隐含的符号约定

[转载自 2010 年 3 月 20 日的一篇 Google Buzz 文章。]

与任何其他人类语言一样，数学符号有许多隐含的约定，这些约定通常不会在语言的正式描述中明确说明。这些约定通过传达数学句子形式逻辑内容之外的额外上下文数据，起到了有益的作用。

一个很好的例子是变量的命名约定。虽然原则上任何符号都可以用于一种变量类型，但实际上单个符号具有预先存在的内涵，使得将它们分配给特定的变量类型更加自然。例如，人们通常表示：

x 表示实数
z 表示复数
n 表示自然数

一个涉及复数 x、自然数 z 和实数 n 的数学论证读起来会非常奇怪。这方面最著名的例子可能是在分析中使用符号 ε；一个涉及非常大或负的 ε 量的分析论证会引起大量不必要的认知失调。相比之下，通过坚持每个符号所扮演的传统角色，论证的符号结构得到加强，更容易记忆；暂时忘记了论证中 z 定义的读者至少可以猜测它应该是一个复数，这有助于回忆起实际的定义是什么。

作为分析中的另一个例子，当陈述不等式如 f(x) ≤ C 或 |S| ≤ N 时，习惯上左侧代表希望控制的"未知"量，右侧代表更能控制的"已知"量；因此，例如 f(x) ≤ C 优于 C ≥ f(x)，尽管这两个陈述在逻辑上是等价的。这就是为什么分析学家对"上界"和"下界"做出重要区分的原因；两者并不对称，因为在两种情况下，都是用已知量来界定未知量。（分析中另一个相关的约定是，最好界定非负量而不是非正量，因此例如 f(x) ≥ 0 优于 -f(x) ≤ 0。）

继续上面的例子，如果已知界 C 本身是几个项的和，例如 C = A + B，那么习惯上将"主"项放在前面，“误差"项放在后面；因此例如 f(x) ≤ A + B 优于 f(x) ≤ B + A。通过遵守这个标准约定，可以传达哪些项被视为主项、哪些项被视为误差项的有用信息。

当然，在分析或其他数学领域中还有许多其他隐含的约定；不幸的是，没有这些约定的详尽列表，人们通常必须通过广泛阅读某个主题来掌握它们。

关于分配给如 100 这样的整数的具体内涵的一些后续讨论，可以在这里找到。