分析力学在数学发展中的作用

摘要

本文阐述了分析力学的双重属性——既是力学体系的理论，又是纯粹的数学科学。这种特性使其成为将"力学的"转化为"数学的"天然媒介。文章详细考察了分析力学如何以五种数学形式呈现：常微分方程理论、变分法、一阶偏微分方程理论、黎曼几何和辛几何，并推动这些数学分支的发展。

内容框架与概述

文章开篇指出分析力学源于Lagrange，在Euler、D’Alembert等人著作中发展起来，具有力学理论与数学科学的双重性。这种二重性使力学通过分析力学这一媒介，将外部刺激转化为数学发展的内部因素。作者按历史脉络展开论述：从1736年Euler首次用常微分方程表述牛顿力学开始，到Lagrange、Hamilton、Jacobi等人建立的形式体系，再到19世纪末期形成的多维黎曼几何和辛几何。

文章主体部分分五个章节详细探讨分析力学的数学形式。首先是作为常微分方程理论的力学，Euler、Lagrange、Hamilton等人将力学表述为二阶常微分方程组，这促进了积分方法、定性理论乃至拓扑学的发展。其次是作为变分法的力学，从Euler认识到力学现象可化为极值问题，到Hamilton建立Hamilton原理，力学成为变分法的重要分支。第三是一阶偏微分方程理论，Hamilton和Jacobi通过特征函数方法建立了Hamilton-Jacobi理论。第四是黎曼几何，Jacobi从最小作用原理得出测地线原理，为多维微分几何开辟道路。最后是辛几何，这是相空间的几何学，源于典型变换理论，由Lagrange、Hamilton、Jacobi等人奠基。

核心概念及解读

分析力学的二重性：既是有关力学体系的物理理论，又是可脱离物理内容独立研究的纯粹数学科学。这种双重属性使其成为连接力学与数学的天然桥梁。

Hamilton原理：Hamilton于1834-1835年建立的变分原理，将分析力学化为定积分的变分问题δS=0，使力学从数学观点成为变分法的一个分支，比Lagrange表述更明晰直接。

Hamilton-Jacobi方程：描述力学系统整体行为的特征函数所满足的一阶偏微分方程，由Hamilton提出、Jacobi完善，成为分析力学的重要分支，也推动了一阶偏微分方程理论的发展。

辛几何：相空间的几何学，以"双线性微分"为基础，构成具有skew对称形式的偶数维线性空间。这一几何学分支在分析力学框架中发展起来，被称为"分析动力学"。

力学的几何化：分析力学从Lagrange形式体系发展到黎曼几何和辛几何形式的过程。Jacobi从最小作用原理得出测地线原理，Hertz发展了"没有力"的力学几何形式化，预示了广义相对论的某些特征。

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