经典力学与数学创造同行

摘要

本文是中国科学院物理研究所曹则贤研究员在2025跨年科学演讲中的实录内容，主题为《经典力学：与数学创造同行》。演讲系统阐述了经典力学从古希腊到现代的发展历程，强调经典力学与数学创造的紧密关系。曹则贤研究员指出，经典力学是一门原理性学问，具有博大精深的特点，其发展过程中需要同时发展出所需的数学工具。演讲涵盖了虚功原理、达朗伯原理、最小作用量原理、拉格朗日力学、哈密顿力学等核心内容，展示了经典力学如何与微积分、变分法、几何学等数学分支相互促进、共同发展。

内容框架与概述

本次演讲分为上下两篇，内容涵盖经典力学的方方面面。上篇主要从宏观角度介绍经典力学的特性与重要性，强调经典力学作为物理学基础的地位，以及它与数学创造的深刻联系。曹则贤研究员指出，经典力学是一门原理性学问，其核心原理包括虚功原理、最小作用原理和达朗伯原理等，这些原理体现了"致虚极，守静笃"的哲学思想。演讲通过丰富的历史实例，展示了从亚里士多德到伽利略、开普勒、牛顿等科学家的贡献如何推动经典力学的发展。

下篇则深入探讨经典力学的具体原理和方法。从"坡"问题出发，引出虚功原理、达朗伯原理、高斯的最小约束原理等重要力学原理。接着详细讲解拉格朗日力学和哈密顿力学，展示如何通过数学工具将力学问题提升到更加抽象和优美的层次。演讲还涉及转动坐标系、刚体动力学、莫珀替原理、勒让德变换、哈密顿-雅可比理论等高级主题，展现经典力学的深邃内涵。曹则贤研究员强调，经典力学与现代量子力学之间不是革命性的断裂，而是概念的转译和提升，体现了科学的连续性和统一性。

核心概念及解读

虚功原理：经典力学的核心原理之一，其核心思想是假设施加的力乘以可能的虚位移总和等于零才叫平衡。这一原理从杠杆原理发展而来，经过伽利略、约翰·贝努里等科学家的系统化，最终由拉格朗日用广义坐标表示，使得动力学问题能够转化为静力学问题。虚功原理体现了"Virtual is actual"的理念，即虚功实际上就是真实存在的功，这一概念深刻揭示了数学与物理的内在联系。

最小作用量原理：这是经典力学中具有深远意义的原理，源于费马的光程最短原理，由莫珀替推广到粒子运动。该原理认为，所有自然发生的事件中存在一个称为作用量的量，这个量应该最小。后来随着势能概念的引入，人们发现最小化的量实际上是动能减去势能的积分。这一原理不仅在经典力学中占据重要地位，还成为量子力学发展的基础，作用量的概念成为了量子化的关键。

哈密顿力学：基于哈密顿量的力学体系，通过哈密顿正则方程来描述运动。哈密顿力学将坐标和动量视为平等的角色，引入了相空间的概念，使得力学问题的几何意义更加明确。哈密顿量是关于坐标和动量的函数，与拉格朗日量不同，它不需要对时间进行微分。哈密顿力学不仅在经典力学中具有重要地位，还直接催生了薛定谔方程等量子力学核心内容，体现了经典力学向量子力学的自然过渡。

达朗伯原理：这是对牛顿第二定律的一种深刻改写，将质量乘以加速度的项视为惯性力，并将其纳入力的平衡方程中。这一原理的引入使得所有动力学问题都可以转化为平衡问题，从而简化了力学问题的处理。通过虚功原理和达朗伯原理的结合，可以将动力学问题转化为求解极值问题，体现了经典力学中将复杂问题转化为简单问题的智慧。

经典力学的几何本质：曹则贤研究员强调，经典力学本质上是一门几何学问。牛顿第二定律对应微积分，欧拉-拉格朗日方程对应变分法，哈密顿正则方程对应辛几何，哈密顿-雅可比方程对应微分方程和李群理论。这种几何化的视角不仅让经典力学变得更加优美和统一，还为向现代物理学的过渡铺平了道路。量子力学在普朗克常数h的层次上同样是一个几何问题，体现了物理学的深刻统一性。

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