1. 问题与方法

1.1 研究背景

与单自由度振子相比，高层建筑具有更多水平自由度。地面运动可能同时激发多个振型，楼层 位移、绝对加速度、层间位移角和基底剪力又分别反映不同的响应特征。时程分析需要把三类 对象置于同一坐标约定中：地面运动描述输入，质量、刚度和阻尼描述结构，楼层响应量描述 计算结果。相对位移和绝对加速度若采用不一致的定义，等效地震力和结果解释便可能出现 符号或量纲错误。

本文选用剪切楼作为研究对象，考察多自由度体系中基底激励、模态参与和楼层响应之间的 关系。

算例采用$72\,\mathrm{m}$总高、等楼层质量和线性递减层刚度。地震输入由三个频率分量和衰减包络 合成，峰值加速度固定为$0.30g$。这组参数构成可复算的线性基准算例，用于考察模态参与、 楼层时程响应和模态截断误差之间的关系。

1.2 基本假设与方法

计算在以下四项基本假设下展开。

1. 楼板在平面内保持刚性，各层质量集中于楼层标高，每层保留一个水平平动自由度。
2. 基础固定，各支承点承受一致水平地面运动，结构由静止状态进入振动。
3. 结构满足小变形和线弹性条件，层刚度从底层到顶层线性递减。
4. 阻尼采用经典Rayleigh模型，第一阶和第三阶模态阻尼比均取$5\%$。

分析由结构矩阵、模态性质、Rayleigh阻尼、时程积分、响应指标和数值验证六部分组成。 楼层质量与层刚度确定$M$和$K$；广义特征值问题给出频率、模态参与系数和有效质量比例； 第一阶与第三阶的目标阻尼比确定Rayleigh阻尼矩阵。合成地面加速度进入相对坐标方程， Newmark平均加速度法计算物理坐标时程。采用相同输入和积分参数的模态坐标解重构全阶 位移，以校验直接积分。响应指标包括绝对加速度、层间位移角、基底剪力、模态截断误差和 动力平衡残差。

物理坐标解给出楼层响应，完整模态解校验坐标变换和时程积分，截断模态解用于分析有效 质量比例与特定响应误差的关系。计算结果通过时程曲线、楼层分布和动态画面呈现。

2. 结构动力学模型

2.1 相对坐标中的基底激励方程

考虑一栋$N$层剪切楼，每层只有一个水平平动自由度。令$u_i(t)$表示第$i$层相对于地面的 水平位移，$u_g(t)$表示地面位移，$r=[1,\ldots,1]^\mathsf{T}$表示一致水平输入的影响 向量。楼层绝对位移为

$$x(t)=u(t)+r u_g(t).$$

代入绝对坐标下的动力平衡关系，可以得到相对坐标方程

$$M\ddot{u}(t)+C\dot{u}(t)+Ku(t) =-Mr\ddot{u}_g(t). \tag{1}$$

OpenSees的一致激励文档采用同一形式，并明确指出该类激励得到的是节点相对响应[1]。式 （1）中的$M$、$C$和$K$分别为质量、阻尼和刚度矩阵。右端项 $-Mr\ddot{u}_g(t)$是地面加速度在相对坐标中形成的等效惯性力。

本文算例采用集中质量模型：

$$M=\operatorname{diag}(m_1,m_2,\ldots,m_N). \tag{2}$$

令$k_i$表示第$i$层与第$i-1$层之间的层刚度，并约定第0层为地基，则剪切楼刚度矩阵的 非零项为

$$\begin{aligned} K_{ii}&=k_i+k_{i+1}, && i=1,\ldots,N-1,\\ K_{NN}&=k_N,\\ K_{i,i+1}&=K_{i+1,i}=-k_{i+1}, && i=1,\ldots,N-1. \end{aligned} \tag{3}$$

算例参数如下。

参数	数值
楼层数$N$	20
层高$h$	$3.6\,\mathrm{m}$
总高度	$72\,\mathrm{m}$
每层集中质量$m_i$	$7.5\times10^5\,\mathrm{kg}$
底层层刚度	$1.30\times10^9\,\mathrm{N/m}$
顶层层刚度	$0.65\times10^9\,\mathrm{N/m}$
层刚度分布	从底层到顶层线性递减
计算时长	$20\,\mathrm{s}$
时间步长$\Delta t$	$0.01\,\mathrm{s}$

2.2 模态、参与系数与有效质量

无阻尼自由振动对应广义特征值问题

$$K\phi_j=\omega_j^2M\phi_j, \tag{4}$$

其中$\omega_j$为第$j$阶圆频率，$\phi_j$为对应模态。把模态按质量归一化后，

$$\Phi^\mathsf{T}M\Phi=I,\qquad \Phi^\mathsf{T}K\Phi=\Omega^2, \tag{5}$$

其中$\Phi=[\phi_1,\ldots,\phi_N]$， $\Omega=\operatorname{diag}(\omega_1,\ldots,\omega_N)$。Caughey与O’Kelly给出了阻尼 线性系统具有经典模态的条件[2]。本文采用比例阻尼，因此无阻尼模态仍可解耦阻尼方程。

将$u=\Phi q$代入式（1），第$j$阶模态坐标满足

$$\ddot q_j+2\zeta_j\omega_j\dot q_j+\omega_j^2q_j =-\Gamma_j\ddot u_g, \tag{6}$$

其中

$$\Gamma_j=\phi_j^\mathsf{T}Mr \tag{7}$$

为质量归一化后的模态参与系数。第$j$阶有效模态质量比例定义为

$$\eta_j= \frac{\Gamma_j^2}{r^\mathsf{T}Mr}. \tag{8}$$

全部模态完备且数值归一化正确时，$\sum_{j=1}^{N}\eta_j=1$。这个闭合关系可以直接用于 检查特征向量的归一化和参与系数计算。

前三阶模态形状如下。图中每一阶都除以该阶最大绝对幅值，横坐标只表示相对形状；质量 归一化仍在数值计算中保留。

图1　20层剪切楼的前三阶模态形状。

前五阶周期与有效质量计算结果为：

模态	周期（s）	单阶有效质量比例	累计比例
1	2.16	79.7%	79.7%
2	0.769	10.6%	90.3%
3	0.466	3.83%	94.1%
4	0.336	1.93%	96.1%
5	0.263	1.14%	97.2%

第一阶模态承担了大部分水平有效质量，第二阶使累计比例超过90%，前三阶累计比例达到 94.1%。有效质量描述输入在各阶模态上的投影；屋顶位移时程的模态截断误差在第4节另行 计算。

2.3 Rayleigh阻尼

比例阻尼写成

$$C=\alpha M+\beta K. \tag{9}$$

将式（9）投影到第$j$阶质量归一化模态，可得

$$\zeta_j= \frac{\alpha}{2\omega_j} +\frac{\beta\omega_j}{2}. \tag{10}$$

Abaqus线性动力分析理论文档给出了同一模态阻尼比关系[3]。若在第$a$阶和第$b$阶指定 相同目标阻尼比$\zeta$，则

$$\beta=\frac{2\zeta}{\omega_a+\omega_b}, \qquad \alpha=\beta\omega_a\omega_b. \tag{11}$$

本算例在第一阶和第三阶设置$\zeta=5\%$，得到

$$\alpha=0.240\,\mathrm{s^{-1}},\qquad \beta=0.00610\,\mathrm{s}.$$

Rayleigh阻尼在低频端包含质量比例项，在高频端包含刚度比例项。按式（10），第一阶和 第三阶阻尼比为5%，其余各阶阻尼比随频率变化。对于构件屈服或集中塑性模型， Chopra与McKenna分析了Rayleigh阻尼可能产生的非物理阻尼力[4]。

3. 输入与时程积分

3.1 合成地面运动

为了让算例能够重复执行，地面加速度使用确定性的衰减多频信号。先定义包络和载波：

$$e(t)=\left(1-e^{-2.2t}\right)e^{-0.16t}, \tag{12}$$ $$\begin{aligned} s(t)={}&\sin(2\pi\cdot0.65t) +0.55\sin(2\pi\cdot1.35t+0.35)\\ &+0.25\sin(2\pi\cdot2.80t+1.10). \end{aligned} \tag{13}$$

取标准重力加速度$g=9.81\,\mathrm{m/s^2}$。在 $0\le t\le20\,\mathrm{s}$内归一化后，

$$\ddot u_g(t) =0.30g\, \frac{e(t)s(t)} {\max_{\tau\in[0,20]}|e(\tau)s(\tau)|}. \tag{14}$$

3.2 Newmark平均加速度积分

Newmark在1959年提出了一族结构动力时程积分方法[5]。本文采用静止初始条件 $u_0=\dot u_0=0$，并由式（1）计算$\ddot u_0$。积分参数取 $\gamma=1/2$、$\beta_N=1/4$，其中$\beta_N$表示Newmark参数。位移和速度更新关系为

$$\begin{aligned} u_{n+1} &=u_n+\Delta t\,\dot u_n +\Delta t^2\left[ \left(\frac12-\beta_N\right)\ddot u_n +\beta_N\ddot u_{n+1} \right],\\ \dot u_{n+1} &=\dot u_n+\Delta t\left[ (1-\gamma)\ddot u_n+\gamma\ddot u_{n+1} \right]. \end{aligned} \tag{15}$$

令

$$\begin{aligned} u_{\mathrm{pred}} &=u_n+\Delta t\,\dot u_n +\Delta t^2\left(\frac12-\beta_N\right)\ddot u_n,\\ \dot u_{\mathrm{pred}} &=\dot u_n+\Delta t(1-\gamma)\ddot u_n, \end{aligned} \tag{16}$$

则下一步加速度由

$$\left(M+\gamma\Delta t\,C+\beta_N\Delta t^2K\right)\ddot u_{n+1} =p_{n+1}-C\dot u_{\mathrm{pred}}-Ku_{\mathrm{pred}} \tag{17}$$

求得。物理坐标路径取$p(t)=-Mr\ddot u_g(t)$；模态坐标路径取第$j$阶广义载荷 $-\Gamma_j\ddot u_g(t)$。两条路径采用同一$\Delta t$、$\gamma$和$\beta_N$，全阶模态 重构$u=\Phi q$用于校验直接积分。

4. 结果与验证

4.1 响应分析算法

算法1把前述方程整理为从结构参数到响应指标的计算顺序。

算法1　20层剪切楼地震响应分析。

阶段	数学关系
1. 矩阵	$M=\operatorname{diag}(m_i)$；$K$按式（3）组装。
2. 模态	$K\Phi=M\Phi\Omega^2$，$\Phi^\mathsf{T}M\Phi=I$；$\Gamma=\Phi^\mathsf{T}Mr$，$\eta_j=\Gamma_j^2/(r^\mathsf{T}Mr)$。
3. 阻尼	$C=\alpha M+\beta K$，$\alpha$和$\beta$由式（11）确定。
4. 激励	$p(t)=-Mr\ddot u_g(t)$，$p_j(t)=-\Gamma_j\ddot u_g(t)$。
5. 积分	$(u_{n+1},\dot u_{n+1},\ddot u_{n+1})=\mathcal N_{\Delta t}(M,C,K,p_{n+1};u_n,\dot u_n,\ddot u_n)$，算子$\mathcal N_{\Delta t}$由式（15）—（17）定义。
6. 响应	$\ddot x=\ddot u+r\ddot u_g$；$\theta_i=(u_i-u_{i-1})/h_i$；$V_b=-r^\mathsf{T}M\ddot x$。
7. 验证	$u_{\mathrm{modal}}=\Phi q$；$r_{\mathrm{eq}}=M\ddot u+C\dot u+Ku+Mr\ddot u_g$。

物理坐标解和全阶模态解共享输入与时间离散；前者产生楼层响应，后者校验模态投影与时程 积分。截断模态解用于评价特定响应对模态数的敏感性。

4.2 响应量与计算结果

相对位移求得后，第$i$层绝对加速度为

$$\ddot x_i(t)=\ddot u_i(t)+\ddot u_g(t), \tag{18}$$

层间位移角为

$$\theta_i(t)= \frac{u_i(t)-u_{i-1}(t)}{h_i}, \qquad u_0(t)=0, \tag{19}$$

若把基底剪力定义为支座对结构的水平反力，则

$$V_b(t)=-r^\mathsf{T}M\ddot x(t). \tag{20}$$

本文报告$|V_b(t)|$的峰值，因此整体正方向的选择不影响表中的结果。

图2把输入、四个代表楼层的相对位移、各层位移角峰值和累计有效质量放在同一张图中。

图2　20层线性剪切楼在$0.30g$合成输入下的响应。各楼层峰值可能发生在不同时刻。

主要数值如下：

响应指标	计算值
屋顶峰值相对位移	$0.476\,\mathrm{m}$
屋顶峰值绝对加速度	$6.99\,\mathrm{m/s^2}$
峰值基底剪力绝对值	$42.1\,\mathrm{MN}$
最大层间位移角	$0.953\%$
最大层间位移角所在楼层	第5层
最大层间位移角发生时刻	$2.64\,\mathrm{s}$

四条位移时程在主要峰值处具有相近相位，幅值随高度增加，符合第一阶模态占主导的计算 结果。单阶近似仍遗漏了可辨认的高阶贡献。若以完整屋顶位移时程为参考，第一阶模态的相对 $L^2$误差为

$$\varepsilon_1 =\frac{\lVert u_{\mathrm{roof}}-u_{\mathrm{roof}}^{(1)}\rVert_2} {\lVert u_{\mathrm{roof}}\rVert_2} =14.4\%,$$

前三阶误差降至

$$\varepsilon_3=0.380\%.$$

这组结果说明，有效质量比例适合判断模态对一致输入的参与程度；目标响应的截断误差仍需 直接计算。前三阶累计有效质量为94.1%，对应的屋顶位移时程误差为0.380%，二者采用不同 定义。

在给定层刚度分布和合成输入下，层间位移角峰值集中在第4至第6层，第5层达到0.953%。 屋顶绝对加速度达到$6.99\,\mathrm{m/s^2}$，上部楼层的惯性响应需由绝对加速度时程 评价。

4.3 数值验证

数值结果通过四项条件校验。

1. $M$与$K$均为对称正定矩阵。
2. 质量归一化后，$\Phi^\mathsf{T}M\Phi$与单位矩阵的元素误差在数值容差内。
3. 全20阶有效质量比例之和与1的差小于$10^{-12}$。
4. 全阶模态位移与物理坐标位移的相对$L^2$误差为 $2.34\times10^{-13}$。

动力平衡残差定义为

$$r_{\mathrm{eq}}(t) =M\ddot u(t)+C\dot u(t)+Ku(t)+Mr\ddot u_g(t). \tag{21}$$

以等效地震力最大绝对值归一化后，残差小于$10^{-10}$。四项检查共同校验模态归一化、 载荷投影、阻尼投影和Newmark积分的一致性。

4.4 响应时程的动态呈现

图2把峰值和代表楼层时程压缩为静态对照，动画则保留输入、楼体变形和楼层位移的时间 同步关系。主要响应阶段内，上部楼层位移近似同相，幅值随高度增加，与第一阶模态占主导 的结果一致。楼体水平变形采用统一显示放大倍数，数值面板给出计算尺度。

5. 结论

1. 第一阶模态的有效质量比例为$79.7\%$，前三阶累计比例达到$94.1\%$。第一阶屋顶位移 时程误差为$14.4\%$，前三阶误差降至$0.380\%$，表明有效质量比例和目标响应截断误差 需要分别计算。
2. 在$0.30g$合成输入下，屋顶峰值相对位移为$0.476\,\mathrm{m}$，峰值绝对加速度为 $6.99\,\mathrm{m/s^2}$，峰值基底剪力绝对值为$42.1\,\mathrm{MN}$。最大层间位移角 为$0.953\%$，发生在第5层和$2.64\,\mathrm{s}$。
3. 全阶模态位移与物理坐标位移的相对$L^2$误差为$2.34\times10^{-13}$，归一化动力 平衡残差小于$10^{-10}$。两项结果共同支持模态投影与时程积分的一致性；动态画面进一步 呈现了地面输入、楼体变形和楼层位移之间的时间对应关系。

参考文献

1. OpenSees. Uniform Excitation.
2. Caughey, T. K.; O’Kelly, M. E. J. Classical Normal Modes in Damped Linear Dynamic Systems. Journal of Applied Mechanics, 1965, 32(3): 583–588.
3. Dassault Systèmes. Steady-State Linear Dynamic Analysis.
4. Chopra, A. K.; McKenna, F. Modeling Viscous Damping in Nonlinear Response History Analysis of Buildings for Earthquake Excitation. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 2016, 45(2): 193–211.
5. Newmark, N. M. A Method of Computation for Structural Dynamics. Journal of the Engineering Mechanics Division, 1959, 85(3): 67–94.