AI 时代，纯数学研究的未来是什么？

摘要

人工智能能够把大量数学知识连接起来，也能够辅助计算、寻找证明与反例。但在沃尔夫勒姆看来，纯数学并不等同于机械地生成定理：它需要适合有限人类心智的概念、叙事和共同语言。本文从计算不可约性与元数学出发，讨论自动形式化的风险、高层计算语言的机会，以及提出问题、选择目标和创造数学文化为何仍是人的核心工作。

配套讲读与问答：《AI 时代，纯数学研究的未来是什么？——沃尔夫勒姆讲读与问答》

头条新闻与历史
现代 AI 的价值
数学究竟是什么？
用 AI 生成数学
形式化的力量与挑战
一种面向纯数学的新高级语言
自动定理证明
数学中的问题求解
开放式数学探索
新的数学概念
数学的目标
数学的审美
为什么还要做纯数学？
延伸阅读
作者附记
基本信息

头条新闻与历史

这样的头条接连不断：某个 AI 系统解决了某个数学问题。我也越来越常听到有人说：也许我们已经不需要人来做数学研究了；也许应该把这一切都交给越来越强大的 AI。

我得承认，对于其中一些说法，我已经有点不耐烦了。因为在我看来，这些说法往往从根本上误解了数学究竟是在做什么。坦率地说，它们也误解了 AI 是怎么回事。

我之所以这样看，也许与一段独特的个人经历有关。毕竟，早在 1988 年，我们首次推出 Mathematica 时，就出现过类似的议论，说数学将被机器接管，变得毫无意义。当然，后来的发展完全不是这样。Mathematica，也就是如今的 Wolfram Language，反而提高了人们能够开展数学工作的层次，并在这些年里促成了各种重要的新数学。

如果有人认为，做数学的实质就是求符号积分，那么，没错，Mathematica 基本上已经把这件事替代了。但尽管许多数学应用都需要这类问题求解，它却不是数学本身在其纯粹形态下的核心。

纯数学是一项古老的事业，与文明史有着至关重要的联系。从柏拉图和欧几里得的时代起，纯数学就是一个典范：抽象而理性的思考，能够在这里建起一座不断扩展的结构。几个世纪以来，它已成为我们文明所建造的规模最宏大的单一思想大厦。

这座大厦也并非没有弊病和局限。即使在它的建造者中，对于什么重要、应该怎样做，也存在种种误解。数学的根本目标，是不择手段地给出证明吗？数学的价值，最终总要由它的应用来证明吗？是否存在某一本必然如此的“正确答案之书”，而数学的目标就是把它发现出来？

我想，在这些问题上，我也有一些个人经历。基础科学研究促使我追问许多事物的根基，其中也包括数学。因此，我研究过这样一些问题：所有可能的数学所构成的空间是什么样的？由全部定理组成的网络，其极限结构可能是什么？尤其是，在界定我们称为“数学”的这个事物时，人类究竟扮演了什么角色？

现代 AI 的价值

稍后我们会讨论纯数学的一般特征和价值。在此之前，先来看眼下的问题：现代 AI 的作用。

首先要说的是，它无疑很有用，有时甚至非常有用。对我而言，它在数学探索中最大的用处，是能够按主题挖掘人类数学的知识库。早在 20 世纪 70 年代，能够对科学文献进行关键词检索，就对我的许多研究起到了关键作用。而现在，有了现代 AI，人们能做的事情多得多。因为在那些大语言模型内部的某个地方，以一种我们在科学上尚未理解的方式，存在着某种表征，容纳了从数百万篇数学论文和数学书籍中提炼出的基本想法。

在表现最好的时候，AI 不只是检索信息，还能建立联系：看出这里的一个结果可以与那里的另一个结果拼接起来，得出一个令人意外而又有用的结论。人类也经常这样做。但人类通常只读过几百篇论文；AI 则相当于读过数百万篇，而且可以用很低的成本尝试大量可能的组合。

那么，我们能否指望把一个 AI 放出去，让它带着出色的数学成果回来？正如后文将讨论的，出色的数学，最主要的标志是它提出了什么问题。的确，AI 可以成功地把过去通常必须由人亲手完成的工作自动化。但我们后面也会谈到，纯数学的核心，是引导我们决定该问什么问题的人类想象力。

值得弄清楚的是，现代 AI 所做的事，与纯粹的计算所做的事，有什么区别。现代 AI 首先是一种利用现有人类知识总库的方式。计算在最强大的意义上，则是一种开放式的方法，能够生成从根本上、以不可化约的方式崭新的事物。从某条规则或某个公理出发，不断运行应用它的计算，我一直最钟爱的计算不可约性现象便能保证：你会不断得到全新的结果，而要抵达这些结果，除了执行所有那些计算步骤，别无他途。

（对于还不熟悉这个概念的读者：计算不可约性是我在 20 世纪 80 年代提出的一个想法，用来表达这样一个事实：许多计算过程，即使由简单规则定义，也不存在通用的捷径；要确定它们的结果，唯一的办法就是逐步实际运行。事实证明，这种现象在所有可能程序构成的计算宇宙中相当普遍，并且与科学许多领域以及哲学等领域中的一长串基础问题相联系。）

所以，即使与 AI 毫无关系，计算也能生成无穷无尽的新定理，代表着无穷无尽的新事实，等等。这些定理中会有各式各样的“原创性”，实际上也会有各种“惊喜”。但这里有个问题。在某种意义上，这些定理不过是“从计算宇宙中摘取的结果”。因此，它们当然属于新兴的规则学领域。我为这个领域投入了大量精力，也认为它十分重要。但这些结果算是数学吗？

数学究竟是什么？

当然，这取决于数学究竟是什么，而这恰恰是我们需要弄清的。早期历史中，数学被视为一种对世界作出精确、形式化陈述的方式，例如关于算术或几何的陈述。但到了 19 世纪后期，数学已达到更高的抽象层次，不再依附于我们所经验的世界的特征。与此同时，一种日益形式主义的观点席卷数学界：归根结底，数学无非是从某些公理，例如集合论公理，能够“机械地”，也就是通过计算推导出的定理的集合。

哥德尔定理给这幅图景造成了一点冲击。不过，即使在今天，如果一定要他们给出定义，许多数学家仍会试图把数学定义为：对某些选定公理的推论进行形式化研究。尽管他们可能这样说，这却不能很好地描述他们实际所做的工作。真正的纯数学研究，绝大多数并不在公理和机械推导的层面展开。它是在高得多的层面上，构建并研究抽象结构及其相互关系。

这样的研究居然能够成立，并不是显而易见的。数学中要得到正确答案，原本可能只有一种办法：在最底层操作，例如直接从公理出发。但纯数学有一个至关重要、尽管通常不言明的特点：在实践中，人们可以在毕达哥拉斯定理这样的层面上推理，而不必不断深入底层，去讨论诸如实数的公理化定义。我最近提出，这之所以成立，与我们在物理学中能够成功运用流体力学、而不必总是深入追踪每个分子的碰撞，大体出于同样的原因。

流体归根结底是由那些分子组成的。但关键在于，像我们这样的观察者，通常只在更贴近人类理解的层面上对它取样，例如观察流体的整体运动。数学也是如此。人类数学家通常只通过整体、集体性的方式，以“人类层面”的结构和概念，对底层公理推导构成的庞大元数学网络取样。

说到底，数学和物理学中的情形似乎非常相似。在最底层，一切都充满计算不可约性，以至于只有机械地走过每一个计算步骤，才能弄清结果。但在这样的计算不可约性之中，总会存在计算可约性区域，使我们能够以“更高层次”的方式“跳到前面”。我们的物理定律，以及我们人类层面的数学，正存在于这些计算可约性区域之中。

我们可以把物理学，乃至整个自然科学，看成这样一种努力：面对自然世界的复杂性，找出其中能够用有限的人类心智能够容纳的叙事来描述的方面。我们也可以用非常相似的方式看待数学：面对元数学世界的复杂性，找出其中能够用有限的人类心智所能容纳的叙事来描述的方面，只不过这里的叙事是数学叙事。

换言之，在某种层面上，推进纯数学，与其说是在某个原始的元数学前沿不断开疆拓土，不如说是在寻找人类能够用来表述那里已有事物的方式。

人类数学的历史，一个鲜明特点就是不断建造更高的概念之塔，以承载越来越高的抽象程度。人们可能会以为，这个过程最终必然会以某种方式“揭示全部数学”。但事情要复杂得多。可以设想，在终极极限下，我们从所有可能的公理系统出发，生成所有可能的定理。这样得到的是一个独一无二的对象，我称之为规则复合体（ruliad），它对应于所有可能计算过程相互纠缠的极限。但问题在于，像我们这样有限的心智，只能感知规则复合体中极其微小的一部分。这意味着，我们不可能拥有“绝对的数学”，只能拥有基于我们对规则复合体取样方式的数学。

我在别处论述过，这种取样的某些方面，是由我们作为规则复合体观察者的一般特征必然决定的。由此会产生某些“数学的一般定律”，例如，更高层次的数学竟然是可能的，至少对于我们这样的观察者而言如此。但取样的另一些方面，则可以看作历史的偶然：数学共同体选择了探索某个方向，而不是另一个方向。这里同样重要的是，要认识到我们不可避免地必须作出这样的选择。

从某种意义上说，规则复合体太大了，事情不可能是别的样子：有限的心智无法遍及所有方向，因此我们只能选择其中一些。随后，还必须用某个有限的概念集合来概括我们的发现，再用这些概念构建数学叙事。

这与人类语言非常相似。我们从所有可能性中选出某些概念，用词语等方式来表示。借助这些概念，我们把思想“封装”起来，从而能够用有限的方式传达它们，并把它们容纳在自己的心智中。

在原始计算的层面上，开展一种相当于数学规则学的研究，从公理出发大量生成前所未见的新定理，并不困难。但以压倒性的概率，这只会把我们带向“异类数学”：它无法与我们熟悉的数学建立有用的联系，甚至无法与任何我们能够视为高层概念的东西建立这样的联系。

用 AI 生成数学

好吧，假设我们使用现代 AI。它难道不能直接处理更高层次的数学概念吗？大语言模型当然能够处理人类语言。事实上，正如它们能够成功学习人类语言中词语组合的一般模式，也能够学习数学中各种构造组合起来的一般模式。

但生成有用的数学，比生成语言要求严格得多。写出来的故事很难说真有什么“对错”；写出来的数学却完全可能是错的。当然，如果大语言模型能像人类一样调用 Wolfram Language，可靠地进行计算，那会大有帮助。（没错，每个人都应该花上几秒钟，把自己的 AI 接入我们的 Wolfram MCP 系统！）但一项严肃的数学研究，通常需要拼合许多部分，完成论证中的许多步骤，等等。问题在于，大语言模型的工作方式本质上是统计性的；随着事情越来越复杂，它正确完成这些工作的可能性必然越来越低。于是，试图找出大语言模型碰巧做对的情形，可能会变成某种游戏。

但我们究竟怎么判断它做得对不对呢？当今有一件令人沮丧的事：像我这样的人，每天都会收到许多 AI 生成的文档。它们具有数学论文的“统计纹理”，但至少依我们的预期，实质内容正确的概率极低。（可以想见，这些文档大多出自自己并不太懂数学、只是让 AI 替他们“做数学”的人。）所以，没错，大语言模型确实能够在人类层面的数学概念上工作，但它也带着那些同样影响人类思维的不确定性和不精确性。

形式化的力量与挑战

那么，把这些人类层面的构造转化为精确、形式化的东西，转化为更接近公理层面的东西，会怎么样呢？这类问题，我已经思考了几十年。最近，自动形式化的想法引起了相当大的热情：把“人类层面的数学”自动转化为形式化、公理化的表述，例如可以交由证明助手系统验证的表述。乍听之下，这是个好主意。但问题来了：证明助手确实可能验证了一个证明，可它证明的，真的是你以为它在证明的东西吗？薄弱环节在于，如何确保人类层面数学的形式化结果，准确表达了你原本想表达的意思。

这样的经历我已经有过不少次：我试着把某个东西自动形式化，AI 会告诉我：“完成了；看，证明通过检验了！”但实际上，它在某种意义上作弊了：它没有形式化我的本意，而是找了一种方式，有时是非常古怪、迂回的方式，来解释我的要求，以便自己能够成功证明它。然而，要看出它做了这种事往往非常困难，尤其因为形式化后的版本，例如流行证明助手系统所使用的表达，通常非常底层、非常冗长，也非常难以让我们人类理解。

那该怎么办？我认为，确实有一个很好的办法，其核心建立在我们长期以来为 Wolfram Language 发展起来的思想与技术之塔上。Wolfram Language 一直以来的目标，是创造一种语言，或者说一种记法，能够用精确的计算术语表示我们人类所思考的事物。它不像编程语言那样，只表示计算机中的底层构造和操作；它的基础，是表示世界中真实的事物，以及我们实际思考的概念。而且，它不只是一种告诉计算机该做什么的方式；它有点像数学记法的一种极大推广，是一种人们能够阅读、并用来思考的语言。

过去几年里，一种强大而通用的工作流程逐渐形成：告诉 AI 你想要什么，然后让 AI 编写 Wolfram Language，精确表达它对你意图的理解。如果做得恰当，这种表达应该是你作为人类能够理解的，随后也就可以按需检查和修改。

一种面向纯数学的新高级语言

过去四十年，我们持续扩展 Wolfram Language，使之涵盖众多领域，其中包括今天可被视为“可应用数学”的大部分内容。事实上，Wolfram Language 的能力已经在纯数学研究中证明了自己的巨大价值。但在过去，尽管十多年前我们也曾作出努力，我们始终没能充分论证，专门为纯数学研究开发广泛功能是值得投入的。不过，一方面得益于 Wolfram Language 平台的整体进步，另一方面得益于 AI 带来的开发成本与效益的变化，我们正在开展一项大规模工作，扩展 Wolfram Language 的设计，让它涵盖纯数学研究中的各种构造，从层、李群到克利福德代数。

我们的目标，是运用计算语言设计的方法和长期经验，让纯数学能够广泛地以计算形式表达和处理，而且能同时供人类和 AI 使用。这样，我们终于可以期待这样的论文：每一条数学陈述之下，都有一个精确、无歧义的计算版本，人们能够系统地执行它，并用计算方式处理它。

与此同时，我们也将为自动形式化提供一个真正的目标语言，实际上就是人类数学、AI 与计算的交汇点。假设我们已经用扩展到纯数学领域的 Wolfram Language，对一条陈述作出了人能够理解的形式化表达。在实际工作中，我们往往希望由此计算出某个结果。但有时，沿袭纯数学的传统，我们只是想抽象地证明它。

自动定理证明

那么，这件事能自动完成吗？我们确实有自动定理证明，例如 Wolfram Language 就内置了许多类型的自动定理证明功能。有时，自动定理证明实际上是隐式的，比如“Solve 表明这个多项式没有实根”。有时，它可以更加显式，例如 FindEquationalProof，会给出证明中所有步骤的精确符号表示，而且很容易验证。

人们可能会以为，这对纯数学来说应该是一种用途广泛、威力强大的工具。但至少在过去几十年里，事实并非如此。很大一部分原因在于，典型的研究级纯数学很难被分解到足够细粒度的公理层面，以便适用这些方法。另一个原因则是，由于计算不可约性和不可判定性的存在，证明可能长得根本无法企及。

事实上，我认为可以这样说：在自动定理证明的整个历史中，真正通过自动定理证明首次发现、此前并未被认为成立，而且至少可以合理地视为真正数学成果的例子，实际上只有一个。那就是我在 2000 年做的一项工作：寻找布尔代数的最小公理系统。但这里还有另一个问题：找到的证明非常长、非常底层，也非常陌生。过去 26 年间，无论借助 AI 还是其他手段，始终未能找到任何人类层面的证明版本。就目前我们所能判断的而言，它仿佛是元数学宇宙中一个孤立伸出的分支，与现有的人类层面数学概念并不相连。

当然，我们可以直接使用这个证明的结果，把它当作一块“黑箱数学”。但如果我们的数学目标，是提供人类层面的数学叙事，那么这里就留下了叙事的缺口。

再换一种情形：你拿来一个数学文献中已有的证明，用某种方式将它形式化，不论是借助 AI，还是由人直接完成。如果这是个复杂的证明，那当然是一项成就。如果你能确定，自己形式化的确实是应该形式化的东西，那么这也是检查该证明是否真的正确的一种好办法。但不应该指望由此获得新的理解，或挖掘出新的可复用组成部分。随后，还有实际数学内容的问题。没错，一个形式化的结果已经确立了，但它到底使用了什么底层公理系统？而答案很可能最终并不是像集合论这样熟悉的东西。

（值得一提的是，形式化证明本身也可以成为研究对象。例如，对于一个给定定理，如果有许多个证明，就可以开始研究证明空间的几何与拓扑。而如果有许多定理的证明，就可以开展“经验元数学”，理解它们之间的根本关系。）

数学中的问题求解

正如后文将讨论的，纯数学中许多最重要的进展，都来自新概念和新结构的发明，它们往往凝结在新的定义中。但即便只运用现有概念和现有结构，仍有大量工作可做。有时，目标是“算出一个答案”；有时是“找到一个证明”；有时是“找到一个例子或反例”；有时则是“弄清什么是真的”。所有这些情形，都有许多强大的算法计算工具可供使用，例如 Wolfram Language 中的工具，往往能非常直接、迅速地得到结果。

AI 当然可以利用这样的计算，例如通过 Wolfram MCP。但现代 AI 自身又能直接作出什么贡献呢？我们可以设想，就像与聊天机器人对话那样，直接要求它生成结果。很多时候，它确实会给出一个结果。但我们如何判断结果是否正确？有时，唯一的办法实际上就是像前面讨论的那样，把得到结果的整个过程形式化。但有时，我们只需拿到这个结果，对它进行计算，就能检查它是否正确。例如，如果 AI 声称求出了一个积分，我们只需对它给出的解求导，看看能否得到与被积函数等价的表达式。或者，如果 AI 给出了某个命题的反例，我们只需通过计算，检查它究竟是不是真正的反例。

当大语言模型给出一个结果时，它的“内部究竟发生了什么”，我们了解得还不多。不过，把这个过程理解为：将它训练时读过的数百万篇数学论文中经过消化的片段拼接起来，大概是一个不错的模型。但最终，它所做的事情，在算法上可能其实相当简单。AI 的优势在于覆盖面极广。根据我的经验，常常会发现，它给出的东西，只要恰好找对了地方，就会显得相当简单，甚至显而易见。但一旦找到，就可以把它实现为一段纯粹的计算，例如用 Wolfram Language 实现，而不再需要任何 AI 参与。

人类做数学、解决问题时，运用直觉通常是其中一个重要环节。但直觉究竟是什么？在某种层面上，它似乎是一种“我知道接下来会怎样”的过程性模式匹配。而说到直觉，我的直觉是，至少在基本形态上，这种能力并非大语言模型从根本上无法企及的。

但有一个难点：即使问题是用现有数学概念表述的，要解决它，也常常必须“跳出系统”，发明新的概念。一个经典例子是，为了求三次方程的解，即使只求实数解，也需要复数。在某种层面上，这又是计算不可约性的一种体现，显示了它如何限制任何给定的计算可约性区域。而它带来的结果是，看似“纯粹的问题求解”，实际上也常常不得不涉及新概念和新结构的发明。

开放式数学探索

那么，所谓开放式数学探索又如何呢？在规则学中，直接走进计算宇宙，“寻找有趣的东西”，是很常见的做法。传统数学却不常这样做。当然，原则上完全可以设想，基于某组公理，系统地枚举可能的定理，然后问：哪些是“有趣的”？更具体地说，可以问：“如果要写一本书或一篇论文，其中哪些定理会值得提到？”

多年前，我考察过一个很简单的情形：布尔代数中可能出现的定理。通过经验研究，我发现有一个判据，能够辨认出哪些定理通常会在逻辑学教科书中获得名称。基本上，把所有可能的定理按字典序排列后，那些无法由列表中更早的定理证明出来的定理，就属于这一类。或者说，它们在某种意义上是能够“提供新信息”的最简单定理。

对于更复杂的情形，可以设想，一个见过数百万个人类选择发表在数学文献中的定理示例的 AI，也许能够模仿人类判断“有趣”的标准。但根据我的经验，这其实行不通。我认为，原因在于，除了最简单的情形，是否有趣并不能逐条定理地判定；它要求我们梳理某个数学领域发展的完整历史。这样一来，我们也就可以进一步问：这条发展轨迹的哪些方面具有某种必然性，哪些又只是历史的偶然？

我最近对生物进化提出过一个有些类似的问题。在那个领域，我发现似乎确实存在一些一般原理，而这些原理的根本性质是计算性的。例如，按照一个计算能力有限的适应度函数进行适应性演化，似乎通常会产生模块化结构，类似于细胞器、器官等等。这些结构并不“自带对自身是什么的解释”，但实际上，它们确实代表着“原始的计算可约性区域”。

在纯数学的发展中，识别新的结构和概念，显然是一件至关重要的事。历史上，这些结构和概念一直由人类引入，实际上也一直“带着解释一起出现”。但我们能否设想，比如由 AI 自动发现新的结构和概念？我们又能否用它们构建新的数学？

新的数学概念

事实证明，这两个问题在一定程度上是彼此分开的。至少在简单层面上，在神经网络中辨认出某些特定的激活模式，比如通过考察自编码器，并不是很困难。我们可以把这些模式看作对计算可约性区域的概括，或者说，实际上“表示着新的概念”。但如果数学的意义在于为我们建立数学叙事，那么这并不能立即派上用场。

没错，AI 实际上可以识别出海量的新概念。但我们人类的心智只能处理数量有限的概念。这与自然语言的情形非常相似。我们可以设想，AI 观察人类话语中的模式，想出海量的新词，用来概括这些模式。但我们人类似乎只能掌握数量有限的不同词语，通常是几万个。

那么，在数学中呢？原则上，AI 可以提出海量新数学概念的定义。但用这些概念建造出来的东西，必然会显得十分陌生，程度大致不亚于通过“规则学”方式，从原始的公理层面数学构建出来的东西。这些基本构件或许更接近“人类层面”，却并不为我们人类所熟悉，因此我们无法轻易地用它们来思考。

当然，人类语言会引入新词，数学也会引入新概念。但这是一个渐进的过程，在实践中往往需要某种“社会共识”。事实上，过去四十年在推进 Wolfram Language 的设计时，我一直明确限制引入新概念的速度，以确保人们能够跟得上。

数学的目标

好吧，“元数学宇宙中”存在着许许多多可能的新概念和新结构，它们都对应于计算可约性区域。但在发展适合我们人类的数学时，我们始终只能探索其中极小的一部分。

换句话说，数学的发展不可避免地必须选择前进的方向。它不可能真正有意义地“追寻所有可能性”。它必须有明确的目标。

但纯数学的目标从哪里来？在技术发展中，目标往往相当直接地由人们觉得什么有用来决定。在自然科学中，目标来自我们在自然界中观察到什么，以及具备什么工具来解释它。但在纯数学中，乍看之下，似乎没有如此明显的“外部”方式来界定目标，因此，数学做了什么，似乎更多取决于数学共同体及其领军人物的内部选择。

不过，如果我们回看人类数学的历史轨迹，至少可以看到一些明确的趋势。数学之旅始于对数与空间之类事物的基本形式化，而这些事物以某种方式反映着人类对世界的日常感知。尽管约一个世纪前，数学似乎一心想要“推广到所有可能性”，但过去一个世纪中，数学发展最强劲的路线，大多实际上仍然紧贴着人类能够直观理解和想象的东西。

数学往哪里走，仍有很大的自由。但要让它对我们人类有意义，无论作出什么选择，我们总得对它有一定的熟悉感。AI 当然可以随机选择一个方向，也许还可以参考观察到的人类现有选择的统计规律。但这样并不能给人类一个关心它的理由；它与我们实际的数学体验没有联系。

在更实际的层面上，做数学的一部分工作，是弄清如何实现已经设定的目标。这是我们可以想象由 AI 完成的事情。但归根结底，更重要的是最初设定目标。而几乎按照定义，这些目标必须来自“系统之外”。具体而言，就是来自我们。

有一个值得注意的现象：迄今为止，报道中 AI 在数学领域最显著的成功，往往来自一些最出色的人类数学家。在某种意义上，我们不该感到意外，因为设定目标，或者说知道该问什么问题，才是最重要、也最独特的部分。事实上，常常是一旦真正知道该问什么问题，回答这个问题的大部分工作就已经完成了。

那么，在实际中，纯数学的目标究竟从哪里来？通常有两个基本来源：一个相当于问题求解，另一个相当于创造性构建。问题求解在某种意义上更明确、更容易衡量，也更适合 AI。拿一个过去已经定义、并且人们已经研究了一段时间的问题，目标就是解决它。如果成功，就能清楚地宣告自己做成了一件事，例如“一个埃尔德什问题被解决了！”即使这有时看起来更像一项竞技成就，至于它最终有什么思想内涵，充其量也并不清楚。

数学的审美

另一种工作，可以称为“创造性构建”：为数学提出新的结构和新的概念。在某个终极的元数学层面上，这些结构和概念必然已经作为计算可约性区域“存在于那里”。于是，我们可以把目标理解为：辨认出其中某些特定的结构和概念，把它们纳入我们谈论数学时所使用的“词汇表”。

但在所有可能性中，我们想要哪些？可以想象各种判据，但它们大多归结为：创造能够最好地统一、概括并简化不同事物的抽象。这样说来，人们可能会觉得，这是一个可以通过 AI 等方式自动完成的目标。然而，其中有一个关键的复杂之处。我们可以设想，把表述起来更短的东西定义为“更简单”。但一件事表述起来有多长，取决于用什么语言表述它。所以，这里同样没有什么直接的绝对标准；它不可避免地依赖于一整段由相互关联的选择构成的历史。

人们常把这些选择称为审美选择。什么使一个结构更优雅、更完美，等等？归根结底，这些判断植根于人类的偏好和经验，并由我们可以称为人类主动性的东西加以拓展。但作出这些选择，真的需要人类吗？能否改用某种以现有人类选择为训练材料的生成式 AI？问题在于，要为数学创造真正有用的新构件，仅仅发明新的概念和结构还不够；还必须把它们织入数学文化之中。

这就像在人类语言中引入一个新词。要让这个词有用，它的含义必须被足够多的人知晓，才能在日常使用中代表某个特定概念。而传播这个含义，在某种层面上必然是一个社会过程。数学中的新概念和新结构也是如此。如果数学的意义在于为人类心智发展数学叙事，那么，概念和结构只有得到共享，才能成为有用的基本构件。这有点像典型自动证明中的一个问题：如果可以说，某个步骤来自“某某定理”，这就提供了某种概念上的锚点。但如果每一步在某种意义上都是专门定制的，最终得到的东西实际上就会显得十分陌生。

那么，这意味着 AI 在数学中处于什么位置？它与 AI 在许多其他领域的处境相似：恰当地定义一个目标，AI 就可以非常有帮助；没有目标，它便不知道往哪里去。以规则学的方式探索各种可能性，实际上也就是做实验数学，可以带来许多出人意料的新结果。但在某种意义上，这些结果“生来就是异质的”，并不会立即与我们通常所理解的数学相联系。

为什么还要做纯数学？

好吧，AI 可以帮助拓展我们称为纯数学的这项事业。但这仍然不可避免地需要人类的努力和主动性。那么，为什么要做它呢？

一个常见的论点是，它最终会对某些“实际”的事情有用。人们常有这样的看法：纯数学以某种方式先树起一些“灯塔”，科学和技术最终会抵达那里。但我认为，真实图景恰好反过来。我们创造的数学提供了思考方式。正因为有了这些思考方式，我们才最终创造出利用它们的科学和技术。不是数学中完成的工作与科学中发现的东西殊途同归，而是我们所知道的数学，引导了我们最终在科学中寻找什么。

有时，人们认为，科学中发现的事物在某种意义上是唯一且必然的。但从规则复合体的角度思考，我们就会意识到，实际上存在无穷多种不同的计算可约性切片，每一种都相当于界定了自己的一种科学视角。历史上一再出现的情形似乎是：首先发展出一种概念框架，它往往来自数学；只有在那之后，人们才意识到，有某种与之对应的规律可供考察，并由此看到通向某部分科学的道路。换言之，这不是纯数学与科学之间某种神秘的汇合；而是因为纯数学已经存在，相应的科学才得以发展。

在某种意义上，这让纯数学这项事业显得没那么像押注。我们并不是先做一部分纯数学，寄望于有朝一日能找到应用。相反，是做这部分纯数学的过程发展出一种思考方式，实际上也揭示了一个计算可约性区域，从而让我们有机会想出相应的应用。

一项纯数学成果有没有可能最终被证明“从根本上毫无用处”？在某种意义上，答案是否定的。因为只要一项纯数学工作成功完成，它就必然对应着某个计算可约性区域。而任何计算可约性区域，都与某些规律相联系，这些规律必然是某种科学和某种技术的“原材料”。

但问题在于，它们可能是非常异质的科学和技术形态，远远超出我们迄今考虑过的一切。并不是数学不能带来科学和技术，而是科学与技术的发展轨迹，也许尚未走到我们会关心它所带来之物的那一步。

早在古代，数学对我们思考方式的一项伟大贡献，就是演绎推理的思想。近代以来，围绕连续性、实数等，又出现了众多思想。随后，一百多年前，抽象函数的概念出现了，之后又有了计算的概念。一旦达到这一步，这个概念似乎几乎是显而易见的。但在历史上，为了抵达这里，人们建起了一座高得令人惊讶的抽象数学思想之塔。没错，计算的一般概念具有极大的实际意义。但正如我数十年来一直探索的，它对于我们思考事物的一般方式，也具有基础性的意义。

纯数学的一个显著特点，是它涉及某种结构化思维方式，而这种思维长期以来一直被视为教育中的重要内容。在某些方面，我认为计算，尤其是计算语言及其描述世界的方式，为学习结构化思维提供了另一条强有力的途径。但计算的基础研究比数学年轻得多，也更直接地受到计算不可约性的限制。因此，现代纯数学已经发展出一座高得多的结构化思维与形式化之塔；事实上，它比任何其他领域的思想之塔都更高。

学习这座塔中的知识，需要巨大的投入。很少有人真正走上去。走上去的人，动机也各不相同。对一些人而言，这是一种挑战；对另一些人而言，吸引他们的更多是“塔上的风景”。在某些方面，AI 提供的自动化让这种挑战不再那么诱人，不过，就像国际象棋等活动一样，纯粹的人类成就仍然可以带来满足感。但对于塔上风景而言，满足感来自人类的审美体验，这与自动化和 AI 几乎无关。

五百年前，数学挑战曾被组织成供人观看的竞技活动。今天，数学的挑战性已不太能吸引公众的兴趣。事实上，做数学的过程，通常根本不会向公众展示，只有通过以人物为中心的电影之类的形式，公众才能接触到极少的一部分。

（当然，人们也许会问，做数学是否有可能成为某种面向公众的娱乐。我可以报告，我自己就成功做过不少现场数学计算机实验。疫情期间，我还直播过大量时间的数理物理工作讨论，技术性非常强，却吸引了出乎意料的观看量。）

那么，把数学看作一种本质上属于审美的活动，又如何呢？的确，对于身在其中的人，它能够带来满足感，让精神世界更加丰富。但整个社会从中得到了什么？正如艺术中有极小一部分是公共艺术，我们也可以问，是否能有公共数学。偶尔会有面向公众的数学视觉作品或雕塑，也可能有体现数学的建筑或音乐。但现实地说，这些并不是处在纯数学之塔顶端那个层次的数学。

对于纯数学的高处，有一点值得理解：它以口头传统和人际联系链条传承的程度，高得令人惊讶。这或许部分是学术体制和学术出版结构造成的结果。但事实仍是，要让纯数学的火种延续，似乎需要一个由特定个人组成的共同体，持续而积极地从事这项工作，并交流它是如何开展的。换言之，即使他们个人的动机十分内在，他们的集体努力也具有长远的外部价值：让纯数学的进步能够延续下去。

有人也许会问，纯数学会不会在某个时刻以某种方式“完成”？对此，我们可以明确回答：不会。计算不可约性保证，总会有无穷无尽的数学事实，以及惊喜，等待被发现。也总会有无穷多个计算可约性区域，代表着新的数学概念和结构。

纯数学是我们文明所建造的规模最宏大的单一思想大厦。人类思想史上一些影响最深远的观念，例如形式化、抽象和计算，都从中诞生。在现代，纯数学有了一些加速器。实际可用的计算是一个，AI 是另一个。规则学式的实验数学又是一个，尽管它仍相当不成熟。我也愿意相信，我们正在构建的纯数学语言，尤其是在与 AI 结合之后，会成为又一个加速器。

纯数学的工作漫长而艰难，没错，这也是计算不可约性的结果。但几千年来，它对于我们文明在核心思想上的发展，一直有着极其重要的意义。毫无疑问，它还能带来更多。即使今天的议题早已被人遗忘，纯数学仍将作为人类成就的灯塔继续闪耀。因此，对于这项最为高深的人类事业，也就是纯数学研究，我们完全有理由期待一个光明的未来，而现在，AI 又为它添了一份助力。

作者附记

这篇文章中的一些想法，三十多年来，我一直与妻子 Elise Cawley 讨论；遗憾的是，她在本文写作前不久去世了。毫无疑问，她本会对这篇文章提出许多宝贵而敏锐的见解，而这些见解如今已永远失去了。

基本信息

作者：斯蒂芬·沃尔夫勒姆（Stephen Wolfram）
原文标题：What’s the Future for Pure Math Research in the Age of AI?
首发平台：Stephen Wolfram Writings
原文发布日期：2026 年 9 月 28 日
原始语言：英语
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DOI：10.31855/3c669ceb-f23
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