安德鲁·怀尔斯访谈：费马大定理、模性与数学直觉

摘要

2016 年阿贝尔奖颁奖前夕，安德鲁·怀尔斯回顾了费马大定理从页边猜想走向现代数论核心的漫长历程。他解释，弗赖曲线与里贝特的工作如何把费马问题连接到模性猜想，又讲述自己从十岁时被一个方程吸引，到研究椭圆曲线、岩泽理论，最终完成证明的经历。访谈也深入讨论伯奇–斯维讷通–戴尔猜想、塞尔默群，以及阿贝尔与现代数论之间的历史呼应。在怀尔斯看来，灵感背后是长期而细致的准备；排除错误的道路、建立对问题的深刻直觉，与突然的突破同样重要。

概述

• 费马问题的历史：无穷递降法、唯一分解的障碍、库默尔的新数系，以及弗赖、里贝特与模性猜想带来的转折。
• 数学教育与研究起步：童年阅读、牛津与剑桥、约翰·科茨的指导，以及从数论兴趣走向椭圆曲线和岩泽理论。
• 椭圆曲线的算术：有理点、莫德尔–韦伊群、伯奇–斯维讷通–戴尔猜想、塞尔默群与泰特–沙法列维奇群。
• 寻找证明的过程：七年独立探索、1993 年报告后的缺口、算术路线的选择，以及与阿贝尔工作的平行关系。
• 数学家的工作方式：潜意识与灵感、排除错误方向、好问题的作用、黎曼猜想，以及数学之外的兴趣。

目录

• 费马大定理：从页边的一句话说起
• 费马究竟可能想到了什么？
• 十岁时遇见的方程
• 在剑桥，与约翰·科茨开始研究
• 椭圆曲线：从有理点到 BSD 猜想
• 塞尔默群与寻找有理点的障碍
• 模性猜想为何成为关键
• 七年的探索与证明中的缺口
• 在黑暗中找到算术的入口
• 与阿贝尔的平行故事
• 灵感之前，需要怎样的工作？
• 好问题是数学的命脉
• 数学之外的兴趣
• 基本信息

费马大定理：从页边的一句话说起

采访者：怀尔斯教授，衷心祝贺您获选为 2016 年阿贝尔奖得主。说实话，我们两人原以为，几年前就应该有机会做这次访谈了。

您不仅在数学家当中声名卓著，也广为公众所知。借用阿贝尔奖委员会的颁奖词，您“通过椭圆曲线的模性猜想，对费马大定理作出了令人惊叹的证明，开启了数论的新纪元”。这一证明可以追溯到 1994 年，也就是说，我们和您都等了二十多年，它才为您赢得阿贝尔奖。不过，您仍然是迄今最年轻的阿贝尔奖得主。

完成费马大定理的证明以后，您接受了许多采访，这使我们的任务相当困难：究竟怎样才能提出一些您没有回答过好几遍的问题呢？我们会尽力。不过，特别是考虑到挪威电视台的观众，我们还是得从最初说起，而且要从一句拉丁文说起。

那句话的意思是：“不可能将任何高于二次的幂，分成两个同次幂之和。”接着他说：“我发现了一个真正奇妙的证明，但这里的页边太窄，写不下。”

这是法国律师、业余数学家皮埃尔·德·费马在 1630 年代，写在自己那本丢番图《算术》页边上的话。他当时肯定没有想到，为了找出这个证明，专业数学家和业余爱好者会忙上好几个世纪。

在您踏上自己的研究之路以前，人们为证明费马大定理做过哪些重要尝试？能否简要回顾一下？为什么这样一个表面上简单的问题如此吸引人，而尝试回答它的过程，又能如此富有成效地推动数论发展？

怀尔斯：第一次认真的尝试，大概就是费马本人做的。遗憾的是，除了他解释过的 n = 3 和 n = 4 这两个特殊情形，我们对他的证明一无所知。他说明了，两个立方数之和不可能还是一个立方数，两个四次幂之和也不可能还是一个四次幂。

他用了一种非常漂亮的方法，叫作无穷递降法。这是一个新思想，至少在算术中，是一种新的数学证明表达方式。他在写给同人的信中多次解释过这些证明，也在页边写过一些；有些内容，页边还是容得下的。

他去世以后，儿子将这些文字发表出来，此后这个问题沉寂了一阵子。后来，欧拉等人重新拿起它，试图找到那个“真正奇妙的证明”，却都失败了。到了十九世纪，事情变得颇有戏剧性。有人觉得自己能解决它，法国科学院里有过相关讨论，柯西也加入进来，说自己觉得可以证明，诸如此类。

然而，人们后来发现，德国数学家库默尔已经写过几篇论文，解释了根本困难所在，也就是所谓算术基本定理的问题。在我们通常使用的数系中，一个数基本上只有一种素因数分解。例如 12 = 2 × 2 × 3，不存在另一种分解为素数的方式。

但为了尝试解决费马问题，你会用到另一些数系，在那里，这种唯一性并不成立。此前的种种尝试，正是在唯一分解失效的地方栽了跟头。

库默尔对此进行了极其细致的分析，得到了非常漂亮的结果。最终，他解决了许多许多情形。例如，对小于 100 的素数指数，除了 37、59 和 67，他都处理了。但他终究没有完全解决这个问题。

他的方法，其实还是费马尝试过的无穷递降法，只不过是在新的数系中使用。这些新数系孕育了今天我们所认识的代数数论：不再只用普通整数或有理数来解方程，而是发展其他数系，在其中尝试求解。

沿着费马原有路线的尝试持续了一段时间，但到了二十世纪，渐渐失去了势头。直到二十世纪后半叶，才出现根本性的新思想。数论已经向前发展，转而研究别的问题。

1985 年，德国数学家格哈德·弗赖提出了一个惊人的新想法。他假设费马方程存在一个解，再将它改写，构造出一条所谓的椭圆曲线。他说明，或者说提出，这条椭圆曲线会具有十分古怪的性质，并猜测这样的椭圆曲线实际上不可能存在。

随后，美国数学家肯尼斯·里贝特真正证明了，利用这条弗赖曲线，费马方程的任何一个解都会与另一个著名猜想相矛盾，那就是模性猜想。谷山丰曾提出这个猜想的一个较弱形式，志村五郎进一步将它完善。最早真正支持它的证据来自安德烈·韦伊：他的工作使人们能够相当具体地检验这个新的模性猜想。随后积累了大量证据，表明它应当成立。

到了这一步，数学家们就看得出：费马大定理会是真的，而且一定存在一个证明。因为模性猜想并不是数学界可以搁在一旁，再过五百年也不理会的问题。它就横在数学的中心，是一个非常核心的问题。费马大定理可以被放到一边，几乎永远忘掉；模性猜想却不能被忘掉。

因此，当我听说里贝特做成了这件事，那一刻我就知道：好，这个问题是可以解决的，我要去试试。

费马究竟可能想到了什么？

采访者：我想插一句，谈谈对费马那个所谓证明的猜测。您觉得，他是不是与拉梅犯了同一种错误，也就是误以为分圆整数具有唯一分解？

怀尔斯：不，我不这么认为。也许他的某些想法里有类似的思路，但这很难弄清楚。安德烈·韦伊写过这个问题：费马研究的其他问题，都涉及亏格为零或一的曲线，突然之间，他却写出了一条更高亏格的曲线。他究竟打算怎样思考它呢？

我十几岁时也尝试过这个问题。我试着把自己放进费马的思维方式里，因为那时我也没有别的办法。我觉得，十七世纪的数学是我能够理解的，而更晚的数学，当时大概还理解不了。

在我看来，他所做的一切似乎都能归结到二次型上。我想，也许可以沿着这条路来考虑。当然，我没有成功。但没有其他迹象表明，他掉进了唯一分解的陷阱。事实上，从二次型的角度，他知道有时存在唯一分解，有时却没有。在他自己的背景下，他理解这种区别。因此，我认为他的错误很可能不在这里。

采访者：在您提到的韦伊那本书中，费马研究过“一个立方数减去一个平方数等于 2”的方程，它基本上只有一个解，也就是 x = 3，y = ±5。韦伊推测，费马当时考察了环 ℤ[√−2]，并利用了其中的唯一分解。

怀尔斯：是的，他利用了唯一分解，不过他是用二次型的语言来做的。我想，他也考察过对应于 ℤ[√−6] 的二次型，而那里并没有唯一分解。所以，我当时的印象是，他理解这两种情况的区别。

十岁时遇见的方程

采访者：我们已经开始谈到您个人的数学教育了。我很好奇，您似乎很小就喜欢数学谜题。这份兴趣来自哪里？家庭，还是其他可以指出的影响？

怀尔斯：我很小就喜欢数学。十岁的时候，我会在图书馆的数学书架间找书，一本本抽出来看。有一次，我拿到一本 E. T. 贝尔的书。封面上介绍了这个方程、沃尔夫斯凯尔奖，以及这个问题富有传奇色彩的历史。我完全被吸引住了。

采访者：埃里克·坦普尔·贝尔的这本书里，还有什么东西让您着迷？

怀尔斯：其实，整本书几乎都围绕着那一个方程，而且文字很多。从某种意义上说，里面真正的数学比你想象的少。所以我想，吸引我的主要还是那个方程。

发现这个方程以后，我又找来其他初等数论的书，学习同余、解同余方程，以及费马研究过的其他东西。

采访者：这些都是在正常的学校功课之外做的？

怀尔斯：是的。从这个角度看，我觉得学校功课并没有给我太大负担。

采访者：那时您是否已经明白，自己拥有非同寻常的数学天赋？

怀尔斯：我当然有一些数学才能，也显然很喜欢做数学。但我不觉得自己独一无二。在我上的那所学校，我也不认为自己是唯一这样的人。还有些同学，同样有充分的理由成为未来的数学家，其中一些人后来确实成为了数学家。

采访者：那么，您是不是很早就确定，要学数学、从事数学工作？

怀尔斯：不。我想，那时我并不真正明白，一个人可以一辈子都做数学。这是后来才知道的。但我当然想尽可能长久地学下去。只要是当时我所能想象到的未来，里面肯定都有数学。

采访者：后来，您在 1971 年到牛津读数学。能谈谈那段经历吗？哪些老师或领域对您特别重要？

怀尔斯：其实，上大学以前，在中学时，我的一位老师拥有数论博士学位。他给了我一本哈代与赖特的《数论导引》。我还找到一本达文波特的《高等算术》。就数论而言，这两本书给了我非常大的启发。

采访者：也就是说，在开始大学学习之前，您就已经走在这条路上了？

怀尔斯：是的。某种程度上，我甚至觉得大学是在分散我的注意力，因为我还得学习应用数学、逻辑等许多别的东西，而我只想做数论。第一年不让学数论，直到第三年，才真正能够深入进去。

采访者：相较于代数和数论，您对几何没那么感兴趣？

怀尔斯：是的，我主要喜欢代数和数论。我也乐意学其他东西，但最让我兴奋的始终是数论。老师们让我额外上了一些数论课，可供选择的课程并不多。

有一次，我想，既然在学校学了那么多年拉丁文，就该派上用场，于是尝试阅读费马的原文。但我发现，这实在太难了。即使把拉丁文翻译出来，他们那个时代的写法也很少使用我熟悉的代数符号，因此仍然很难读懂。

在剑桥，与约翰·科茨开始研究

采访者：那么，后来您到剑桥，在约翰·科茨指导下真正研究数论，想必如释重负。

怀尔斯：是的。刚去时，我有一年的预备学习，要学一系列科目，之后才可以做一个专题。当时约翰·科茨还没到剑桥，但我想他给过我帮助，也可能是在之后的那个暑假。总之，我见到他后，马上就开始跟他一起工作，那真是太好了。

从本科阶段的阅读、学习，转向真正的研究，对我而言是一次真正的转折。那种感觉非常美妙。

采访者：所以，是约翰·科茨引导您研究椭圆曲线、岩泽理论等课题？

怀尔斯：完全正确。他有一些很棒的想法，而且非常慷慨地与我分享。

采访者：我想，您告诉过科茨，自己对费马问题感兴趣？

怀尔斯：我大概说过，而他大概也警告过我。确实，自十九世纪以来，人们没有提出什么新思想。大家试图改进旧方法，也确实有一些改进，但这些改进看起来并不会逐渐接近最终的解答。沿那条路走，实在太难了。

采访者：但刚跟科茨开始工作时，您并不知道，椭圆曲线后来会成为证明中的关键？

怀尔斯：不知道。这是一个美妙的巧合。奇妙的是，在我们今天记得的费马的工作中，最突出的两条线索，一条是椭圆曲线，一条是费马大定理。对数论学家来说，刚才提到的 y² + 2 = x³，就是一条椭圆曲线。

采访者：对，是同一回事。能否花一点时间解释一下，什么是椭圆曲线，以及相关理论如何发展起来，包括与岩泽理论的关系？

椭圆曲线：从有理点到 BSD 猜想

怀尔斯：对数论学家而言，椭圆曲线的故事从费马开始。这类方程的形式是：y² 等于 x 的一个三次多项式，而多项式的系数是有理数。问题是，如何找到这个方程的有理解。

费马注意到，整数解与有理解的情形很不一样。对于整数解，有时可以证明它们很少，甚至准确说出有哪些解。而对于有理解，有时你可以从一个、甚至两个解出发，生成无穷多个其他解；但有时也能证明根本没有解。例如，费马大定理 n = 3 的情形，虽然不太明显，实际上也是一条换了面貌的椭圆曲线。所以，可能有无穷多个解，也可能没有解。费马已经看到了这一点。

后来，人们不断研究这些方程。到了二十世纪之交，庞加莱认识到可以……抱歉，我说得太快了。应该先讲十九世纪初：当时，人们在复数范围内研究这些方程。阿贝尔正是在这里进入故事的，他研究椭圆函数。十九世纪初，人们已经能够用双周期函数很好地理解它们。但那说的是复数解，也就是在复数范围内求方程的解。

有理数范围内的解，则是庞加莱研究的对象。后来，莫德尔与韦伊在二十世纪二十年代证明了现在所谓的莫德尔–韦伊定理：椭圆曲线上的有理点构成一个有限生成阿贝尔群。

用费马的语言来说，你可以从有限多个解开始，使用他所谓的弦切法，生成所有的解。

这样，我们知道了它的结构，一个非常漂亮的代数结构，也就是群。但知道这个结构，并不能直接帮助你找到解。直到二十世纪五十年代末出现伯奇和斯维讷通–戴尔的猜想，人们才开始看到寻找解的好方法。

这个猜想有两个方面：一个偏向分析，另一个涉及所谓的泰特–沙法列维奇群。基本上，泰特–沙法列维奇群描述了为这些解寻找算法时遇到的障碍。而伯奇–斯维讷通–戴尔猜想告诉我们，实际上存在一种分析方法，能够研究这个群。将这些结合起来，最终应当能得到一个寻找解的算法。

采访者：您还是研究生的时候，就已经和约翰·科茨一起研究伯奇–斯维讷通–戴尔猜想了？

怀尔斯：是的，这正是他提出的研究方向。对于某些特殊的椭圆曲线族，我们得到了关于解与椭圆曲线的 L 函数之间这种分析联系的最初结果。

采访者：是具有复乘的椭圆曲线？

怀尔斯：正是。

采访者：这真的是关于伯奇–斯维讷通–戴尔猜想的第一个结果吗？

怀尔斯：我想，这是第一个处理一整族情形，而非单个例子的结果。在单个例子方面，已经有大量数值资料，但这是第一个无限族的结果。

采访者：而且是在有理数域上？

怀尔斯：是的。

采访者：我们应该提一下，伯奇–斯维讷通–戴尔猜想是克雷数学研究所的千禧年大奖难题之一，解出来就能获得一百万美元。

怀尔斯：没错。我觉得它很有吸引力，部分原因是，它与费马问题一样，根源都在费马的工作里。它也是一个能够用初等语言陈述的问题，研究的是一些方程，而且次数很低，但我们仍然无法掌握。这是费马开创的方向，非常吸引人。

采访者：您觉得这个问题已经触手可及了吗？我们是不是已经有了所需的工具，只要有人足够大胆就能解决？还是得再等三百年？

怀尔斯：我想不至于再等三百年，但恐怕它并不是最容易的千禧年难题。我认为我们仍然缺少一些东西。也许工具已经齐备，但我不能确定。对这些极难的问题，总是存在这种疑问：所需的工具可能根本还没有出现。

我不相信十九世纪有人能够解决费马大定理，至少不可能用后来实际成功的那种方式。数学发展的差距太大了，必须再等一百年，合适的组成部分才会到位。

对于这样的问题，你永远无法完全确定，自己的时代是否已经能够解决它。这恰恰是挑战所在：你是否有直觉，能分辨现在做得到什么、做不到什么。

塞尔默群与寻找有理点的障碍

采访者：您提到了泰特–沙法列维奇群，在这个背景下，还会出现塞尔默群。塞尔默是一位挪威数学家。我想，是卡塞尔斯把这个群命名为“塞尔默群”的。能否简单解释一下，塞尔默群是什么，与泰特–沙法列维奇群有什么关系？会不会太技术化？

怀尔斯：确实有些技术性，但我大概能说明基本想法。你要做的是找到椭圆曲线上的有理解。方法是，取椭圆曲线上的点，假设你已经知道了一些点，再从它们生成域扩张。

所谓生成扩张，是指可以对椭圆曲线上的点“开根”。就像取 5 的 n 次方根，或者 2 的立方根一样，在椭圆曲线上，也可以取一个点的 n 次根，也就是找出所有乘以 n 后等于原来那个点的点。这些点会生成你出发时那个数域的某些扩张；这里就是有理数域 ℚ 的扩张。

你可以给这些扩张施加很多限制。基本上，塞尔默群就是把所有显而易见的限制都加上后，得到的那个尽可能小的扩张集合。

也就是说，你有一个点群，这些点生成一些扩张。但范围太大了，你并不需要所有扩张，于是用局部条件，也就是用 p 进数，尽量缩小范围。这样得到的就是塞尔默群。而点所生成的群与塞尔默群之间的差别，基本上就是泰特–沙法列维奇群。如果你愿意，可以说，在试图从塞尔默群找回这些点时，泰特–沙法列维奇群给出了误差项。

采访者：明白了。不过，塞尔默那篇论文研究的是丢番图方程 3x³ + 4y³ + 5z³ = 0。他证明，它只有平凡的整数解，但对任何模数 m，都存在非平凡的模 m 解。这与卡塞尔斯用他的名字命名这个群，有什么关系？

怀尔斯：是的，它们之间有相当微妙的联系。实际上，你在考察一条椭圆曲线。这个例子中，我一时记不清具体的形式，但它等价于 x³ + y³ + 60z³ = 0，这是一条椭圆曲线。

泰特–沙法列维奇群涉及考察其他与它类似的曲线，例如 3x³ + 4y³ + 5z³ = 0。严格来说，后者不是椭圆曲线。它是一条亏格为一的曲线，但恰恰因为没有有理点，所以不是椭圆曲线。

描述泰特–沙法列维奇群的另一种方式，就是利用这些亏格为一、却没有有理点的曲线。把它们汇集起来，可以构造泰特–沙法列维奇群，而这也反映在塞尔默群中。细节太复杂，很难只用语言解释，但这是另一个角度。刚才我采用的是以域扩张为基础的现代语言，较早的语言则使用这些扭曲形式。

模性猜想为何成为关键

采访者：您最终证明的，是如今所谓模性猜想的一个特殊部分。要解释它，需要从模形式谈起，以及怎样利用模形式产生椭圆曲线。能否简要说明？

怀尔斯：我们已经把椭圆曲线描述成方程 y² = x³ + ax + b，其中 a、b 都是有理数。正如刚才所说，十九世纪初，人们就能用魏尔斯特拉斯 ℘ 函数，也就是椭圆函数，非常漂亮地描述它的复数解。

但我们希望找到一种完全不同的一致化方式，它能够体现 a、b 是有理数这一事实。这是一种针对有理数域上椭圆曲线的参数化。因为它抓住了曲线定义在有理数域上这一点，所以在把握有理解方面，比椭圆函数有力得多；椭圆函数看到的主要是复结构。

这种方式来自模形式或模曲线。先说模函数：我们熟悉某些在平移下保持不变的函数。每当写下一个傅里叶级数，我们就有了一个具有平移不变性的函数。模函数则在一个大得多的群的作用下保持不变，通常是整数矩阵群 SL₂(ℤ) 的某个子群。

具体来说，我们考虑一个复变量函数，通常定义在上半平面，要求 f(z) 与 f((az + b)/(cz + d)) 相同；更一般地，也可以相差一个 cz + d 的幂次因子。这些模函数在十九世纪就得到了广泛研究，而它们掌握着这里的算术问题的关键。

也许最简单的解释方式是：SL₂(ℤ) 把 z 映为 (az + b)/(cz + d)，以此作用在上半平面 H 上。我们可以对这个作用取商，给商空间赋予一条曲线的结构。事实上，它自然地具有定义在有理数域上的曲线结构。

如果取 SL₂(ℤ) 的一个所谓同余子群，例如用 c 能被 N 整除这个条件来定义，就把相应的曲线称为 N 级模曲线。

模性猜想断言：对于有理数域上的每一条椭圆曲线，都存在某个整数 N，使它成为这样一条模曲线的商。这样，就用模曲线这种另外的对象，对椭圆曲线进行一致化。

乍一看，这似乎得不偿失，因为模曲线的亏格较高，更复杂。但它实际上拥有更多结构，因为它是一个模空间。

采访者：这是一个非常强大的工具。

怀尔斯：是的，非常强大。你有函数论，也有许多研究它的工具。

采访者：最早提出或暗示这一联系的年轻日本数学家谷山丰，当时的猜想是不是更模糊一些？

怀尔斯：是的，更模糊。他并没有把它准确地限定为在模群下不变的函数。我已经记不清他究竟提出了什么，只记得是在某种群的作用下保持不变，但忘了具体是哪一种群。总之，没有后来这么精确。

我想，最初的内容是用日文写的，所以传播范围可能没有本来可以达到的那么广。我记得，那只是一次会议之后用日文整理的笔记。

采访者：在当时，那是一个极其大胆的猜想，对吧？

怀尔斯：看来是的。

采访者：后来，它吸引了其他人的注意。您刚才讲到了格哈德·弗赖，他提出了将费马大定理与模性猜想联系起来的想法。

怀尔斯：弗赖说明，如果取费马方程的一个解 aᵖ + bᵖ = cᵖ，再构造椭圆曲线 y² = x(x − aᵖ)(x + bᵖ)，这条曲线的判别式就会呈现完全 p 次幂的性质。

如果假设模性猜想成立，再加上一项略强的假设，想一想这意味着什么，就会发现，它迫使我刚才提到的那个 N 等于 1。但 H 对 SL₂(ℤ) 取商得到的是一条亏格为零的曲线，它没有椭圆曲线商。所以，这样的椭圆曲线根本不存在，也就不可能存在费马方程的解。

七年的探索与证明中的缺口

采访者：这就是您自己那段故事的出发点。此后，塞尔和里贝特的工作使这种联系更加清楚。我来简要回顾一下接下来发生的事情，您已经讲过很多次，BBC 也做过专题节目。

您移居美国，先到哈佛，再到普林斯顿，并在那里成为教授。里贝特的结果发表以后，如果我理解得没错，您开始把全部研究时间用于真正尝试证明半稳定椭圆曲线的模性猜想。

接下来，是七年极为艰苦的独立研究。与此同时，您仍在普林斯顿担任教授，还要抚养年幼的孩子。到了 1993 年，证明似乎已经完成。您回到英国，在剑桥的艾萨克·牛顿研究所连续做了三场报告，研究由此达到高潮。数学同行纷纷向您祝贺，甚至全世界的媒体也关注起这个结果，这在数学界十分罕见。

但随后，一家享有盛誉的期刊安排了六位审稿人仔细审查，结果发现其中一个论证有一个细微的缺口。您不得不重新回到书桌前。接着，又经历了十四个月艰难、沮丧，有时甚至异常艰苦的工作，堪称一场英勇的奋战。

终于，在突然闪现的灵感中，您发现可以把一些早先的尝试与新的结果结合起来，绕过那个问题。而这恰好足以证明所需的那一部分模性猜想，从而包含费马大定理。

那一定让您如释重负。对于这段故事，您有什么评论或补充吗？

怀尔斯：就我自己的工作来说，当我跟科茨一起研究、成为职业数学家时，我意识到，真的必须停止研究费马问题。它太耗时间，而且我看到，过去一百年几乎没有取得进展。其他人，甚至一些非常杰出的数学家，也在这个问题上受挫。

弗赖的结果出现时，我还有点怀疑，猜想中属于塞尔的那一部分是否真的成立。但当里贝特证明它以后，我就想：好，就是它了。

这确实是一场漫长而艰难的奋斗。某种意义上，把所有其他事情都排除在外，只研究一个问题，是有些不负责任的。但我往往就是这样做事的。

而且，这一次我觉得，费马问题本身虽然很狭窄，只是一个方程，解决它也许能帮助别的问题，也许不能，但模性猜想所处的背景，却是数论中最重大的问题之一。无论如何，这都是值得研究的好问题，所以，这是一个极其难得的机会。

研究这样的东西，需要很多年才能真正形成直觉：你需要什么，解答会依赖什么。这个过程有点像，把所有不能用、行不通的东西都一一排除，直到你的心思极为集中。即使犯了错误，由于已经看得足够多，也能找到另一条通向终点的路。

有趣的是，对于那个出错的论证，人们后来继续研究，而且就在不久前，实际上已经证明，能够构造非常类似的论证。在所有邻近的情形里，这种方法似乎都有效，唯独在那一个情形中不奏效，而且还没有真正的解释。

也就是说，我当时尝试使用的欧拉系统等方法，如今已经能在周边各种情形下奏效，唯独我需要的那一个不行。这实在非同寻常。

采访者：难怪最初没有注意到它。您曾把寻找模性定理证明的过程，比作走进一座大宅。能描述一下那种感觉吗？

在黑暗中找到算术的入口

怀尔斯：当你着手这样一个问题时，你并不是只想去掉别人定理中的一个条件，或者把某个已有结果推广一下。我开始时，真的是两眼一抹黑。我事先并不知道模性猜想会如何成立，也不知道该怎样接近它。

这个问题的困难之一，与黎曼猜想有些相像，也许在这里表现得更明显：你甚至不知道答案会来自数学的哪一个分支。

这个问题有三种表述方式，一种是几何的，一种是算术的，一种是分析的。也有分析学家在努力解决它，而他们的技术，我可能完全不懂。

我想，我多少有些幸运，因为我的本能是走算术路线，所以我直接走了这条路。但我本来完全可能选错。此前，模性猜想唯一已知成立的情形，是具有复乘的情形，而那个证明是分析的，完全是分析的。

一部分是出于必要，一部分因为这是我熟悉的东西，可以立即动手，我直接采用了算术方法。我发现，用自己研究岩泽理论时的思路来考虑它，非常有用。

跟约翰·科茨一起时，我们把岩泽理论应用到椭圆曲线上，这是他的想法。后来到了哈佛，我学习了马祖尔的工作。他使用许多现代工具，研究模曲线的几何。其中某些思想和技术，我可以借鉴。过了一段时间，我意识到，确实可以利用这些东西起步，找到进入这个问题的某种入口。

采访者：在开始研究模性定理之前，您与巴里·马祖尔合作发表过一篇论文，证明岩泽理论的主猜想。在那个工作中，您研究的是有理数域的情形，对吗？

怀尔斯：是的，和他合作的是有理数域的情形。之后，我又独自把它推广到全实数域。

采访者：所以，当您开始研究模性猜想时，这变得非常有用？

怀尔斯：是的，它给了我一个起点。当时并不明显，但想了一阵子，我意识到，也许可以从那里开始。

采访者：您还把这个结果推广到了实数域？

怀尔斯：是的，那是之前做的。不过，让我说准确一点：推广到全实数域的工作，我基本上已经完成了。但开始研究模性猜想以后，我意识到自己会需要相当长的时间，而且不会发表太多东西，因此，这些岩泽理论结果的发表进度就放慢了一些。也算是稍微掩盖了一下自己的踪迹。

采访者：您掩盖了自己的踪迹，让别人……

怀尔斯：倒不是为了瞒着别人，而是因为我获得大学和资助基金会的支持，他们期待的是成果，而不只是尝试。如果我把所有东西一下子都发表了……

此外，要让我从模性问题上分心，去把这些成果整理完、准备发表，也确实很难。所以，那些工作大部分其实早已做完了。

与阿贝尔的平行故事

采访者：我想读一段话给您听：“四周的堡垒已经筑起，但问题仍蜷守在最后的据点，拼命抵抗。谁会是那位幸运的天才，率领进攻，或者迫使它投降？”

怀尔斯：我猜，这一定是 E. T. 贝尔写的吧？

采访者：不是。它出自让–艾蒂安·蒙蒂克拉的《数学史》，写于十八世纪后期，是历史上第一部数学史著作。这段话讨论的是一般五次方程能否求解，也就是能否用根式求解的问题。阿贝尔二十一岁时，就在奥斯陆证明了它。

怀尔斯：就在这里，奥斯陆。

采访者：是的。就数学交流而言，他几乎完全独自工作。这个问题令他着迷，他深深钻了进去，而且一开始也走错了路。他曾以为自己已经证明，一般五次方程可以用根式求解。后来，他发现了错误，最终找到了不可解性的证明。

那是一个已经存在近三百年的著名难题。现在快进两百年，同样的那段话，也可以用来形容费马问题。这个问题存在了三百五十年，最后由您解决。两个故事在很多方面十分相似。您怎么看？

怀尔斯：是的，某种意义上，我确实觉得，阿贝尔以及后来的伽罗瓦，标志着代数的一次转变：从可以用相当简单的方式求解的方程，走向不能用根式求解的方程。一般五次方程形成了代数上的一道分界。

在某些方面，数论如今的整体趋势也是一种转变，从基本上是阿贝尔扩张，或者至多是可解扩张，走向不可解扩张。我们如何研究不可解扩张的算术？

我认为，模性猜想之所以得到解决，就是因为我们已经从最初的阿贝尔情形进入非阿贝尔情形，并发展出模性等非阿贝尔工具。

所以，他在代数中经历的转变，也正在数论中发生。而正是数论中的这种转变，为求解这个方程提供了工具。我觉得，两者确实非常相似。

采访者：还有一个很有意味的故事。阿贝尔二十一岁时去哥本哈根，拜访当时斯堪的纳维亚最重要的数学家德根教授。他给自己在奥斯陆的导师霍姆博写了一封信，里面陈述了三个与费马大定理有关的定理，其中一个其实并不容易证明，但他没有给出证明。今天看来，那些结果只是历史上的一个小插曲，因为那条路最终并没有通向解答。

可是在同一封信里，他还说，自己非常苦恼：他试图把双纽线的一段弧分成 n 等份，却得到了一个 n² 次方程。他不明白，为什么是 n² 次？明明只有 n 个分点，应该是 n 次才对。

当然，原因就在于双周期性。回到奥斯陆以后，他意识到了这一点，把问题反过来考虑，从而发现了椭圆函数。

如果回头看，他直接针对费马问题所做的工作，最终没有成为解题的关键；反而是椭圆函数的研究，后来成了工具。当然，阿贝尔根本不知道，这会与算术发生联系。这个故事说明，数学会以神秘的方式发展。

怀尔斯：确实如此。

灵感之前，需要怎样的工作？

采访者：根据您的经验，能否谈谈我们刚才提到的那种相互作用：一方面，是在书桌前长期、艰苦而坚持不懈的工作；另一方面，却又会在比较放松的时候，突然出现一道灵感。它似乎很难解释，但显然表明，在您放下笔以后，潜意识还在继续工作。

怀尔斯：我想，你需要到达这样一种状态：对某个理论，也许不止一个理论，都熟悉到了极点。你考察过每一个角度，试过许多不同的路线。

就像连接五个点。如果它们彼此相隔很远，你就连不起来；如果只差一步，连接几乎会自动完成。你已经发展出那样的直觉，对这些对象理解得那么深，以至于能够看出，它们究竟应该在哪里拼接起来。

最后那一点领悟，并不是通过有意识的理性推演一步步想出来的。在准备阶段，你需要投入极其庞大的工作量，理解所有细节，也许还要研究一些例子。

等这一切都建立起来后，你让大脑放松下来。也许暂时离开，做一点别的事情，然后回来，突然就全都明白了：我之前怎么没这么做？大脑似乎就有这种能力。

我记得一个很小的、与数学无关的例子。有人给我看过一段文字，是一种哥特字体，我完全看不懂。我努力辨认其中几个字母，后来放弃了。半小时后再回来，我却能够读懂整段文字。

大脑不知怎么就替你做到了这件事。我们并不完全知道它如何发生，但我们知道，要做哪些事情，才能为它的发生创造条件。

采访者：这让我想起另一个阿贝尔的故事。他到柏林时，与几位不是数学家的挪威朋友住在一起。其中一个朋友说，阿贝尔常常半夜醒来，点起蜡烛，把醒来时想到的主意写下来。显然，他的大脑还在工作。

怀尔斯：我也会这样，不过，如果是醒来时已经带着那个主意，我并不觉得必须马上写下来，因为我知道自己不会忘。

让我害怕的是，临睡前突然有了一个想法，却担心一觉醒来就忘了。这时，我就一定要把它写下来。

采访者：那么，归根结底，您思考时主要想的是公式、几何图像，还是别的东西？它在您脑海中是什么形态？

怀尔斯：不太是几何图像。我想，更多是模式，是我在别处见过的情形，与眼前问题之间的相似关系。

或者，我会想：在一个理想的世界里，这些东西究竟指向什么？这个证明应当包含哪些要素？我手里还有什么尚未用上的东西？

有时也只是绝望。我把手头的每一条证据都摆出来：我只有这些，只能靠它们，没有别的了。

我常常觉得，做数学有点像一只松鼠，受到追赶；或者说，有一些坚果藏在一棵很高的树顶上。但眼前有好几棵树，你不知道是哪一棵。

你爬上一棵，心想，不，这棵看起来不对，于是下来，再爬另一棵。你一辈子都在这些树上爬上爬下，却每次只爬到三十英尺高。

假如有人告诉你，其他树上都没有，只剩下一棵，那么你就会一直向上爬，最后找到它。

所以，从某种意义上说，排除错误的方向极其重要。如果你相信自己的直觉，坚持留在那一棵树上，就会找到它。

好问题是数学的命脉

采访者：我们再谈一个更普遍的数学问题。费利克斯·克莱因说过，数学的发展，来自用新的方法和洞见重新理解、照亮旧的结果，新的问题也会由此自然产生。希尔伯特也说过类似“好问题是数学的命脉”的话。您赞同这些看法吗？

怀尔斯：我当然赞同希尔伯特。是的，好问题是数学的命脉。我想，在我们这个时代，这一点看得很清楚。对我而言，最明显的是模性猜想，但还有整个朗兰兹纲领、伯奇–斯维讷通–戴尔猜想。这些问题，让我们非常清楚地知道应该努力实现什么。

还有韦伊猜想，涉及有限域上的曲线，进而涉及有限域上的代数簇。这些问题能够让人集中思想，也使数学中的目标变得清晰。否则，我们很容易分散到许多方向，不知道什么有价值，什么没有价值。

采访者：今天，我们还有像希尔伯特提出那些问题时一样好的问题吗？

怀尔斯：我认为有。在我能够理解的问题中，黎曼猜想是最伟大的一个。有时，很难准确说明为什么，但我确实相信这一点。我认为，解决它，也会帮助解决其他一些问题。

当然，我个人对伯奇–斯维讷通–戴尔猜想有着特别深的感情。

采访者：当然。不过，直觉也会让我们失望。希尔伯特以为，黎曼猜想会在他有生之年得到解决；另一个他以为有生之年看不到解答的问题，却被格尔丰德解决了。所以，我们的直觉也会出错。

怀尔斯：是的。我并不奇怪他会那么想。人们确实觉得，黎曼猜想的陈述如此清楚，而且我们在函数域上已经有相应的结果，也多少理解它在那里为什么成立。我们应该能够把它转移过来。

采访者：当然，已经有很多人试过，也失败了。

怀尔斯：是的。不过，就我自己而言，我仍然预期，它会比伯奇–斯维讷通–戴尔猜想更早得到解决。

数学之外的兴趣

采访者：除了数学，您对其他科学感兴趣吗？

怀尔斯：算是有些兴趣。但那些是我用来放松的事情，所以我不希望它们与数学太接近，也不打算投入大量时间。

比如动物行为，或者从定性角度谈天体物理，我当然喜欢读。机器能够做些什么，这类科普内容，我也愿意看。

但我不会花时间去学习弦论的细节，那就太多了。我太专注于自己的方向，不愿意这样分散精力。不是说我不会感兴趣，只是，这是我的选择。

采访者：非常感谢您接受这次精彩的访谈。我们首先代表自己，也代表挪威数学会、丹麦数学会以及欧洲数学会，向您表示感谢。

怀尔斯：谢谢。

基本信息

• 受访者：安德鲁·怀尔斯（Sir Andrew J. Wiles），2016 年阿贝尔奖得主。
• 采访者：马丁·劳森（Martin Raussen）、克里斯蒂安·斯考（Christian Skau）。
• 访谈时间与地点：2016 年 5 月 23 日，挪威奥斯陆。
• 视频标题：Andrew Wiles - The Abel Prize interview 2016。
• 视频发布：The Abel Prize；2017 年 5 月 11 日。
• 视频制作：UniMedia。
• 语言：英语；本文为中文译文。
• 原视频：The Abel Prize 官方访谈。
• 相关文字版：欧洲数学会访谈原文；《美国数学会通报》刊载版。