数学不止于严谨与证明
每个主要银河文明的历史都倾向于经历三个截然不同且可识别的阶段：生存阶段、探究阶段和精致阶段，也就是所谓的"如何"、“为何"和"何处"阶段。例如，第一阶段以"我们如何吃饭？“为特征，第二阶段以"我们为何吃饭？“为特征，第三阶段以"我们在哪里吃午餐？“为特征。
— 道格拉斯·亚当斯，《银河系漫游指南》
我们可以大致将数学教育分为三个阶段：
“前严谨"阶段
在这个阶段，数学以非正式、直观的方式教授，基于例子、模糊概念和粗略说明。（例如，微积分通常首先通过斜率、面积、变化率等概念引入。）重点更多在于计算而非理论。这个阶段通常持续到本科早期。
“严谨"阶段
在这个阶段，人们被教导要"正确"地做数学，需要以更加精确和形式化的方式工作和思考（例如，到处使用ε和δ重新学习微积分）。重点现在主要在理论上；人们期望能够舒适地操作抽象的数学对象，而不过多关注这些对象实际上"意味着"什么。这个阶段通常占据本科后期和研究生早期。
“后严谨"阶段
在这个阶段，人们已经对自己所选领域的所有严谨基础感到舒适，现在准备重新审视和完善自己在该主题上的前严谨直觉，但这次直觉得到了严谨理论的坚实支撑。（例如，在这个阶段，人们能够通过使用与标量微积分的类比，或者非正式和半严谨地使用无穷小、大O符号等，快速准确地执行向量微积分中的计算，并能够在需要时将所有这些计算转换为严谨的论证。）重点现在在于应用、直觉和"大局观”。这个阶段通常占据研究生后期及以后。
从第一阶段到第二阶段的转变众所周知是相当痛苦的，可怕的"证明类问题"是许多数学本科生的祸根。（另见“数学不止于成绩、考试和方法”。）但从第二阶段到第三阶段的转变同样重要，不应被遗忘。
当然，知道如何严谨思考至关重要，因为这给了你避免许多常见错误和消除许多误解的纪律。不幸的是，这有一个意想不到的后果，即"更模糊"或"直观"的思考（如启发式推理、从例子中明智地推断，或与其他背景如物理学的类比）被贬低为"不严谨”。很多时候，人们最终丢弃了最初的直觉，只能以形式化水平处理数学，从而在数学教育的第二阶段停滞不前。（除此之外，这会影响阅读数学论文的能力；当遇到论文中即使是一个打字错误或歧义时，过于字面的思维模式可能导致"编译错误”。）
严谨的目的不是摧毁所有直觉；相反，它应该用来摧毁坏的直觉，同时澄清和提升好的直觉。只有结合严谨的形式主义和良好的直觉，才能处理复杂的数学问题；需要前者来正确处理细节，需要后者来正确处理大局。缺少其中任何一个，你都会在黑暗中摸索很长时间（这可能具有教育意义，但效率极低）。所以一旦你完全适应了严谨的数学思维，你应该重新审视自己在该主题上的直觉，并使用新的思维技能来测试和完善这些直觉，而不是丢弃它们。一种方法是问自己愚蠢的问题；另一种是重新学习你的领域。
要达到的理想状态是，每个启发式论证自然暗示其严谨对应物，反之亦然。然后你将能够同时使用大脑的两个半球来处理数学问题——也就是说，就像你处理"现实生活"中问题的方式一样。
另见：
- 比尔·瑟斯顿的文章“论数学中的证明与进展”；
- 亨利·庞加莱的“数学中的直觉与逻辑”；
- 斯蒂芬·弗雷的这个演讲关于类似现象，即语言不止于语法和拼写；以及
- 科尔伯格的道德发展阶段（表明（除其他外）道德不止于习俗和社会认可）。
- 布鲁姆的学习分类法。
后来补充： 或许值得注意的是，处于上述数学发展所有三个阶段的数学家仍然可能在他们的数学写作中犯形式错误。然而，这些错误的性质往往相当不同，取决于所处的阶段：
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处于前严谨发展阶段的数学家经常犯形式错误，因为他们无法理解严谨的数学形式主义实际上如何工作，而是盲目应用形式规则或启发式方法。即使这些错误被明确指出来，这样的数学家通常也很难欣赏和纠正这些错误。
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处于严谨发展阶段的数学家仍然可能犯形式错误，因为他们尚未完善自己的形式理解，或者无法执行足够的"合理性检查"来对抗直觉或其他经验法则，以捕捉例如符号错误，或未能正确验证工具中的关键假设。然而，一旦这些错误被指出来，通常可以检测到（并且经常修复）。
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处于后严谨发展阶段的数学家并非不会犯错，仍然可能在他们的写作中犯形式错误。但这通常是因为他们不再需要形式主义来进行高水平的数学推理，实际上主要通过直觉进行，然后（可能错误地）翻译成形式数学语言。
这三种错误之间的区别可能导致这样的现象（对于处于数学发展早期阶段的读者来说常常相当令人困惑）：后严谨数学家的数学论证在局部包含许多打字错误和其他形式错误，但在全局上相当合理，局部错误传播一段时间后被其他局部错误抵消。（相比之下，当没有坚实直觉检查时，一旦前严谨或严谨数学家在论证中引入错误，错误可能失控传播，直到论证结束时留下完全无意义的内容。）关于此类错误的进一步讨论以及如何阅读论文来弥补它们，请参见这篇文章。
我在这个与布雷迪·“数字狂”·哈兰的视频中进一步讨论了这个话题。