强化学习基础与贝尔曼方程详解

摘要

本文基于西湖大学赵世钰老师《强化学习的数学原理》课程，系统性地介绍了强化学习的核心概念体系。从策略、奖励、回报等基本要素出发，逐步构建马尔可夫决策过程的理论框架，重点阐述了贝尔曼方程的数学原理及其在状态值和动作值计算中的应用，为深入理解强化学习提供了清晰的数学基础。

内容框架与概述

文章首先建立了强化学习的基本概念体系，通过具体示例说明了策略的概率分布特性、奖励的数值含义以及回报的累积计算方式。作者强调，奖励是依赖于当前状态和动作的标量值，可正可负，而回报则是沿轨迹收集的所有奖励之和，用于评估策略优劣。文章还引入了Episode的概念，将完整轨迹定义为一次回合。

在理论基础部分，文章详细解析了马尔可夫决策过程的三大核心要素：马尔可夫属性的无记忆性特征、决策过程的策略定义、以及涉及状态转移概率和奖励概率的完整过程描述。这部分内容为后续的贝尔曼方程推导奠定了数学基础。

文章的核心内容围绕贝尔曼方程展开，介绍了理查德·贝尔曼在1950年代提出的最优性原理。作者通过状态价值函数和动作价值函数两种形式，详细阐述了如何通过未来可能价值来计算当前价值。文章特别强调了回报与状态值的本质区别：回报针对单个轨迹，而状态值是对多个轨迹求回报后的平均值。

在应用层面，文章讲解了动作值的定义和计算方法，阐明了状态值与动作值之间的数学关系，即状态值等于不同动作对应的动作值的加权平均。最后通过Bellman最优性方程，引入了最优策略的存在性和唯一性证明，完整构建了从基础概念到高级理论的强化学习知识体系。

核心概念及解读

策略（Policy）：策略定义了智能体在给定状态下应采取各种动作的概率分布。文章通过表格示例展示了在S1状态下执行a2、a3动作各为0.5的概率配置，并提供了相应的编程实现代码。策略的核心作用是将状态映射到动作空间，是强化学习中决策机制的基础。

Bootstrap概念：这是贝尔曼方程的核心思想，描述了所有状态之间值的相互依赖关系。通过bootstrap，当前状态的价值可以通过未来状态的价值来估计，这种递归性质使得强化学习能够通过迭代计算逐步优化策略。文章在策略评价和最优值计算中都强调了这一概念的重要性。

状态值与动作值的关系：状态值V(s)表示从某个状态出发的期望回报，而动作值Q(s,a)则表示从某个状态执行特定动作的期望回报。两者的关键关系在于：状态值等于该状态下所有可能动作的动作值按策略概率加权平均。这一关系为策略改进和最优策略求解提供了数学基础。

最优性原理：贝尔曼提出的这一原理指出，如果一个策略在每个子问题上都是最优的，那么它对整个问题就是全局最优的。这一原理不仅具有深刻的数学美感，更为动态规划和强化学习算法提供了理论支撑，是理解最优策略存在性和唯一性的关键。

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