如何清晰地撰写数学论文
撰写数学论文既是记录数学内容的行为，也是交流个人工作的一种方式。与其他类型的写作相比，数学论文的风格极其僵化，甚至对最温和的创新都充满抵触。结果，这两个目标都受到了影响，有时甚至是不可估量的影响。其中，清晰度受到的影响最大，这波及了该领域的每一个人。
多年来，我一直在为我的学生和博士后提供如何清晰写作的建议。我将这些建议都收集在了 这些笔记 中。请考虑阅读它们，并将其传递给您的学生和同事。
下面我摘录了其中一小节，探讨了不同的引用风格以及每种表述的真正含义。当然，这在某种程度上是主观的。祝您阅读愉快！
**** 4.2. 如何引用单篇论文。 引用的规则几乎和中文的敬语一样复杂，还有一个额外的缺点，那就是从未在任何地方被讨论过。下面我们按引用重要性和/或证明可靠性的递减顺序列举一些可能的方式（此列表并不完整）。
(1) “Roth 在 [Roth] 中证明了村上猜想。” 清晰明了。
(2) “Roth 证明了村上猜想 [Roth]。” Roth 证明了该猜想，可能是在另一篇论文中，但这篇很可能是其证明的最终版本。
(3) “Roth 证明了村上猜想，见 [Roth]。” Roth 证明了该猜想，但 [Roth] 可能是任何东西，从原始论文到后续跟进，再到 Roth 写的某种综述。偶尔你会看到“见 [Melville]”，但这通常意味着 Roth 的证明未发表或因其他原因无法获取（比如，是在一次讲座中给出的，而 Roth 懒得写下来），而 Melville 是第一个发表 Roth 证明的人，可能是未经许可，但署了名并或许填补了一些小空白。
(4) “Roth 证明了村上猜想 [Roth]，另见 [Woolf]。” 显然 Woolf 也做出了重要贡献，或许是将其推广到更一般的情况，或是修正了 [Roth] 中的一些主要空白或错误。
(5) “Roth 在 [Roth] 中证明了村上猜想（另见 [Woolf]）。” 看来 [Woolf] 中有 Roth 证明的完整版本，可能修正了 [Roth] 中的一些小错误。
(6) “Roth 证明了村上猜想（见 [Woolf]）。” 这里的 [Woolf] 是该证明的权威版本，例如关于该主题的标准专著。
(7) “Roth 证明了村上猜想，例如见 [Faulkner, Fitzgerald, Frost]。” 这个结果足够重要，以至于在多本书籍/综述中被引用和确认其有效性。如果曾经对于 Roth 的论证是否算是一个真正的证明存在过争议，那么争议已经以 Roth 的胜利告终。尽管如此，原始证明可能过于冗长、不完整或仅仅是以一种过时的方式呈现，或者发表在难以获取的会议论文集中，所以这里提供了一些有更好或更新阐述的来源。或者，更有可能的是，作者懒得去查找确切的参考文献，于是随便用了三本关于该主题的教科书来凑数。
(8) “Roth 证明了村上猜想（例如见 [Faulkner, Fitzgerald, Frost]）。” 这个结果很可能是经典的，或者至少是众所周知的。这里有一些书籍/综述，它们可能都包含该论断的陈述和/或证明。作者和读者都不会费心去核对。
(9) “Roth 证明了村上猜想。7” 脚注7：“见 [Mailer]。” 极有可能，作者从未真正读过 [Mailer]，也无法获取那篇论文。或者，也许 [Mailer] 声称 Roth 证明了该猜想，但既未包含证明也未提供参考文献。作者无法独立核实这一说法，并对这种模棱两可感到明显的恼火，但为了读者的利益，或为了避免 Roth 的怒火，觉得有义务归功于 Roth。
(10) “Roth 证明了村上猜想。7” 脚注7：“H. Fielding 致 J. Austen 的情书，日期为1975年12月16日。” 这意味着这封信很可能存在，并包含完整的证明或至少是证明的纲要。作者可能看过也可能没看过。用谷歌搜索或许能找到这封信，或者找到关于信中内容以及为何无法获取的公开讨论。
(11) “Roth 证明了村上猜想。7” 脚注7：“个人交流。” 这意味着 Roth 给作者发了一封电子邮件（或是在喝啤酒时说的），声称自己有证明。或者，也许是 Roth 的学生在讲座后回答问题时不经意间提到的。该证明可能是正确的，也可能不是，论文可能会也可能不会发表。
(12) “Roth 声称在 [Roth] 中证明了村上猜想。” 论文 [Roth] 有一个众所周知的漏洞，尽管 Roth 坚称其可以修复，但从未被修复过；作者宁愿不就此事公开发表意见，但在宴会上喝了点酒后，一切皆有可能。另一种可能性是，[Roth] 是完全错误的，正如在别处所解释的那样，但 Roth 的工作太有名了，不能不提；在这种情况下，通常会有一句后续的话来澄清问题，有时会放在括号里，如“（然而，见 [Atwood]）”。又或者，[Roth] 是一篇发表在1970年代《苏联科学院报告》上的3页短文，其中包含了证明的极简纲要，尽管付出了相当大的努力，至今仍无人能给出其引理2的完整证明；这种情况下，这句话之后就不会有任何补充了，但作者会很乐意通过电子邮件澄清事情。
更新 1. (2017年11月1日)：现在有我根据这篇文章在 MSRI 做的演讲视频。
更新 2. (2018年3月13日)：该论文发表于《人文数学杂志》（Journal of Humanistic Mathematics）。它现在显然是“最受欢迎论文”排行榜的第五名。第一名当然是《我的集合与性欲》。
更新 3. (2021年3月4日)：我写了一篇后续论文和一篇题为“如何讲好一个数学故事”的博客文章，重点略有不同。
