导航城市与理解证明
证明与城市的相似之处
皮埃尔·朗方 (Pierre L’Enfant) 不是一位理论家，而是一位设计师，特别是华盛顿特区城市布局的设计师。
今天我想谈谈为什么有些证明难以理解，而不是难以发现。
证明与城市有什么关系？乍一看，它们似乎没什么共同之处，但我相信，理解证明和在城市中导航有很大的共通之处。我认为，一些证明难以理解的原因，与一些城市难以导航的原因有关。
恕我直言，华盛顿——美国的首都——对我来说一直很难穿行。我有时会在首都感到迷失。它的主干道呈对角线布局，虽然美丽，却不利于我形成一个好的心理空间地图。而且我几乎从不在城里开车：我要么步行，要么乘坐地铁，要么打车。后两者意味着我让别人替我导航，这样我即使闭上眼睛也能到达目的地。这对我来说非常愉快和轻松，但却无法让我学会华盛顿特区街道的来龙去脉。
我认为，当我们阅读一个证明时，就像试图在一个城市中导航。如果我们想成功理解证明，其布局至关重要。此外，我们需要主动地与证明互动。如果你只是像坐在“出租车”里一样，被动地被带着浏览证明，比如在一次演讲或讲座中，那么你真正理解这个证明的可能性就要小得多。
让我们来讨论一下理解城市和理解证明之间的一些联系。也许这些评论能帮助我们写出更好的证明，并帮助我们更好地阅读证明。
城市与证明
标准布局： 尽管曼哈顿规模庞大，人、车、建筑密度极高，但导航起来却相对容易。粗略来看，街道是按矩形网格布局的：所以41街在33街的北面。大道是南北走向，从西到东编号——好吧，不完全是这样，但很接近——例如，第六大道也是美洲大道，第九大道是哥伦布大道。所以，确定一个大致位置非常直接，特别是如果你避开曼哈顿下城的话。
这对证明意味着什么？ 我们应该尽可能地以标准的“网格”方式来布局我们的证明。定义、引理和证明的布局应尽可能标准化。有时这很困难甚至不可能，但具有“对角线”结构的证明要难理解得多，应该避免。
换一种说法，用一个混合的比喻：证明中的“交通流”应该是拓扑排序的。你可能需要回头查看下一个逻辑步骤的来源，比如定理5如何依赖于引理2和3，但你绝不应该需要绕圈子，比如为了证明引理3你需要理解定理5证明的一部分。另一种说法是：对一个引理的理解绝不应该被“延迟”到后面的结果。当这种“延迟”发生时，你就有了雅克·德里达所说的延异，这在文学理论中或许没问题，但在数学中则不应该出现。最后一个引述来自肯，我在这方面听从他的意见，并补充一句：保持结构尽可能简单。
好的指南： 如果有写得好的指南，任何城市都会更容易导航。这些指南会解释如何四处走动、如何定位主要地标以及如何导航。
这对证明意味着什么？ 我们应该为我们的证明提供一份指南。如果一个证明非常简短或简单，那么指南可能没有必要。然而，对于任何复杂的证明来说，一个好的概述，解释你身在何处、要去向何方以及所有部分如何衔接，都是非常宝贵的。陶哲轩（Terence Tao）是这方面的大师：即使是他一些最深刻的定理，也有一个概述，至少能让你找到方向。以下是他一篇论文中的概述。
证明包含三个主要要素。首先是塞迈雷迪定理，该定理断言任何具有正密度的整数子集都包含任意长度的等差数列。第二个要素，也是本文的主要新要素，是某个转移原理。这使我们能够从塞迈雷迪定理中推断出，任何足够伪随机的集合（或测度）中具有正相对密度的子集都包含任意长度的等差数列。第三个要素是戈德斯顿和伊尔迪里姆最近的一个结果，我们在此复述。利用这个结果，我们可以将（大部分）素数置于一个由“殆素数”构成的伪随机集合（或更准确地说，一个集中在殆素数上的伪随机测度）中，并使其具有正相对密度。
区域： 许多城市，即使是巨型城市，也有区或社区。这种模块化结构在导航时非常有用。例如，即便是曼哈顿也有各个社区：仅举几十个中的三个，翠贝卡（TriBeCa）、西村（West Village）、华盛顿高地（Washington Heights）。
这对证明意味着什么？ 我们应该将我们的证明构建成具有社区结构。模块化的证明通常更容易阅读。这些模块可以被分开理解，这对读者非常有帮助。通常这种模块化结构基于强大抽象的使用，如果使用得当，可以非常方便读者。使用得当的高度抽象层面的证明可以非常清晰、简单且易于理解。但如果使用不当，抽象层面可能会掩盖所论证的关键问题，使证明非常难以理解。
接下来的两点是需要避免的。
众多小巷： 拥有大量死胡同、编号方式出人意料地跳跃、命名方式奇怪的城市可能非常难以导航。
这对证明意味着什么？ 我们应该避免有许多旁支和许多不必要部分的证明。我相信，证明中的小巷对应于许多情况（cases）。通常情况下，情况越多，证明就越复杂。原因是我们可能会漏掉一个情况，或者错误地论证情况（iii）可以由情况（ii）推出。大量的情况是复杂性的一个症状，而复杂性通常是理解的敌人。
情况并非总能避免。在数学的某些领域，例如有限群论，特殊情况比比皆是。你很可能会看到这样的定理：
定理： 每一个阶为偶数的群，如果不以 H 为子群，且没有阶为 pq 的元素（其中 p, q 满足性质 P），则满足…
混乱的结构： 一些城市有可爱但古怪的结构。卡内基梅隆大学所在的匹兹堡就以这样一个特性而闻名：你也许能看到你想去的地方，但就是没有路能到那儿。众多的山丘、河流和桥梁造成了这种情况。你能看到你的目的地，但似乎没有一条路能通向那里。当然，有路可走，只是路很难找到，而且可能需要你先朝与目的地相反的方向走。这可能非常令人困惑，使得导航十分困难。
在克利夫兰，至少在我读本科时，有一条路会自我相交——穿过它自己。真的。许多城市也有道路无缘无故地改变名称，或者在一天中的特定时间变成单行道。所有这些都让出行成为一种挑战。我居住的亚特兰大有很多路都叫桃树XX路（Peachtree X），这里的 X 是一个修饰词，比如：巷、街、坊等等。
这对证明意味着什么？ 我们应该小心避免混乱的结构。我们应该使用合乎逻辑的名称，避免无缘无故地改变符号。我们必须避免循环论证，即使是那些并非循环但看起来像是循环的推理，也会非常难以理解。
一个经典的例子是归纳论证，它对数学的许多领域都至关重要。但归纳论证可能很棘手。总是有论证循环或有其他缺陷的危险。在编写和阅读它们时要非常小心：确保基本情况处理得当，并理解“归纳”的对象是什么。一些证明，特别是高级证明，可能会使用一个复杂的度量来进行归天。一定要仔细地跟进这些。
待解问题
如果你正在撰写或阅读一个证明，请留意上述例子来帮助你，并理解使证明变得困难的部分。如果你真的想理解一个证明，就避免乘坐证明的“出租车”。
一个待解问题：经典的证明论通过大小来衡量复杂性：越长越难。但这似乎有点天真。也许存在一种更合理的证明复杂性度量。同样的情况也适用于复杂性理论的大部分内容：更大的电路更复杂，更长的计算更复杂，等等。这是我们能做到的最好的吗？