约翰·纳什：从博弈均衡到几何嵌入

摘要

2015 年阿贝尔奖颁奖前夕，约翰·纳什回顾了从普林斯顿求学到博弈论、几何与偏微分方程研究的历程。他谈起纳什均衡与不动点定理的联系、拜访冯·诺依曼和爱因斯坦的经历，也讲述了实代数流形与等距嵌入问题背后的直觉。面对竞争、荣誉和著名难题，纳什始终把注意力拉回数学本身：寻找适合自己的问题，保持独立判断，也承认难题会“反过来攻击你”。

概述

• 早年的数学兴趣与普林斯顿的学习氛围：多位数运算、《数学精英》、研究生之间不言明的竞争，以及自由的课程制度。
• 从游戏到均衡：Hex 棋、非合作博弈、博士论文与布劳威尔、角谷不动点定理。
• 从物理直觉到几何突破：宇宙学构想、实代数流形、黎曼流形的等距嵌入，以及纳什与同代数学家的交流。
• 偏微分方程与独立研究：德·乔治的成果、熵方法、黎曼猜想、古典音乐，以及不按“好学生”模式思考的意义。

目录

• 得知获奖的那一刻
• 早年的数学兴趣
• 普林斯顿与博弈论
• 纳什均衡与博士论文
• 课程、二手知识与原创性
• 拜访冯·诺依曼
• 爱因斯坦、红移与时空
• 寻找未解难题
• 实代数流形：从恒星分布出发
• 等距嵌入与几何的突破
• 偏微分方程、德·乔治与熵
• 竞争与菲尔兹奖
• 黎曼猜想：难题也会反击
• 独立思考与古典音乐
• 基本信息

得知获奖的那一刻

采访者：纳什教授，首先祝贺您获得 2015 年阿贝尔数学奖。您与路易斯·尼伦伯格共同分享这一奖项。第一次得知获奖时，您是什么反应？

纳什：我接到一个电话，那时已经是当天比较晚的时候了，让我有些困惑。我并不完全意外，因为我之前想过阿贝尔奖。它是一个有意思的例子：属于比较新的那一类奖项，分量很重，但结果又不是完全可以预测的。你不知道最后会怎样评选。

所以，我算是提前接到了通知。电话里告诉我，消息会在第二天早上宣布。

采访者：但对您来说，还是出乎意料的？

纳什：是的，出乎意料。当时我甚至不知道他们什么时候决定奖项。我在报纸上读过有关报道，但并没有密切关注。

早年的数学兴趣

采访者：您是什么时候意识到自己在数学方面有非凡天赋的？在成长过程中，有没有人鼓励您从事数学？

纳什：我母亲以前是一位教师，主要教英语和拉丁语。我父亲是电气工程师，他也做过教师，是在第一次世界大战之前。

对我来说，有一段时间，在学校里，我会自己做多位数的加法、乘法，而不只是做学校给学生布置的那些题目。比如，学校会让你用一个两位数乘另一个两位数。我就把数字的位数加上去，开始算四位数、五位数。

我很享受把这些计算做出来、找出正确步骤的过程。当然，我愿意去做，而且能做出来，这也是数学天赋的一种迹象。

还有别的迹象。我很小就有 E. T. 贝尔的《数学精英》那本书，也读得懂它。

普林斯顿与博弈论

采访者：1948 年，您二十岁，被普林斯顿大学数学系录取为研究生。那是一所精挑细选学生的顶尖学府。您喜欢那里的氛围吗？竞争是不是很激烈？

纳什：当然有竞争，是研究生之间一种安静的竞争。他们不像网球选手那样直接对抗。每个人都有可能得到某种特别的认可。没有人把这种事说出来，但你可以想象，大家心里都明白。

采访者：您很早就对博弈论感兴趣。事实上，您还发明过一种很巧妙、带有拓扑性质的游戏。普林斯顿范恩楼公共休息室里的教师和学生都很喜欢玩。当时在普林斯顿，大家把它叫作“Nash”，如今通常叫作“Hex”。丹麦发明家和设计师皮特·海因也独立发明了这个游戏。您为什么会对游戏和博弈论感兴趣？

纳什：我先前在匹兹堡的卡内基理工学院学过经济学。到了普林斯顿，我注意到有人在研究博弈与数学规划之间的联系。我有一些想法，有的与经济学有关，有的与游戏有关，比如股票市场上的投机者之间的活动，那实际上也是一种博弈。

我没法非常准确地说清楚这个兴趣的起点。不过，冯·诺依曼和摩根斯坦已经证明了二人博弈的解的存在。而在我看来，它可以成为一个更一般的 n 人博弈均衡定理的特例；我找到的就是那个一般性的定理。

这与均衡这个很自然的观念联系在一起，也与拓扑学中的布劳威尔不动点定理联系在一起。那是很好的工具。

究竟是什么时候、为什么开始研究这个，或者冯·诺依曼和摩根斯坦当时是怎样考虑的，我有些记不清了。后来，我知道了角谷不动点定理，那是布劳威尔定理的推广。我当时并没有意识到，冯·诺依曼曾启发角谷开展这项工作，对他有过影响。角谷曾在普林斯顿学习，所以，利用拓扑学论证来研究博弈均衡，对冯·诺依曼而言并不是令人吃惊的想法。

我还发展了一套理论，研究博弈的其他几个方面。

纳什均衡与博士论文

采访者：您已经有点走到我们的问题前面去了。大家都知道，至少数学界之外的许多人知道，您在 1994 年获得了诺贝尔经济学纪念奖。还有电影《美丽心灵》，罗素·克劳在片中扮演您。这些让非常广泛的观众认识了您。

但可能并不是每个人都知道，获得诺贝尔奖的那个思想，已经包含在您 1950 年提交给普林斯顿的博士论文里了。那时您只有二十一岁。我想，论文题目是《非合作博弈》。您当时有没有想到，它会如此具有革命性，不仅影响经济学，还会影响政治学、演化生物学等截然不同的领域？

纳什：很难说。凡是存在某种均衡、各方之间又有竞争或相互作用的地方，它都相当有用。演化的思想与其中某些情形，自然而然有着相似之处。我又有些偏到另一个话题上去了。

采访者：但您知道，这是一项很好的工作，是一篇很好的论文？

纳什：是的。我原来有一个更长的版本，后来导师让我缩减了。我还写了合作博弈方面的内容，但那部分另外发表了。

采访者：您写这项工作时，是自己独立完成的吗？导师有没有给您帮助？这个题目是您自己找到的吗？

纳什：基本上是我自己找到题目，然后根据题目的性质选择了导师。

采访者：您的导师是塔克，对吗？

纳什：对，塔克。

课程、二手知识与原创性

采访者：我们想问问您的学习和工作习惯。您在普林斯顿很少上课，为什么？

纳什：确实如此。普林斯顿相当自由。我到那里之前不久，他们引入了一个“N 等级”，就是大写字母 N。教授开一门课，可以给学生一个标准的 N，意思是“没有成绩”。

这自然改变了大家的工作方式。我想，当时哈佛不是这样做的，后来有没有采用，我不知道。但普林斯顿一直多少保留着这种 N 等级制度。所以，相比其他一些学校，普林斯顿正式修读课程、获得课程成绩的人要少一些。

采访者：我听说，而且我想您自己也说过，您认为从别人那里学到太多二手知识，会扼杀创造力和原创性。您认同这种说法吗？

纳什：听起来是有道理的。不过，什么是二手知识呢？

采访者：是的，二手知识。

纳什：比如说，你不是向阿贝尔本人学习，而是向一个研究阿贝尔积分的人学习。

拜访冯·诺依曼

采访者：在普林斯顿期间，您曾分别联系过爱因斯坦和冯·诺依曼。他们当时在离普林斯顿大学校园不远的高等研究院。对一个年轻学生来说，主动联系这么有名的人，是很大胆的举动。

纳什：这件事是可以做的，也符合智力活动的方式。以冯·诺依曼为例，我用布劳威尔不动点定理证明了博弈均衡定理，而他与摩根斯坦在书里用的是其他方法。

我见到冯·诺依曼，在黑板前讲解时，他似乎已经明白了。他问：“你是不是用了不动点定理？”我说：“我用了布劳威尔不动点定理。”

我也知道，还可以用角谷不动点定理给出另一种证明。这在经济学应用中很方便，因为映射不必满足通常的连续性要求。它具有某些连续性性质，也就是广义的连续性，而这种情形下也有适用的不动点定理。

但我当时没有意识到，角谷是在冯·诺依曼的启发下证明它的。冯·诺依曼曾用不动点方法处理一个经济问题，涉及经济中相互作用的各方，但不是把它用于博弈。

采访者：您跟冯·诺依曼谈的时候，他到底是什么反应？

纳什：我刚才提到过，我在他办公室里，他谈到了另外一些东西。现在我可以想象他的想法：他知道角谷不动点定理，而我没有提到它，其实我本来可以提。他说了一些一般性的话，比如：“当然，这样是行得通的。”他并没有大加称赞，说这是多么了不起的成果。

爱因斯坦、红移与时空

采访者：那么，您见到爱因斯坦，和他谈自己的物理学想法时，他是什么反应？

纳什：他那里还有一位学生助手，我原先没有料到这一点。我进去，向他们讲了我的想法：光子在长距离传播中损失能量，结果可能产生红移。

别人也有过这个想法。很久以后，我看到德国有人写了一篇相关论文，不过我没法直接告诉你出处。

如果这种现象存在，当时流行的宇宙膨胀观点就会受到动摇。因为那种看起来像宇宙膨胀效应的现象，也就是某种多普勒红移，就不能单凭这一点解释为膨胀：红移可能另有来源。

我当时讨论的是这些不同的想法。后来，我在这个方向上发展了一些数学理论，也涉及一些函数。我将在这里介绍一个可能的方向：有一个有意思的方程，它或许能够描述另一种时空，以及其中的某些奇点。这也牵涉到对暗物质和暗能量的不同想法。

那些大力主张这些观点的人认为，宇宙中大部分的重量、质量，来自暗能量。但也许根本没有它，也可能存在其他理论。

寻找未解难题

采访者：我们想转到约翰·米尔诺。您成为研究生的那一年，他刚作为本科新生进入普林斯顿。顺便说一句，他获得了 2011 年阿贝尔奖。

他观察到，您在普林斯顿时，对尚未解决的问题非常了解，经常追着别人仔细询问这些问题。您当时一直在留意那些著名的未解难题吗？

纳什：是的，总的来说，我一直如此。米尔诺也许注意到，那时我在寻找一些可以研究的问题。

他自己也做了不少漂亮、出色的工作。七维球面上的工作是非常原创的。另一些工作，则有点像一个好学生会做的事情。比如，任何一个非平凡的纽结，都至少具有一定量的曲率。不过，严格说来，这并不是由他最先证明的新定理，因为还有一位不那么有名的人已经证明过了。

采访者：当您在普林斯顿写博弈论博士论文时，就已经开始研究性质非常不同、更偏向几何的问题。后来您在波士顿的麻省理工学院任教，从 1951 年到 1959 年，继续了这些研究。事实上，您在这段时期取得的成果，正是今年授予您阿贝尔奖的主要理由。

在具体谈这些成果之前，我想引用 2009 年阿贝尔奖得主米哈伊尔·格罗莫夫的话，提供一点背景。我们在类似的访谈中采访他时，他说，您的方法展现出“不可思议的原创性”。他还说：“在我看来，纳什在几何学上的成就，比他在经济学上的成就大了许多个数量级，根本无法相比。”您同意吗？

纳什：我想，这只是个人趣味的问题。那是一场相当艰苦的探索。我在代数几何和微分几何方面都做过一些工作，其中有一些微妙之处。我在代数几何那里取得了突破：我们实际上可以控制一个代数簇的几何形状。

实代数流形：从恒星分布出发

采访者：这正是我们的下一个问题。您刚开始在麻省理工工作时，提交了一篇关于实代数流形的论文，我想是 1951 年 10 月。这里还有一句评价，来自后来用过您这一成果的麻省理工数学家迈克尔·阿廷。他说：“仅仅能够构想出这样的定理，就已经很了不起了。”

能不能讲讲那篇论文处理什么问题、证明了什么，以及您是怎样开始研究这个题目的？

纳什：我想到它，确实受到了时空、爱因斯坦以及恒星分布这些观念的影响。我提出了这样一个问题：假如可以选定一种恒星分布，是否会有一个流形，在空间中弯曲、绕行，再回到自身，并相对于这种恒星分布处于某种平衡状态？这就是我当时想的。

最后，我找到了一些数学想法：可以选择点的分布，选出一些有意思的点，然后让某个流形按照所希望的几何或拓扑方式，围绕这些点展开。我做成了这件事，同时发展了实现它所需要的一些额外的一般理论，后来发表了出来。

再后来，其他人开始研究怎样让这种表示更精确。因为我当时的证明，可能允许被表示的流形出现某些在几何上不那么漂亮的现象。它可能以某种方式靠近别的东西，也可能不是严格有限的，有一部分跑到了无穷远处。

后来，一位叫华莱士的人似乎解决了这个问题，但其实没有，他的论证有漏洞。再后来，一位意大利数学家把它解决了。

等距嵌入与几何的突破

采访者：接下来想问您第二类成果，也就是黎曼流形的实现问题。粗略地说，黎曼流形是一种抽象的光滑结构，距离和角度以相当抽象的方式在局部定义。您证明了，这些抽象对象可以非常具体地实现为足够高维的欧几里得空间中的子流形。

纳什：对。如果度量以某种方式给定，虽然是抽象的，但已经足以定义一个度量结构，那么就可以通过嵌入来实现它，使这个度量由嵌入所诱导。

我在这里曾经走到一条岔路上。我先证明了光滑程度较低的情形，也就是 C¹ 情形。后来有人继续研究这一点。我发表了那项结果，而一位荷兰数学家又把所需的维数降低了一维。

采访者：我想是尼古拉斯·柯伊伯？

纳什：对，尼古拉斯。

采访者：除了结果本身，很多人也告诉我们，您使用的方法极其巧妙。这里再引用格罗莫夫和康威的话。

格罗莫夫说，第一次读到您的结果时，他想：“这简直是胡说，不可能是真的。但它是真的，令人难以置信。”后来他又说：“他完全改变了人们看待偏微分方程的方式。”

普林斯顿著名数学家康威则说，您的工作是“二十世纪数学分析中最重要的成果之一”。这是很高的评价。

传闻说，您开始研究嵌入问题，是因为一个赌约。是真的吗？

纳什：确实有点像打赌。在麻省理工的公共休息室里，也就是教师们碰面的地方，有一次讨论。我和一位研究几何的资深教授谈嵌入的想法，从他那里意识到，可以考虑通过嵌入来实现度量。当时这还是一个完全开放的问题，没有现成的东西可用。那位教授是安布罗斯。

于是，我开始研究它。但后来又转到了 C¹ 的情形。结果发现，在 C¹ 情形下，嵌入空间只需要比流形本身多出很少的维数。我做到的是多两维，后来柯伊伯做到了只多一维。

不过，这还不是光滑的情形。我觉得，光滑才是应该有的结果：既然给你的是光滑的对象，最后也应该得到一个光滑的答案。

几年以后，我把它推广到了光滑情形，发表在一篇分成四部分的论文里。

偏微分方程、德·乔治与熵

采访者：接下来谈您在偏微分方程本身方面的工作。如果可以这样说的话。我想，这起源于您在纽约柯朗研究所与路易斯·尼伦伯格的一次谈话，他也是今年与您共同获奖的阿贝尔奖得主。我们了解到，他向您介绍了非线性偏微分方程中的一个重大未解问题。

纳什：他向我介绍了德·乔治的工作。此前，加利福尼亚有一位教授已经在二维情形下做出了一些结果，但还没有推广到二维以上。问题在于能不能推广：某类偏微分方程解的连续性，在二维情形下被证明是一种内在性质。那位加利福尼亚教授的名字，我忘了，他已经去世一段时间了。

于是，我开始研究这个问题，德·乔治也在研究。

采访者：但当时你们并不知道彼此的工作？

纳什：我不知道德·乔治在做这个，但他确实先解决了。

采访者：是在椭圆型方程的情形下。

纳什：对。原来的问题确实是椭圆型的，但我把它推广到了抛物型方程。这是很有利的一个方向。研究抛物型方程时，出现了一种与熵的概念有关的论证方法。

我并不是想争论谁先谁后，不过，纽约的汉密尔顿教授后来也用过类似的熵方法，再后来是佩雷尔曼。他们使用一种能够加以控制的熵，来控制研究过程中所需要的各种改进。

采访者：而这最终导向了庞加莱猜想的证明，对吗？

纳什：熵在那里确实非常重要。汉密尔顿先使用它，然后佩雷尔曼接着做了下去。当然，要预见最后的成功是很难的。

竞争与菲尔兹奖

采访者：回到您与德·乔治差不多在研究同一个课题的时候。第一次知道他比您先解决了至少一部分问题，您很失望吗？

纳什：当然失望。不过，人往往会找到另一种思考的方式。就像水不断积聚，原来的出水通道被堵住了，于是水又会从另一条路流出去。

采访者：有人猜测，如果没有与德·乔治的工作同时发生这件事，您可能会得到菲尔兹奖。您想过吗？

纳什：是的，这似乎是有可能的，也是很自然的一种想法。不过，德·乔治也没有得到菲尔兹奖，虽然他获得了其他一些认可。

但这不是数学。思考某个评选机构怎样运作、会作出什么决定，最好留给那些确定自己不在候选范围之内的人。

黎曼猜想：难题也会反击

采访者：接下来谈谈您人生中的一个转折点。我们听说，您决定攻克数学中或许最著名的未解问题：黎曼猜想。它至今仍然悬而未决，也是克雷基金会列出的千禧年大奖问题之一。能不能谈谈，您在尝试解决它的过程中，经历了怎样的精神疲惫？

纳什：我觉得，说我真的曾经正面猛攻这个猜想，有点像传闻或者神话。我是有所警惕的。尝试攻克某个问题时，我会对投入的精力保持一点谨慎，因为问题也可能反过来攻击你。

对于黎曼猜想，我不认为自己是一个正式钻研它的人。也许更像是偶尔看看，看看能不能看到一些美妙、有意思的东西。

我身边就有研究这方面的人，比如挪威数学家塞尔伯格教授。大约在第二次世界大战期间，他证明了，这些零点中至少有一定比例确实位于临界线上。零点还可能以不同形式出现，比如一个二重零点，看起来像一个零点。他证明了，有一个很小的比例在那条直线上。

这是很早的工作，在他到高等研究院之前。他在那时做出了很好的成果。

后来，我曾经工作过的麻省理工学院有一位教授，证明了一个相当可观的比例，大约三分之一的零点，确实在那条直线上。那是莱文森。

据说，他那时已经患上脑癌，后来也因此去世。这让人想到，大脑可以正在遭受疾病侵袭，但仍然能够进行出色的推理。

独立思考与古典音乐

采访者：熟悉您的数学家都说，您处理数学问题的态度，与大多数人很不一样。能不能讲讲这种不同的思路？您的灵感从哪里来？

纳什：我不能说，自己现在就是在用某一种特别的方法工作，与其他更标准的方法截然不同。换句话说，我会想：凭借我的头脑、经验和已有的联系，我能做什么？什么事情可能适合我去尝试？

我不会想着去追逐那些最新流行的无聊东西。

采访者：我们知道，您在普林斯顿时，曾一边骑自行车穿过校园，一边吹着巴赫《小赋格》的口哨。您喜欢古典音乐吗？

纳什：喜欢，我确实喜欢。

采访者：除了巴赫，还有其他喜欢的作曲家吗？

纳什：有很多古典作曲家的作品都非常悦耳。比如莫扎特的一首好作品。他们的作品比帕赫贝尔等一些作曲家的作品要好得多。

采访者：我想再插一个问题。我记得您在一次采访里说过类似这样的话，如果记错了请纠正：“如果我的思维更正常一些，我就不会有那些好的科学想法。”您似乎不在通常的思路之内，看事情有不一样的方式。

纳什：很容易这样想。我觉得，至少就我作为数学家而言，这话是对的。

只像一个写论文的好学生那样思考，并不会更好。大多数数学论文都相当常规。工作量很大，但基本框架已经由导师安排好了；你不断做，积累到足够多，论文就获得认可了。

采访者：我们要结束了。非常感谢您接受这次非常有意思的访谈。除了我们两个人之外，我们也代表丹麦数学会、挪威数学会和欧洲数学会向您致谢。非常感谢。

基本信息

• 原标题：John Nash - The Abel Prize interview 2015
• 受访者：约翰·纳什（John F. Nash Jr.），2015 年阿贝尔奖共同得主
• 采访者：马丁·劳森（Martin Raussen）、克里斯蒂安·斯考（Christian Skau）
• 访谈时间与地点：2015 年 5 月 18 日，挪威奥斯陆
• 视频频道：The Abel Prize
• 视频发布：2019 年 12 月 11 日
• 时长：约 38 分钟
• 制作：UniMedia
• 原视频：YouTube · John Nash - The Abel Prize interview 2015
• 相关资料：阿贝尔奖 2015 年获奖者页面；访谈文字版，Notices of the AMS，2016 年 5 月，第 486–491 页