概述与导言
本文是2026年阿贝尔奖颁奖声明及相关访谈的详细实录。挪威科学与文学院宣布，将2026年阿贝尔奖授予著名数学家格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings），以表彰他在算术几何领域引入了极为强大的工具，并在解决莫德尔（Mordell）与朗（Lang）等长期悬而未决的丢番图猜想方面作出了开创性贡献。
法尔廷斯的工作将几何学与数论进行了深度融合。在不满30岁时，他便成功证明了困扰数学界60年之久的莫德尔猜想（现称法尔廷斯定理），这一突破震惊了整个数学界。此外，他在p进霍奇理论、阿贝尔簇以及代数数论等更广泛的领域同样取得了奠基性的成就，其思想直接启发了包括安德鲁·怀尔斯证明费马大定理在内的诸多后续重大数学突破。
本实录不仅详细回顾了法尔廷斯的数学成就及其背后的理论渊源，还包含了一段对法尔廷斯本人的精彩访谈。在访谈中，他分享了自己步入数学研究的初衷、证明重大定理时的心路历程，以及对年轻数学研究者的真诚建议，充分展现了一位顶尖学者的求真精神与纯粹风范。
2026年阿贝尔奖宣布
【欢迎致辞】 欢迎来到奥斯陆，欢迎来到挪威科学与文学院。一百多年来，这座美丽的建筑迎来了挪威乃至全球最顶尖的大脑。但今天我们聚集于此，是为了一个非常特殊的理由——我们将共同揭晓2026年阿贝尔数学奖的得主。请随我走到这扇门后。
【挪威科学与文学院院长宣布】 作为挪威科学与文学院院长，我非常荣幸地宣布2026年阿贝尔奖的得主。我们的委员会决定，将阿贝尔奖授予格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings），以表彰他在算术几何领域引入了强大的工具，并解决了长期悬而未决的莫德尔猜想（Mordell Conjecture）与朗猜想（Lang Conjecture）等丢番图问题。
尊敬的法尔廷斯教授，我谨代表挪威政府，祝贺您成为2026年阿贝尔奖得主。您在算术几何领域的伟大成就，以及在解决莫德尔和朗猜想等数学难题方面的工作，使您成为该奖项当之无愧的获得者。世界依靠科学来应对我们共同面临的许多挑战。通过表彰像您这样在基础研究领域做出重大贡献的杰出数学家，我们希望能激发更多的创新与合作，激励新一代数学家，并增强公众对科学成就的认知。
阿贝尔奖是对您作为杰出数学家的赞誉，也是对整个数学领域的礼颂。祝贺您成为今年的获奖者，我非常期待五月份在挪威奥斯陆欢迎您的到来。
数学贡献深度解析
格尔德·法尔廷斯荣获2026年阿贝尔奖，以表彰他在算术几何中引入了强大的工具，并解决了长期存在的莫德尔和朗的丢番图猜想。求解有理数上的多项式方程是数学中一项历史悠久的基础内容。
此类方程组被称为丢番图方程（Diophantine equations），它们最初可以通过其解集的复数维数来进行分类。维数为0的情形已经非常非平凡，由伽罗瓦理论（Galois theory）处理。维数为1的情形属于曲线，这些曲线在拓扑学上由其“亏格”（genus）进行分类。复曲线的亏格等于相应的二维实黎曼曲面上的“洞”的数量。亏格为0的曲线上的丢番图问题由哈塞-闵可夫斯基定理（Hasse-Minkowski theorem）主导；亏格为1的曲线则是椭圆曲线。庞加莱（Poincaré）在1901年猜想，椭圆曲线上的有理点群是有限生成的，这一猜想于1922年由路易斯·莫德尔（Louis Mordell）证明。
在同一篇论文中，莫德尔猜想：亏格大于等于2的曲线只有有限多个有理点。在此后的60年里，这成为了丢番图问题中最核心的未解之谜，直到1983年由法尔廷斯证明。作为该定理的一个推论，法尔廷斯的结果确立了所有次数大于等于4的平滑平面曲线上有理点的有限性，其中就包括著名的费马曲线（$x^n + y^n = z^n$，对于 $n \ge 4$）。
法尔廷斯突破性的证明让专家们感到震惊。他并没有采用传统的丢番图逼近方法，而是通过解决约翰·泰特（John Tate）猜想以及伊戈尔·沙法列维奇（Igor Shafarevich）猜想的一个重要特殊情况来达成目标。
1989年，保罗·伏伊塔（Paul Vojta）沿着安德烈·韦伊（André Weil）和卡尔·西格尔（Carl Ludwig Siegel）开创的传统路线，找到了莫德尔猜想的另一个证明。1991年，法尔廷斯改进了这一方法，证明了莫德尔猜想的一个庞大推广形式——即阿贝尔簇（Abelian varieties）子簇上的莫德尔-朗猜想。阿贝尔簇是椭圆曲线的推广，具有群结构的完备射影簇。韦伊曾将莫德尔的有限生成结果推广到阿贝尔簇上的有理点。莫德尔-朗猜想描述了阿贝尔簇的任何子簇中有理点的分布情况。法尔廷斯为此确立了一个丢番图逼近结果，被称为法尔廷斯乘积定理。1994年，利用该乘积定理，法尔廷斯与吉斯贝特·维斯特霍尔茨（Gisbert Wüstholz）给出了罗斯定理（Roth’s theorem）及其多维推广形式（施密特子空间定理）的新证明。在1991年的论文中，法尔廷斯还证明了塞尔日·朗（Serge Lang）猜想的阿贝尔簇仿射子簇上整数点的有限性。法尔廷斯的工作至今仍是现代丢番图几何的核心支柱。
此外，法尔廷斯对p进霍奇理论（p-adic Hodge theory）做出了重大贡献，给出了由泰特和让-马克·方丹（Jean-Marc Fontaine）提出的主要猜想的证明，并将其应用范围扩展到非阿贝尔的设定中，即p进辛普森对应（p-adic Simpson correspondence）。法尔廷斯引入的工具对随后p进霍奇理论和交换代数的发展起到了至关重要的作用。这些工具包括纯粹性定理及其“殆平展扩张”（almost étale extensions）的概念，这些概念后来被奥弗·加伯（Ofer Gabber）和洛伦佐·拉梅罗（Lorenzo Ramero）的著作所澄清，并随后被彼得·舒尔茨（Peter Scholze）进一步强化。
法尔廷斯与柴兆智（Ching-Li Chai）在1990年的专著中构造了西格尔模簇的算术紧化。这项工作成为后来志村簇（Shimura varieties）积分模型和紧化理论发展的基石。
格尔德·法尔廷斯是算术几何领域的一座丰碑。他的思想和结果重塑了该领域，解决了许多长期存在的主要猜想，同时建立了指导此后几十年工作的新框架。他卓越的成就将几何与算术的视角融为一体，完美诠释了深刻的结构性洞察力所蕴含的力量。
专家解读：什么是算术几何？
主持人：海尔格（Helge），这真是相当庞大的信息量。
海尔格：是的，很抱歉，那些主要是为数学界和专家们准备的介绍。但今年阿贝尔奖的核心基础其实是数论。
主持人：是的。我听到了“算术几何”（Arithmetic geometry）这个词。你能解释一下那是什么吗？ 海尔格：出发点是方程，这些方程有整数解，也就是数字。但这些方程也可以被可视化为几何曲线。所以它实际上是数论和几何的结合。
主持人：我还听到了“丢番图猜想”和“丢番图方程”的说法。
海尔格：这些方程以古希腊数学家丢番图（Diophantus）的名字命名。打个比方，在过去用硬币支付时，如果你要支付精确的金额（比如1克朗），你可以用一枚1克朗硬币，或者两枚50欧尔硬币。如果你没有1欧尔的硬币，你就无法精确支付6欧尔。丢番图方程就是寻找整数解或更一般的有理数解（分数解）的方程。
主持人：这听起来非常基础，对阿贝尔奖来说似乎太简单了？
海尔格：让我们从丢番图快进到莫德尔。莫德尔在1922年猜想，有一大类方程不可能有无限多个解，只能有有限个解。他试图证明但失败了。在接下来的60年里，这个主张成为了该数学领域最大的未解之谜。直到法尔廷斯接下了这个挑战，当时他非常年轻且极具天赋，最终成功证明了莫德尔是对的，从而将其变成了法尔廷斯定理。
主持人：这在数学界反响如何？
海尔格：在数学界引起了极大的轰动，专家们对他的证明和证明方法都感到彻底的惊讶。因为法尔廷斯并没有使用人们预期的方法，他在证明中使用了阿贝尔簇（以尼尔斯·亨里克·阿贝尔的名字命名）。
主持人：法尔廷斯的定理能告诉我们这些方程的解究竟是什么吗？
海尔格：不能。他并没有给出一个寻找解的方法，也无法告诉你解的数量究竟是十亿个、五个还是零个。但对于数学家来说，“无限”和“有限”之间的区别是巨大的。安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明费马大定理时（这也是法尔廷斯定理包含的一个特例），他正是证明了他的方程的解为“零”。
与格尔德·法尔廷斯的独家访谈
主持人：您好，法尔廷斯教授。非常激动能见到您，再次祝贺您荣获2026年阿贝尔奖。
法尔廷斯：非常感谢。
主持人：我想问您，最初是数学中的什么吸引了您，让您决定研究数学？
法尔廷斯：我想是因为数学中“真”与“假”之间有着清晰的界限。你证明了就是证明了，没证明就是没证明。在学校学文学时，总是有各种各样的思考方式和不同的解释，我不太喜欢那样。
主持人：您在证明莫德尔猜想时非常年轻，我想大家都感到惊讶。您自己惊讶吗？
法尔廷斯：我是很惊讶的。当时我才28岁。
主持人：您当时是否有一种紧迫感，觉得必须赶快做出成果？
法尔廷斯：并没有。在职业生涯初期，我只是想拿到终身教职，这样我就能靠研究生活了。拿到教职后，我在莫德尔猜想上突然交了好运，从那以后我在数学领域就像是“坐上了头等舱”。
主持人：人们对您解决问题的方法感到惊讶。您是一开始就冲着证明它去的，还是在寻找别的什么？
法尔廷斯：我导师的朋友吕西安·施皮罗（Lucien Szpiro）住在巴黎，他对莫德尔猜想有一些看法。我觉得这听起来很有趣，我想“我可以研究一下，也许我证明不了它，但我能从中得出一些有趣的东西”。从施皮罗的角度来看，有些方法是很自然的。我运气很好，巴黎的人并没有太把他的想法当回事，所以我没有太多的竞争对手。我使用了这些自然的方法，然后突然就成功了。
主持人：您的很多伟大工作都在数论领域。对非数学人士来说，这可能听起来很抽象。为什么数论对数学家如此有趣？
法尔廷斯：数论嘛，它是从整数1, 2, 3开始的。我们试图在其中解决方程。这看似是一个基本的事情，但你会遇到很多有趣的问题。数学已经发展了几个世纪，自然会不断演进。我们在学校学的东西可能已经是300年前的知识了。理论在不断进步，我们已经远远超越了那些基础的东西。
主持人：您在马克斯·普朗克研究所（Max Planck Institute）待了很长时间。那里有什么特别之处？
法尔廷斯：在那里的好处是除了做研究之外，你几乎没有什么杂务，所以我可以长时间专注于此。我也会在大学里教一些书，因为教书对你有好处，你必须和普通人交谈，了解他们如何思考，并学会向他们解释事物。教书能让你脚踏实地。
主持人：如果有年轻数学家现在刚起步，您有什么建议？
法尔廷斯：对年轻人，我的建议一直是：不要去寻找那些可能让你出名的东西——也就是不要奔着阿贝尔奖去——而是去做你真正喜欢的事情。选择一个你喜欢并觉得有趣的领域，然后深耕下去。
主持人：最后，您说自己留下了一些无法解决的问题。您现在还在研究哪些问题？
法尔廷斯：椭圆曲线参数化的度数问题。我觉得这非常有趣，但我还没取得突破。正如我所说，你总会剩下一些无法解决的问题。我不知道这是否可能解决，但在上面下功夫能给我带来快乐。
主持人：非常感谢您，法尔廷斯教授。再次祝贺您！
结语与颁奖典礼预告
主持人：这是一个当之无愧的奖项，今年对于数学界来说是伟大的一年。安内林（Annelin），设立阿贝尔奖的初衷是什么？
安内林：阿贝尔奖是由挪威议会于2002年设立的，恰逢尼尔斯·亨里克·阿贝尔诞辰200周年。明年（2027年）就将迎来阿贝尔奖的25周年纪念，准备工作已经开始。但现在，我们必须集中精力庆祝今年的获奖者。
我非常荣幸地欢迎大家参加5月26日（星期二）下午2点（挪威时间）在奥斯陆大学奥拉大礼堂举行的阿贝尔奖颁奖典礼。格尔德·法尔廷斯将从挪威王储哈康（Crown Prince Haakon）殿下手中接过阿贝尔奖。此外，5月27日（星期三）还将在奥斯陆大学为获奖者举行一场荣誉讲座。注册渠道很快将在我们的网站上开放，我们热烈欢迎大家来奥斯陆，与我们一同庆祝今年阿贝尔奖得主的辉煌成就！