我最喜欢的教学原则：先举例！
这篇博文是关于一个非常简单的想法，它可以极大地提高几乎任何文章的可读性，不过我将把讨论限制在如何清晰地撰写数学文章这个问题上。这个想法或多或少已经体现在标题中了：在讨论一般概念之前先给出例子。在进一步阐述之前，我想非常清楚地说明这里的要点。这并非是那个极其明显的观点，即用例子来说明你所讲的内容是好的。相反，这关系到那些例子应该在阐述的哪个位置出现。所以，重点在于“先”这个字，而不是“例子”这个词。
如果这也显得很明显，我请你思考一下反其道而行之是多么普遍。打开一本关于数学中某个一般概念的教科书——比如说巴拿赫代数——它很有可能会以巴拿赫代数的正式定义开始，然后才给你几个例子。我自己是在编辑《普林斯顿数学指南》的过程中才意识到这个原则的：我一次又一次地发现，通过将作者精心挑选的例子放在他们讨论的前面，可以使文章变得更清晰。
为什么采用这种顺序会更好呢？嗯，如果一个通用定义相当复杂，那么你将需要在脑海中记住很多东西。这可能很困难，但如果定义的各个方面可以与你熟悉的一个例子联系起来，那就容易多了。这样一来，定义中的词语就不再是悬浮的，可以这么说，而是变成了你可以贴在你对例子的心智图像上的标签。
到目前为止，机警的读者会注意到我并没有践行我所宣扬的。所以，让我们忘掉目前为止的所有讨论，重新开始，这次我们做得恰当一些。
我最喜欢的教学原则：先举例！
你觉得下面两种解释中哪一种更清晰、更容易阅读？它们旨在向一个知道什么是二元运算并了解交换律和单位元等基本定义的读者介绍域的概念。
解释 1。 域是一个集合 X，连同两个二元运算（通常用加法和乘法符号表示）所构成的结构，它具有以下性质。两种运算都是可交换和可结合的，并且都有单位元。X 中的每个元素在 + 运算下都有逆元，而除了 0（+ 运算的单位元的名称）之外的每个元素在 × 运算下也都有逆元。最后，我们有所谓的分配律：对于 X 中的每一个 x、y 和 z，都有 x(y+z) = xy + xz。
如果我们将 + 和 × 解释为通常的加法和乘法运算，那么我们很容易看到，熟悉的数系 ℚ、ℝ 和 ℂ 都是域。（如果追根溯源，这些陈述就不再是显而易见的了，但我们将把复数乘法的交换律等事实视为已经确立的。）相比之下，数系 ℕ 和 ℤ 不是域，因为 ℕ 中没有加法单位元，而 ℤ 中并非每个元素都有乘法逆元。域的一些不那么明显的例子是数域（包含 ℚ 的 ℂ 的子域），例如所有形如 a+b√2（其中 a 和 b 是有理数）的复数构成的域，记作 ℚ(√2)。（除了乘法逆元的存在性之外，所有的域性质都非常容易验证：但即便如此，那也只是一个简单的练习。）例子的另一个重要来源是有限域的集合，其中最简单的情况是通过取一个素数 p 和所有整数模 p 的集合得到的。（这里，同样地，唯一不是几乎不证自明的域公理是乘法逆元的存在性——为此需要欧几里得算法。）
解释 2。五个主要的数系，ℕ、ℤ、ℚ、ℝ 和 ℂ，虽然彼此不同，但有许多共同的特征。例如，如果 X 是这些数系之一，x 和 y 是 X 中的数，那么可以将 x 和 y 相加或相乘。也可能可以做 x 减去 y 或 x 除以 y 的运算，但这并非总是可能的，至少如果想停留在同一个数系中的话。例如，如果我们局限于 ℕ，那么我们不能从 3 中减去 5，而如果我们局限于 ℤ，那么我们不能用 3 去除 5。
值得注意的是，在 ℚ、ℝ 和 ℂ 中，这类问题远比在 ℕ 和 ℤ 中少得多。在这些更大的数系中，减法总是可能的（就像在 ℤ 中一样），除法也是如此，只要不试图除以 0。
回到这些数系共有的性质，我们注意到，在这五个系统中，加法和乘法都是可交换和可结合的，并且它们都遵循分配律：对于所讨论的数系中的每一个 x、y 和 z，都有 x(y+z) = xy + xz。
域是一种数学结构，它拥有较大数系 ℚ、ℝ 和 ℂ 的基本性质。换句话说，它是一个定义了两种二元运算的集合，我们将其视为加法和乘法，因此使用这些运算的常规符号来表示。这两种运算都必须是可交换和可结合的，并且它们必须遵循分配律。此外，两种运算都必须有单位元，每个元素在加法运算下都必须有逆元，而除了 0（更正式地定义为加法单位元）之外的每个元素在乘法运算下也必须有逆元。一旦我们有了这些逆元，我们就可以轻松地定义减法和除法：x-y 是 x 与 y 的加法逆元之和，x/y 是 x 与 y 的乘法逆元之积。
因此，域基本上是一种“行为类似于 ℚ、ℝ 或 ℂ”的代数结构，因为它有两种二元运算，遵循人们在那些数系中观察到的代数规则。
域的概念之所以重要，是因为除了 ℚ、ℝ 和 ℂ 之外，还有一些不那么明显的例子，在数论中扮演着核心角色。最著名的是数域和有限域。前者是像 ℚ(√2) 这样的域，它由所有形如 a+b√2（其中 a 和 b 是有理数）的复数组成。（通常，数域是包含 ℚ 的 ℂ 的一个子域。）在数域中，验证所有的域性质往往非常容易，除了乘法逆元的存在性之外：但即便如此，通常也只是一个简单的练习。有限域的最简单例子是通过取一个素数 p 和所有整数模 p 的集合得到的。这里，同样地，唯一不是几乎不证自明的域公理是乘法逆元的存在性——为此需要欧几里得算法。解释 2 结束。
我非常希望你觉得第二种解释要好得多，或者即使你没有这种感觉，至少你也发现它有一种第一种解释所缺乏的、直接与读者对话的特质。这两种解释之间的主要区别是什么？内容或多或少是相同的。但是在内容组织方式上有一个重要的区别：在第一种解释中，域的抽象定义首先给出，然后是一些例子，而第二种则从例子（或至少是其中一些）开始，并以此为跳板进行更一般性的讨论。为什么把例子放在前面会更有优势呢？嗯，试着想象一个不知道什么是域的读者的反应。在第一种解释的开始，她（顺便说一下，我是通过抛硬币来决定读者的性别的）面对的是一个与她以前的数学经验无关的列表。因此，这是极其容易忘记的。很可能她会继续阅读关于例子的部分，然后再回头看定义，以检查它是否真的适用于那些例子——这是一个明显的迹象，表明这个顺序在教学上是不自然的。相比之下，如果她阅读第二种解释，那么域的公理是在描述某种东西，也就是她已经知道的几个域的心智图像。所以她不需要记住任何东西，也不需要回头看她没有完全理解的文本部分。
这种比较可能看起来不公平，因为第二种解释更长，并且花了更长的时间讨论数系。但当从数系开始讨论时，这样做是如此自然，以至于我几乎认为这是将例子放在首位的策略所带来的结果。
回到本文的顶层讨论。
那么，关于这个教学原则的两种解释，你更喜欢哪一种呢？我非常希望你更喜欢第二种。当我有一个例子可以用来阐述我所谈论的内容时，解释为什么我认为把例子放在前面更好对我来说当然容易得多。（我在这里指的是那个理论，即例子给了你一个关于概念的心智图像，让你能够将抽象定义视为附加在你已经知道的概念上的标签，而不是一组你必须死记硬背的、毫无意义的词语及其关系。）
当这个原则出现在我脑海中时，我意识到我有时会将其付诸实践，但我从未完全意识到我在做什么。现在我意识到了，我要么总是把例子放在前面，要么做出一个有意识的决定不这样做（也许是因为我判断读者在没有例子的情况下也能应对）。如果你还没有意识到自己在这方面的做法，那么试着思考一下：如果这篇博文不能说服你，那么你自己的经验肯定会——无论是你自己写作的经验，还是阅读他人作品的经验。
