论部分进展的重要性
[最初于 2012 年 7 月 17 日发布在 Google+ 上。-T]
数学问题解决的一个秘诀是，人们需要高度重视部分进展，将其视为完全解决问题的关键垫脚石。这可能与人们在更"现实世界"情境（如商业、体育、工程或政治）中常见的思维方式截然不同，在这些情境中，实际的成功或失败往往比从部分成功中能够挽回的东西重要得多。我认为其基本原因是，在纯粹的理论数学世界中，采用一个部分解决问题的论证，然后将其与其他想法结合以形成完整解决方案，基本上没有成本；但在现实世界中，重用或回收任何（或被感知为）哪怕是部分失败的东西可能都很困难、成本高昂或在社交上不可接受。软件工程是这一普遍规则的少数例外之一，因为重用软件代码几乎和重用数学论证一样容易。
对于尚未采用部分进展思维方式的数学初学者来说，常见的情况是尝试一种技术来解决问题，发现它"失败"了，然后得出结论认为需要尝试完全不同的技术（或者完全放弃这个问题）。但实际上，经常发生的情况是，一个人的第一次解决方案尝试能够解决问题的某些部分，然后需要将该论证与能够解决互补部分问题的技术结合起来，以达到最终解决方案。
例如，最近一位研究生带着一个他试图估计的实直线上的积分来找我。他尝试了分部积分法，发现由此产生的积分项在实直线的一侧表现良好，但在另一侧发散。初学者可能此时就会放弃这种方法；但由于已经有了一些数学经验，他意识到这是一个部分成功，并将实直线分成两部分，使用分部积分法控制一部分上的积分，并使用不同的技术（被积函数的泰勒展开）控制另一部分积分。不幸的是，当他将估计值相加时，他发现无论将实直线如何分成两部分，总估计值仍然达不到他想要的结果，这时他来找我寻求帮助。但实际上，这次失败实际上是进一步的部分进展；他发现了一种方法（分部积分法）可以处理积分参数较大正值时的积分，另一种方法（泰勒展开）可以处理较大负值时的积分，剩下的只是添加第三种技术（在这种情况下，是通过将所有内容替换为其绝对值进行粗略估计）来处理前两种技术无法很好处理的中间值。因此，前两次"失败"实际上是解决完整问题所需的关键进展，它们至少解决了问题中存在的一些困难，并将注意力集中在需要解决的剩余问题上。
部分进展思维方式的一个推论是，即使你事先知道一种技术不可能完全解决问题，尝试该技术也常常是有益的。（例如，该技术可能无法区分实际问题 $P$ 和一个看起来相似但答案已知为否定的问题 $P'$。或者该技术可能已经被许多专家所知，他们多年来一直尝试解决 $P$，这提供了强有力的经验证据表明该技术不足以解决该问题。或者，该技术没有机会解决完整问题 $P$，但只能希望解决问题的"玩具"或"模型"实例 $P_0$，其中一些（但关键不是全部）困难已被移除。）关键是，即使该技术注定会失败，它在论证中失败的确切点可能非常有启发性，因为它可以描绘出问题的哪些部分可以通过此类论证处理（至少在原则上），并突出了需要进一步工具解决的问题的关键组成部分，然后可以将注意力集中于此。