撰写数学研究论文

Ashley Reiter 1995年9月12日

第一节：引言：为何要费心？

优秀的数学写作，如同优秀的数学思维，是一项需要通过实践和培养才能达到最佳表现的技能。本文旨在为初次撰写论文的年轻数学家提供帮助。其目的不仅在于协助写出一篇优秀的文章，也在于帮助学生开始思考数学写作本身。

我深受一本精彩的小册子《如何写作数学》（“How to Write Mathematics”）的启发，本文的许多实质内容都来源于此。我将引用其中的许多直接引文，特别是来自保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos）撰写的部分，但我怀疑本文中几乎所有的观点都源于我对那本小册子的阅读。该书可从美国数学会（American Mathematical Society）购得，认真研究数学写作的学生应当亲自查阅。其他大部分想法则源于我自己对糟糕数学写作的失望。虽然从糟糕的数学作品中学习数学并非学习优秀写作的最佳方式，但它能提供极佳的反面教材。因此，积极的数学读者的一项活动，就是留意数学作品中变得不清晰的地方，并在自己的写作中避免犯同样的错误。

数学交流，无论是书面还是口头，都是外界看待你数学工作的滤镜。如果将数学的创造性比作创作一首乐曲，那么写作的艺术则可视为指挥演奏这首乐曲。作为一名数学家，你拥有指挥演奏自己作品的特权！对听众而言，出色的指挥与创作优秀的作品同等重要。如果你纯粹为了个人乐趣而研究数学，那就没有理由把它写下来。但如果你希望分享你所完成的数学之美，那么仅仅写下来是不够的；你必须努力写得好。

本文将从关于数学写作的总体思路开始，目的是帮助学生为论文构建一个大纲。下一节将描述论文中“形式”与“非形式”部分之间的区别，并为每一部分提供指导。第四节将讨论单个证明的写法。最后，本文将以一节包含具体建议的内容收尾，供你在撰写和修改论文时参考。

第二节：动笔之前：构建论文结构

几乎所有写作的目的都是为了交流。为了良好地交流，你必须同时考虑你想传达什么，以及你希望与谁交流。这对数学写作来说，与其他任何形式的写作并无二致。数学写作的首要目标是，通过精心构建的逻辑推导，来断言一个数学陈述的真实性。严谨的数学读者不会假设你的工作是 основательнoй；他们需要被说服。这是你在数学写作中的第一个目标。

然而，仅仅说服读者相信你工作的真实性是不够的。当你撰写自己的数学研究时，你会有另一个包含这两个目标在内的更高目标：你希望读者能欣赏你所完成的数学之美，并理解其重要性。如果将整个数学领域，甚至你所工作的子领域，想象成一幅巨大的画作，那么你的研究必然只占整个作品中微不足道的一部分。它的美不仅体现在对你所描绘的特定区域的审视中（尽管这很重要），也体现在观察你的工作如何与整幅画作“融为一体”的方式上。

这两个目标——说服读者相信你推论的真实性，以及让你的受众看到你的工作在整个数学领域中的美——在你构思论文大纲时至关重要。有时，你可能会把自己想象成一名导游，带领读者穿越一片只有你绘制过地图的领域。

一位成功的数学作者会为她的读者铺陈两张逻辑地图：一张展示了她个人工作与广阔数学世界之间的联系，另一张则揭示了她工作内部的逻辑结构。

为了引导你的读者，你必须首先为自己思考你的工作在数学地图上的位置。如果你的读者曾到访过邻近区域，那么你应当唤起他们对那些经历的记忆，以便他们能更好地理解你的补充，并将其与相关数学联系起来。问自己几个问题可能有助于你辨别工作的形态和位置：

你的结果是否通过对某事物给出更精确的刻画，从而加强了先前的结果？
你是否通过减弱假设或加强结论，证明了一个旧定理的更强版本？
你是否证明了两个定义的等价性？
它是否是一个对先前已定义但未被理解的结构的分类定理？
它是否连接了数学中两个先前不相关的方面？
它是否将一种新方法应用于一个老问题？
它是否为一则旧定理提供了新的证明？
它是否是一个更大问题的特例？

你必须明确地考虑这个在数学结构中的定位问题，因为它会一直萦绕在读者的脑海中，直到你给出答案。未能解决这个问题会让读者感到相当不满意。

除了提供一张地图帮助读者在数学领域内定位你的工作，你还必须帮助他们理解你工作内部的组织结构：

你的成果是集中在一个引人注目的定理中吗？
还是你有几个相互关联但同等重要的定理？
你是否找到了重要的反例？
你的研究是纯粹的理论数学，即“定理-证明”式的，还是涉及多种不同类型的活动，例如，在计算机上对问题建模，证明一个定理，然后进行与你工作相关的物理实验？
你的工作是朝着解决一个经典问题迈出的清晰（尽管很小）一步，还是一个全新的问题？

因为你的读者在读完你的论文之前，并不知道你将要证明什么，所以事先告知他们将要读到的内容，就像旅行社为顾客做准备一样，能让他们更享受旅程，并更多地理解你引导他们看到的东西。

要诚实而审慎地解释你的工作在数学研究大局中的位置，可能需要极大的谦逊。你很可能会因自己的成就看似微小而感到沮丧。别担心！数学是数千年来，基于成千上万（甚至数百万）实践者的工作积累而成的。据说，即便是最优秀的数学家，一生中也很少有超过一个真正杰出的想法。如果你在高中时期就有了这样的想法，那才真是令人惊讶呢！

一旦你考虑清楚了你研究的结构和意义，你就可以开始为论文拟定大纲了。与许多其他科学领域相比，数学研究论文的格式定义要宽松得多。你有自由度以一种适合你特定工作的方式来制定大纲。然而，你几乎总会包含几个标准部分：背景、引言、正文和未来工作。背景部分将为你的读者定位，提供你将引导他们去向何方的初步概念。在背景部分，你会对你的问题历史给出最明确的描述，尽管提示和参考文献也可能出现在其他地方。读者希望在这一部分找到以下问题的答案：他为什么要读这篇论文？这篇论文的重点是什么？这个问题从何而来？这个领域已知些什么？为什么作者认为这个问题有趣？例如，如果他不喜欢偏微分方程，他应该尽早得到警告，他将会遇到它们。如果他对概率论的基本概念不熟悉，那么如果你的论文依赖于这种理解，也应提前警告。在这一点上请记住，尽管你可能花了数百小时研究你的问题，你的读者希望在几分钟内清楚地得到所有这些问题的答案。

在论文的第二部分，即引言，你将开始引导读者进入你的具体工作，从宏观画面逐渐聚焦到你的特定结果。这里是介绍该领域标准但你的读者可能不知道的定义和引理的地方。正文将由几个部分组成，包含你大部分的工作。当你到达最后一节“意义”时，你可能已经对你的问题感到厌倦，但这一节对你的读者至关重要。作为你论文主题的世界级专家，你处于一个独特的位置，可以指导该领域的未来研究。喜欢你论文的读者可能希望在你的领域继续工作。他（她）自然会有自己的问题，但你，作为这篇论文的作者，会比你的读者更清楚哪些问题可能有趣，哪些可能不然。如果你要继续研究这个主题，你会问什么问题？此外，对于某些论文，你的工作可能会有重要的意义。如果你研究的是一个物理现象的数学模型，那么你的数学工作在物理世界中会有什么后果？这些都是你的读者希望在论文最后一节找到答案的问题。你应该小心，不要让他们失望！

第三节：形式与非形式论述

一旦你有了论文的基本大纲，你就应该考虑“由定义、定理和证明组成的形式或逻辑结构，以及由动机、类比、例子和元数学解释组成的互补的非形式或介绍性材料。在任何数学陈述中，都应显著地保持材料的这种划分，因为该学科的性质首先要求逻辑结构清晰。”（第1页）这两种类型的材料并行工作，使你的读者能够从逻辑上和认知上理解你的工作（这两者通常大相径庭——在你们当中，有多少人能在证明微积分基本定理之前，就相信可以用反导数计算积分？）“由于形式结构不依赖于非形式结构，作者可以在添加任何后者之前，先将前者完整详细地写出。”（第2页）

因此，写作过程的下一个阶段可能是为你论文的逻辑结构制定一个大纲。几个问题可能会有所帮助：首先，你到底证明了什么？这些定理所依赖的引理（你自己的或其他人的）是什么？这些定理的推论又是什么？在决定哪些结果称为引理、哪些是定理、哪些是推论时，问问自己哪些是核心思想。哪些是自然而然从其他结果中得出的，哪些是论文中真正的主力？写作的结构要求你的假设和推论必须符合线性顺序。然而，很少有研究论文真正具有线性结构，即引理变得越来越复杂，一个叠一个，直到证明了一个定理，然后是一系列日益复杂的推论。相反，大多数证明可以用非常复杂的图来建模，其中几个基本假设以复杂的方式与一些众所周知的定理相结合。可能会有几条看似独立的推理路线在最后一步汇合。不言而喻，任何断言都应遵循其所依赖的引理和定理。然而，可能有很多满足这一要求的线性顺序。鉴于这一困难，你的责任是，首先，理解这个结构，其次，安排你写作中必然的线性结构，以尽可能好地反映工作的结构。具体如何进行，当然取决于具体情况。

帮助你揭示论文复杂逻辑结构的一种技巧是恰当地命名你的成果。通过恰当地命名你的成果（引理作为基础，定理作为实质内容，推论作为收尾工作），你将在你的引理之间创造一种并行感，并帮助你的读者，在没有与你一起经历研究的挣扎的情况下，领会哪些是真正关键的思想，哪些他们可以更快地浏览。

另一种构建简洁逻辑大纲的技巧源于保罗·哈尔莫斯在《如何写作数学》中的一个警告：永远不要重复一个证明：

如果定理2证明中的几个步骤与定理1证明的部分非常相似，这是一个信号，表明某些东西可能没有被完全理解。同样病症的其他症状是：‘用与定理1证明中相同的技巧（或方法、或手段、或窍门）…’，或者，粗暴地，‘参见定理1的证明’。当这种情况发生时，很有可能存在一个值得发现、阐述和证明的引理，从这个引理可以更容易、更清晰地推导出定理1和定理2。（第35页）

这些结构问题应该在你开始写论文之前就深思熟虑，尽管写作过程本身肯定会帮助你更好地理解结构。

现在我们已经讨论了形式结构，我们转向非形式结构。形式结构包含形式定义、“定理-证明”格式和严谨的逻辑，这是“纯”数学的语言。非形式结构补充了形式结构并与之并行。它使用不那么严谨（但同样准确！）的语言，并在阐明工作的数学定位（如上所述）以及向读者呈现更具认知性的工作展示方面发挥重要作用。因为虽然数学家用逻辑的语言写作，但很少有人真正用逻辑的语言思考（尽管我们确实进行逻辑思考），所以为了理解你的工作，通过巧妙地展示为什么某件事是真的，以及你是如何证明这样一个定理的，将会极大地帮助他们。在写作之前，勾勒出你希望在这些非形式部分传达的内容，很可能会带来更有效的交流。

在你开始写作之前，你还必须考虑符号。符号的选择是撰写研究论文的关键部分。实际上，你是在发明一种语言，你的读者必须学习这种语言才能理解你的论文。好的符号首先能让读者忘记他正在学习一门新语言，其次提供了一个框架，在这个框架中你的证明要点能被清晰地理解。另一方面，糟糕的符号是灾难性的，甚至可能阻止读者阅读你的论文。在大多数情况下，遵循惯例是明智的。用 epsilon 表示一个素数，或用 x(f) 表示一个函数，当然是可能的，但几乎从来不是一个好主意。

第四节：撰写证明

写好一个证明的第一步是陈述定理。一个措辞恰当的定理会使证明的书写容易得多。首先，定理的陈述应该包含恰到好处的假设。当然，所有必要的假设都必须包括在内。另一方面，无关的假设只会分散定理的重点，应尽可能地删去。

在撰写证明时，就像撰写整篇论文一样，你必须以线性顺序记下一组可能并非线性形式的假设和推论。我建议，在动笔之前，你先规划出假设和推论，并尝试以一种能给读者带来最少困惑的方式来排列这些陈述。

在《如何写作数学》中，哈尔莫斯就撰写证明提出了一些重要的建议：

向前写证明

一个糟糕教学中常见的伎俩是以这样一句话开始一个证明：“给定 ε，令 δ 为 ε/2”。这是经典分析学中传统的倒写证明法。它的优点是容易被机器验证（而不是被人类理解），还有一个可疑的优点是，最后得到的东西会小于 ε。让读者任务不那么费力的方法是显而易见的：向前写证明。像作者一样，从某个小于 ε 的东西开始，然后做需要做的事情——在适当的时候乘以 3M² + 7，之后再除以 24，等等——直到你得到最终结果。两种安排都不优雅，但向前写的方式是可把握和可记忆的。（第43页）
避免不必要的符号。 思考一下：

一个由一长串用等号分隔的表达式组成的证明。这样的证明很容易写。作者从第一个方程开始，做一个自然的代换得到第二个，合并同类项，排列，插入并立即消去一个灵感迸发的因子，通过这些步骤直到得到最后一个方程。这又一次是编码，读者被迫边学边解码。这种双重努力是不必要的。作者多花十分钟写一个措辞严谨的段落，就可以为每位读者节省半小时和大量的困惑。这个段落应该是一个行动的指南，来取代那个仅仅报告行动结果却让读者去猜测如何得到的无用代码。这个段落可能会这样说：“为了证明，首先用 p 代替 q，然后合并同类项，排列因子，最后，插入并消去一个因子 r。”（第42-43页）

第五节：具体建议

与任何形式的交流一样，某些文体实践会使你的写作或多或少地易于理解。这些最好在写完初稿后进行检查和修正。其中许多想法来自《如何写作数学》，并在那里有更充分的论证。

几页（甚至几段）未用过的符号应附上引用或对其含义的提醒。
文章结构应通过标题和标点符号清晰可辨。
全文应始终对当前问题有清晰的定义。
标题是读者与你论文的第一次接触。它必须向你领域的专家以及感兴趣的新手传达一些实质内容。因此，虽然术语应技术上正确…
“不要过度使用像句号或逗号这样的小标点符号。读者很容易忽略它们，而这种忽略会导致回读、困惑和延迟。例如：‘假设 aÂX. X 属于 C 类，…’。两个 X 之间的句号被过度使用了…一个好的通用法则是：永远不要用符号开始一个句子。如果你坚持要用提及该符号所代表的事物来开始句子，请使用同位语，例如：‘集合 X 属于 C 类，…’…过度使用的句号并不比过度使用的逗号好。不要写’对于可逆的 X, X* 也是可逆的’，而要写’对于可逆的 X，其伴随矩阵 X* 也是可逆的。’”（第44页）
“我建议在所有数学语境中的’if’后都使用’then’。’then’的存在永远不会引起混淆；它的缺席则可能。”（第44页）
另一个关键特征是页面的布局或架构。“如果它看起来像实心散文，会有一种令人生畏的说教感；如果它看起来像计算的乱码，满页都是符号，会有一种吓人的复杂感。黄金中庸之道是最好的。把它分段，但不要太零碎；使用散文，但不要太多。穿插足够的展示来让眼睛帮助大脑；使用符号，但要置于足够的散文之中，以免思维淹没在后缀的泥潭中。”（第44-45页）
同一个符号绝不能用于多于一件事物；如果你在一个证明中用 n 作计数器，在下一个证明中就用 m，除非两者在各自的证明中扮演相似的角色。
所有符号都应有意义（没有自由变量）：
“避免使用无关的符号。例如：‘在一个紧空间上，每个实值连续函数 f 都是有界的。’ 符号 ‘f’ 对该陈述的清晰度有什么贡献？… 一个华丽的说法是‘不要使用多余的字母’，也就是‘不要只使用一个字母一次’。”（第41页）
“在日常英语中，‘any’是一个模棱两可的词；根据上下文，它可能暗示存在量词（‘你有羊毛吗？’，‘如果有人能做到，他就能’）或全称量词（‘任何数字都可以玩’）。结论：永远不要在数学写作中使用’any’。用’each’或’every’替换它，或者重塑整个句子。”（第38页）
“其他罪责较轻的词是’where’、’equivalent’和’if… then…if…then’。‘Where’通常是一个懒惰的事后补充的标志，本应事先考虑清楚。‘如果 n 足够大，则 |an| < ε, where ε 是一个预先指定的正数’；病症和疗法都很明显。用’Equivalent’来形容定理在逻辑上是荒谬的。（我所说的“定理”是指一个数学真理，一个被证明了的东西。一个有意义的陈述可以是假的，但定理不能；“一个假的定理”是自相矛盾的）。至于’if…then…if…then’，那只是快手作者常犯的文体错误，却让慢读者后悔。‘如果 p，那么如果 q，那么 r。’ 逻辑上，一切都好，但心理上，这只是另一个不必要的绊脚石。通常避免它所需要的只是重塑句子，但没有普遍适用的好方法；最好的方法取决于具体情况下的重点。可能是’如果 p 和 q，那么 r’，或者’在 p 的前提下，假设 q 意味着结论 r’，或者许多其他版本。”（第38-39页）
使用反例来证明定理条件的必要性。
正确用词：区分函数和值。

Ashley Reiter  
Mathematics Instructor  
Maine School of Science & Mathematics  
77 High Street  
Limestone, ME 04750  
reitera@mssm.lcs.k12.me.us

“How to write Mathematics”, Steenrod, N.E. Steenrod, Amer. Math. Soc. 1983, ISBN 0821800558