩： 请再说一遍。
观众： 您提到，在 AI 可能通向的未来中，我们目前正走在那条黑暗、悲观的道路上。考虑到最近 OpenAI 那件事，您认为，怎样才能真正让这些前沿实验室的激励机制朝正确的方向发展？它们也许只想一味加快速度，按硅谷的那套方式做事，出了问题再道歉，而不是有明确目的地做事。
陶哲轩： 我认为，学术界拥有的软实力，比它自己意识到的更大。
人们确实尊重数学和科学。它们是如今世界上为数不多仍然客观、扎根于事实的学科。其他机构、公司等等，资金可能比我们充裕得多，规模也大得多，但我们拥有相当高的声望。
这些公司之所以追逐那些目标，一个原因就是想借用我们的声望。我们说某个问题很有价值，它们就说：“我解决了这个问题，所以我也获得了相应的声望。”因此，如果我们重新界定自己珍视的东西，这本身就已经具有很大的力量。
我认为，我们都应该公开表达自己真正的价值观，讲清楚科学和数学究竟追求什么。这边。好，请。
观众： 陶教授，谢谢您。我想问一个比较一般性的问题。我前几天看到您的一条评论，说您建议 AI 公司应该围绕有用的洞见展开竞争，而不是围绕解题答案。您能再解释一下吗？您指的是哪一类洞见？
陶哲轩： 这张图下半部分的任何东西都很好。
观众： 所以，这就是您建议大家去研究的方向？
陶哲轩： 是的，比如让结果能够得到解释。现在这些 AI 成果的一个问题是，结果发布出来了，却没有人为它们作报告，甚至没有人写论文，也没有同行评审。有时候，一位科学家会站出来说：“好吧，我愿意自愿花自己的时间和精力，试着把这个证明解释清楚，因为我觉得这件事很重要。”
于是，只有零星的人在尽力处理这些不断积压的结果。但公司就这样把这些东西一股脑地丢出来，是不负责任的。即使结果是正确的，正确性固然重要，也不是我们唯一在乎的东西。
现在，AI 公司会说：“可我们没办法做出洞见，因为洞见没法验证。”也就是说，它们只能做那些可以打分的事情。
而我们正逐渐意识到，能打分的事情，与真正重要的事情，几乎是完全不重合的。当然，只要不过度优化，两者还是可以保持一致。但一旦过度优化，几乎任何可以打分的东西都会变得没有用。
保留人类洞见与数学知识的质量
观众： 我想弄清楚的是，把这些大语言模型当作助手或工具来使用，究竟有什么根本性的不同？它们似乎只是在探索正确的 Lean 证明所构成的空间，可能用一些启发式方法来引导搜索。
我的意思是，过去我们也有定理证明算法，比如20世纪80年代那些老派的方法。那么，现在的方法在多大程度上只是原来那一套，只不过启发式更聪明了一些？还是您认为……
陶哲轩： 它们实现优化的方式，是把整个过程中的人性因素全部剔除掉。
假如一个人非常努力地完成了一件事，也许借助了老派的 AI 或其他工具，那么过程结束以后，你可以和这个人聊聊，问他：“你的经历是什么？你的灵感来自哪里？”你可以由此了解这个过程，获得一些洞见。
这个人可以作报告，而且还会一直留在这个领域里。多年以后，他仍然是这个学术共同体的一员，可以把自己的专业知识传授给学生。
他们对整个数学生态的贡献，远远不止是在某张图上打一个勾。而这恰恰是当前这些 AI 解题成果所缺少的。请。
观众： 陶教授，我想谈谈未解问题，以及 AI 和人的发展。刚才谈的很多内容，都在于解决已经存在的问题。但如果是提出新的问题、构建新的未解问题，您怎么看人类和 AI 在这方面的关系？
陶哲轩： 新的未解问题、新的研究方向，一方面会从这张图的底部涌现出来。比如你写教材的时候，突然发现：“等等，这里有个缺口。这是一个应该提出的问题。”
另一方面，它们也来自研究的过程。比如你在试着解决某个问题时，忽然意识到：“等一下，这里有个有意思的现象，为什么不来讨论它呢？”而 AI 可能只是直奔答案，错过沿途的一切。
所以，新问题来自缓慢而深思熟虑的过程，来自你慢慢做一件事时，偶然留意到某些东西的机缘。而这正是如今正在被破坏的东西。
观众： 我想问一个稍微不同的话题。我们大概都读过这样一个故事：从克隆鼠再克隆出老鼠，然后再继续克隆，经过很多代之后，最后克隆出来的老鼠甚至无法存活。
现在，我们有大量 AI 生成的数据，尤其是各种图片、视频之类的内容。训练 AI 时，你可能希望使用不是由 AI 生成的数据，但如今可能已经无法避免把 AI 生成的数据也混进去。
那么，如何分辨哪些数据是 AI 生成的、哪些不是？如果不断在不知情的情况下，用 AI 生成的数据来训练新模型，会有什么后果？您怎么看？
陶哲轩： 这种全面加速的一个后果，就是产出的平均质量确实会下降。它可以大幅增加产出量，但也会降低信噪比。从长期来看，这是一个巨大的问题。
数据污染原本不是我们需要面对的问题，却突然成了现实。现在的 AI 可以建立在经过几个世纪积累、整理的高质量理论之上，也就是这张图底部的那些东西，并做出惊人的成果。但我们并不清楚，这个过程能否迭代：如果把这些 AI 生成的东西全部喂给下一代 AI，得到的还会是好东西，还是会出现退化？我们不知道。
我们竟然愿意在完全不知道之后会发生什么的情况下，把一切都改变，这实在令人震惊。这里涉及的是极其非线性的动力学。那种单调、单一维度的思考方式，比如“少量这个东西是好的，因此大量这个东西一定会好得多”，是行不通的。数学给我们的一个教训，就是大多数系统并不是这样运作的，尤其是当你把某个东西扩大十倍、一百倍的时候。
所以，我们必须慢下来。现在这个速度简直疯狂，而且没有理由这么快，完全没有。
主持人： 由于时间关系，我们就到这里。我要感谢陶哲轩带来如此精彩的演讲，请大家再次用掌声感谢他。
基本信息
- 原标题：Terence Tao: SAIR’s Open Math Model Initiative
- 主讲人：陶哲轩（Terence Tao）
- 活动：Science × AI Summit
- 演讲日期：2026 年 9 月 11 日
- 地点：加州理工学院（Caltech）
- 联合主办：SAIR、Caltech、Merkin Center for Pure and Applied Mathematics
- 视频发布方：SAIR
- 视频发布日期：2026 年 9 月 18 日
- 时长：25 分 15 秒，含现场问答
- 观看原视频
- SAIR 开放数学模型计划
- 《数学领域 AI 的严重失调》联合声明
SAIR 欢迎研究、工程、算力与资金方面的合作。有意参与开放数学模型计划的个人或机构，可联系 collaboration@sair.foundation。