AI在数学与物理学中的应用：现状与未来展望

摘要

本讲座由哈佛大学Mike Douglas主讲，系统回顾了AI在数学和物理学领域的应用进展。演讲从算力指数级增长和AlphaFold突破切入，介绍了四大成功范例：科学计算中的偏微分方程求解、数学数据科学中的模式发现（如椭圆曲线的"murmurations"现象）、组合优化解决SAT问题、以及交互式定理证明。核心愿景是构建"数学研究助理"，辅助编码、文献搜索、定理证明和数学概念探索。演讲最后讨论了自主数学研究的可能性，预测在未来2-3年内，AI将在数学研究中达到甚至超越人类顶级研究人员的水平。

内容框架与概述

讲座以AI快速发展为开篇，通过展示性能指数增长的量化图表，引出对数学和理论物理研究潜在影响的思考。Douglas首先坦诚AI目前在这些领域影响力尚小，但已能用于发现数据模式、搜索文献、辅助编码和提出猜想。他回溯五年前的预测，对比今日进展，强调虽然"人工智能研究助理"的愿景尚未完全实现，但并无根本性障碍。

主体部分深入剖析四大成功应用领域：在科学计算中，机器学习被用于求解偏微分方程、优化粒子加速器、计算Calabi-Yau和G2度量，甚至可将数值解转化为严格证明；数学数据科学通过分析"柏拉图式"数据集发现了椭圆曲线L函数系数中的"murmurations"振荡现象；组合优化领域利用SAT求解器攻克了多个数学猜想；交互式定理证明则通过Lean等工具使证明形式化成为可能。

讲座后半部分聚焦语言模型在定理证明中的应用，讨论"系统1"和"系统2"思维模式、强化学习与人类反馈的结合，并以AlphaGeometry解决IMO几何问题为例展示指数级进展。Douglas提出"数学研究助理"的具体功能蓝图，包括辅助编码、文献搜索、定理证明、形式化和探索数学概念等。最后通过思想实验探讨自主数学研究的可能性，强调可靠性、可解释性和与现有工具集成的重要性，呼吁研究者积极迎接即将到来的变革。

核心概念及解读

柏拉图式数据集（Platonic Dataset）：指定义简单精确的数学对象集合，如纽结、椭圆曲线等，配上可计算的不变量函数和明确的子集选择规则。这类数据集使得机器学习发现的模式可以转化为严格的数学猜想和证明。

Murmurations：在椭圆曲线L函数系数中发现的振荡现象。通过对相同导子的曲线进行系数平均，机器学习揭示了秩为0和秩为1曲线的系统性分布差异，这一出人意料的发现推动了后续的理论证明工作。

交互式定理证明（Interactive Theorem Proving）：使用Lean等工具将数学证明形式化，使计算机能够验证其正确性。目前学习曲线陡峭，但AI有望简化这一过程，使定理证明更加易用和普及。

系统1与系统2思维：类比人类认知的两种模式——系统1快速直觉，系统2缓慢推理。当前语言模型擅长系统1，但数学研究需要长链推理的系统2能力，这是AI提升的关键方向。

工作流（Workflow）：数学研究助理的核心概念，指将多个AI能力（编码、搜索、证明、形式化）集成到连贯的研究流程中，与现有工具无缝对接，形成可靠、可解释的辅助研究环境。

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