约翰·米尔诺：从奇异球面到数学的意外联系

摘要

约翰·米尔诺的数学道路始于普林斯顿数学系公共休息室里的讨论、游戏与友谊，又不断被意料之外的问题带向新的领域。他从十八岁时研究纽结的总曲率，谈到七维奇异球面的发现、流形的拓扑与光滑结构、二次型和代数 K 理论之间的联系，以及与瑟斯顿合作研究动力系统的经历。贯穿这次访谈的，是一种朴素的研究态度：努力理解事物，把理解清楚地写下来，与他人交流，并为来自意外方向的好想法保留空间。

概述

• 从普林斯顿的公共休息室出发：数学竞赛、第一篇论文、纳什、围棋与博弈论。
• 从纽结走向流形：德恩引理、七维奇异球面、四维的特殊困难，以及三角剖分的主猜想。
• 几何与代数相互启发：二次型、米尔诺猜想、代数 K 理论、群的增长与几何群论。
• 从生态模型走进动力系统：揉捏理论、ζ 函数、计算机实验及其可靠性。
• 理解与表达：数学写作、思想史、灵感、学科交流，以及独立研究的价值。

目录

• 在普林斯顿找到归属
• 十八岁时的第一篇论文
• 纳什、游戏与博弈论
• 纽结、德恩引理与独立研究
• 什么是流形
• 意外发现七维奇异球面
• 跨越大西洋的交流与四维难题
• 数学术语与主猜想
• 几何直觉、二次型与米尔诺猜想
• 代数 K 理论与群的增长
• 动力系统、揉捏理论与 ζ 函数
• 计算机实验与证明
• 把理解写清楚
• 灵感、交流与数学的未来
• 数学的价值与生活中的乐趣
• 基本信息

在普林斯顿找到归属

采访者：米尔诺教授，我们代表挪威和丹麦数学会，祝贺您获得 2011 年阿贝尔奖。

米尔诺：非常感谢。

采访者：是什么点燃了您对数学的兴趣？您又是什么时候发现自己在数学方面有非凡天赋的？

米尔诺：这个时间我记得很清楚。我第一次对数学产生特别浓厚的兴趣，是在普林斯顿大学读一年级的时候。此前，我不太适应社交，也没有多少朋友。来到普林斯顿以后，我发现数学系的公共休息室有一种让我感到十分自在的气氛。大家在那里聊数学、玩游戏，任何时候都可以进去放松一下。

我也觉得那些课非常有趣。在那里，我比过去任何时候都更有归属感。从那以后，我就一直留在数学里了。

采访者：1949 年和 1950 年，您都成为普特南数学竞赛的优胜者。您喜欢解数学题和各种谜题吗？

米尔诺：我想，我可能一直都是这样对待数学的：把它看成一些等待解开的有趣谜题。所以，这种事情确实很合我的心意。

十八岁时的第一篇论文

采访者：您的第一篇重要论文在 1949 年发表，或者说，至少在那一年被著名的《数学年刊》接受。您当时只有十八岁，对吗？这当然非常不寻常。论文的题目是《论纽结的总曲率》。您能讲讲，您是怎么想到其中的想法的吗？

米尔诺：对。当时我在上微分几何课，老师是阿尔·塔克。他讲到了一个问题。有一个定理，我记得是博尔苏克的：如果取空间中的一条闭曲线，考察它的总曲率，那么总曲率至少是 2π；等于 2π，当且仅当它是平面内的一条凸闭曲线。

博尔苏克是一位著名的波兰拓扑学家。他提出了这样一个问题：如果这条曲线打了结，会怎么样？这时候，我们能对曲率说些什么？我想了几天，找到了一个答案。

我觉得，自己在论文里把这个答案解释得很糟糕。不过，人总得慢慢学会怎样解释数学。这件事让我感到非常满足。事实上，差不多同一时间，另一个人也给出了类似的证明。但无论如何，对我来说，这都是一次进入数学世界的美妙开端。

采访者：那确实是很了不起的成就。您是 1949 年开始在普林斯顿读书的吗？

米尔诺：对，也许是 1948 年。

纳什、游戏与博弈论

采访者：不管怎样，您在那里认识了约翰·纳什。他当时是博士生，大概比您年长三岁。您能讲讲和他的交往吗？他因为《美丽心灵》这本书以及由它改编的电影而广为人知。我们也想听听，当时在普林斯顿做学生是一种怎样的体验。

米尔诺：正如我刚才说的，我有很多时间都待在公共休息室里。他也经常在那里，所以我们自然就熟悉起来了。他是个非常有意思的人，脑子里充满了想法。

他还会在走廊里走来走去，用口哨吹巴赫之类的曲子。此前我几乎没有听过这些音乐，所以，这是我接触古典音乐的一种很特别的方式。那几年，我们见面很多。

大约也是在那时候，我开始对博弈论感兴趣。纳什当然是这个领域非常重要的贡献者。怎么说呢，他确实是个很有趣的人。

采访者：您提到过，你们玩 Kriegspiel、围棋，还玩一种叫作“Nash”的游戏，对吗？

米尔诺：是的。Kriegspiel 是一种国际象棋游戏：两位棋手背对背坐着，看不到对方的棋盘，有一位裁判告诉他们各自的走法是否合法。

在这种游戏里，裁判很容易出错。我们经常下不完一局，因为裁判已经把局面弄糊涂了。这时候，我们就说是裁判赢了。不过，这确实是一种非常棒的游戏。

围棋在那里也很流行。我的老师拉尔夫·福克斯是围棋高手，我跟他学了一些，也跟其他下围棋的人学过。

至于 Nash 游戏，我想它可能更早就在丹麦出现了，不过纳什是独立发明的。它也叫 Hex。从数学的角度看，这是一种非常有趣的游戏，因为你可以从数学上证明，先手总有必胜策略，却没有相应的构造性证明，告诉你究竟应该怎样下。实际玩的时候，先手也常常赢不了。这是一种规则非常简单、数学基础与拓扑有关的游戏。

采访者：您发表过一些有关游戏的论文，其中也有和纳什合作的，对吗？

米尔诺：是的。其中一篇研究的是围棋的一个理论模型。后来，其他人进一步发展了它，我想，其中最成功的大概是约翰·康威。

我们还写过一篇关于实验博弈的论文，实际请一群人来玩多人博弈。我想，那段经历让我相信，多人博弈并不只是一个数学课题。它真正涉及的是社会交往，以及许多远远超出数学范围的东西。因此，我失去了从纯数学角度研究它的热情。

纽结、德恩引理与独立研究

采访者：您的博士论文是在拉尔夫·福克斯指导下完成的，题目是《链环的同痕》。您是怎么想到这个课题的？这项工作后来产生了怎样的影响？

米尔诺：福克斯当然是纽结理论的专家，所以我从他那里学到了很多关于纽结和链环的知识。当时，系里有不少人从事这方面的研究。不过，系里的另一些人却认为，这是一门档次不高、没有多大意思的学问。

很奇怪，纽结理论当时不被视为一个特别核心的领域。今天，它却是一个充满活力、十分活跃的课题。

举个例子，当时有一位非常安静的希腊先生，克里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯。我在系里、在公共休息室见过他，但他不太与人来往，我也从来没有真正和他熟悉起来。当时我完全不知道，他正在做重要的工作。

福克斯设法找到经费，支持了他好多年，让他基本上独自进行研究。他最终解决了纽结理论中的一个非常重要的问题。这或许也是三维流形研究重新成为数学中一个重要领域的开端。

很早以前，马克斯·德恩写过一篇论文，证明了纽结的一个简单性质。用数学语言来说，就是：如果一个纽结的补空间的基本群是循环群，那么这个纽结就可以解开，是平凡纽结。

德恩的证明被人们接受了至少二十年，后来才有人指出，其中存在一个很大的漏洞。从那以后，德恩引理就成了一个多年未解的著名问题：他的陈述似乎是对的，但给出的证明是错的。

一直没有人取得真正的进展，直到帕帕基里亚科普洛斯发展出全新的方法，证明了它，还证明了其他相关定理。那是数学中的一大进步，也说明，一个人在相当孤立的环境里独自工作，也可能取得巨大的成就。

这样的例子并不多。当然，还有另外一些著名的例子。安德鲁·怀尔斯解决费马大定理时，也是一个人埋头研究，拿出证明后令所有人大吃一惊。另一个例子是俄罗斯的格里沙·佩雷尔曼。他也基本上独自工作，给出了庞加莱猜想的证明。

但这些毕竟是少数例子。通常，数学家的工作处在一种更具社会性的环境中，大家相互交流想法，思想在不同国家之间传播得非常快。

我们很幸运，数学通常与政治局势没有什么关系。即使在冷战最激烈的时候，我们仍然可以得到来自苏联的信息；当然，苏联人也一样会阅读国外的论文。与大多数科学领域相比，数学要开放得多。

采访者：在让马丁继续提问之前，我想补充一点。马克斯·德恩当然是个重要人物。他是大卫·希尔伯特的学生，还解决了希尔伯特第三问题，也就是有关多面体等积剖分的问题。因此，大家相信他的证明，也就不奇怪了。

米尔诺：是的。这也是一个值得警惕的故事。我们总倾向于相信，在数学里，一件事情只要得到了证明，就永远是已经证明了的。但像这样，一个错误的证明被接受了很多年，虽然罕见，却确实发生过。

什么是流形

采访者：回到您自己的成就。在完成博士论文后的几年里，您的研究主要集中在流形理论上。首先，您能解释一下，什么是流形，流形为什么重要吗？

米尔诺：在低维情形里，流形是很容易想象的东西。空间中的曲线就是一种流形。曲面也是，比如球的表面，或者甜甜圈的表面，它们是二维流形。

但对数学家来说，一维、二维只是一个开始。在更高的维数里，事情会变得更有趣。流形对物理学家也很重要，而考虑高维对象对他们来说是必不可少的。

例如，假设你在研究一架飞机的运动。首先，如果你只想描述飞机所在的位置，需要三个坐标。但你还想描述它朝着哪个方向、机翼以什么角度倾斜，等等。要描述它的朝向，又需要三个坐标。

所以，仅仅为了描述飞机的状态，就需要三个坐标表示它在空间中的中心位置，再用三个坐标表示它的姿态。这样，你已经进入一个六维空间了。飞机的运动，就是这个六维空间中的一条路径。

而这还只是开始。如果你研究的是气体中粒子的运动，就要考虑数量庞大的粒子四处碰撞。每一个粒子都需要三个坐标描述位置，再用三个坐标描述速度。如果有一千个粒子，仅位置就已经需要三千维空间，速度还要再加三千个坐标。

当然，实际出现的数目可能大得多。因此，数学家和物理学家都非常习惯于在高维空间里工作。

意外发现七维奇异球面

采访者：您大约二十五岁时的一项发现，几乎立即使您成名：七维球面可以具有不同的奇异光滑结构。也就是说，有一些光滑流形，在拓扑意义下等价于七维球面，在光滑或可微的意义下却不等价。您能解释一下这个结果，并讲讲您是如何想到它的吗？

米尔诺：这确实是偶然发现的，而且让我非常震惊。

当时，我正在从拓扑的角度研究不同类型的流形。具体来说，我在考察一些七维流形的例子，它们来自一种简单而且已经得到充分理解的构造。这些光滑对象非常明确，我本来以为我们对它们已经很了解了。

可是，当我从两个不同角度考察它们时，却好像在数学里发现了矛盾。一种论证表明，这些对象是球面，至少在拓扑意义下是球面；另一种完全不同的论证，却表明它们不可能是球面。

如果对两个互相矛盾的结论，都有看上去不错的证明，数学家会非常不安。这可不是我们愿意见到的事情。

要摆脱这个困境，我唯一能想到的办法，是承认“拓扑球面”与“可微球面”这两个概念之间存在重大区别。后者的意思，是能够与标准球面建立光滑同构，也就是微分同胚的对象。

这是一个从未被预料到的情况。据我所知，甚至没有人专门提出过这个问题。大家只是觉得，答案显然如此：有些时候只考虑拓扑，有些时候则假定存在一个可微结构。但没有人认真考虑过，它们之间可能存在本质区别。

于是，这个结果引起了极大的兴趣。大家需要做更多研究，弄清楚这里究竟发生了什么。

跨越大西洋的交流与四维难题

采访者：您是这项研究的重要推动者。您把微分几何、拓扑学和代数拓扑的方法结合起来，为这个领域带来了新的认识。

欧洲数学家，尤其是法国数学家，比如勒内·托姆和让-皮埃尔·塞尔，作出了非常基础性的贡献，为您的方法提供了条件。顺便说，塞尔八年前在奥斯陆获得了第一届阿贝尔奖。当时，跨大西洋的合作是怎样进行的？

米尔诺：当时往返旅行很方便，我也发现法国数学家非常热情。我有很多时间是在巴黎附近的法国高等科学研究所度过的。

我和塞尔的接触其实不太多，但我非常敬佩他，到现在仍然如此。他的工作对我产生了巨大的影响。

我与勒内·托姆则熟悉得多。他真是了不起。他有一种惊人的能力，能够把几何论证和艰深的代数拓扑结合起来，得出非常出人意料的结论。我非常钦佩托姆，而且他本人也极其友善。

采访者：后来，在英国的弗兰克·亚当斯、美国的斯蒂芬·斯梅尔等人的工作基础上，您又与来自法国的米歇尔·克尔韦尔合作，在相当程度上完成了球面上奇异结构的分类。球面的稳定同伦群里仍然有一些问题没有解决，不过，撇开那些问题，我们至少知道了关于球面结构能够提出和回答些什么问题。

米尔诺：完全正确，但四维是个例外。

采访者：是的。

米尔诺：在一维、二维，有一些很经典的方法。三维已经很不一样，也难得多。不过，先有比尔·瑟斯顿的工作，再有格里沙·佩雷尔曼的工作，这个问题大体上得到了解决。

到了二十世纪六十年代，我们发现，高维反而比低维容易，这实在令人惊讶。维数足够高时，就有足够的空间可以活动，论证也随之变得简单得多。再经过一些努力，这些方法可以一直推进到五维。

但四维又是另一回事，非常困难。两边的方法在那里都不适用。

采访者：要在这些维数里工作，似乎需要更多艰深的纯分析方法，对吗？

米尔诺：既可以这么说，也不完全是。迈克尔·弗里德曼首先证明了四维的拓扑庞加莱猜想。他的方法恰恰与分析相反，完全依靠非常不规则的拓扑结构，根本没有可微性可言。

而在理解可微流形方面，真正的突破却来自数学物理学家：先是规范理论的方法，后来是塞伯格–威滕的工作。这些工作原本由数学物理推动，却对纯数学产生了极其重要的作用。

数学术语与主猜想

采访者：流形理论的术语往往很形象，也很接地气。有些技术叫“管道拼接”，而“手术”已经成了数学中的一个大产业。您还写过一篇论“杀死”的论文，当然，杀死的是同伦群。我们想问，这些术语有多少是您创造的？

米尔诺：我大概引入了“手术”这个词。它的意思，就是把流形切开，再以另一种方式拼起来。同样的操作，也有人称为“球面修正”。

很久以后，“拟共形手术”的思想又在全纯动力系统中发挥了重要作用。

简单、形象的术语很有用。有些词被使用得太多，结果人们反而忘记了它们究竟是什么意思；而且，它们的意义也可能随着年月而改变。所以，像“正则”“光滑”这样的词，都很容易造成危险。

数学中有那么多重要概念，必须用术语清楚地表明自己在说什么。使用人名有时很有帮助，因为可供使用的人名很多；如果给一个概念配上了恰当的人名，通常比使用日常词语更能明确地指认它。

当然，这些方式需要结合起来。好的术语非常重要。用得好，会带来积极影响；用得不好，则会令人困惑。

采访者：您还给出了另一个令人惊讶的结果：所谓 Hauptvermutung，也就是“主猜想”的反例。这个猜想来自德国数学家的组合拓扑学研究，涉及经过三角剖分的流形，或者更一般的三角剖分空间。您能解释一下，当时证明了什么吗？

米尔诺：二十世纪初，拓扑学的重要发展之一，是同调以及后来的上同调概念。当然，这些思想在十九世纪就已经以某种形式出现了，但怎样把它们真正定义清楚，是个很大的问题。

早期的一种办法，是先把拓扑空间分割成单纯形，也就是一些由直线围成的小块。在这个层次上，很容易证明同调有良好的定义，而且把单纯形继续细分成更小的单纯形时，它也有很好的性质。

于是，人们自然猜想，这种做法真正处理的是拓扑本身：如果两个单纯复形彼此同胚，就应当可以把它们细分成能够一一对应的小块。

这原本是人们第一次试图证明“同调是拓扑不变量”的途径。但谁也没能把它彻底做成。后来，人们找到了更好的方法，绕开了这个难题。

不过，那个古老的主猜想仍然悬而未决：是不是总能找到这样的细分？我碰巧找到了一个例子，可以证明这件事做不到。

那是一个相当病态的例子，所涉及的空间并不是流形。很久以后，也许过了十年，具体时间我忘了，人们发现，即使对流形也能给出反例。许多人都为此做了工作，而最后建立起真正令人满意的理论的，是罗布·柯比和我的学生拉里·西本曼。

几何直觉、二次型与米尔诺猜想

采访者：数学传统上分为代数、分析，以及几何和拓扑。您最引人注目的成果，大概是在几何和拓扑方面。您能谈谈自己的工作方式和直觉吗？您是在以几何的方式思考吗？可视化是否重要？

米尔诺：非常重要。我确实是一个具有视觉思维的人。所以，如果眼前看不到任何东西，我就很难进行数学上的交谈。

但另一方面，至少在高维拓扑里，有一个很普遍的现象：只有当你找到了一个合适的代数“镜像”，能够把自己的想法明确表达出来时，才会获得真正的理解。

我们也经常通过类比思考。你可以在低维里画出图像，然后大致知道，图像的哪些部分在高维仍然成立，哪些必须改变。这与单纯写下一长串符号，是非常不同的事情。

采访者：您也花了很大力气研究拓扑的代数方面，以及代数本身的问题。在您研究流形理论的同时，还发表了关于斯廷罗德代数、霍普夫代数等方面的论文。因此，在我们看来，您也有很强的代数思维。

米尔诺：一件事总会把人引向另一件事。如果有一个纯拓扑的问题，而它的答案需要代数，你就不得不学习一些代数。

例如，在流形研究中，有一种核心不变量，是四维流形，或者更一般的 4k 维流形上的二次型。我想，亨利·怀特海德很早就研究过它。为了理解这一点，我不得不去查找有关二次型的研究。

一开始，我觉得非常困难。后来，我读到了让-皮埃尔·塞尔的一篇优美阐述，里面恰好有我需要知道的东西。于是我发现，二次型理论本身就是一个令人兴奋、非常美妙的领域。

因此，我只是顺着自己的兴趣往前走，接着研究眼前出现的事情，就这样开始研究二次型的性质。

那些年，K 理论也在发展，比如迈克尔·阿蒂亚的工作，就非常令人兴奋。同时，人们开始建立它的代数对应物。格罗滕迪克大概是最早的开拓者之一，海曼·巴斯发展了代数 K 理论，我又往前做了一些。

接着，我发现它与二次型理论之间存在联系。在那个阶段，约翰·泰特给了我很大帮助，帮助我弄清楚这些东西如何对应。

我想，当时我作了一个非常幸运的猜测：代数 K 理论、二次型与伽罗瓦上同调之间，存在某种普遍联系。其实，我手里几乎没有多少证据。但它后来被证明是对的，很久以后，弗拉基米尔·沃沃茨基证明了这个猜想。

猜测当然很容易，但当猜测最终被证明正确时，感觉确实很好。

采访者：这还只是那些非常著名的米尔诺猜想中的一个。

米尔诺：当然，我也提出过后来被证明是错的猜想。

采访者：不过，它们也都发挥了很重要的作用。

代数 K 理论与群的增长

采访者：您已经谈到了代数 K 理论。如果让我们猜，您最初的兴趣可能来自怀特海德群，以及与 K₁ 有关的怀特海德挠率。

米尔诺：确实如此。

采访者：很明显，这些概念通过 s-配边定理等结果，在非单连通流形的理论中起着关键作用。它们想必也激发了您对一般代数 K 理论的兴趣。您有一个版本，如今称为“米尔诺 K 理论”；后来奎伦提出了另一个版本，其基础可能更偏向拓扑。

米尔诺：在拓扑 K 理论里，各个维数都可以处理，而且有周期性，因此相对比较直接。看起来，应该存在与之对应的代数理论。

巴斯对 K₀ 和 K₁ 已经作了非常完整的阐述。我设法找到了 K₂ 的一个对应物。这个 K₂ 与奎伦理论中的 K₂ 完全相同。动机和讲述方式虽然不同，数学对象却是一样的。

至于怎样继续往前走，我当时并没有真正的想法。奎伦发展出了适用于所有维数的完整 K 理论，而我只是对高维作了一个相当临时性的定义。

它绝不是奎伦 K 理论的替代品，两者并不相同。但结果表明，对于某一类问题，它非常有用。因此，它保留了自己的独立身份。

采访者：比如在动机上同调，以及与之相关的发展中。

米尔诺：对。

采访者：您在 1968 年的一篇论文中引入了有限表示群的增长函数，并证明了负曲率黎曼流形的基本群具有指数增长。文献中认为，这为现代几何群论的飞速发展铺平了道路，最后也通向格罗莫夫的双曲群理论。格罗莫夫两年前获得了阿贝尔奖。您为什么觉得这个概念重要？

米尔诺：我一直对流形的拓扑与几何之间的关系很感兴趣。当时已经有一些著名的经典定理。例如，普赖斯曼证明过：对严格负曲率的流形，其基本群的每个阿贝尔子群都是循环群。

增长函数似乎是群的一个简单性质，却能够在基本群中反映出几何信息。

我不是第一个做这件事的人。俄罗斯的阿尔伯特·施瓦茨在我之前就做过很相似的工作。但也许因为我的名气大一点，这个概念经由我得到了更多关注。

还可以提到另一位阿贝尔奖得主，雅克·蒂茨。他证明了后来称为“蒂茨二择一”的结果。对于代数群中的有限生成子群，要么包含非阿贝尔自由子群，要么本质上是可解的，也就是具有有限指数的可解子群。

我当时能够构造的群，全都具有这样的性质：要么包含非阿贝尔自由子群，要么本质上是可解群。

所以，中间增长的群是否存在，一直是一个多年未解的问题。后来，俄罗斯的格里戈尔丘克找到了一个例子，表明群确实可以处在两者之间：增长慢于指数增长，却快于多项式增长。

能够提出有意思的问题，再看到别人给出有意思的答案，是一件很美好的事情。

动力系统、揉捏理论与 ζ 函数

采访者：过去三十年里，您在实动力系统和复动力系统方面做了大量研究。大致而言，这些领域研究连续函数或全纯函数的迭代，以及相关轨道和稳定性。我们很想知道，您为什么会对这一领域感兴趣？

米尔诺：我最初是受到比尔·瑟斯顿的影响。他自己则是从数学生态学的问题中产生了兴趣。

很抱歉，我对名字的记忆不太好。不过，那里研究的是这样一种情况：假设有一个孤立的昆虫种群，它的数量可能增长，也可能减少。

如果某个地区的昆虫太多，就会耗尽资源，开始大量死亡；如果数量很少，它们又可能呈指数增长。所以，会有这样一条曲线：种群很小时，数量趋向上升；种群过大时，数量又开始下降。

这使人们开始用数学研究这类函数的性质。如果一年来、一年去，不断观察它的变化，就会得到看起来十分混乱的种群数量数据。

瑟斯顿对这个问题产生了浓厚兴趣，并向我解释了一些想法。和经常发生的情形一样，我起初十分怀疑。

采访者：你们的那篇论文后来成了一篇开创性的论文。最早的稿子大约写于 1977 年，在正式发表于施普林格《数学讲义》系列之前，流传了很多年，直到 1988 年才出版。

你们引入了一个新的基本不变量，叫作“揉捏矩阵”，以及相应的“揉捏行列式”，还证明了一个精彩的定理，把揉捏行列式和映射的 ζ 函数联系起来。ζ 函数当然与周期轨道等对象有关。

我读过其中一部分。从行文里能感觉到，写这篇论文一定是一件令人愉快的事，您的热情仿佛透过文字流露出来了。

米尔诺：您说 ζ 函数描述周期轨道，这当然是对的，但这样说会略过很多历史。

ζ 函数最初因为黎曼而出名，也就是黎曼 ζ 函数。事实上，欧拉更早就研究过它。因此，ζ 函数最早是在数论中变得重要的。

后来，研究动力系统的人发现，同样的数学形式也很适合用来计算周期轨道的数量。

我想，其中的催化剂是安德烈·韦伊。他研究了有限域上的曲线所对应的黎曼 ζ 函数的类似物，并发现它与弗罗贝尼乌斯作用的周期轨道密切相关。

所以，这里有一条连贯的历史线索：从欧拉、黎曼、安德烈·韦伊的纯数论，一直延伸到动力系统。在动力系统里，我们研究一个映射的反复迭代，并计算它有多少条周期轨道。

这正是数学家非常喜欢的事情：在一个领域里发明的技术，后来发现，在另一个完全不同的领域里也能发挥作用。

采访者：不过，研究一个区间到自身的连续映射，竟然能带来这么深刻的结果，还是很令人惊讶吧？

米尔诺：这确实是一个让人很愉快的课题。

采访者：您和瑟斯顿的工作，被拿来与一百年前庞加莱关于圆周微分同胚的工作相比。庞加莱的工作开启了动力系统的定性理论。查阅文献，很容易看出，你们的工作也对这个领域产生了巨大影响。

计算机实验与证明

采访者：这就引出了另一个问题。《实验数学》这本期刊在 1992 年出版了第一卷，其中的第一篇论文就是您写的，讨论三次多项式的迭代，并使用了很多计算机生成的图像。后来您又在这本期刊上发表了多篇论文。您怎么看计算机在数学中的作用？

米尔诺：计算机刚出现时，我就对它着迷。最初，人们不得不制作那些糟糕的穿孔卡片，实在很麻烦。后来，使用它变得越来越方便。

恐怕计算机对数学最大的影响，是让准备论文变得容易了。

我一直有反复重写、不断修改的习惯。早年，我简直要把可怜的秘书们逼疯了。我交给她们的是凌乱的手写长稿，她们把它变成漂亮的打字稿，然后我又把这里划掉，那里改掉，再加进一些东西。这对她们来说真的很辛苦。

自从计算机使编辑稿件变得方便以后，一切都轻松多了。

当然，另一方面，计算机也使数值实验更容易进行。数值实验并不是什么新鲜事，高斯就做过很多。不过，在他那个年代，这是一项极其费力的工作；如今就容易多了。

尤其当你研究一个动力系统，却很难严格证明任何明确结论时，建立一个可以在计算机上运行的简化模型，会很有帮助。你希望由此得到准确的结果。

但这也很危险，因为你永远不知道，计算机的舍入误差，或者其他计算错误，是否会导致一个完全不准确的结果。因此，弄清楚计算机能做什么、不能做什么，以及它的局限在哪里，逐渐成了一门艺术。

不过，它确实能提供巨大的帮助。你可以迅速了解，一个动力系统大概会出现什么行为，然后以计算结果为线索，尝试证明一些东西。至少，在最好的情况下是这样。

还有另一种情况：你唯一能做的就是得到计算结果，然后祈祷结果可靠。

采访者：从这个意义上说，这种数学研究与物理学家的工作有点相像。他们设计实验，再从实验结果中尝试得出结论。

米尔诺：中间还有一个阶段，就是计算机辅助证明。如果你相信计算机程序没有错误，硬件也没有错误，那么你就有了一个完整的证明。但“没有错误”这个假设非常重要。

我知道恩里科·邦别里有过这样一次经历。他使用一台很先进的新型高速计算机，做数论实验，发现某些情况下，结果看起来就是不对。

他不断追查、不断追查，最后发现，问题出在硬件里。

把理解写清楚

采访者：您写过一些堪称传奇的教材。它们讲述清晰，似乎总能沿着尽可能短的道路，迅速把读者引向核心。您的书涉及微分拓扑、莫尔斯理论、示性类、二次型和全纯动力系统等领域。

这些书读起来令人愉快，您总能很快而且非常优雅地切中要点。写数学教材时，您有自己特别的理念吗？

米尔诺：我想，我的大多数教材，都产生于我试图理解某个领域的过程。

刚才我提到过，我的记忆很依赖视觉。只有把一个东西写下来，而且写成我自己能够看懂的样子，我才会相信自己真的理解了它。

所以，如果我的文字确实清楚，那大概是因为我学得慢，需要读到很多细节，才能确信自己没有弄错。

采访者：我们想到两个问题。您喜欢写数学史或历史综述一类的文章吗？您显然很擅长这样做。另外，您是否认为，像您这样重要的数学家来撰写面向更广泛读者的数学文章和书籍，是一件重要的事？

米尔诺：数学有着极为丰富、有趣的历史，但要把它理清楚很困难，因为术语一直在变化。

譬如，你读一篇一百年前的文章，里面把某个函数称为“正则”的，你可能很难弄清楚，当时作者说的究竟是什么意思。

因此，清楚地写下定义非常重要。即使术语后来改变了，读者也仍然能够理解你当初在说什么。

采访者：您对数学史的兴趣，也是为了追踪思想的发展吗？

米尔诺：对科学家来说，历史通常是那些成功思想的历史。我们往往会觉得，没有奏效的想法比较无趣。

但真正的历史学家关心的是，思想究竟怎样发展，也包括那些走进死胡同的尝试。因此，我所写的那种历史是很有偏向的：我想弄清楚，今天重要的思想从何而来，最初是谁发现了它们。我觉得，这是一个令人着迷的领域。

采访者：在您一生亲自接触过的数学家中，有哪些人给您留下了特别深刻的印象？

米尔诺：当然有很多。普林斯顿的老师们，比如拉尔夫·福克斯、诺曼·斯廷罗德，都给我留下了深刻的印象。

还有亨利·怀特海德。我记得，他曾经邀请一群非常年轻的拓扑学家去牛津。对当时年轻的我来说，那是一段美妙的经历。

我刚才已经提到过勒内·托姆。较晚一些，阿德里安·杜阿迪对我也有很重要的影响。他是个令人惊叹的人，总是充满活力，无论什么数学问题，他都愿意和你讨论。

灵感、交流与数学的未来

采访者：换一个方向。您有许多成果，被世界各地的数学家称为突破。如果请您回想那些想法突然出现、结果渐渐浮现的时刻，通常是在您非常专注、非常紧张地研究问题时发生的，还是在比较放松、没有直接考虑它的时候？对此，有没有一个共同的答案？

米尔诺：一种情形当然是，你反复琢磨、研究一个问题，晚上带着疑问入睡，第二天早上醒来时，就知道答案了。

另一种可能，是你一直坐在桌前工作，终于有某个环节想通了。还有一种可能，是和别人交谈时，把不同的想法结合到了一起。各种情况都有。

交流在数学中当然非常重要。和别人交谈、阅读别人的工作、听取建议，都是这个过程中非常必要的部分。

采访者：从整体上看，在您经历的这些年里，数学也发生了变化。有些时期，数学内部的发展空间比较大；另一些时期，推动力则更多来自其他学科，比如过去的物理学。

您觉得，我们今天处在一个怎样的时期？现在有哪些外部影响特别重要？如果往未来看，它们会怎样发展？

米尔诺：我想，最大的谜团，是生物学与数学之间的关系。

采访者：您刚才提到的生态学，就是一个例子。

米尔诺：是的，但那只是建立一个非常简化的数学模型。

很明显，生物学的问题极其复杂，你永远不可能为它建立一个完整的数学模型。这也是应用数学面临的一般问题的一部分：现实世界中发生的大多数事情，看上去都非常复杂。

其中的艺术，在于辨认哪些变量、哪些性质是本质性的，然后尝试寻找一个简化模型，让它仍然能够说明真实而复杂的情形中的某些东西。

在理解大量数据、进行统计分析方面，我们已经取得了巨大的成功。当然，那不是我曾经从事的那种数学，但它确实是一种数学，而且非常重要。

采访者：在十到十五年前的一篇文章里，您谈到过几个数学领域。您起初觉得，它们的意义不大，后来却发现，它们对于解决您自己正在研究的问题非常关键。弗里德曼的工作似乎就是其中一个例子。您还能再举一个例子，或者谈谈自己对此的看法吗？

米尔诺：我想，数学的乐趣之一，在于做数学不需要一大笔经费，也不需要一台庞大的机器。一个人独自工作，仍然可以作出重大贡献。

而且，解决问题有那么多可能的途径。我认为，把一切都集中在少数几个方向上，是一个大错误。

让许多人各自独立工作，实际上非常有价值，因为好的想法可能从一个完全意料不到的方向出现。这样的事情已经发生过很多次了。

数学的价值与生活中的乐趣

采访者：这引出了最后一个问题。某种意义上，它大概不可能回答：数学对您意味着什么？做数学家最美好的部分是什么？

米尔诺：努力理解事物，试着向自己、也向别人解释它们；交流想法，观察别人怎样处理问题、怎样发展新的思想。

数学里正在发生的事情太多了，没有一个人能够理解全部。即使你不能掌握某个成果的每一个细节，仍然可以欣赏它。这是一个令人非常兴奋的世界。

采访者：我们一直都在谈数学。结束之前，能不能问问，您还对什么事情特别感兴趣？您有哪些爱好，闲暇时喜欢做什么？

米尔诺：我想，我喜欢读科幻小说，或者其他一些轻松的小说，用来放松。

以前，我很喜欢登山，虽然从来不是专家，只是一个喜欢登山的人。我也喜欢滑雪，同样算不上高手，但确实很享受。

我希望自己还能重新开始滑雪。这个冬天没能做到。

采访者：访谈到这里就要结束了。非常感谢您接受这次如此有趣的采访。这不仅代表我们两个人，也代表丹麦数学会、挪威数学会和欧洲数学会。非常感谢。

米尔诺：非常感谢你们。

基本信息

• 受访者：约翰·米尔诺（John Milnor），2011 年阿贝尔奖得主。
• 采访者：马丁·劳森（Martin Raussen）、克里斯蒂安·斯考（Christian Skau）。
• 访谈年份：2011 年。
• 视频发布：2019 年 12 月 10 日，The Abel Prize。
• 原题：John Milnor - The Abel Prize interview 2011。
• 制作：UniMedia。
• 原始访谈视频。
• 《美国数学会通讯》刊载的访谈。