丹尼斯·沙利文：从流形的外部走向内部

摘要

什么是流形？对丹尼斯·沙利文而言，这不仅是一个分类问题，也是贯穿整个数学人生的问题。他先学习用代数拓扑的不变量描述流形，继而通过手术理论、伽罗瓦作用和有理同伦理论理解空间的结构；随后，他又把目光转向流形内部的叶状结构、动力系统与分形，寻找不同领域背后相同的数学思想。这次访谈记录了他与米尔诺、布劳德、奎伦、瑟斯顿、赫尔曼等人的交往，也讲述了博士资格考试前的顿悟、八年研究费根鲍姆普适性的历程，以及用组合拓扑重新思考流体计算的长期计划。对他来说，解出著名难题固然令人高兴，更重要的始终是理解：找到一个足够简单的图景，使整套理论都能从中重新生长出来。

概述

• 从空间的直觉出发：流形、手术理论、分片线性结构与主猜想。
• 数与空间之间的桥梁：K 理论、伽罗瓦作用、阿当斯猜想与有理同伦。
• 理解发生的时刻：一个正则值的原像，如何让整本书变得透明。
• 走入流形内部：叶状结构、圆周动力系统、拟共形映射与费根鲍姆普适性。
• 不同领域的共同结构：无游荡域定理，以及克莱因群与复动力系统之间的“字典”。
• 回到空间中的真实过程：流体、离散计算、庞加莱对偶与数学中的简单性。

目录

• 流形、蛋糕与配方
• 手术理论：按照配方构造空间
• 普林斯顿、米尔诺与博士论文
• 主猜想与四维的障碍
• 伽罗瓦群为什么会作用在流形上
• 博士资格考试前的顿悟
• 阿当斯猜想与草坪上的一刻
• 有理同伦与微分形式
• 从流形外部走向内部
• 赫尔曼、约科兹与电话里讲得清的证明
• 费根鲍姆普适性与八年研究
• 无游荡域：重点是理解
• 两种数学世界之间的字典
• 用组合拓扑重新思考流体
• 纳维－斯托克斯问题与计算的尺度
• 简单的东西会留下来
• 阿贝尔：问题的表述中蕴含解答
• 基本信息

流形、蛋糕与配方

采访者： 祝贺您获得 2022 年阿贝尔奖，以表彰您“在最广泛意义上的拓扑学，尤其在其代数、几何和动力系统方面所作出的开创性贡献”。明天，您将从挪威国王陛下手中领取阿贝尔奖。

沙利文： 谢谢。

采访者： 您研究过许多不同的领域。您的导师甚至把您形容为一种“智力吸尘器”，但您的工作似乎一直有一个贯穿始终的主题。如果把数学分成空间与数这两根支柱，您显然偏爱空间，甚至希望用空间取代数。

在这样的探索中，您一直追问：“什么是流形？”也许我们就从这里开始。在谈到您所说的那条“从外部走向内部”的道路之前，能否先凭直觉解释一下，什么是流形？

沙利文： 就是空间。

采访者： 是空间，但它应当是一种特殊的空间，对吗？

沙利文： 不妨这样想：空间意味着你可以在里面移动东西，没有一道看不见的墙，让你到了某个地方就非停下来不可。你可以自由移动。任何局部具有这种样子的空间，就叫作流形。

“空间”本身是一个直觉性的词，我们都知道它是什么意思。而数学上确实有一个叫作“流形”的概念，它是这种直觉概念的逻辑化版本。作为数学学生，你第一次学到它时，会觉得它非常迷人。

不过，我最早学到的流形理论有些奇怪：你面对这样一个对象，却不直接描述它，而是给它配上一些非常抽象的、属于代数拓扑的对象。只要收集到足够多的这种对象，并且它们满足正确的条件，你就能造出一个流形。

采访者： 也就是说，您确实可以把流形重建出来？

沙利文： 可以在某种等价意义下把它造出来。但你并没有以一种典范的方式构造流形的那些点。仿佛它根本没有点，而是一个黑箱，信息都存放在里面。

数就是在这里进入的。那些概念全都建立在数和代数之上，可是空间本身的质地并不在那里。

采访者： 就像蛋糕的配方与蛋糕本身之间的区别？

沙利文： 我觉得完全就是这样。这个比喻很好，你们一定事先准备过吧？

采访者： 没有，真没有。

沙利文： 很好，确实是个好解释。不过，这块蛋糕没有边缘，也没有分层，就是一块向四面八方无穷延伸的美味蛋糕。

采访者： 而您真正想接触的是蛋糕本身？

沙利文： 是的，吸引我的原本就是空间以及它的质地。可是每次我向教授提出一个问题，他们给我的回答都是用数的逻辑表达的，也就是代数拓扑和同伦理论。于是，我只好学习这些东西。

我开始学习，又把几何问题作些调整，让它们能够与数恰好吻合。有些目标无法达到，有些则在能力范围之内。在那一阶段，我就调整问题，去追求那些够得着的目标。

手术理论：按照配方构造空间

采访者： 您说的基本上就是所谓的“手术”吧？改变空间，使它符合要求，也就是根据配方把空间构造出来。

沙利文： 对。你先有一份规定信息的配方：它有多少个洞、多少个柄，然后按照这个描述，造出一个实际的流形。比如说，规定它有三十三个袖筒之类的，你就把它造出来。手术理论使这种构造成为可能。

这是一种非常强有力的技术，不过它已经是第二阶段的技术，接在托姆极有影响的配边理论之后。

采访者： 这里有一个重要区别：一边是同伦理论中可以变形、可以推动的东西，用技术术语说就是同伦型；另一边则是实际的流形。

沙利文： 是的。首先，有一件事本身就很有意思：闭流形的分类竟然是一个非常有意思的课题。这并不是事先就显而易见的。所谓闭流形，就是没有边界，也不向无穷远延伸的流形。对它们进行分类，确实极其有趣。

曲面的分类是经典知识，可以追溯到阿贝尔、黎曼等人：球面、亏格数、阿贝尔函数、阿贝尔微分，等等。但是庞加莱已经发现，到了三维，情形要复杂得多；维数再升高，就愈发复杂。

令人惊讶的是，我们竟然有足够的“数的机器”，能够理解五维以及更高维的空间。这是极了不起的发展。我会说，它主要由托姆开创，手术理论则把这段故事补充完整了。而我赶上了开往……不管什么地方的最后一艘大船。

采访者： 您搭上的就是手术正合序列这艘船？

沙利文： 可以这么说。你们刚才提到布劳德，他当时在讲授这套理论，形式相当繁复，有点巴洛克式的复杂。但你可以稍微重新安排一下，让它简单一些。经过这样的改写，就能看出哪些部分可以得到完整的发展。

光滑结构在某种意义上仍然没有完全解决，不过其中所有无限的部分，我们已经知道了。

采访者： 这一领域也深受此前的阿贝尔奖得主米尔诺的影响。

沙利文： 当然，他的影响非常大。

普林斯顿、米尔诺与博士论文

采访者： 这也把我们带到了您在普林斯顿写博士论文的时期。那时的普林斯顿一定是个令人着迷的地方，有那么多杰出人物在身边。

沙利文： 而且不用预约，因为他们都会来喝下午茶。你什么都可以问，甚至可以问：“你口袋里有多少枚二十五美分硬币？”想问什么都行。

采访者： 有一个很有意思的故事：在您的论文接近完成时，您曾和米尔诺讨论过一次。能给我们讲讲吗？

沙利文： 我有一连串步骤，只要全部完成，就能解决我想解决的问题。但每一步都有一个已经弄清楚的部分，也有一个涉及米尔诺奇异球面的部分。我不知道这些部分该怎样接在一起。

于是那天我专门去了他的办公室，因为这是个严肃的问题。下午茶时可以随便问问题，但这回是件正事。

他看了之后说：“你为什么不把米尔诺那一部分先放下？”当然，他不是这么说的。他的意思是：“为什么不先不管奇异球面那一部分，只做前一部分呢？”这样做对于分片可微流形是行得通的。

采访者： 也就是组合流形的情形？

沙利文： 对，组合流形，或者分片可微流形。你允许微分结构在接缝处断开，但保留组合结构。

我说：“谢谢您，米尔诺教授。”可是心里想：“我不喜欢这些分片的东西，我喜欢光滑流形。”后来再一想：等一下，如果这么做，我就能完全知道它的结构了！准确地说，是完全知道局部结构；剩下的只需要弄清整体结构。

后面这一步又花了一年，不过这样就解决了整个问题。

采访者： 然后您去问自己的导师布劳德：“这些能放进我的博士论文吗？”

沙利文： 对，我问他：“我有这样一连串步骤，其中带着这些系数。如果所有步骤都能完成，就会得到这个结果。这能成为我论文的一部分吗？”

他说：“我想，这就是你的博士论文了。”

主猜想与四维的障碍

采访者： 您的论文也回答了一个大家思考了很久的问题，是关于组合流形，也就是 PL 流形的结构，对吗？

沙利文： 我不觉得你说的那个结构问题已经存在很久了。你想到的是主猜想吗？

采访者： 对，我想到的是主猜想。

沙利文： 那是稍微不同的问题。不过它确实是推动研究的动力。这个更有名的问题问的是：组合结构是否由拓扑结构唯一确定？它被称作 Hauptvermutung，也就是“主猜想”。

结果是，只要我把刚才说的理论彻底弄懂，就能用诺维科夫的技术证明，我列出的那些数都是零。一旦掌握了足够多的数，能够处理全部步骤，就可以这样做。

接下来的八个月像是一场赛跑。并不是在和别人竞争，而是在和现实赛跑。每当我对这个整体理论的理解更进一层，就能把主猜想再往前证明一点。

最后，我能够证明其余东西都为零，只剩下四维中的一个小东西：它不是零，但它的阶是二。事情就停在这里。几年以后，人们果然在那个小地方找到了反例。所以，我已经把能够证明的部分都证明了。

采访者： 那个“小东西”就是四维的障碍群？

沙利文： 是的。

不过，从某种意义上说，这并不是我的工作方式。解出一个著名问题当然值得高兴，但我真正喜欢的是把事情理解得更透彻。

我更喜欢的是这样一套理论：这些就是全部的分片线性流形，你计算这些数，就知道手上的流形是哪一个。这样，事情就讲完整了。碰巧这些数中一百个有九十九个也是拓扑不变量，于是又得到一个推论。

如今大家只知道那个推论。而且现在他们连更简单的证明都有了，我做过的工作都被忘掉了！所以我很高兴能拿到这个奖，至少可以再讲讲这些事情。

伽罗瓦群为什么会作用在流形上

采访者： 紧接着，您又做出了一些了不起的工作。您发现，伽罗瓦群对于研究流形或空间有重要意义，而且借此解决了一个著名猜想。能否从流形的角度讲讲这个故事？为什么流形上会有伽罗瓦作用？这听上去似乎一点也不合理。

沙利文： 我会说，直到现在，这件事也还没有真正被理解。

原来我们有一张不变量的清单。我稍微简化一下：清单里很大一部分内容，可以汇集为 K 理论中的一个元素。而 K 理论有一种对称性，就是阿当斯运算。

另一方面，在复数中考察单位根，把这些单位根加入进来，形成相应的域，就能得到伽罗瓦理论中很大的一块，也就是它的阿贝尔部分。

为了精确地表达这里的对应，要进行完备化；这一点对拓扑学家和几何学家来说，在技术上有些陌生。对流形理论的“数的部分”作完备化后，它的这种对称性恰好就是那个大伽罗瓦群的阿贝尔部分。这样一来，阿贝尔和伽罗瓦就在一起了。

这种对称性也存在于 K 理论中，于是它作用在不变量上。而流形在这里是由信息给出的：一个同伦型，再加上那些数值不变量。伽罗瓦群既然作用在这些不变量上，也就作用在流形上了。事情就是这样发生的。

不过，这不是一种直接而自然的几何构造。所以才有我们曾经谈过的那个 Jugendtraum，意思是“青春之梦”：希望能用初等的方式解释这个作用。这个尚未实现的青春之梦，至今还是一个开放问题。

采访者： 那么，我们应该如何看待流形？是否可以像看待代数簇那样看待它们？

沙利文： 这里有一点奇怪。通常定义在实数或复数上的代数簇，是普通的拓扑空间，它们的拓扑来自实数或复数的拓扑。可是伽罗瓦群并不保持那种拓扑。

这对于一般性的访谈来说，可能不是最容易讲清楚的话题。不过，代数几何给我们的一个教训是：要理解由整数定义的对象，最好分别考察每一个素数，再考察实完备化，从这些不同的角度组织信息。

在每个方向上，你都把信息扩展开来，而这些信息的交汇又把整数层面的信息找回来。各个部分都有各自的生活。这是一种颇为精细的观点，当时我的一些拓扑学同事实在接受不了，他们根本不想听。

采访者： 您说的是几何拓扑学家，而不是同伦理论学家？

沙利文： 对。

采访者： 也就是说，您逐个素数地把信息组装起来，再加上有理数层面的信息？

沙利文： 对。对于流形来说，要把素数二与所有奇素数分开。各个奇素数的行为彼此相同，但二很不一样。原因在于庞加莱对偶：它具有二次型那样的性质。而我们知道，二次型在素数二处的表现，与在奇素数处的表现很不相同。

博士资格考试前的顿悟

采访者： 我们能在这里插入一个问题吗？您提到了庞加莱，人们常说“庞加莱时刻”：一个问题想了几个月，忽然间豁然开朗，看到了答案。您有过这样的时刻吗？

沙利文： 我一直在寻找这样的时刻，可它们很少出现。你们是想从刚才的讨论接着讲，还是另起一个话题？

采访者： 就说说您提过的那个例子吧，博士资格口试之前的那次经历。

沙利文： 明白了。那要回到我准备博士资格考试的时候，也是在手术理论故事的起点。前面说过，这一切来自托姆。

米尔诺有一本小书，叫《从可微观点看拓扑》。那些通常要做的事情，从柯尼斯堡七桥问题一直到贝蒂数等等，都可以用更几何的方式来处理：使用光滑函数、正则值，取那些好点的原像，得到子流形。

那是米尔诺对托姆 1953 年理论的优美阐述。我为口试研读这本书，已经熟得不能再熟，任何问题都能回答。

去考试的路上，我想，还是再翻一遍吧。我就走进图书馆，把书打开。它很短，只有大约十个定理，可里面还是有许多步骤。我又看了一遍，就在这时，一个基本图景浮现了出来。

假设有一个映射，映到球面这样的空间。取球面上一个好点，也就是一个正则值的原像。根据隐函数定理，你会得到一个很好的子流形。它附近有局部坐标，而那个邻域就像被压下去、完全压平的弹簧玩具一样，朝那里收拢。

可是我们要说的是整个映射，而眼前只有一个点的原像。这时我忽然意识到：等等，一个点的原像已经包含了全部信息！

原像的补集在定义域中可能非常复杂，但目标球面上一个圆盘的补集是可缩的。就像从气球上拿掉一个点，剩下的东西就可以收缩。既然目标中的其余部分是可缩的，映射就能延伸过去，并且在同伦意义下是唯一的：无论作出什么选择，都可以通过变形联系到其他选择。

突然之间，整本书、整套理论都清楚了。它们全都来自这个弹簧玩具的图景，再加上一句逻辑上的说明：那边的补集是可缩的，因此那里不再有额外的信息。

纯粹的逻辑，加上一个简单的图景，整本书就不再是一串需要记住的东西了，整套理论也是。即使让我失忆，只要脑子里还留下这个图景，我就能把整本书和整套理论重新推出来。

那时我想：“原来这就叫作理解数学。”当时我还是研究生。真是太奇妙了，我想再体验一次这种感觉。

采访者： 后来体验到了吗？

沙利文： 有，但需要等的时间越来越长。

采访者： 在您那个时期的其他主要成果中，有没有哪一项也对应着这样的图景，让您能在脑海里看到整个理论？

沙利文： 基本上，我前面说的那一连串步骤，就是不断取原像、使用这个图景。我一直在使用它。

这就像你知道螺丝刀是怎么工作的：一个带柄的工具，插进槽里，转动。靠它，你能把这座房子都拆开。你可以做许多事情，只要有一个简单工具，真正理解它，再去使用它。

不过，这不完全是我想到的那种“庞加莱时刻”。你们刚才提这个词时，我想到的是庞加莱把脚踏上公共马车的一瞬间，忽然意识到：单位圆盘的全纯双射，与非欧几何的对称或全等变换，原来是一回事。

那是一种惊人的联系。两边的东西他本来都知道，但在某种意义上，把它们连起来的那个瞬间才是关键。这个联系几乎决定了此后一个世纪的发展，包括瑟斯顿的工作等等。

阿当斯猜想与草坪上的一刻

采访者： 您在证明阿当斯猜想时，应当有过类似的经历吧。您说过，对后来研究的发展而言，伽罗瓦作用与阿当斯运算的对应并不是那么重要。但在您当时试图解决阿当斯猜想的时候，发现两者竟然是同一回事，一定非常重要。这难道不是一次启示吗？

沙利文： 这并不是我的创造，而是奎伦的观察。我们已经引入太多概念了，姑且把阿当斯运算看成某种对称性。它所作用的对象与流形和空间有关，实际上就是切丛，也就是流形上所有的切方向。

这种对称性和代数中的一个事实有关。假设你在一个域中工作，其中任何元素乘以一个素数 p 都等于零。比如在素数三的世界里，任何元素乘以三都等于零。

这时会出现一个奇妙的事实：取一个数 x，把它立方；再取另一个数 y，把它立方。把这两个立方相加，与先把 x、y 相加再立方，得到的结果相同。也就是说，(x+y)³=x³+y³。

原因是二项式展开的系数为一、三、三、一，而三在这里就是零，因此只剩下一和一。

采访者： 这和费马小定理有关，对吗？

沙利文： 这表明，在每一个这样的素数世界里，都有一种额外的对称性，即弗罗贝尼乌斯对称性。这非常了不起。

奎伦已经提出，阿当斯猜想与弗罗贝尼乌斯之间存在关系。但当时我觉得这有点太奇异了。我想使用这个猜想的结论，并不想亲自证明它。

那时我还没见过奎伦，后来听说他不准备继续做这件事，因为他得先学会格罗滕迪克的两百页理论，再把它搬到所需的情境中。他只写完美的论文，如果不够完美，就不写。

采访者： 您说的是奎伦？

沙利文： 对。这里我也加上了后来才知道的事情：随着我读到他更多的工作，发现他的每篇论文都完美无缺。“完美”还不是最准确的词，应该说是“最优”：你不可能做得更好。

听说这件事后，我想：“好吧，我先假定它是真的。奎伦已经看到了这种联系，他本来能把证明写出来。”但我随即又想：“等一下，我不能只是假装它是真的，我得自己证明。”

不过，如果一个命题确实是真的，证明起来就会容易些，因为你知道它是真的。这毕竟是一个拓扑定理，我只要继续努力就好。

我花了六个月。当时事情进展很快，六个月已经是相当长的一段时间了。我把它归结成另一个条件，证明了两者等价。接下来又花了很长时间试图证明那个条件，却一直做不到。

后来有一天，我坐在草坪上。我清楚地记得那个时刻：1967 年 8 月，我刚刚和家人从墨西哥开车来到伯克利，准备在那里待两年。我们还没找到自己的住处，暂时借住几天，我就坐在那所房子的草坪上。

我想：“奎伦当时到底说了些什么？”此前我一直在独自思考，已经有一阵子没有回头想他的思路了。他说的是：素数处的弗罗贝尼乌斯代数对称性。

结果，这立刻给出了我需要的条件！我已经证明，猜想成立当且仅当那个条件成立。而只要记起奎伦的想法，那个条件马上就有了。

从某种意义上说，那就是一次顿悟。把细节写出来又花了一年，但我需要处理的细节和奎伦原先设想的有所不同，没有那么令人望而生畏，因此我做成了。

采访者： 这也催生了您的“MIT 讲义”。先做局部化，再建立相关的同伦理论。听起来，这确实又是一个庞加莱时刻。

沙利文： 是的，就是那么一下。

采访者： 接下来您转向拟共形流形和利普希茨条件。这次转变是怎么发生的？

沙利文： 你们一下子跳过了大约十年。

有理同伦与微分形式

采访者： 对，我们还没有说有理同伦理论。我们原先说好跳过这一部分，但这么做确实很心疼。

沙利文： 那我还是说一点吧。代数几何处理的是各个素数。由这些素数决定的代数拓扑信息中，都有一种额外的对称性，而它又与几何有关。

我想：“等等，那无穷素数呢？阿基米德位呢？”当时我并不懂什么分析。我就想：“也许这和微分形式有关？”结果还真是这样。

这太奇妙了：代数负责这一部分，分析和几何负责另一部分。

采访者： 这样就把分析引入了整个有理同伦理论。

沙利文： 对，这是非常美妙的事情。

采访者： 您随后证明，在许多情形下，上同调在一定意义上决定了整个有理同伦型，例如凯勒流形。

沙利文： 关键是用自然的语言来表达信息。对于无穷部分，也就是与有理数、实数有关的信息，用微分形式来表达是自然的，而微分形式又是分析和几何中自然的语言。

采访者： 所以，一边是各个素数处带有伽罗瓦作用的信息，另一边是微分形式上的分析，而微分形式又与拓扑相关。

沙利文： 是的。不过，继续往下看，这一切又让我有些挫败，因为它们都在流形的外部，只是一些不变量。而我喜欢的是流形内部那些东西的性质。

从流形外部走向内部

沙利文： 叶状结构、动力系统，还有我们今天上午见到的那种分形集，都存在于流形的内部。它们通过流形内部的无穷过程构造出来。于是，我开始学习这些无穷过程。

这就是动力系统那一部分的开端。并没有什么必然的逻辑要求我走向那里，我只是顺着兴趣，往流形的内部走。可以说，我又重新当起了研究生。

采访者： 这样理解是否合适：您经过有理同伦理论和那些形式化的结构，引入分析，然后开始尝试理解流形的内部？

沙利文： 是的。后来发现，要理解二维的这一部分，最合适的方式不是光滑结构，而是拟共形结构。这是理解二维的一种最好的方式，而且适合处理某些无穷的分形过程，就像今天上午给学校孩子们展示的那些东西。

因此，离开高度精细的代数观点，回到我对流形最初的兴趣，去研究流形内部的动力系统以及类似过程，是非常自然的。

物理过程是在空间中发生的，所以这也关乎科学中的其他一切。即使是医学，你的身体里也有各种管道，管道里有流体，等等。

采访者： 那我们再多谈一点动力系统，以及它对于研究流形的重要性。我有一个具体问题：对于没有周期点的圆周微分同胚，庞加莱提出过关于半共轭的问题。米歇尔·赫尔曼以及后来他的学生约科兹给出的回答，对于重整化问题有什么意义？它又如何联系到费根鲍姆式的普适性？最后，如果可以这样说，这些工作究竟在哪些方面让您大开眼界？

沙利文： 我想，事情更多地来自那种学习的愿望：想理解流形内部的东西。此前我们一直在流形外部。

采访者： 您打过一个很形象的比方：从外面看，流形就像一摊牛奶，没有什么个性。

沙利文： 对，没有什么个性。我们刚才讨论的就是那一类理论。但现在要回到最初的问题：为什么了解流形是一件有趣的事？因为它关乎空间。

我们已经处理了数的方面，可它真正有意思的地方是什么？我们所看到的一切过程，全都发生在空间里。其他学科所描述的那些东西，常微分方程、偏微分方程、泛函分析，都在描述过程。组合学、计算机算法也是如此。它们讨论的是随时间展开的过程，而这些随时间展开的过程发生在空间中。

当时我还没有把这一切想得这么清楚，我只是想多了解流形内部发生的事情。一个小小的动力系统，就能在流形中产生一个有趣的分形集。稍微扰动动力系统，那个分形集仍然存在，它具有结构稳定性。

于是，你必须去学康托集、分形等等。我就这样开始了。在真正走到拟共形映射之前，大概经历了将近十年。

采访者： 也就是到九十年代？

沙利文： 不，我们刚才谈到的还是六十年代末，所以这里说的是七十年代末。之后才开始研究拟共形映射。

那十年里，我一直在流形内部思考动力系统、叶状结构。比如洋葱就是分层的，很像叶状结构，那是一个非常吸引人的图景。这些对象都很有意思。

瑟斯顿就在这个时期登场了，他把所有人都震住了，也包括我。容我不谦虚地说一句，我还算聪明，能够意识到自己正在观看莫扎特弹钢琴。不是每个人都能意识到这一点，因为他不太善于表达。

采访者： 他和托姆一样，都是您的英雄？

沙利文： 是，不过他比我们年轻。他是我的“小弟弟英雄”。但你总得认出这种才华。

他的工作也正好契合我的愿望：走进流形内部，理解更多几何性的东西。他大约是在那十年的中间出现的。那时我开始学习动力系统，了解斯梅尔学派。后来在法国，我又去听米歇尔·赫尔曼的课，认识了他的学生约科兹。

赫尔曼、约科兹与电话里讲得清的证明

沙利文： 赫尔曼当时正在研究你们说的那些问题。事情大致是这样的：德恩茹瓦于 1974 年去世，那差不多就是我说的那十年的中点。赫尔曼在为法国数学会整理德恩茹瓦的论文，开始讲解德恩茹瓦的论证，我也就学到了那个论证。

随后，赫尔曼开始回答这些问题，把德恩茹瓦的结果进一步精细化。德恩茹瓦曾经回答了庞加莱的问题，得到一个同胚。庞加莱研究天体力学、共振、谐波以及三体问题，由此提出了那个问题。实际上，德恩茹瓦是在庞加莱去世二十多年后才解决它的。

这里说的全都是一维流形。然而，从“内部”这个角度看，它们恰恰是最困难的对象之一。情况完全倒过来了：你想在这样简单的空间上辨认出一点点起伏，反而很难。

赫尔曼分析的是极其精细的结构。他一边做出成果，我们一边跟着学习，我对此着迷极了。比如有一个涉及黄金分割数和斐波那契数的优美例子，特别吸引我。只是现在大概没有时间展开讲了。

采访者： 这时您在法国高等科学研究所，也就是 IHÉS？

沙利文： 对。他在奥赛，只要步行穿过山谷就到了，所以我就走过去。

实直线上有一件有意思的事：存在三种具有非常好代数性质的畸变。第一种是度量，也就是距离的畸变；第二种是距离比的畸变；第三种是交比的畸变。它们分别对应度量几何、仿射几何和射影几何。

这里有本科时学过的链式法则。取对数后，复合就有了一个很好的公式。对于后面两种更高阶的畸变，也可以建立相应的复合公式。这些是关键，我就是用这种方式向自己解释赫尔曼的工作。

赫尔曼那个定理的证明占了《IHÉS 数学出版物》整整一卷。我想把它压缩成一个，或者几个顿悟式的关键点。思考几年之后，确实能把它压缩成一段可以在电话里讲给别人听的论证。

这就是我给自己的挑战：找一个能够在电话里讲清楚的证明。那意味着你必须真正理解它，不能只写下一大堆公式，再在那里计算。我就是这样做的，后来也做到了。

这一切只是出于理解的愿望，而且很有乐趣。

费根鲍姆普适性与八年研究

沙利文： 后来，1982 年，我听说物理学家发现了一件与相变类似的事情。比如水越来越冷，突然结成晶体，所有这些刚性一下子出现了，这就叫作相变。物理中有许多这样的情形。

物理学家在一个动力系统例子中作了计算：调节某个参数，直到可以称作“冰点”的位置，突然就会出现一种不可思议的现象。它原本可能依赖无穷多个参数，结果却什么都不依赖，具有普适性。

就像水结冰，本来完全可能出现各种千奇百怪的情况，结果却出现了普适结构。

采访者： 这就是费根鲍姆最初发现的东西？

沙利文： 费根鲍姆首先发现的是那个比率。随后，其他物理学家发现，那里存在一种内在的几何结构，就像晶体一样。其实费根鲍姆也发现了，只是他的表达没有其他人那么清楚。

对我来说，最有意思的是，当时没有足够的技术来证明它。它是通过数值计算得到的。你可以换一个公式，再换一个公式，做这个无穷过程，都收敛到同样的那些数。比如豪斯多夫维数是 0.5308……之类。

于是，眼前有一个表述精确、看起来确实为真的定理。当然，“真”要加上引号，因为它只是数值上为真，还没有证明。而现有的技术不足以证明它。

后来发现，只需要在赫尔曼、约科兹的工作上再补上两点，就能证明。但这件事花了八年。

采访者： 八年？

沙利文： 是的。我当时的想法是，可以停下手头其他所有事情，专心做这个问题，因为它不会冒出反例来。

采访者： 最后是您找到了证明？

沙利文： 对，我找到了，花了八年。

采访者： 从 1982 年到 1990 年？

沙利文： 对，1990 年。1982 年是我第一次听说它的时候。

采访者： 天哪，我们一下子谈过了二十年。而在此期间，您还做了……

沙利文： 不，那段时间我就在做这件事。

采访者： 但您当时肯定也做了其他事情，我不知道它们是否属于同一个计划。

沙利文： 可能有其他东西在那段时间发表了，但我并不是在那个时候做的。

无游荡域：重点是理解

采访者： 比如无游荡域定理？

沙利文： 不，那是 1981 年的工作。

采访者： 但它是 1985 年发表的。

沙利文： 那件事早就做完了。当时我已经在研究拟共形映射，并且表明，阿尔福斯和贝尔斯的理论能够进入动力系统。那已经是完成了的事。

采访者： 不过，得到无游荡域的结果，一定给了您很大的鼓舞。

沙利文： 它有点像是显然的事情。理解了之后，它就是显然的。

采访者： 但对法图而言，这并不显然。

沙利文： 对，因为他没有拟共形映射的理论，没有这套变形理论。

采访者： 证明它总该让您感到非常满足吧？

沙利文： 不是，你们误解我了。奖项之类当然很好，可那不是重点。重点不是解出一个问题，而是理解。

到了那个阶段，当你已经理解阿尔福斯和贝尔斯在做什么，就会有一种类似庞加莱时刻的感受：“这里的理论，在另一个理论中也许很有用。”原来互不相干的两个世界，就可以联系起来。你只需要把技术移植过去，就能处理法图－朱利亚理论中的问题。

采访者： 您现在说的就是您那部“字典”？

沙利文： 对，那是字典中的第一个词条。

采访者： 在证明无游荡域定理的那篇论文里，您在引言中陈述了这部字典。

沙利文： 对，不过那是在 1980 年、1981 年前后的事情。什么时候发表，是另一回事。

采访者： 明白。那么，在证明无游荡域定理时，您并没有使用这部字典？

沙利文： 不，我用了。有一个阿尔福斯有限性定理。你把让那个定理成立的东西找出来，再到另一个领域重新组织它。我确实是在使用这种比较和对应。

采访者： 我也意识到，试图告诉您当年究竟做了什么，有点冒失。

沙利文： 没关系，问题就在这种对应。法图的那个问题，对应于克莱因群领域中一个已经知道的定理。关键是理解，而不是名称，也不是它属于哪个领域，而是数学思想本身。两边的数学思想是一样的。

两种数学世界之间的字典

采访者： 这是不是就像您刚才说的，一旦知道某件事是真的，证明它就会容易得多？这部字典是否提供了这样的指引，让您知道应该有什么结论？

沙利文： 也不完全是。你得把东西安排妥当。就像办一场聚会，要有足够的饮料、足够的食物，所有东西都得配齐。你必须保证这种比较真的能容纳两边的结构。

也许到最后回头看，可以说法图的问题对应于阿尔福斯和贝尔斯那边已知的某个结果。底层的数学是一样的，这令人满意。不过，由于这种联系是如此自然，在同一种意义上，它并不让我特别兴奋。

要用结构来思考。这里的结构和那里的结构相同，是同一种结构的两个例子。

采访者： 我们讨论的是克莱因群与二次映射动力系统，或者更一般的复动力系统之间的字典，对吗？

沙利文： 对，这是其中的一个条目。字典的意思是：这里每有一个条目，那边就应该有一个相应条目，因为两个世界的基本组成部分是一样的。

我有一次在一个会议上，把贝尔斯介绍给莫斯托。他们两个人都坐在那里，我半开玩笑地说，莫斯托的思想正好是在这边发生的事，贝尔斯的思想则是在那边发生的事。

贝尔斯说：“你为什么要给我们作介绍？我们认识很多年了，是好朋友，只是从来不谈数学。”他说这话时，好像还颇为得意。

我说：“可我这里有一个定理：这样用，就是莫斯托的定理；那样用，就是你的定理。”

采访者： 他们有什么反应？

沙利文： 你知道，人们待在自己熟悉的世界里。那个世界已经很丰富、很美，他们在那里过得很愉快。

我不太一样。我一旦开始理解一件事，就会开始想往旁边走一走。

采访者： 我们好像越来越接近问题的核心了。您说，字典两边的底层数学相同，但并没有什么特别的原因，只是碰巧相同？毕竟，有时两个不同的数学问题，处理的方法或组合结构会无缘无故地一样。

沙利文： 不，这里不是那种情况。要问的是：每种情形里，涉及的基本数学成分究竟是什么？

在这个例子中，一方面存在某种特定形式的动力系统。技术上有一种性质叫作“超有限性”，它与冯·诺伊曼代数有关。另一方面，是黎曼关于复结构变形的思想。这就是那两个基本思想。

底层有一个复结构，动力系统保持这个复结构。因此，两边都是全纯动力系统，它们属于同一个可以称作“全纯动力系统”的领域。这套技术能够用在整个领域中。

可在此之前，一边被叫作法图－朱利亚理论，另一边讨论庞加莱极限集、不连续域等等，人们把它们当成两个不同的领域。一边主要由复分析学家研究，另一边在现代则由动力系统学家研究。

事实上，两边讨论所涉及的基本成分相同。所以，这边的每一次进展，都应该在那边找到相应的东西。

要把那些名词先放下，用简单的方式看事情。我不许自己的研究生使用那些名称，不许用专有名词糊弄过去。他们必须用一个普通的英语句子，借助线性代数、整数、极限点、拓扑这些基本概念，说清楚自己究竟在谈什么。

如果做不到，我就会狠狠敲打他们一下，当然，是在言语上。

采访者： 您的数学兴趣之广是出了名的，常常能看到别人没有看见的联系。我们能问一个稍带挑衅的问题吗：有没有哪一类数学是您不喜欢的？

沙利文： 没有。因为它们共同组成一幅织锦，彼此全都连在一起，就像你们背后的这幅织锦，四面延展开来。所有东西都让我感兴趣。

用组合拓扑重新思考流体

采访者： 接下来，流体动力学也进入了您的研究。能讲讲它为什么会出现吗？您原来在最后安排了一句点题的话，我们先不替您说出来。

沙利文： 我忘了。

采访者： 您说过，要用庞加莱的组合拓扑取代牛顿的微积分。

沙利文： 对，当然。不过那不是结尾的俏皮话，而是整个主题。

我们先快速回顾一下数学史。古希腊人提出了自己的问题，过了一千多年，牛顿和莱布尼茨出现了，发明了微积分。突然之间，希腊人的一大批问题得到解决，人们可以计算许多以前不会算的体积。

微积分的做法，是把高阶误差项先忽略掉。这里有 0.1 量级的误差，那里有 0.001 量级的误差，你把较高阶的那些略去，先抓住最主要的一部分。于是公式变得简单，就有了这套优美的理论。

可是，你如果看着物理学家的眼睛追问，他们会说：“连续统并不存在。”你们点头好像还有点犹豫，但连续统并不存在。我们实际知道的是什么？原子模型、基本粒子。到了小数点后三十三位那么小的尺度以下，我们没有物理理论，甚至无法谈论那里的距离。

另一方面，微积分所提供的理想化模型又极其成功。我们有引力，有爱因斯坦的理论。不过，爱因斯坦的理论至今还没有和标准模型联系起来；标准模型描述基本粒子如何相互作用，而那些极小的距离一直延伸到普朗克尺度。大致说来，普朗克尺度就是引力和自然界的强相互作用变得可以相比的尺度。

甚至物理学家也像抱着一种信仰那样使用连续统，仿佛它确实存在。他们同时又知道，事情并不是这样：牛顿的微积分通向经典物理，而量子理论又否定了经典物理的那种图景。

可是它实在太美了，表示论、李群，都太美了。他们可以建立模型，模型也确实在某些地方有效。但从根基上说，物理理论中仍然缺少某种东西。

流体力学就处在经典描述与量子描述之间，也可以说，处在经典描述与统计描述之间。尤其是在三维中。

二维的情形在理论上已经弄清楚了，注意是理论上，并不是说计算问题全解决了。它之所以能弄清楚，和阿尔福斯－贝尔斯理论、那套变形理论之所以能够成立，有相同的数学原因，是相关的分析在起作用。

这也是我进入这个问题的一个原因：那部分我理解。而其中有一半理论能在三维继续成立，另一半却不行。

1991 年或 1992 年，我听说这些最基本的流体动力学方程，在理论上竟然还没有弄清楚是否有解，简直难以置信。因为二维情形很明确，我也理解为什么。

与此同时，全世界的工程师和医生都在使用这些方程。比如医生治疗动脉瘤，会利用瘤体内部的湍流，放入某种支撑装置。医生一天可以做许多例，二十例之类，让那些随时可能死去的人转危为安。既然如此，数学上怎么还会没有弄清楚呢？我就是这样开始研究它的。

大约也是那个时期，人们已经能够相当好地把这些问题放到计算机上。不过，计算仍然有明确的限制。假设每个方向上取一千个网格点，一千乘一千乘一千，是一万亿……不对，是十亿，抱歉。

这些计算也许还做得了，但随后会出现一个十亿乘十亿的矩阵问题，这就超出了能力范围。因此，我们能计算什么，确实存在非常明确的边界。

这个数学问题后来成了千禧年难题之一，在那之前我已经研究了将近十年。它的表述很美、很精确，但并不直接对应实际可算的问题。真正重要的是：在我们能够计算的尺度上，究竟能理解多少？当然，也希望能证明一些定理。

我的想法是，这毕竟还是空间，是空间中发生的过程。牛顿的连续统给了我们一个极其优美的空间代数图景：微分形式、微积分、莱布尼茨乘积法则，等等。这都很好。

但是，把问题离散化后放进计算机，就必须用差商代替导数，而差商并不满足那个乘积法则。你会有一个 h² 量级的误差，除以 h 之后，仍然留下一个 h 量级的误差。理论上让 h 趋于零，这个误差当然会消失。可在每一次实际计算里，那个误差项都还在。

数值分析学家当然知道这些，而且比我知道得清楚得多。不过，在我看来，他们还缺少一种从理论上组织这些误差的方式。

庞加莱告诉我们，前面讨论的全部拓扑，以及那些相当深刻的数的运算，都可以通过把空间分成小块，再对这些小块做组合运算来处理。这里存在一种自然的组合拓扑，能够让你理解非线性的部分，也就是乘积结构。

这一直是我试图理解的主题。我已经做了三十年，最近觉得自己正在取得一些进展。

采访者： 也就是说，为了进行流体动力学之类的计算，我们不得不把对象离散化；而您想把这种离散化本身变成主要的研究对象？

沙利文： 对，要用完整的代数拓扑方法来研究它。现在我们又回到了起点：庞加莱对偶，以及相交，东西究竟怎样相交。

那给出一个环结构。换句话说，流形中的这些对象可以彼此相交，而这种相交构成了一种乘积，给出环结构。

纳维－斯托克斯问题与计算的尺度

采访者： 我们谈的就是千禧年难题之一的纳维－斯托克斯问题。您认为它是这些难题中最困难的一个吗？您对其他几道题的难度有什么感觉？

沙利文： 完全不知道。我甚至并不特别在意它是一道千禧年难题。当然，我很想证明它，但相比之下，我更愿意理解它的某个变体。

你看，前面说的那部字典为什么那么有意思，为什么相关领域出了好几枚菲尔兹奖？一个原因是，人们有那些曼德勃罗集的图像。

有一次我们正在研究它，连走过来的服务员都说：“哦，那是曼德勃罗集。”大家都知道曼德勃罗集。

对曼德勃罗集，人们已经能做很好的计算。你可以在任意尺度放大，它会变得越来越复杂，也越来越美，像蕨类植物一样。再往深处走，又会出现新的东西。而这些图像是精确的。

它们催生了许多陈述和猜想，其中大约一半已经成为定理，另一半仍未解决。因此，这是一个非常活跃的领域。对于一般的流体，我们还没有这样好的计算。

我们的理解还不够。很多时候只是试一试：能用，很好；不能用，那就不好。因此，我想给这个问题增加更多概念层面的工作。

就像你刚才说的，要采用庞加莱的思想，把空间分成组合小块，看它们怎样相互作用，再把庞加莱对偶一起放进去，将这一切写入处理那些数的计算机程序。

简单的东西会留下来

采访者： 访谈快结束之前，我们还想谈谈简单性。您已经多次强调简单的重要。我曾在阿特勒·塞尔伯格去世前两年采访过他。他反复强调的一件事是，直接从挪威语翻译过来，他说：“我相信，在数学中能够长久留下来的，是那些简单的东西。”您同意吗？

沙利文： 当然。就像一把螺丝刀，它简单而且有用，就会一直留下来。

不过，我还想再往前说一步：数学的目标就是把一切都变简单。我认为，那些复杂的东西是能够被简化的。

采访者： 塞尔伯格特别提到了赫尔曼·外尔，认为他是一个很好的例子：面对一个问题，能够把它简化，再解决它。

沙利文： 我觉得这是一种很好的方法。总有一些根本性的要点，像我前面描述的那些顿悟时刻，能够把整个局面组织起来。

这些关键点本身并不复杂，但找到它们不容易。哪些才是核心？你并不能事先知道。不过，你会逐渐形成一种感觉，这和结构有关：眼前这个局面的结构究竟是什么？有一点格罗滕迪克式的味道。

采访者： 我知道时间已经……

沙利文： 我可不累。

采访者： 不过，再不结束，警察都该来了。

沙利文： 我知道这一招：时间很晚了，你面前的数学家也累了，只要问一句他正在研究什么，他就会讲起来，突然又精神十足。

阿贝尔：问题的表述中蕴含解答

采访者： 我保证，这是最后一个问题。之后我们就正式感谢您接受采访。此前视频会面时，我似乎提到过，阿贝尔在 1828 年写过一段可以称作“数学哲学”的话。我念一下，想请您谈谈看法：

“应当把一个问题表述成可以解决的形式，而对任何问题，我们总可以这样做。以这种方式提出问题时，问题本身的措辞就包含了解答的萌芽，也指出了应当走的道路。

“我曾用这种方式处理分析和代数中的若干课题。虽然我常常给自己提出超出能力的问题，但仍然获得了大量一般性的结果，使这些量的本性得到广泛的阐明；而认识这些量的本性，正是数学的目标。”

您对这段话有什么评论？

沙利文： 问题的表述非常重要。实际上，一个给定的问题，也许并没有采用最合适的表述。

当然，只要一个问题定义明确，它作为问题就是成立的。但也许存在一个稍微不同的版本，更自然，也能够成功解决。所以，我愿意改变问题。

听起来，阿贝尔是把问题按原样接受下来，再为它找到最好的观察角度。我则也愿意稍微改变问题，把它变成一道能解的问题。不过，我当然同意他：观点非常重要。

我做数学这么多年，还注意到另一件事。当一个领域差不多完成之后，你可以回头看。就像马跑掉之后再关谷仓门，那当然很容易；你本来应该更早关门的。

当你看到最后已经收拢起来的整个故事，会想：“天哪，如果当初从这里出发，接着做这一步就很自然，然后再做下一步，很快就走到终点了。”通常，总会有一个很简单的图景，能够概括到底发生了什么。

所以，如果你现在还看不到那个图景，就去寻找它。这大致也是阿贝尔所说的意思。

采访者： 非常感谢。我们代表挪威数学会、欧洲数学会，也代表我们两人，衷心感谢您接受这次如此有趣的访谈。

沙利文： 我向你们保证，这也是我的荣幸。谢谢。

基本信息

• 受访者： 丹尼斯·帕内尔·沙利文（Dennis Parnell Sullivan），2022 年阿贝尔奖得主，任职于纽约州立大学石溪分校及纽约市立大学研究生中心。
• 采访者： 克里斯蒂安·斯考（Christian Skau）与比约恩·伊恩·邓达斯（Bjørn Ian Dundas）。
• 访谈年份： 2022 年。
• 视频上传日期： 2023 年 5 月 22 日。
• 原视频标题： Dennis Sullivan - The Abel Prize Interview 2022。
• 原视频： The Abel Prize 官方视频。
• 制作与版权： Gyro 为挪威科学与文学院／阿贝尔奖制作，© 2022。
• 文字访谈： 欧洲数学会刊载的同次访谈。