本文是海德堡获奖者论坛（Heidelberg Laureate Forum）对1986年菲尔兹奖（Fields Medal）得主格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）的一段专访实录。作为目前波恩马克斯·普朗克数学研究所（Max Planck Institute for Mathematics in Bonn）的荣休教授，法尔廷斯不仅在算术几何领域取得了丰硕的成果，更因其在不到30岁时证明了著名的莫德尔猜想（Mordell Conjecture）而享誉全球。
在本次访谈中，法尔廷斯深情回顾了当年获得菲尔兹奖时的心境，并分享了他在美国与德国之间辗转的科研与家庭生活。他详细介绍了马克斯·普朗克研究所的运作机制，探讨了算术几何这一跨学科领域的独特魅力。对于如何攻克困扰数学界60年之久的莫德尔猜想，他分享了自己受到吕西安·施皮罗（Lucien Szpiro）等学者的启发，并巧妙运用伽罗瓦表示（Galois representation）取得突破的灵感时刻。此外，他还对年轻数学家提出了“不要轻信老一辈”、“要有超越导师的自信”等恳切建议，充分展现了一位顶尖数学家纯粹、务实且不乏幽默的学术态度。
获得菲尔兹奖的回忆
主持人：各位数学迷大家好，我现在在海德堡参加一年一度的海德堡获奖者论坛。这是我第五次来到这座奇妙的城市参加这个绝佳的活动。今天，我非常荣幸地邀请到了菲尔兹奖得主——格尔德·法尔廷斯。您是波恩马克斯·普朗克研究所的教授，并在1986年获得了菲尔兹奖，对吧？
法尔廷斯：是的，完全正确。
主持人：您对那段时期有什么回忆吗？还记得当时接到电话或是收到信件时的情景吗？那是怎样的一种体验？
法尔廷斯：嗯，我在前一年冬天就收到了一封信，被告知我获奖了，并且被要求不要告诉任何人。后来我带着家人（我的妻子和我的大女儿）去了加州大学伯克利分校。1986年的颁奖典礼就在伯克利的希腊剧院（Greek Theatre）举行，我们就坐在那里，然后我上台领了奖。
主持人：这太棒了。接下来的这个问题可能很难回答：鉴于您当时在众多数学问题上做出了极其惊人的发现与进展，您在那时是否有预感自己可能会获得这样的殊荣？还是说，您当时只是在全神贯注地解决问题，然后这一切就自然而然地发生了？
法尔廷斯：不，当我年轻的时候，我的首要目标只是拿到终身教职（Tenure），这样我就能靠做数学来谋生了。我一直以为菲尔兹奖是颁给那些声名显赫的大人物的，而我当时只为能得到一个永久职位而感到高兴。后来我确实拿到了永久职位。我的老师纳斯托尔德（Hans-Joachim Nastold）教授在巴黎有一位朋友，名叫施皮罗（Lucien Szpiro），他对莫德尔猜想有一些看法。我当时想：“嗯，我可能解决不了这个猜想，但也许能搞出点有趣的东西。” 然后我试着做了做，接着……突然间它就成了。
主持人：这真的很有趣，您刚才说您起初并不认为自己能解决它。那么在研究这个问题的过程中，有没有某个瞬间您对自己说：“啊，也许我能解开它”，还是说它就这么自然地被解开了？
法尔廷斯：不，我并没有经历“也许我能解开它”的阶段，我就是直接解开了它。当然，当你得出结果时，你会非常焦虑，担心自己是不是犯了错，所以你首先必须反复检查。很多时候你确实会犯错，导致证明行不通。但在那一次，证明是行得通的。于是，我突然从一个刚刚拿到永久职位的小人物，变成了这个领域里的明星之一。
主持人：那您在生活中真切地感受到这种变化了吗？是否觉得自己的生活因此而改变了？
法尔廷斯：当然。比如，大家开始对我讲的冷笑话捧场大笑了。我在美国得到了非常好的工作机会，人们都在谈论我，我上了报纸等等。所以，生活的确发生了很大的变化。
跨国科研轨迹与马克斯·普朗克研究所
主持人：您提到当时您在美国工作，但后来又搬回了德国。这是一直以来的计划吗？因为您原本就来自德国并在这里求学，后来去了美国，您是一直打算要回到德国，还是因为有了回国的机会才这么做的？
法尔廷斯：回国主要是一个关乎我两个女儿的决定。我从美国其他人那里了解到，如果你在美国待得太久，孩子们就会变成地道的美国人，他们会拒绝说你的母语等等。我们在德国有所有的亲戚。我在美国待了九年半，当时孩子们还在上小学，我想那是个改变环境的好时机。
主持人：那你们在美国的家里也会教她们德语吗？你们试图用德语交流吗？
法尔廷斯：我们在家里当然是说德语的，所以她们会德语。但她们在美国上的托儿所、幼儿园和小学，所以也学了大量的英语。
主持人：我猜她们现在也定居在德国了，还是回美国了？
法尔廷斯：不，她们大多生活在德国。
主持人：看来您的计划奏效了，这太棒了。您职业生涯中可能最长的一段时光是在马克斯·普朗克研究所度过的。您刚才也提到，虽然您现在已经荣休，但仍然是那里的教授。您能给我们介绍一下马克斯·普朗克研究所是如何运作的吗？因为我认为它与传统的大学非常不同。
法尔廷斯：是的，它不是一所大学。马克斯·普朗克学会（Max Planck Society）成立于20世纪初。最初的设想是有一位大权在握的所长，他会包办一切并决定一切。他们在全德国各地以及各个领域建立了研究机构。后来它逐渐演变，最初因为是在德皇时期建立的，所以叫威廉皇帝学会（Kaiser Wilhelm Society）。但在世界大战之后，威廉这个名字不再受人喜爱，所以他们改成了马克斯·普朗克的名字，他当时已经年迈，但成为了第一任主席。 现在该学会有大约100个研究所，分布在德国各地。如果你在其中工作，你每年会聚在一起开三次会来讨论各种事务，主要是新的任命，所以你也能接触到很多其他领域的同事。
主持人：您刚才提到最初有一个所长或高层来设定特定研究所的议程。现在也是这样吗？
法尔廷斯：过去是那样的。但现在，通常有好几位所长，并实行轮值执行所长（managing director）的制度，在波恩也是如此。作为执行所长，你必须在所有文件上签字，并且要尽量不让琐事烦扰到你的同事。你担任这个职务两年，两年后，你就可以开心地把这些破事交给下一个人了。
主持人：您提到您目前已经荣休。这意味着您不再做数学研究了吗？还是说有别的含义？
法尔廷斯：我还在做数学，但我不用再去参加那些行政会议了。
主持人：我明白了。所以实际上这意味着您从行政工作中退休了。
法尔廷斯：是的。这对数学家来说其实还不错。这对实验科学家来说更难，因为他们需要实验室来做研究。当然，通常他们也会获得一个小实验室。但对我来说这很容易，毕竟没有人能禁止我思考数学。
主持人：那您目前在思考些什么呢？
法尔廷斯：我手里有一个好多年都没解出来的老问题，但它实在太有趣了，我舍不得放下。
主持人：这就是真正的数学家之言。您说“老”问题，是指20年、30年还是40年？您思考这个问题多久了？
法尔廷斯：也许有10年了吧。情况往往是这样：你解决了那些你能解决的问题，然后留下的全是你解不开的。
数学哲学与算术几何的魅力
主持人：您有最喜欢的数字吗？
法尔廷斯：没有。
主持人：很有趣，大多数人确实没有。如果必须回答的话：您认为数学是被创造的，还是被发现的？
法尔廷斯：我不知道。你要怎么去检验它是被创造还是被发现的呢？
主持人：这是一个古老的问题，但确实总让人觉得有趣。老实说，我的看法每天都在变，取决于我当时在跟谁交谈。现在来聊聊您的一般研究领域——算术几何（Arithmetic geometry）。对于本科阶段的数学系学生来说，这是一个相当高深的话题。在牛津大学的课程中，学生可能要在第三年或第四年才会接触到这个。对于那些正在考虑该研究什么的本科生，您能用您的观点来介绍一下什么是算术几何吗？
法尔廷斯：它是数论（Number Theory）和代数几何（Algebraic Geometry）的结合。数论，就是当你思考1，2，3等整数的时候涉及的内容。代数几何，则是研究由多项式或代数方程定义的簇（varieties），你可以将其转化为代数、转化为环论等。我比较喜欢将这些与数论结合起来，因为这样你还必须考虑（素数理想的）大小等问题。
主持人：听起来它非常具有跨学科性，涉及数学的多个不同领域。您之所以觉得它有吸引力，是否正是因为您不仅局限于一个领域，而是可以借鉴其他领域的思想？
法尔廷斯：这确实很吸引人。但在任何领域，你都会借鉴别人的思想。而且在这个情况下，我不认为它会变得更简单，因为它需要用到两个领域的知识。
给年轻数学家的建议
主持人：今天早上埃菲姆·泽尔马诺夫（Efim Zelmanov）在他三分钟的演讲中谈到了“代数的下一步是什么”，并提出了三个他认为重要的方向。我想知道在算术几何领域，是否也有类似的情况？我们还在试图理解和弄清楚哪些宏大的图景？
法尔廷斯：我认为你们不应该听信我们这些“老家伙”的话。老家伙们有他们自己的方法，他们解决了他们能解决的问题，而剩下的都是他们解决不了的。所以，他们无法告诉你该去做什么。我认为，作为一个年轻的数学家，至少在数学方面，你必须在某些阶段觉得“我比我的老师懂得多”。
主持人：绝对是这样。不过如果我是你的老师，你可别这么想。（笑）
法尔廷斯：不，我的学生知道的确实比我多。我非常喜欢这样：如果我带了学生，给了他们一个博士课题，结果他们另辟蹊径去做了别的事情，而且做得很好，我非常欣赏这一点。
攻克莫德尔猜想的幕后故事
主持人：我同意，这确实是很难做到的。我们能不能试着讨论一下关于莫德尔定理（Mordell’s theorem）的工作？当然，我们无法深入所有的技术细节，那太高深了。但从大局来看，这个定理是什么？您能为这个问题带来什么样的核心洞见，并最终帮您解决了它？
法尔廷斯：1922年，莫德尔证明了对于椭圆曲线（elliptic curve），其在数域（number field）上的点构成一个阿贝尔群，并且它是有限生成的。接着他指出，对于亏格（genus）大于1的更复杂的曲线，没有理由不认为它的有理点只有有限个。这就是后来著名的莫德尔猜想（Mordell Conjecture）。
后来，函数域（function fields）上存在一种稍微容易一点的情况，函数域在某种程度上类似于数域，但你在那里有更多的工具可用。50年代有了初步的证明，到了60年代，俄罗斯学派的帕尔申（Parshin）和阿拉克洛夫（Arakelov）给出了新的证明。
正如我之前所说，我的老师纳斯托尔德在巴黎有一位叫施皮罗的朋友，他是做交换代数（commutative algebra）的。他有一些在“正特征”（positive characteristic）下去解决这个问题的想法，并进行了尝试。我去拜访了他，觉得这很有趣。然后我开始尝试，但很明显，在数域上缺少了一些东西。
我思考了这个问题，本来以为只会弄出点有趣的小结果。但后来发现，有一种名为“伽罗瓦表示”（Galois representation）的新工具可以起作用。当然，还有一个相关的猜想叫做泰特猜想（Tate conjecture），我先解出了这个。然后我意识到，同样的思想也完全适用于莫德尔猜想。
主持人：这个过程发生得很快吗？一旦您意识到这个方法可行，是一天、几周还是几个月的事？我很好奇这其中的时间线。
法尔廷斯：我当时解决了泰特猜想，并在著名的奥伯沃尔法赫研究所（Oberwolfach Institute）做了报告，施皮罗当时也在那里。等我回到家后，我发现同样的方法可以用于证明完整的莫德尔猜想。于是我把细节推导出来，并努力检查它。正如我所说，你通常会非常害怕某些地方出了错。但最终，一切都是正确的。我写了一篇论文，它流传开来，引起了巨大的轰动。
最美的数学定理与结语
主持人：最后一个问题，您有没有最喜欢的数学定理或数学结果？那种您认为能以极其美妙的方式代表我们这门学科，或者单纯让您觉得极具魅力的定理？
法尔廷斯：人们经常讨论什么是数学中最美的公式。对我来说，它是 $e^{2\pi i} = 1$。
主持人：哦！所以不是 $e^{i\pi} = -1$（著名的欧拉恒等式）？您更偏爱 $2\pi$？
法尔廷斯：Nein（德语：不），因为 $e^{2\pi i} = 1$ 更加完整。
主持人：非常巧妙！这是欧拉恒等式的平方。太棒了。法尔廷斯教授，非常感谢您。能和您交谈是我的荣幸。感谢您抽出时间，感谢您向所有的观众分享您的智慧和数学洞见。
也感谢大家的收看。如果你喜欢这个视频，想看更多我对数学考试或各种我感兴趣的数学问题的分析，请订阅本频道，我们很快会再见的。保重。